高中数学 专题10 10月第三次周考(第五章 数列)测试卷

专题10 10月第三次周考（第五章 数列）测试时间： 班级： 姓名： 分数：试题特点：为配合一轮复习,精选2017年全国地高考试题和模拟试题,结合江苏高考的考情和实际,进行合理的组合与精心改编,重在检测数列一章的基础知识和基本方法.试题具有针对性强、覆盖性广、效度和信度高等特点.本套试卷重点考查数列及等差数列和等比数列两类特殊数列等知识的综合运用。

在命题时，注重考查这一章内容的基础知识和基本方法；并特别注重考查知识的交汇和数学思想方法的理解和运用等。

讲评建议：评讲试卷时应注重对数列等差数列等比数列的概念的理解和诠释，对基本方法和数学思想方法的运用,特别对一些易错的问题要重点讲评剖析其错因，评讲时要予以应高度重视。

一、填空题（每题5分,共70分） 1. 已知数列{}n a 满足，则2017a =_____________【解析】∵数列{}n a 满足∴数列{}n a 是周期为3的周期数列，∵201736721=⨯+，∴2．数列{}n a 满足：11n n a a λ+=-（n *∈Ν,λ∈R 且0λ≠）,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于. 【答案】23. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,23n n a a S +==+，则通项n a =_________ 【答案】2*1,153,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⨯≥∈⎩【解析】123n n a S +=+,()1232n n a S n -∴=+≥可得12n n n a a a +-=,即()132n n a a n +=≥,∴数列{}n a 从第二项起是公比为3的等比数列, 25a =,2*1,1{53,2,n n n a n n N-=∴=⨯≥∈4．已知数列{}n a 中， 1a a =， 22a a =-， 22n n a a +-=，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()0,1【解析】数列{}n a 中， 1a a =， 22a a =-， 22n n a a +-=，由22n n a a +-=可知数列奇数项、偶数项分别递增，若数列{}n a 单调递增，则必有()2120a a a a -=--> 且()21222n n a a a a a a +-=--<-=，可得01a << ，即实数a 的取值范围为()0,1，故答案为()0,1.5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5610a a +=-， 1414S =-，则当0n S =时， n =__________． 【答案】15【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则112910{149114a d a d +=-+=- ，计算出114,2a d =-=，所以()()214115=15n S n n n n n n n =-+-=--，当15n = 时， 0n S =。

6．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且245,2,a a a +成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则5S = . 【答案】627. 已知*1l o g (2)()n n a nn N +=+∈，观察下列算式：1223lg3lg 4log 3log 42lg 2lg3a a ∙=∙=∙=；123456237lg3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7a a a a a a ∙∙∙∙∙=∙=∙=，…；若*1232016()m a a a a m N ∙∙∙∙=∈，则m 的值为 . 【答案】201622-【解析】由题意：1223lg3lg 4log 3log 42lg 2lg3a a ∙=∙=∙=；123456237lg3lg 4lg8log 3log 4log 83lg 2lg3lg 7a a a a a a ∙∙∙∙∙=∙=∙=，…； 12345613142315lg3lg 4lg16log 3log 4log 1616,lg 2lg3lg15a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=…；据此可知，*1232016()m a a a a m N ∙∙∙∙=∈，则m 的值为201622-.8．数列{}n a 满足，12n n a ++=，写出数列{}n a 的通项公式__________． 【答案】16,1{ 2,2n n n a n +==≥12n n a ++= 1111222n n n n a a +++++=,两式相减得，即12,2n n a n +=≥，又13a =，所以16a =，因此16,1{ 2,2n n n a n +==≥ 9. 在等差数列{}n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若7321a a a a a k +⋅⋅⋅+++=，则=k . 【答案】2210. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n +S n 一1=2n-l (n>2)，且S 2 =3，则a 1+a 3的值为 。

【答案】1-【解析】令2=n ,则33112=+=+S S S ，则011==S a ，令3=n ，则53323=+=+S S S ，23=S ，则1233-=-=S S a ，所以131-=+a a ． 11. 数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______. 【答案】1021【解析】令2n =,23232a a a a -=⋅,解得213a =,令1n =,则12122a a a a -=⋅,解得11a =,对112n n n n a a a a ++-=⋅两边除以1n n a a +⋅,得1112n n a a +-=,故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列,所以()()111111121,,21212122121n n n n n a a a a n n n n n +⎛⎫=-=⋅==- ⎪--⋅+-+⎝⎭,故其前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 12. 如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =，()n E n N +∈为边AC 的一列点，满 足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+，其中实数列{}n a 中10,1n a a >=，则{}n a 的通项公式为 .【答案】1231n -∙-13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S c 是常数， *n N ∈），26a =，又，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若22n T m >-对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最大值是__________. 【答案】2当n=1时解得a 1=2c ，当n=2时,S 2=a 2+a 2−c ， 即a 1+a 2=a 2+a 2−c ， 解得a 2=3c ，∴3c=6，解得c=2.则a 1=4,数列{a n }的公差d=a 2−a 1=2， ∴a n =a 1+(n −1)d=2n+2.∴数列{T n }单调递增,T 1最小, ∴m<3，故正整数m 的最大值为2.14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且1()()0n n ta t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 【答案】311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭当n 为偶数时，解得1112n n a -=-+；当n 为奇数时，解得111111111212(1)32222n n n n n n a a -++-=-+-=-+--+=-， 综上，111,213,2n n n n a n +⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，所以，当n 为偶数时，2111133234n n a a =-≤=-=，当n 为奇数时，1113124n n a a +=-+≤=-，又1()()0n n t a t a +--<等价于介于相邻两项之间，所以31144t -<<. 二、解答题15. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log n n b a +=，求数列的前n 项之和.【答案】(1) 12,1{2,2n n n a n -=∴=≥；(2) 前n 项之和为（2）由（1）知：∴数列前n 项之和为1n n ⎛++- ⎝16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,7n - ()*n N ∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1【解析】（1当2n ≥时，将1n =代入上式验证显然然适合，()*35n a n n N ∴=-∈（212n n T b b b ∴=+++1133n⎛++-⎝17.在等差数列}{na中，11,552==aa，数列}{nb的前n项和nnanS+=2.（Ⅰ）求数列}{na，}{nb的通项公式；（Ⅱ）求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫+11nnbb的前n项和nT．【答案】（I）12+=nan，⎩⎨⎧≥+==)2(,12)1(,4nnnbn；（II）)32(2016+-=nnTn．∴数列}{nb的前n项和122++=nnSn当n=1时，411==Sb，当n≥2时，[]121)1(2)1()12(221+=+-+--++=-=-nnnnnSSbnnn，对1b=4不成立，所以，数列}{nb的通项公式为⎩⎨⎧≥+==)2(,12)1(,4nnnbn…………（6分）（2）n=1时，2011211==bbT，n≥2时，)321121(21)32)(12(111+-+=++=+nnnnbbnn，所以)32(201615101201)32151(21201)32112191717151(21201+-=+-+=+-+=+-+++-+-+=n n n n n n n T n n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，)32(201615101201+-=+-+=n n n n T n ………… （12分）18.在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a的等差中项是（Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.【答案】（I）1a （II ）32-+． 【解析】（Ⅰ）解：由题可知25a a +=528a a =， ---------3分故2a =∴1a 分 （Ⅱ）∵点()11,M a -在函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上， ∴sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又∵φπ<，∴34φπ= -------------7分如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得222cos 2PM PN MNPM PNβ+-===又∵πβ<<0 ∴56βπ= -------------9分∴ 12πφβ-=-∴ ()tan tantan 21246πππφβ⎛⎫-=-=--=-+ ⎪⎝⎭分19.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． （1）求a 1，a 2的值；（2）设a 1>0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg10a 1a n 的前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值． 【答案】（1）22,120,02121+=+===a a a a 或或11a =22a =(2)2lg 2217,7-=n ．(2)由(1)及a 1>0知a 11，a 22，6分 当n ≥2时，(2a n ＝S 2＋S n ，(2a n －1＝S 2＋S n －1，a n ＝(2a n －1，∴a nn －1(n ≥2), ∴a n ＝a 1n －1＝(1n －1，8分令b n ＝lg110na a ＝12lg 11002n -，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为12-lg2，10分 ∴b 1>b 2>…>b 7＝lg1008>，所以当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 1000128<， 所以数列110lgn a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前7项和最大，T 7＝()1772b b +＝7－212lg2.12分20.数列{}n a 满足1212242n n n a a na -++++=-，*n N ∈. （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设121log n n b a =+，求证：2221211174n b b b +++<. 【答案】(1) 314a =;(2) 112n n a -=;(3) 见推证过程. 【解析】（1）令1n =，得11a =；令2n =，有1222a a +=，得212a =； 令3n =，有12311234a a a ++=，得314a =.∴112n n a -=*()n N ∈. （3）1112211log 1log 2n n n b a n -=+=+=， 当1n =时，211714b =<；当2n =时，2212111571444b b +=+=<； 当2n >时，2211111(1)1n b n n n n n =<=---， 222221212111111111111717()()12314244n b b b b b n n n n +++<++-++-=++-=-<-， 综合可得：2221211174n b b b +++<.。