保险精算学生存年金精算现值
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保险精算课件 第4章生存年金
推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
公式二：
1iaxiAxAx
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
现值 i a x 和死亡年年末i元利息的现值 i A x 。
例：对于(30)的从60岁起每月500元的生存 年金，预定利率为6%。根据附表1，计算 保单的趸缴净保费。
例：某保单提供从60 岁起每月给付500元的生存 年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年 末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人购 买了这种保单，根据附表2的资料，求这一生存年 金的精算现值。
1da A
x:n
x:n
1a A
x:n
x:n
ax vax Ax
a va A1
x:n
x:n
x:n
例：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付 年金额为2000元的生存年金，利率i=6%， 试求死亡均匀分布假设下终身生存年金的精 算现值（已知 A35 0.11156）.
提示：利用公式 1ax Ax
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
ax kEx vkk px
n1
n1
a x:n
kEx
第五章年金的精算现值
P(ax
aT )
P(1vT
15.38)
P(vT 0.23)1
0.05
P(e0.0T 5 0.23)1P(T2.93)1 2.9310.01e50.01td5 t 0
0.3557
二、n年定期生存年金
ax:n
n 0t
pxvtdt
例 2：已 x 知 1-x,计算 当 100,0.0x5 3, 时 0 ，
解:
ax
0
t
pxvtdt
0
et
t
.e 0xsd
s
dt
0
e0.06t.e0.04tdt
0
e0.1tdt
b
lim b 0
e0.1tdt
lim( 1 e0.1t b 0.1
)|b0
10
例2：设余 T的命 概率密度 f(t函 )0.数 01－0为 5.0e1(5tt 0)利 , 息
－－
第5章 年金精算现值
第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的定义：
以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月） 支付一次保险金的保险类型
二、生存年金的分类：
1、按交保险费的方法分类：趸缴年金和年缴年金 2、按被保险人数分类：个人年金和联合年金 3、按给付年金的额度分类：定额年金和变额年金 4、按给付开始的日期分类：即付年金和延付年金 5、按给付期间分类：终身年金、期间保证年金、定期年金
Ax:mAx:mn
Y的方差
1、终身生存年金
VaYr
2Ax(Ax 2
)2
2、n年定期生存年金
VarY2(ax :n2 ax:n)(a x:n)2
3、延期n年的终身生存年金
保险精算学生存年金精算现值
2.a x:n
a x:n
1
n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm
m
px
a xm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n m ax a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
1 vpx vt t px1 1 vpxax1 t 1
可以一直递推下去，而求出ax。
等价表达式：
ax 1 vax1 vqxax1 直观的解释：对(x)的终身生存年金趸缴净保费等于在x岁上规定 的1单位元给付加上x 1岁上的趸缴净保费在x岁上的值,再减去在 x x 1岁因死亡不能得到将来的ax1的部分. 对年龄x k,上式可以写成 :
6.2 生存年金精算现值
• 纯粹的生存保险 • 年付一次生存年金的精算现值 • 生存年金与寿险的关系 • 年付m次生存年金的精算现值 • 变额生存年金 • 生存年金的递推公式
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
N xn1
m 1 2m
Dxn
Dx
a(m)
nx
n
ax
m 1 2m
n
Ex
Nxn
m 1 2m
Dx
n
Dx
P123 eg6.10，6.11
6.2.5 变额生存年金
Ia x
k
k 0
1 vk
保险精算学年金的精算现值
年缴m次年纯保费（全期缴费）
年缴m次年纯保费（限期缴费）
6.4 营业保费
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付 外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出 统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益 来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、 合同成立后的维持费、投资费用等
保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散， 缴费也离散） 厘定过程：
6.2.2 各种寿险的年缴纯保费
完全离散型年缴均衡纯保费（全期缴费）
完全离散型年缴均衡纯保费（限期缴费）
6.2.3 半连续型寿险的纯保费
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
ax
a x:n
n Exaxn
k n
延期m年的n年定期生存年金
k nm1
m| ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
k m
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险精 算现值之间的关系
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
终身生存年金 定期生存年金 延期n年的终身生存年金
5.2.3 年金的精算累积值
5.3 离散型生存年金
简介：
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金 的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
保费的构成
6.1 全连续型寿险的纯保费
寿险精算第六章生存年金
6.2.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
a&&x k Ex vk k px
k 0
k 0
Dxk D k0 x
Nx Dx
它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险之和
(1) 1 1 (1 i)n lx
n Ex vn n px
lxn
(2)
n Ex t Ex nt Ext
t Ex 1 E E n x nt xt
也叫精算累积因子和精算折现因子。
年龄
x
n Ex
1 现时值
t Ex
x+t
E nt xt
E nt xt n Ex
1
x+n
1
1 n Ex
1 E nt xt
提示：利用公式
ax
1 vt f (t) d t
0
答案：15.38
2.连续定期生存年金
n
(1)
a x
：n
0
a t
t
px
xtd t
n
px
a n
(2)
a x:n
n 0
vt
t
pxdt
例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05 , 试计算精算现值 a 50 :10
提示：利用公式
岁起以生存为条件得到年金。如果年金每年支 付一次，一次支付6000元，预定利率为6%， 计算保单的趸缴净保费。
等额年金计算基数公式
险种
终身生存 年金
定期生存 年金
保险精算学-生存年金(2)
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
Байду номын сангаас
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
以终身寿险为例，
E (vT ) E (v K 1 ) E (v S 1 ) Ax Ax v s 1ds
0 1
i
Ax
例6.4（例6.3续）
已知个体(x)的未来生存时间T的密度为
1 , 0t fT (t ) t 0, 其他 100, 0.05, x 30
t
t
x t px e
s ds
xt
e t
综合支付技巧 t 1 v 0.04 ax p dt (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 t x x t 0 0.06 0
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
t 0 0 70 70 0.05 t
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30
1 0.277 14.458 0.05
例4.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
第六章 生存年金
第三节
连续生存保险
简介
中国精算师《寿险精算》章节题库-生存年金的精算现值(圣才出品)
第3章生存年金的精算现值1．设（50）岁的人以50000元的趸缴纯保费购买了每月给付k元的生存年金。
假设年金的给付从购买年金后的第一个月末开始，预定年利率i=0.005，死亡满足UDD假设，而且50=13.5 ，≈1，β12=-0.4665，则k的值为（）。
[2008年真题] A．322B．333C．341D．356E．364【答案】A【解析】每月的年金精算现值为：由×12=50000 ，解得：k=322。
2．设死亡力为μ=0.06，利率力为δ=0.04，在此假设条件下，则超过的概率为（）。
[2008年真题]A．0.4396B．0.4572C．0.4648D．0.4735E．0.4837【答案】C【解析】由已知，得3．根据以下条件计算=（）。
[2008年真题]A．1.6B．1.8C．2.0D．2.2E．2.4【答案】D【解析】由已知，有4．支付额为1的期初生存年金从95岁开始支付，其生存模型为：已知i=0.06，以Y表示该年金的现值变量，则E（Y）和Var （Y）分别为（）。
[2008年真题]A．2.03；0.55B．2.03；0.79C．2.05；0.79D．2.05；0.55E．2.07；0.79【答案】A【解析】由i=0.06，得：v=（1＋i）-1=1.06-1。
5．考虑从退休基金资产中支付的期初年金组合：已知i＝6%，只要年金领取人活着，每个年金的年支付额是1，若正态分布95%的分位数是1.645，则退休基金负担现值为（）。
A．480B．481C．483D．485E．487【答案】C【解析】设支付的随机变量为Z，退休基金为P，则故。
6．考虑（90）的期初年金，每次年金支付额为1，生存模型为：已知利率i＝0.06，则=（）。
A．1.8B．1.9C．2.0D．2.1E．2.2【答案】C【解析】由于7．。
A．0.085B．0.125C．0.600D．0.650E．0.825【答案】D【解析】8．已知α（12）＝1.000281，β（12）＝0.46811951，=9.89693，假设死亡均匀分布。
保险精算课程四(生存保险现值)
第五章 精算现值的计算
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
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显 然 ， m a x a m－ １ x
m
ax
a
－
x
a
x：m
（给出实际解释）
在概率的角度下，上述结论如何得到？是什么样？
一些公式
1.n ax vn n pxaxn n Exaxn
2.a x:n
a x:n
1 n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm m pxaxm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
0
Y
a K 1
a n
amn
a n
0K n n K mn
K mn
mn1
nm ax E Y
a a
k 1
n
k qx
a mn
a n
nm px.
k n
期末付延期n年，定期m年生存年金给付精算现值的结论是什么
样的？
4、延期终身生存年金
用 n ax表 示 某 x岁 人 投 保 一 延 期 n年 进 入 年 金 给 付 ， 每 年 末 给 付
M x v N x N x1
Dx
Dx Dx
Ax vax ax 1 dax 即1 dax Ax
实 际 意 义 是 ?从 概 率 的 角 度 怎 么 证 ？
经 过 变 换 ： Ax 1 dax 实际意义是？
类似地,有
1 da A1
x:n
x:n
d
n ax
A1 x:n
Ax
A va a
x:n
x:n
x:n 1
期末生命年金的现值。
a x:n
n t 1
t Ex
1 Dx
n
Dxt
t 1
1 Dx
t 1
Dxt
Dxnt
t 1
1
Dx
N x1 N xn1
用 a 表 示 某 x岁 人 投 保 一 定 期 n年 ， 每 年 年 首 得 到 给 付1单 位 元 的 x:n
期首生命年金的现值。我们有，
a x:n
m t 1
E nt x
1 Dx
m
Dxnt
t 1
1 Dx
t 1
Dxnt
t 1
Dxmnt
1
Dx
N N xn1
x m n1
n m ax
m 1 t0
E nt x
1 Dx
N xn N xmn
显 然 ， n m ax a n1 m x
从概率的角度看：
期首付延期n年，定期m年生存年金给付精算现值是随机变量设 为Y，即
１
单
位
元
的
延
期
终
身
生
命
年
金
的
现
值
； n
a
x
表
示
某
x岁
人
投
保
一
延
期
n年 进 入 年 金 给 付 ， 每 年 年 首 给 付 １ 单 位 元 的 延 期 终 身 生 命 年 金
的现值．
m ax
t 1
E m t x
1 Dx
Dxmt
t 1
1 Dx
N xm1
1
m a x t 0 E m t x D x N x m
基本类型
终身年金 定期年金 延期年金 期首年金与期末年金
1、终身生存年金
年 金 的 支 付 以 被 保 险 人 生 存 为 条 件 ， 没 有 期 间 限 制 ， 称 为 终 身 生 命 年 金 。
（1）用ax表示某人x岁开始投保，支付年金的时间是每年年末，金额 1单位元的生命年金现值。
（2）计算ax ,
如下公式:
1 dax Ax
证 明 :由 于
C x v x 1d x v x 1 l x l x 1
M x C x t v x t 1 l x t l x t 1
t0
t0
vD xt D xt1 vN x N x1
t0
把 上 式 两 端 同 时 除 上 Dx,
Y
a K a
n
1
0K n K n
n 1
n 1
a E Y x:n
a k 1
k
qx
a n
k
qx
a k 1
k
qx
a n
n
px.
k0
kn
k0
期末付定期生存年金给付精算现值是随机变量Y满足：
Y
a K
a n
0K n K n
n 1
a x E Y
a k
qx
a n
n
px.
k0
可以证明两种推理方法和结论是等价的，如何证？
3、延期定期生存年金
用 n m ax表示某x岁人投保一延期n年进入年金给付，定期m年每年末
给
付
１
单
位
元
的
延
期
生
命
年
金
的
现
值
； nm
a
x
表
示
某
x岁
人
投
保
一
延
期
n年 进 入 年 金 给 付 ， 定 期 m年 每 年 年 首 给 付 １ 单 位 元 的 延 期 生 命 年 金
的现值．
n m ax
ax
t Ex
t 1
t 1
Dxt Dx
1 Dx
Dxt
t 1
N x1 Dx
（3）ax表示x岁人投保终身生命年金保险而在每年年首得到支付1
单位元的现值。
（2）计算ax，
ax
t0
t Ex
1 ax
1
N x1 Dx
Dx
Nx1 Dx
Nx Dx
从概率的角度看：每年一次的生存年金是在被保险人整 值余寿期间定期确定的年金，生存年金的精算现值是依赖于 被保险人整值余寿的期望值。
Let x的整值余寿为K,期首付终身生存年金是在K 1年内定
期确定年金a 的期望，即 K1
ax E
a K1
a k1
k
qx
k0
期末付终身生存年金是在K年内定期确定年金a 的期望，即 K
ax E
a K
a k
k qx
k0
可以证明两种推理方法和结论是等价的，如何证？
2、定期生存年金
用 a 表 示 某 x岁 人 投 保 一 定 期 n年 ， 每 年 末 得 到 给 付1单 位 元 的 x:n
5.ax ax 1
6.a 1 a
x:n
x:n1
7.n ax n ax n Ex
8.n max a n1m x
and
n ax vn n pxaxn n Exaxn
ax
a x:n
n
ax
P116，eg6.6，6.7，6.8，6.9。
6.2.3 生存年金与寿险的关系
定理：对于终身寿险现值与年首给付生存保险现值的关系有
保险精算学生存年金精算现值
6.2.1 纯粹的生存保险
生存保险是以被保险人生存为给付条件的保险，纯粹的 生存保险是在约定的保险期满时，如果被保险人存活将得到 规定的保险金额的保险。
纯粹的生存保险是指被保险人在保险合同签订的时间期 满存活，将得到合同规定的保险金。
假设（x）投纯粹的生存保险，保期为n年，如果n年后 仍存活，将得到1单位元的保险金，求这一保险在投保时的 现值。
1 1Ex
2 Ex 3Ex
E n 1 x
1
a x:n 1
1 N x1 N xn Dx N x1 N xn N x N xn
Dx
Dx
Dx
从概率的角度看：
Let x的 整 值 余 寿 为 K ,期 首 付 定 期 n年 生 存 年 金 给 付 精 算 现 值 是
随 机 变 量 ， 设 为 Y， 即