安徽省黄山市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(理科)Word版含解析

安徽省黄山市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i2．定积分（2x +e x ）dx 的值为（ ）A ．e +2B ．e +1C ．eD ．e ﹣13．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 值为（ ）A ．28B ．32C ．33D ．274．已知直线y=2x +1与曲线y=x 3+ax +b 相切于点（1，3），则实数b 的值为（ ）A ．1B ．﹣3C ．3D ．﹣15．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2+ax +b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程x 2+ax +b=0没有实根B ．方程x 2+ax +b=0至多有一个实根C ．方程x 2+ax +b=0至多有两个实根D ．方程x 2+ax +b=0恰好有两个实根6．曲线y=x 3﹣x +2上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．[，+∞）B ．（，+∞）C ．（﹣，+∞）D ．[﹣，+∞）7．在复平面内，若复数z 满足|z +1|=|1+iz |，则z 在复平面内对应点的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线8．已知数列{a n }满足a 1=2，a 2=3，a n +2=|a n +1﹣a n |，则a 2016=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 乙（如图所示）．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面10．曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c •log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（ ）A ．ac ≥bB ．ab ≥cC ．bc ≥aD ．ab ≤c12．对二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．﹣1是f （x ）的零点B ．1是f （x ）的极值点C ．3是f （x ）的极值D ．点（2，8）在曲线y=f （x ）上二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若i （x +yi ）=3+4i ，x ，y ∈R ，则复数x +yi 的模是______．14．函数y=xe x 在其极值点处的切线方程为______．15．观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n 个等式可为______．16．设a i ∈R +，x i ∈R +，i=1，2，…n ，且a 12+a 22+…a n 2=1，x 12+x 22+…x n 2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是______．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f （x ）=xlnx ﹣x ，求函数f （x ）的单调区间和极值．18．已知如下等式：，，，…当n ∈N *时，试猜想12+22+32+…+n 2的值，并用数学归纳法给予证明．19．近年来，福建省大力推进海峡西岸经济区建设，福州作为省会城市，在发展过程中，交通状况一直倍受有关部门的关注，据有关统计数据显示上午6点到10点，车辆通过福州市区二环路某一路段的用时y （分钟）与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y=．求上午6点到10点，通过该路段用时最多的时刻．20．已知a ＞b ＞c ，求证：．21．已知函数 （1）求f （x ）的单调区间；（2）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a 与b ，恒有．22．已知f （x ）=xlnx ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3．（Ⅰ）求函数f （x ）在[t ，t +1]（t ＞0）上的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣成立．安徽省黄山市2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．2．定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1【考点】定积分．【分析】根据微积分基本定理计算即可．【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．3．数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（）A．28 B．32 C．33 D．27【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．【解答】解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47，∴5﹣2=3，11﹣5=6，20﹣11=9，则x﹣20=12，解得x=32，故选B．4．已知直线y=2x+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3），则实数b的值为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义可得：f′（1）=3+a=2，又3=1+a+b，联立解出即可得出．【解答】解：y=f（x）=x3+ax+b，f′（x）=3x2+a，由题意可得：f′（1）=3+a=2，3=1+a+b，联立解得：a=﹣1，b=3．故选：C．5．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．6．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣，+∞）D．[﹣，+∞）【考点】导数的几何意义．【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣x+2，∴∴曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，故选D．7．在复平面内，若复数z满足|z+1|=|1+iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是（）A．直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi（x，y∈R），代入|z+1|=|1+iz|，求模后整理得答案．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），代入|z+1|=|1+iz|，得|（x+1）+yi|=|（1﹣y）+xi|，∴，即x+y=0．∴z在复平面内对应点的轨迹是直线．故选：A．8．已知数列{a n }满足a 1=2，a 2=3，a n +2=|a n +1﹣a n |，则a 2016=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【考点】数列递推式．【分析】数列{a n }满足a 1=2，a 2=3，a n +2=|a n +1﹣a n |，取值可得：a 3=1，a 4=2，a 5=1，a 6=1，a 7=0，…，数列{a n }从第5项起满足a n +3=a n ．即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=2，a 2=3，a n +2=|a n +1﹣a n |，∴a 3=1，a 4=2，a 5=1，a 6=1，a 7=0，a 8=1，a 9=1，a 10=0，…，∴数列{a n }从第5项起满足a n +3=a n ．则a 2016=a 4+3×670+2=a 6=1，故选：B ．9．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V 甲和V 乙（如图所示）．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【考点】定积分在求面积中的应用；函数的图象．【分析】利用定积分求面积的方法可知t 0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t 0时刻甲在乙的前面；又因为在t 1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t 0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A 正确，B 、C 、D 错误．【解答】解：当时间为t 0时，利用定积分得到甲走过的路程=v 甲dt=a +c ，乙走过的路程=v 乙dt=c ；当时间为t 1时，利用定积分得到甲走过的路程=v 甲dt=a +c +d ，而乙走过的路程=v 乙dt=c +d +b ； 从图象上可知a ＞b ，所以在t 1时刻，a +c +d ＞c +d +b 即甲的路程大于乙的路程，A 正确；t 1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B 错；在t 0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C 错；t 0时刻后，t 1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D 错． 故答案为A10．曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线围成的封闭图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定积分区间，再确定被积函数，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积．【解答】解：令sinx=（0≤x≤π），则∴曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是=（﹣cosx﹣）=﹣cos﹣+cos+=故选D．11．已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c【考点】对数的运算性质．【分析】由对数函数的性质和基本不等式化简已知的方程，再利用对数的运算进行化简，即可选出正确的答案．【解答】解：∵a、b、c均大于1，log a c•log b c=4，∴log c a•log c b=，∴log c a、log c b大于零，则log c a•log c b≤（log c a+log c b）2，即≤（log c a+log c b）2，∴（log c a+log c b）2≥1，∴（log c ab）2≥1，∴log c ab≥1或log c ab≤﹣1，当且仅当log c a=log c b，即a=b时取等号，∵a、b、c均大于1，∴log c ab＞1，解得ab≥c，故选：B12．对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上【考点】二次函数的性质．【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．【解答】解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是5．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|的值．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故答案为：5．14．函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．15．观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为+…+=+…+ ．【考点】归纳推理；数列的概念及简单表示法．【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．∴第n个等式为： +…+=+…+．16．设a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是③⑤．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．【考点】分析法和综合法；反证法．【分析】由题设中的条件对各个结论进行判断，其中①②可用同一方法判断，③⑤两结论分别与①②两结论对立，由①②的正误可判断③⑤的正误，④中包含①，且与⑤矛盾，易判断【解答】解：由题意a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，对于的值中，若①成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2大于1，这与已知矛盾，故①不对；若②成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2小于1，这与已知矛盾，故②不对；由于③与①两结论互否，故③对④不可能成立，的值中有多于一个的比值大于1是可以的，故不对⑤与②两结论互否，故正确综上③⑤两结论正确故答案为③⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=xlnx﹣x，求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．【解答】解：∵f（x）=xlnx﹣x，∴f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴f（x）的增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．∴x=1时，f（x）极小值=f（1）=﹣1．18．已知如下等式：，，，…当n∈N*时，试猜想12+22+32+…+n2的值，并用数学归纳法给予证明．【考点】归纳推理；数学归纳法．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，从中猜想12+22+32+…+n2的值．再用数学归纳法证明，证明时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，命题成立，第二步，先假设当n=k时，原式成立，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：由已知，猜想12+22+32+…+n2=，下面用数学归纳法给予证明：（1）当n=1时，由已知得原式成立；（2）假设当n=k时，原式成立，即12+22+32+…+k2=，那么，当n=k+1时，12+22+32+…+（k+1）2=+（k+1）2==故n=k+1时，原式也成立．由（1）、（2）知12+22+32+…+n2=成立．19．近年来，福建省大力推进海峡西岸经济区建设，福州作为省会城市，在发展过程中，交通状况一直倍受有关部门的关注，据有关统计数据显示上午6点到10点，车辆通过福州市区二环路某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=．求上午6点到10点，通过该路段用时最多的时刻．【考点】函数最值的应用．【分析】利用导数工具分别求出函数值在各段上的最大值点，通过两者最大值得到结果．【解答】解：当6≤t＜9时，y′=﹣t2+3t，由y′=0，得t=0，t=8当6≤t＜8时，y′＞0，当8＜t＜9时，y′＜0，所以在t=8，y max=18当9t＜10时，y′=﹣，当9＜t＜10时，y′＜0，y max=9ln9﹣9，因为9ln9﹣9﹣18=9（ln9﹣3）=9（ln9﹣lne3）＜0，所以f（9）＜f（8），所以通过该路段用时最多的时刻为8时．20．已知a＞b＞c，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由题设条件，a﹣c＞0，由此可将证明的问题转化为证明+≥4，由左边往右边进行变形证明即可，解题过程中要注意理解要证左边大于右边，故可以在变形过程中适当缩小，完成证明【解答】证明：∵ +==4，（a＞b＞c）∴+≥4∴21．已知函数（1）求f（x）的单调区间；（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（3）求证：对任意的正数a与b，恒有．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数f（x）的定义域，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值．（2）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（3）所证不等式等价为，而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，从而得到证明．【解答】解：（1）∵函数∴，由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜0；∴f（x）的单调增区间（0，+∞），单调减区间（﹣1，0）（2），当x=1时，y'=得切线的斜率为，所以k=；所以曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣ln2+=×（x﹣1），即x﹣4y+4ln2﹣3=0．故切线方程为x﹣4y+4ln2﹣3=0（3）所证不等式等价为而，设t=x+1，则，由（1）结论可得，F（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）≥F（1）=0即，记代入得：得证．22．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求函数f（x）在某区间的最小值，先求该函数的导函数，再判断单调性，因为t是参数，要进行分类讨论；（Ⅱ）求实数a的取值范围，2f（x）≥g（x）恒成立，就是求函数的最值问题，（Ⅲ）本题设m（x）=xlnx＞，也是求m（x）=xlnx的最值问题．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，①，即0＜t＜时，f（x）min=，f（x）min=f（t）=tlnt②，即t时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，∴（Ⅱ）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则，设h（x）=2lnx+x+，x＞0，则h′（x）=，①x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤4．（Ⅲ）问题等价于证明xlnx＞，由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当x=时取到，设m（x）=xlnx＞，则，易知，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有都有lnx＞﹣成立．。