09机械振动

例题： x = A cos( 10 t + α ), t = 0时， x = 1 , v = 10 3， 例题： 求 A和 α 解： x = A cos(10t +α ), v = dx = 10 A sin(10t +α ) dt 代入初始条件： 代入初始条件： 1 = A cosα ①， 10 3 = 10 A sinα , 即 3 = A sinα ②
E p = 1 kx 2 = 1 kA2 cos 2 ( ω 0 t + α ) = 1 m ω 0 A2 cos 2 ( ω 0 t + α ) 2 2 2
2
E = E k + E p = 1 kA2 = 1 m ω 0 A2 = C 2 2
2
10Biblioteka 例题：将水平弹簧振子从平衡位置拉开 × 后释放， 例题：将水平弹簧振子从平衡位置拉开4.0×10-2m后释放， 后释放 水平拉力为24N，求：⑴总机械能；⑵ x=A/2时的动能和 总机械能； 水平拉力为 ， 时的动能和 势能 F x o
k m
㈡ 简谐振动实例
k
m f
= ω0 , ∴
2
d2x dt 2
+ ω0 x = 0
2
⒉单摆：忽略阻力和摆线质量，摆锤可 单摆：忽略阻力和摆线质量， 视为质点，摆角小于5度 视为质点，摆角小于 度 平衡位置：竖直位置；如当作角振动， 平衡位置：竖直位置；如当作角振动， 为角坐标θ的参考线 选oo'为角坐标 的参考线；如当作线 为角坐标 的参考线； 振动， 振动，选o为x轴的坐标原点 为 轴的坐标原点 回复力矩： 回复力矩： τ = mgl sinθ ≈ mgl θ
C I 2
I
d 2 dt
2
= c ,
2
d 2 dt
2
+ c = 0 I
x
I φ
y
令 = ω 0 , ∴ dt 2 + ω 0 = 0
⒋不计阻力和弹簧质量，试证明竖直弹簧振 不计阻力和弹簧质量， 子的运动也是简谐振动 证明： 取为原点o 证明：在平衡位置 kl = mg , 取为原点 回复力： 回复力： f = mg k ( l + x ) = kx 所以与水平弹簧振子一样也是简谐振动 动力学方程为
t=0时的相位 叫初相，用以确定振动的初始状态 时的相位α叫初相 时的相位 叫初相，
6
x = A cos(ω 0 t + α ), v = ω 0 A sin(ω 0 t + α )
⒋由初始条件确定A和α 由初始条件确定 和
设t=0时，x=x0，v=v0，代入位移和速度表达式 时 x0 = A cosα ①, v0 = ω 0 A sinα ② 为正值， 要同时 由①②即可求出 和α，注意：A为正值，α要同时 ①②即可求出A和 ，注意： 为正值 即可求出 满足①②两式，习惯上π≥|α|≥0 ①②两式 满足①②两式，习惯上
x 可以是线位移，也可以是角位移 可以是线位移，
解的正确性可进行验证: 解的正确性可进行验证
dx dt
= Aω 0 sin(ω 0 t + α ),
d2x dt 2
= Aω 0 cos(ω 0 t + α )
2
5
㈡描写简谐振动的物理量
⒈简谐振动的周期性 圆频率ω 圆频率 0：单摆 ω 0 =
g l
k M
=
k m + m'
=
k m+mS / 3
第九章 机械振动
物体在平衡位置附近的重复往返运动叫机械振动 振动 物体在平衡位置附近的重复往返运动叫机械振动, 必然表现为某些物理量的周期变化 广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化， 广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化， 就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周 就存在一种振动； 期性变化，而且在空间上也做周期性变化， 期性变化，而且在空间上也做周期性变化，那么就存 在一种波动 在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振 在力学、电磁学、光学、 动和波动现象，虽然本质不同， 动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述 是完全相同的 简谐振动是最基本、最简单的，各种复杂振动都可以 简谐振动是最基本、最简单的， 看作若干简谐振动的合成
,弹簧振子 ω 0 = 弹簧振子
k m
,扭摆 ω 0 = 扭摆
C I
l I 周期T： 周期 ：完成一次全振动所需时间 T = 2π g ,2π m ,2π C k 频率v：单位时间完成全振动的次数， 频率 ：单位时间完成全振动的次数，v =1/T，单位 s-1 = Hz ， 由周期含义 x( t ) = x( t + T ), A cos(ω 0 t +α ) = A cos[ω 0 ( t + T ) +α ] ∴ ω 0T = 2π , 或 ω 0 = 2π / T = 2π v ω0的单位：rad/s 的单位： 振幅A描述位移的变化范围 描述位移的变化范围， ⒉振幅 描述位移的变化范围，A=xm，A>0 用以确定振动状态， ⒊相位 Φ = ω 0 t + α 用以确定振动状态，或比较振动步调 2 x = A cos(ω 0 t + α ), v = ω 0 A sin(ω 0 t + α ), a = ω 0 A cos(ω 0 t + α ) 2 = ω 0 A cos(ω 0 t + α + π ) = ω 0 A cos(ω 0 t + α + π ) 2
2 由转动定理： 由转动定理： ml d θ = mgl θ , dt 2
2
o'
θ l T
o
x
mg
d 2θ dt 2
d2x dt 2
g + lθ =0
2
令
g l
= ω0 , ∴
2
d 2θ dt 2
+ ω0 θ = 0
2
+ ω0 x = 0
3
忽略各种阻力， ⒊扭摆 ：忽略各种阻力，忽略弹性杆的质量 回复力矩τ= 回复力矩 - cφ 由转动定理
=±
k m
∫ dt
x arcsin A = ±
x t + α ' , ∴ A = sin( ±
t + α ')
取正号， 取正号，令
k m
= ω0, α '=
π
2
α
x = A sin(ω 0 t + π α ) = A cos(ω 0 t + α ) 2
12
l dl
㈢弹簧质量对固 有频率的影响
ms
1 mS 2 L3 m x ∫ l 2dl = 1 ( 3S ) x 2 = 1 m' x 2 2 2 2 0 L
m 其中， 其中， ' = m S / 3 ，称为弹簧的等效质量 整个振动系统的动能： 整个振动系统的动能：E k = 1 ( m + m' ) x 2 2 水平弹簧振子的总质量相当于M=m+m', 所以振子的固 水平弹簧振子的总质量相当于 有频率为： 有频率为：ω 0 =
2π 2π 6 2 据余弦函数曲线的特点和周期 T = ω 0 = 5π = 5 = 15 1 秒为时间单位， 的图像， 以 15 秒为时间单位，先画 x = 0.2 cos 5π t ' 的图像， 1 然后将x 然后将 轴向左平移 15 即可 x
3 0 1 2 4
5 6 7 8
t(1/15)
9
§9.3 简谐振动的能量
2 解：⑴由题意 A = 4.0 × 10 m , k = 24 4.0 ×10 2
= 6 × 102 Nm 1
E = 1 kA 2 = 1 × 6 × 10 2 × ( 4.0 × 10 2 )2 = 0.48 J 2 2
⑵ x = A 时，E p = 1 kx 2 = 1 × 6 × 102 × ( 2.0 × 102 )2 = 0.12J 2 2 2 E k = E E p = 0.48 0.12 = 0.36 J
d2x dt 2
d 2
l
o
F
+ ω 0 x = 0, ω 0 =
2 2
k m
x
mg
4
§9.2简谐振动的运动学 9.2简谐振动的运动学
㈠简谐振动的运动学方程
动力学方程
d2x dt 2
+ ω 0 x = 0 的解就是运动学方程
2
据常微分方程理论，其解可写为： 据常微分方程理论，其解可写为： = A cos(ω 0 t + α ) x ω0由振动系统本身决 定，α和A由振动的初始条件决定， 由振动的初始条件决定， 由振动的初始条件决定
① 2 + ② 2得：A2 = 4, ∴ A = 2
1 代入① 将A=2代入①,②得： cosα = 2 , sinα = 代入 ② 3 2
, ∴α =
π
3
7
㈢ 简谐振动的矢量表示法
A α
ω0
x
来表示，在任意时刻t， 简谐振动可用以旋转矢量 A来表示，在任意时刻 ，它 在x轴上的投影就是简谐振动的位移 x = A cos(ω 0 t + α ) 轴上的投影就是简谐振动的位移 比较如下两个振动的步调： 比较如下两个振动的步调： x1 = A1 cos(ω 0 t + α 1 ), x2 = A2 cos(ω 0 t + α 2 ) ⑴若 Φ1 Φ 2 = α 1 α 2 = ±2nπ , n = 0,1,2… 则相位相同 ⑵若 α 1 α 2 = ± ( 2n + 1)π , n = 0,1,2… 则相位相反 A2 A2 ⑶一般 α 1 α 2 = α , 0 ≤ | α | ≤ π A2 即超前或落后的角度不大于π 即超前或落后的角度不大于