上海高中立体几何习题整理
高中立体几何大量习题及答案1
A BCDEFGH I J立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行；④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。
其中假命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是（ ） A ．22B ．21C ．43D ．43 3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为（ ）A ．23B ．32C ．6D ．64. 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0°5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个6. 正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积（ ） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关 C ．与E 、F 、Q 位置都有关 D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（ ） A ．1，2，3 B ．2，4，6 C ．1，4，6 D ．3，6，98. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有（ ） A ．S 1<S 2 B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（ ）CC ．b =222a- D ．b =222a+ 11. 已知向量a =(2，4，x)，b =(2，y ，2)，若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是 ( )12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )A.12πB. 18πC.36πD. 6π13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ) A ．34000cm 3 B ．38000cmC ．32000cm D．34000cm14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )A.1200B.1500 C.1800 D.240015. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )16. 正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．不确定17. 已知三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC ＝1，OA ＝x ，OB ＝y ，若x+y=4，则已知三棱锥O －ABC 体积的最大值是 ( )A.1B.13 C.23 D.318. 如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③④ C ．③④ D ．②④19. S,那么圆柱的体积等于 ( ) A.S 2S B.πS 2S C.S 4SD.πS 4S 20. 已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB=2，CD=1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ( )A ．300B ．450C ．600D ．750(1,1,0)a = (1,0,2)b =- 正视图 侧视图 B A D C A BC DA 1B 1C 1D 1P Q R NM ① ② ③ ④A B C ∙∙∙EF GA B C DA 1B 1C 1D 1 αA A ．1 B ．51 C ．53 D ．57 22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )A.4个B.2个C.3个D.1个23. 三棱锥A-BCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是( )A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形24. 在正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A.BC//平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）A.1：3B.1：2C.1： 3D.1： 3 —126. 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）A. 3 2B. 3 6C. 3 4D. 3 327. 一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1， 6 ,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A.16π B.32π C.36π D.64π28. 在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 、Q 是对角线A 1C 上的点，PQ=a2,则三棱锥P —BDQ的体积为（ ） A.318a 3 B.324a 3 C.336a 3 D.不确定 29. 若三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P 到平面ABC 的距离为（ ）A. 6 6B. 6 3C. 3 6D. 3 330. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A. 3 +2 6 3B.2+2 6 3C.4+ 2 6 3D.4 3 +2 6 331. PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A.12 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 332. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，任作平面α与对角线AC 1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( ) A.S 为定值，l 不为定值 B.S 不为定值，l 为定值 C.S 与l 均为定值 D.S 与l 均不为定值二、填空题33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______．34. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：（ ）①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）35. 如图，已知正三棱柱111ABC ABC -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为.36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有_____对37. 如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的 多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6, CC 1=3.则这个多面体的体积为 .38. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等D 是A 1C 1的 中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为_______ ． 39. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1，P是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是_________． 40. 已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 ___________ ．41. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则三角形的面积S= 12r (a+b+c ) ,根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V=______________．42. 四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）． 三、解答题43. 在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.44. 如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。
(完整版)历年上海高考题(立体几何)
17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1=12AB ·AC ·AA 1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC.∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角. ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴AM=12BC=12×42+22= 5.由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM,∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =55= 5.∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、（2015.上海）如图。
立体几何练习题及解答
立体几何练习题及解答《立体几何练习题及解答》练习一：体积计算题目：一个正方体箱子的边长为3cm，请计算该正方体箱子的体积。
解答：正方体的体积计算公式为边长的立方，即V = a³，其中a为正方体的边长。
代入已知条件，正方体箱子的边长a = 3cm。
则体积V = 3³ = 27cm³。
所以该正方体箱子的体积为27cm³。
练习二：表面积计算题目：一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为4cm，请计算该长方体的表面积。
解答：长方体的表面积计算公式为2ab + 2bc + 2ac，其中a、b、c分别为长方体的三个边长。
代入已知条件，长方体的长a = 5cm，宽b = 3cm，高c = 4cm。
则表面积S = 2(5×3) + 2(3×4) + 2(5×4) = 30 + 24 + 40 = 94cm²。
所以该长方体的表面积为94cm²。
练习三：棱柱的体积计算题目：一个棱柱的底面为边长为5cm的正方形，高为8cm，请计算该棱柱的体积。
解答：棱柱的体积计算公式为底面积乘以高，即V = S × h，其中S为底面积，h为高度。
代入已知条件，棱柱的底面为正方形，边长a = 5cm，高度h = 8cm。
底面积S = a² = 5×5 = 25cm²。
则体积V = S × h = 25 × 8 = 200cm³。
所以该棱柱的体积为200cm³。
练习四：金字塔的体积计算题目：一个金字塔的底边是边长为6cm的正方形，高为10cm，请计算该金字塔的体积。
解答：金字塔的体积计算公式为底面积乘以高再除以3，即V = S ×h ÷ 3，其中S为底面积，h为高度。
代入已知条件，金字塔的底边为正方形，边长a = 6cm，高度h =10cm。
底面积S = a² = 6×6 = 36cm²。
(上海专用)高考数学总复习 专题10 立体几何分项练习(含解析)-人教版高三全册数学试题
第十章 立体几何一．基础题组1. 【2017高考某某，4】已知球的体积为36π ，则该球主视图的面积等于 . 【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ= ，解得：3R = ， 该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ== .2. 【2017高考某某，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D - 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2 ，则1AC 的坐标是 . 【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC 的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =- .3. 【2016高考某某文数】如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）.(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．【考点】异面直线【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等. 4.【2015高考某某理数】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为V Sh =,区别锥的体积13V Sh =；熟记正三角形面积为234a ，正六边形的面积为2364a ⨯. 5. 【2015高考某某理数】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积rl S π2=，圆柱的表面积 )(2l r r S +=π ，圆锥的侧面积 rl S π=，圆锥的表面积)(l r r S +=π ，球体的表面积 24R S π=，圆锥轴截面为等腰三角形.6. 【2014某某,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos3.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.7. 【2014某某,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于.【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为2(51)324⨯-⨯=. 【考点】三视图，几何体的体积..8. 【2013某某,理13】在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为241y π-＋8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．【答案】2π2＋16π9. 【2013某某,文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r ＝______.3【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r=10. 【2012某某,理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．【解析】如图，由题意知21π2π2l =， ∴l =2.又展开图为半圆，∴πl =2πr ，∴r =121π33V r h == 11. 【2012某某,理14】如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是__________．【答案】23【解析】如图：当AB =BD =AC =CD =a 时，该棱锥的体积最大． 作AM ⊥BC ，连接DM ，则BC ⊥平面ADM ，21AM a =-，21DM a =-. 又AD =2c ，∴221ADM S c a c ∆=--. ∴V D －ABC =V B －ADM +V C －ADM =22213c a c --. 12. 【2012某某,文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________． 【答案】6π【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.13. 【2011某某,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______． 【答案】3π3【解析】14. 【2011某某,文7】若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．【答案】3π 【解析】15. 【2010某某,理12】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】823【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案82. 【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手. 16. 【2010某某,文6】已知四棱椎P —ABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝8，则该四棱椎的体积是________． 【答案】96【解析】底面正方形的面积S ＝62＝36， 又∵PA ⊥底面ABCD ，PA ＝8， ∴V P —ABCD ＝13×S ×PA ＝13×36×8＝96.17. (2009某某,理5)如图,若正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)【答案】5arctan18. (2009某某,理8)已知三个球的半径R 1,R 2,R 3满足R 1+2R 2=3R 3,则它们的表面积S 1,S 2,S 3满足的等量关系是_____________. 【答案】32132S S S =+【解析】由题意S 1=4πR 12,S 2=4πR 22,S 3=4πR 32, 则S 1S 2=16π2（R 1R 2)2,∴ππ4162122121S S S S R R ==.又∵32213R R R +=,∴2213)32(4R R S +=π =)44(94212221R R R R ++π =)4164(912121ππS S S S •++ =)44(912211S S S S ++=221)4(91S S + =221)2(91S S +. ∴21323S S S +=.19. (本题满分14分)(2009某某,理19)如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.【答案】3π 【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2),设AC 的中点为M, ∵BM ⊥AC,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面A 1C 1C,即BM =(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量. 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n=(x,y,z).C A 1=(-2,2,-2),11B A =(-2,0,0),∴n ·11B A =-2x=0,n ·C A 1=-2x+2y-2z=0, 令z=1,解得x=0, y=1. ∴n =(0,1,1),设法向量n 与BM 的夹角为φ，二面角B 1-A 1C-C 1的大小为θ，显然θ为锐角. ∵cosθ=|cosφ|=21||||||=•BM n BM n ,解得3πθ=, ∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为3π. 20. (2009某某,文6)若球O 1、O 2表面积之比421=S S ,则它们的半径之比21R R=__________. 【答案】2【解析】由4442221222121===R R R R S S ππ,得221=R R . 21. (2009某某,文8)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________. 【答案】38π【解析】由题意可知,该几何体是底面半径r=2,高h=2的圆锥, 则其体积38312ππ==h r V . 22. (2009某某,文16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（ ）【答案】B【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形B 符合题意.23. 【2008某某,理16】(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示24. 【2007某某,理10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。
上海市上海中学立体几何多选题试题含答案
上海市上海中学立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（ ） A ．若13A P =，则满足条件的P 点有且只有一个 B ．若12A P =，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B DC ，则1A P 长的最小值为2D ．若12A P =且1//A P 平面11B DC ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π 【答案】ABD【分析】选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 长的最大值为2；结合以上条件点P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出63r =，进而求出面积. 【详解】对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C满足，故A 正确；对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上，在底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上，则1A P 长的最大值为12A B =，则C 不正确； 对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 60333A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选：ABD【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，d 为球心到小圆距离）；（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.2．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32 C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF平面MOF l =，则有//l AB 【答案】AD【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ；【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OMOF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A ，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（ ）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点M 10D ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM 平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时221335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，223110EF =+=，故梯形1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM 平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF D F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确；故选：BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD 选项，通过//BM 平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 为球心，6为半径的球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）A ．11//A D 平面EFGHB ．1AC ⊥平面EFGHC ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7【答案】ACD【分析】如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否.【详解】如图，连接OA ，则2115OA AA =+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点. 同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为26>BC 与球面没有交点. 因为正方体的棱长为2，而26<球面与正方体1111ABCD A B C D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ，同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面.由正方体1111ABCD A B C D -可得11//A D BC ，故11//A D EF因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确.因为在直角三角1BA C 中，122A B =，2BC = ，190A BC ∠=︒， 1A C 与BC 不垂直，故1A C 与GH 不垂直，故1A C ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误. 由正方体1111ABCD A B C D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥，因为EF EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒，故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱，其体积为111212⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A B C D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.5．如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为26的正三角形，底面ABCD 为矩形，23CD =，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC 所成角的余弦值为223C ．三棱锥B ACQ -的体积为62D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为3【答案】BD【分析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，则由已知可得OP ⊥平面 ABCD ，而底面ABCD 为矩形，所以以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量依次求解即可.【详解】解：取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD的中点，所以)2Q ， 平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线， 所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,22PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则 36022260n AQ x zn AC ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令=1x ，则y z ==， 所以(1,2,n =-，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PCn PC θ⋅===， 所以cos 3θ=，所以B 正确； 三棱锥B ACQ -的体积为1132BACQ Q ABC ABC V V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为(0,3,)M a ，则MQ MD =， 所以()()()22222263236322a a ⎛⎫⎛⎫++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即(0,3,0)M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为22x ，所以222362x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，得224x =， 所以正四面体的表面积为2342434x ⨯=，所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查线面垂直，线面角，棱锥的体积，棱锥的外接球等知识，综合性强，考查了计算能力，属于较难题.6．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直D ．四边形1BFDE 2【答案】BD【分析】由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确.【详解】如图所示,对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E平面11ABB A BE =,平面1BFD E 平面111CC D D D F =, 所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误;对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥,又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D ,当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时,有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D ,又因为EF ⊂平面1BFD E ,所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD ,当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值,此时1212S D E BE =⋅=,故D 正确;故选:BD.【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.7．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）． A ．棱的高与底边长的比为22 B ．侧棱与底面所成的角为4π C 2D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=- 令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增 所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO =所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.8．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π【答案】BD【分析】对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断； 对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.【详解】如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =， 对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠， 整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.。
2019年上海高中数学 强化训练 立体几何2
侧视图正视图俯视图b ba a a a2019年上海高中数学 冲刺强化：立体几何类型一：三视图1、下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ ）A ．32πB ．23πC ．43πD ．34π 2、用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与153、一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．4．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形， 该三棱柱的左视图面积为（ ）.A. 4B. 32C. 22D.35、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 （ ）A ．4πa 2B ．3πa 2C ．(5+2)πa 2D ．(3+2)πa 2正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形侧视图： 半径为1的14圆以及高为1的矩形俯视图： 半径为1的圆俯视图主视图 _ B _1_ A _1_ B_ A_ B _1 _ A _1 _ B _ A正视图俯视图正视图 2a a 2a a R=a 侧视图 俯视图6、已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．7、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是__________________cm 38、四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积 为9、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S10、用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．9 11、某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视 图如右图示（单位长度：cm ，图中水平线与竖线垂直）， 则制作该工件用去的铁皮的面积为 2cm ． （制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）12、如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．①②③俯视图左视图主视图aa a D C B A13、如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）14、如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是（ ）15、已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A -ED -B 的正弦值； （3）求此几何体的体积V 的大小.16、如图是一个简单的组合体的直观图与三视图.下面是一个棱长为4的正方体，正上面放一个球，且球的一部分嵌入正方体中，则球的半径是( ) A. 12 B.1 C.32 D.217、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为ABCD1111直观图18、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．19、一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 .20．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12题型二：求量：1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则过棱1AA 和BC 的中点P 、Q 的直线与球面交点为M 、N ，则M 、N 两点间的球面距离为 （ ）A ．3π B ．2πC ．23arccos3 D ．1arccos()6-2．在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G 分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 3．在直三棱柱111A B C ABC -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为 A. 1, 15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. )1, 2⎡⎣ D. 1, 25⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.5．如图，四面体DABC 的体积为61，∠ACB=45°，22=++AC BC AD ，则CD=_________。
上海高三上立体几何知识梳理（考点提要）
上海高三上立体几何知识梳理（考点提要）第一篇：上海高三上立体几何知识梳理(考点提要)立体几何题型梳理一、判断题1、平面分空间2、确定平面个数问题3、找异面直线对4、线线、线面、面面位置关系的确定二、证明题1、共面问题2、异面直线的证明（反证法）3、等角定理证全等4、空间线线（1）线线平行问题的判定a∏b⎫①⎬⇒a∏c；②同一平面内，不相交；③线面平行⇒线线平行；b∏c⎭④面面平行⇒线线平行（2）线线垂直问题的判定a⊥l⎫①定义法（所成角为90）；②⎬⇒b⊥l；③线面垂直⇒线线垂直； a∏b⎭ο5、空间线面（1）线面平行① 定义法（l⋂α=φ）；②线线平行⇒线面平行；③面面平行⇒线面平行；（2）线面垂直①定义法；②线线垂直⇒线面垂直6、空间面面面面平行① 定义法；②线面平行⇒面面平行三、计算题1、求角问题（1）异面直线所成角（2）线面角（3）二面角的平面角2、求距离问题（1）异面直线距离；（2）点线距离；（3）点面距离；(4)线面距离；（5）面面距离。
3、作图题（1）点、线、面关系图；（2）截面画法、交线画法；（3）空间四边形画法；（4）平面图形的直观图画法，直棱柱、正棱锥直观图画法。
第二篇：立体几何知识点梳理1.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；m、n⊂α，m I n=A⎫2判定定理1：()⎬⇒l⊥α；l⊥m，l⊥n⎭(3)判定定理2：α∏β，a⊥α⇒β⊥α；(4)面面平行的性质：α∏β，a⊥α⇒α⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，αIβ=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.2．证明线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b//α⇒a⊥b.3．证明面面垂直的方法判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.4、垂直关系的转化判定判定∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏线线垂直线面垂直面面垂直性质性质∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏∏在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．5．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．第三篇：立体几何考点解析几何每次和同学们谈及高考数学，大家似乎都有同感：高中数学难，解析几何又是难中之难。
上海高中立体几何习题整理
_____________DE C A BC E D C B A -ABCD .111111角的大小为所成与边中点，则直线为中，的正方体在棱长为a________________PAB PC 60P ,,.2所成角的余弦值是与平面，那么直线条射线的夹角均为出发的三条射线，每两是从点︒PC PB PA _____________D ABC E B A E 1D C B A -ABCD .311111111距离是的到平面的中点，则是，的棱长为正方体所成的角与求异面直线中点是中，已知长方体E B AO BC E 2,CC 3,AB 2,OA O C B A -ABCO .41111111===所成角的大小。
与求异面直线且，，，平面，平面三棱柱111111111AO B A ,3OA 2,OO OB 90AOB 60OB O OAB O OBB B A O -OAB .5===︒=∠︒=∠⊥所成角的大小；与平面）求（；，证明：）连接（，，平面，所在平面外一点的正方形已知边长为ABCD PB 2AC PB AC PB,18PD ABCD PD P ABCD 6.6⊥=⊥AA 1OABO 1A 1B 1A BCDP______________D A AC 2AB 1,AD AA D C B A -ABCD .1111111角的余弦值等于所成与，则直线中，已知长方体===____,,,,.2的位置关系一定是与，则直线且满足异面直线b a l l b a b a =⋂⊂⊂βαβα_____________.3的取值范围是，则为设两条异面直线所成角θθ_____________CD AB ,3EF BD AC,F E,2CD AB ABCD .4所成的角为与则的，且分别是，中，在四面体===_______________BD AC EFGH DA CD,BC,AB,H G,F,E,ABCD .5满足的条件是与正方形，则是的中点，若分别是中，在空间四边形ββααβαββααβα⊂=⋂⊥⊥a b a b a a b a 且且且且）的一个充分条件是（表示直线，则表示平面，，//D.;b//C.a//b ;//B.;A.//,.6（多面体）____________5308cm 6.1面积为，则全，侧棱长为，夹角为，长分别为若直平行六面体底面边cm cm ︒___________56034.2该三棱柱的侧面积为，则为，相邻两侧棱之间距离，侧棱与底面所成角为斜三棱柱的高为︒___________,43.3的正四棱锥的体积为，底面边长为侧棱长为cm cm角形。
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_____________DE C A BC E D C B A -ABCD .111111角的大小为所成与边中点，则直线为中，的正方体在棱长为a________________PAB PC 60P ,,.2所成角的余弦值是与平面，那么直线条射线的夹角均为出发的三条射线，每两是从点︒PC PB PA _____________D ABC E B A E 1D C B A -ABCD .311111111距离是的到平面的中点，则是，的棱长为正方体所成的角与求异面直线中点是中，已知长方体E B AO BC E 2,CC 3,AB 2,OA O C B A -ABCO .41111111===所成角的大小。
与求异面直线且，，，平面，平面三棱柱111111111AO B A ,3OA 2,OO OB 90AOB 60OB O OAB O OBB B A O -OAB .5===︒=∠︒=∠⊥所成角的大小；与平面）求（；，证明：）连接（，，平面，所在平面外一点的正方形已知边长为ABCD PB 2AC PB AC PB,18PD ABCD PD P ABCD 6.6⊥=⊥AA 1OABO 1A 1B 1A BCDP______________D A AC 2AB 1,AD AA D C B A -ABCD .1111111角的余弦值等于所成与，则直线中，已知长方体===____,,,,.2的位置关系一定是与，则直线且满足异面直线b a l l b a b a =⋂⊂⊂βαβα_____________.3的取值范围是，则为设两条异面直线所成角θθ_____________CD AB ,3EF BD AC,F E,2CD AB ABCD .4所成的角为与则的，且分别是，中，在四面体===_______________BD AC EFGH DA CD,BC,AB,H G,F,E,ABCD .5满足的条件是与正方形，则是的中点，若分别是中，在空间四边形ββααβαββααβα⊂=⋂⊥⊥a b a b a a b a 且且且且）的一个充分条件是（表示直线，则表示平面，，//D.;b//C.a//b ;//B.;A.//,.6（多面体）____________5308cm 6.1面积为，则全，侧棱长为，夹角为，长分别为若直平行六面体底面边cm cm ︒___________56034.2该三棱柱的侧面积为，则为，相邻两侧棱之间距离，侧棱与底面所成角为斜三棱柱的高为︒___________,43.3的正四棱锥的体积为，底面边长为侧棱长为cm cm角形。
）三个侧面都是等边三（）三条侧棱两两垂直；角形；（）三个侧面都是等腰三）三条侧棱长相等；（（的有要条件棱锥成为正三棱锥的充角形，下列条件中使三已知三棱锥底面是正三4321_______________.4__________63412.5，则棱锥的高等于，底面边长为正四棱锥的侧面积等于 ______2420.62是，则长方体的对角线长，所有棱长的和为长方体全面积是cm cm 三角函数表示）所成角的大小。
（用反与，求，，，，平面中，三棱锥CD AB BC 90ACB 45BAC 30DAB ABC DB ABC -D .7a =︒=∠︒=∠︒=∠⊥求三棱锥的体积，，且中，在三棱锥555BC AC ,90ACB SAC SAB ABC -S .8===︒=∠=∠=∠SB解析几何：直线练习()()()____________132,1.3________1,2.2_____________063.1的垂直平分线的方程，则线段，，已知点的方程距相等，则直线，且在两坐标轴上的截经过点直线的一个法向量直线AB B A l A l n y x --==+-()()()()()()()()()_______________2134.7_________3,14,4,2,1.6___015110211.5________12.42垂直的直线方程，且和向量，直线经过点方程平行的直线的点方向式且与，则过点已知平行，则实数与已知直线的方程是，则直线，上的射影是点若坐标原点在直线-=----==--+-=-+-+-P B A a y a x a a y x a l M l _____________013202.8==++=++a y x ay x 互相垂直，则和若直线_______06.9221角大小为的两根，则两直线的夹的斜率是方程与若=-+x x l l()_________3233033.1021的方程的直线，且经过点的夹角为：与直线l y x l π=+-()_________05322,1.11的方程且垂直于直线，则过点：，直线已知点l P y x l P =++SACB()()的方程。
对称的直线：关于直线：求直线以上都不对或或）的取值范围（的两侧，则在直线，和，若点2101220123.13.247.247.247.0236413.12l y x l y x l D a a C a B a a A a a y x =+-=+-=-=<<->-<=+--圆锥曲线（1）：()()()________________24.7__________21.6______________30,1,2.5_________104.4____________________9023023.32222截得的线段的长是被抛物线直线的值是实数恰好有一个公共点，则与曲线已知直线的轨迹方程是，则顶点，点已知等腰三角形底边端的轨迹方程是中点，则线段上的动点和曲线，已知定点的轨迹方程是则点，的距离的平方之和等于，的距离的平方与到点，到点动点x y x y a x y ax y A C B P AB B y x A P B A P =+==-=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-.______________16)3()1(.15._____________)13(.14._______)0(01sin cos .1322222对称的圆的方程是关于直线圆轴相切的圆的方程是并与，轴上，且过圆心在的位置关系是与圆直线x y y x x y a a y x a y x ==++->=+=+++θθ圆锥曲线（2）._________132.2.______||12||||1925.12222212221的取值范围是轴上的椭圆，则表示焦点在方程，则两点，若，的直线交椭圆于的两个焦点，过为椭圆，已知m y y m m x AB B F A F B A F y x F F =+-==+=+ ._____________3.4.____41210.322，则椭圆的方程为为到椭圆上点的最短距离形，焦点两焦点组成一个正三角轴，短轴的一个端点与若椭圆的对称轴为坐标，则轴上，若焦距为，长轴在已知椭圆==-+-m y m y m x )55(0.)55(0.11625.11625.)(10)50()50()(.5222221≤≤-=≤≤-==+=+-x y D y x C x y B y x A M A A y x M 的轨迹方程是，则点的距离之和为，、，到两定点，动点.________)23(11636.622程为，则此弦所在的直线方，的弦的中点为椭圆P y x =+.____________11625)13(.722的值为轴上，则倾斜角轴或中点在的两点，若弦、于交椭圆的直线作倾斜角为，过点ααy x AB B A y x l P =+- .__________||6||||4.8的取值范围是的中点，则是，内的一个动点，且是平面的一条线段，内长度为是平面PM AB M PB PA P AB =+αα.______||||14.9212221的最大值为在椭圆上，则的左、右焦点，点分别是椭圆、已知PF PF P y x F F ⋅=+.________15)(1.1022值范围是的取总有公共点，则轴上的椭圆与焦点在若直线m my x x R a ax y =+∈-=.______________)0()0()0(11.11212122的取值范围垂直，则实数与使得，，且椭圆上存在一点，，与，的两个焦点是设椭圆m PF PF P c c F c F y m x >-=++()___________51019.12222的值为则，渐近线的距离为的一个顶点到它的一条已知双曲线m m x m y >=-()()______________20,3,0,3.13的轨迹方程为，则点，若已知P PB PA B A =-- _____________________________________03694.15______________121.142222渐近线方程为，，焦点坐标的实轴长为双曲线的取值范围是表示双曲线，则实数方程=+-=---y x m m y m x ____________6441622的双曲线方程是轴长为有相同的渐近线，且实与双曲线=-y x 条件表示双曲线”的”是“方程，则“若轴上的等轴双曲线焦点在轴上的椭圆焦点在轴上的等轴双曲线焦点在轴上的椭圆焦点在）所表示的曲线是（时，方程当的周长为则，为右焦点，的弦，若为左支上过左焦点，双曲线的实轴长为的值为的焦点相同，则与双曲线椭圆_________1333.20....0.19___________2.18_________1319.17222222122222=+-->∈=-<⋅∆==-=+k y k x k R k x D x C y B y A b ay ax b a ABF m AB F F AB a k y k x k y x .6||2021的轨迹方程，求点，且，周长为：已知A BC ABC =∆()轨迹方程。
的相外切，求动圆圆心：相切且与定圆与定直线动圆M y x C y M 132.2222=++=的大小。
，求在双曲线上，又是双曲线的焦点，点）设（标和渐近线方程；）求该双曲线的焦点坐（已知双曲线2121212232,211169.23PF F PF PF P F F y x ∠=⋅=-()的坐标。
取最小值时，求点当，，设，为抛物线上一动点，点的焦点，点为抛物线设P S PF PA S A P x y F +==232.242).23()16()3()33(181)2(12)04()04()1(.2521222121---=+∆-，，，经过两点；，点有相同的焦点，且经过与椭圆；面积的最大值为在椭圆上，，点，、，两焦点为的标准方程：根据下列条件求椭圆P P P y x F PF P F F。