26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2（a ≠0）.由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点（032,）和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422(). 将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。
它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。
本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。
首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。
它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。
求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。
这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。
这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。
此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。
这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。
在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。
通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。
由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。
用待定系数法求二次函数的解析式教案
用待定系数法求二次函数的解析式教案用待定系数法求二次函数的解析式教案(1)年级九年级课题 26.1 用待定系数法求二次函数的解析式教学媒体多媒体教学目标知识技能会用待定系数法求二次函数解析式.过程方法根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.情感态度体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.教学重点运用待定系数法求二次函数解析式.教学难点根据条件恰当设二次函数解析式形式.教学过程设计教学程序及教学内容一、情境引入已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标?应该怎样求出二次函数解析式?引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.二、探究新知1.二次函数中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?抛物线经过点(-1，10)，(1，4)，(2, 7)，求出这个二次函数的解析式。
得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.二次函数中有几个待定系数?需要知道图像上几个点的坐标才能求出来?抛物线的顶点坐标为(1, 2)，点(1，-1)也在图像上，能求出它的函数解析式吗?得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是先代入顶点坐标(1, 2)得到，再代入点(1，-1)即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.用待定系数法求二次函数的解析式教案(2)《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式;.因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用.另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用.一.教学目标：1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
本次讲课结束，谢谢参与！
——你理解了吗？
y kx b(k 0) 的解析式，比如：
（1）已知直线过点（1,2），（5，6），求该直线 的函数解析式。
复习引入
解： 第一步：设函数的解析式为 y kx b(k 0) 第二步：由于函数过点（1,2），（5，6） 所以 k+b=2 5k+b=6 第三步：解得k=1,b=1 第四步： 因此该函数的解析式为
用待定系数法求二 次函数的解析式
复习引入
1.二次函数的解析式有哪几种形式？
（1）一般式：y
ax bx ca 0
2
（2） 顶点式：y a
x h
2
k a 0
（3） 两根式：y ax x1 x x2 a 0
复习引入
2.我们知道用待定系数法求一次函数
例3 已知一个二次函数的图象过点(-1,0)、(3,0)、
(4,10)三点，求这个函数的解析式。
分析：此题利用交点式求解较易，用一般条件，求二次函数解析式。 （1）抛物线的顶点坐标为（3,1），且经过点（2,3） （2）抛物线经过点（-1，-2），（0，-2）和（1,0） （3）抛物线经过点（-1，0），（3，0）和（0,2）
y 答案：（1）
（2）
2x 16x 19
2
2 2 4 （3）y x x 2 3 3
y x x2
2
归纳总结
由于二次函数有多种表达形式，因此我们在用待定系 数法解二次函数时，应根据已知条件灵活选择合适的 表达形式求解。 （1）当已知抛物线上任意的三点时，通常采用一般式 （2）当已知抛物线的顶点或对称轴，适宜用顶点式 （3）当已知抛物线与x轴的交点，则可采用交点式
26.1.5_用待定系数法求二次函数的解析式(新)
课本14页
必做题：第9(2)、（4）,10题.
用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4 4a+2b+c=7 解得： a=2, b=-3, c=5 因此,所求二次函数是： y=2x2-3x+5
26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3） 和（-2，-12） ，求 这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 因为一次函数经过点（1，3） 和（-2，-12） ， k+b=3 所以 -2k+b= -12 解得 k=5，b= -2 一次函数的解析式为y=5x-2.
用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是 求出待定系数a，b，c的值。 由已知条件（如二次函数图像上三个点的 坐标）列出关于a，b，c的三元一次方程组， 并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解 析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
例2 已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0） 并经过点M（0,1），求抛物线的解析式. 解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c a-b+c=0 a+b+c=0 c=1 解得 a=-1, b=0, c=1 故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
课
堂
练
习
1、一个二次函数，当自 变量 x 0 时，函数值 1 当 x 2 与 时， y 0 .求这个二次函数的解析 2 2 、一个二次函数的图象 （ 1，）三点，求这个二次函 9
用待定系数法求二次函数解析式说课稿
用待定系数法求二次函数解析式》说课稿黄勇松我说课的内容为人教版数学九年级下册26.1.5用待定系数法求二次函数解析式。
一、教材分析1、教材的地位和作用：二次函数是初中数学重要内容之一，而用待定系数法求函数解析式在前面的一次函数，反比例函数中已经多次得以运用，确定一次函数有两个独立系数，要两个独立条件，这些知识方法同学们已熟悉，本节把这些所学推向初中学段的最高点—二次函数解析式的确定。
由于前几节已经对二次函数的两种表达式进行了多方面的认识，式学习本节最直接的认知基础，通过本节的学习，进一步深化对二次函数的认识。
2、教学目标①通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法②能灵活的根据条件恰当的选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
③从学习中体会数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
3、教学重点：用待定系数法求函数解析式。
教学难点为:根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数解析式。
二、学情分析对于九四班学生，数学基础比较薄弱，抽象思维能力和演绎推理能力依然比较缺乏，所以我在授课时注重引导、启发、和探讨，从而促进知识的掌握和思维能力的进一步发展。
三、教法分析针对我班学生的特点，本节课我采用创设问题情境，由学生观察，发现，老师启发引导，探索相结合以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下共同探索用待定系数法求二次函数解析式.三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去探索，同时鼓励学生大胆质疑，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学程序本节课的教学过程由（一）创设问题情境，引入新课（二）知识应用（三）回顾练习（四）归纳小结（五）课后作业，五个教学环节构成。
（一）创设问题情境，引入新课：1、用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①设函数的解析式; ②列方程组求待定系数;③解待定系数④还原学 生 活 动：学生总结用待定系数法求函数解析式的一般步骤。
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式（导学案）一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．能够根据问题的已知条件选择恰当的方法求二次函数解析式。
二、思考（小组交流讨论）：求正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的解析式分别需要知道几个点的坐标？求函数解析式的方法是什么？ 三、课前基本练习1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________．2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为 ________________．3．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－12 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．四、例题分析例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3（了解） 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．五、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ．3．（了解）已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标）， 设交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）六、练习1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．七、体验中考（2011 重庆江津）已知双曲线xk y =与抛物线c bx ax y ++=2交于A(2,3)、 B(m,2)、C(-3,n)三点。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2019秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ， 所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2019•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)． 则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC 的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+-， ∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)，∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.23π-B.23πC.πD.π-2．定义：在平面直角坐标系中，圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y ＝﹣34x+12与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA （点P 与点O ，A 不重台）上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）A.3个B.5个C.7个D.9个3．如图所示的几何体的左视图（ ）A. B.C. D.4．下列式子计算正确的是（ ）.A. B. C. D.5．某书店4月份营业额为2.2万元，5月份营业额为2.42万元。
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26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
九年级下册 编号08
【学习目标】
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；
2.会用待定系数法求二次函数的解析式。
【学习过程】 一、知识链接：
已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式. 解：
二、自主学习 1.一次函数
b kx y +=经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。
分析：要求出函数解析式，需求出b k ,的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于b k ,的二元一次方程组即可。
解：
2. 已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。
分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。
解：
三、知识梳理
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式
()k h x a y +-=2
和一般式
2y ax bx c =++。
1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。
四、跟踪练习：
1．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．
2.已知二次函数
m x x y ++=2的图象过点（1，2），则m 的值为________________．
3.一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。
4. 已知双曲线
x
k y =
与抛物线2
y ax bx c =++交于A(2,3)、B (m ,2)、c (－3, n )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,
5.如图，直线
33+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A,B 两点的
抛物线交x 轴于另一点C （3,0）， （1）求该抛物线的解析式；
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
-1-2-3-4123-1
-2-3-4
1
234O x
y C B A O。