天津市一中2015-2016学年九年级数学上学期第二次月考试题(含解析) 新人教版
天津市天津102中学2015-2016初三10月月考【数学试题】
2015-2016学年第一学期九年级数学学科学习情况调查（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 2sin30°的值等于 A. 1B.2C.3D. 22. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是 A.B.C.D.3. 右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为A. B. C. D.4. 如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB=10cm ，CD=6cm ，那么AC的长为 A. 2cm B. 1.5cmC. 1cmD. 0.5cm5. 如图，CD 是⊙O 的直径，A 、B 是⊙O 上的两点，若∠ABD =20°，则∠ADC 的度数为 A. 40° B. 50°C. 60°D. 70°6. 制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本 A. 8.5%B. 9%C. 9.5%D. 10%7. 如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB=45°，则弦AB 的长为 A. 22 B.2C. 2D. 48. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC =110°，连接AC ，则∠A 的大小等于 A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°9. 已知饭比例函数xy 6，当1<x<3时，y 的取值范围是 A. 0<y<1 B. 1<y<2C. 2<y<6D. y>610. 如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=22，BD=3，则AB 的长为A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°12. 设二次函数c bx ax y ++=2，当1≤x 时，总有0≥y ，当31≤≤x 时，总有0≤y ，那么c 的取值范围是A c=3B. 3≥cC. 31≤≤cD. 3≤c二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 若一次函数y=2x+b （b 为常数）的图像经过点（1，5），则b 的值为 14. 若抛物线()1-2m m x y ++=的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是15. 在一个口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸取一个小球然后放回，在随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号的和是2的倍数或3的倍数的概率是 16. 若△ABC 的三边长分别为6，8，10，则其外接圆的半径是17. 如图，在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点D 逆时针旋转60°，得到△BAE ，连接ED 。
天津一中2015届九年级(上)第二次月考数学试题(含答案)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分．考试时间100分钟．第Ⅰ卷（选择题 共36分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔填写在“答题卡”上，然后再将准考证号、考试科目用2B 铅笔填涂在“答题卡”相应的信息点上．2．答案答在本张试卷上无效．每小题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．一．选择题:本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2.如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 上的一点， 则APB ∠的度数是（ ）A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．不能确定第2题图 第5题图 第6题图3．一元二次方程0542=+-x x 的根的情况是（ ）4．已知函数xy 1=的图象在第一象限的一支曲线上有一点),(c a A ，点)1,(+c b B 在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程02=++c bx ax 的两根1x 、2x 判断正确的是（ ）于点D ，则BAD ∠的度数是（ ）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°6.已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且0≠a ）的图象如图所示，则一次函数a b cx y 2+=与反比例函数xaby =在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ．B ．C ．….. D ．7．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ） A ．15)5.04)(3(=-+x xB ．15)5.04)(3(=++x xC ．15)5.03)(4(=-+x x D ．15)5.04)(1(=-+x x8．二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，且0≠a ）中的x 与y 的部分对应值如下表：下列结论： （1）0<ac ；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小． （3）3是方程0)1(2=+-+c x b ax 的一个根；（4）当31<<-x 时，0)1(2>+-+c x b ax ．其中正确的个数为（ ） A ．4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个9. 若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为（ ）A ．12 B ．34 C ．13 D ．1410．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的面积为（ ） A ．212+πB ．12+πC ．1+πD ．21+π11. 如图，扇形AOB 的半径为1，︒=∠90AOB ，以AB 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为（ ） A ．14π B ．π12- C ．12 D ．1142π+12．二次函数2y ax bx c =++ （0≠a ）的图象如图，给出下列四个结论： ①042<-b ac ；②b c a 24<+；③023<+c b ；④)1()(-≠>++n a b b an n ，其中正确结论的个数是（ ） A ．4个B ． 3个C ．2个D ． 1个OAB第11题图第II 卷（非选择题 共84分）二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸上．13．甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m ，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n ．若m 、n 满足1m n -≤，则称甲、乙两人“心有灵犀”．则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点)4,3(A ，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转90°至′OA ，则点A ′的坐标是 ．16．如图的一座拱桥，当水面宽AB 为m 12时，桥洞顶部离水面m 4，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是46)(x 91-y 2+-=，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是 ．17．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线21x y =)0(≥x 与322x y =)0(≥x 于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 于点E ，则=ABDE_______． 18．如图，有一张纸片，是由边长为a 的正方形ABCD 、斜边长为2b 的等腰直角三角形FAE 组成的（b ＜a ），AFE ∠=90°，且边BD EFAAD 和AE 在同一条直线上．要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．（Ⅰ）该正方形的边长为 ；（Ⅱ）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要 说明剪拼的过程： ． 三．解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（本小题8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，4,3==BC AC ．（1）试在图中做出ABC ∆以A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形111C B A ∆； （2）若点B 的坐标为)5,3(-，试在图中画出直角坐标系，并写出A 、C 两点的坐标； （3）根据（2）的坐标系作出与△ABC 关于原点对称的图形222C B A ∆，并写出2B 、2C 两点的坐标．20．（本小题8分）已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中a 、b 、c 分别为ABC ∆三边的长．（1）如果1-=x 是方程的根，试判断ABC ∆的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状，并说明理由； （3）如果ABC ∆是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21．（本小题10分）小明和小刚做纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌 面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各抽取一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明得2分，否则小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．22．（本小题10分）如图，AB 为O ⊙的直径，点C 为O ⊙上一点，若CAM BAC ∠=∠，过点C 作直线l 垂直于射线AM ，垂足为点D ．（1）试判断CD 与O ⊙的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 与AB 的延长线相交于点E ，O ⊙的半径为3，并且30CAB °∠=.求CE 的长．（第22题图）A23. （本小题10分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x 的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．24. （本小题10分）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数xy 12=)0(>x 图象上任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A 、B ． （1）求证：线段AB 为⊙P 的直径； （2）求AOB ∆的面积； （3）如图2，Q 是反比例函数xy 12=)0(>x 图象上异于点P 的另一点，以Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点C 、D ．求证：OA BO OC DO ⋅=⋅．25．（本小题10分）如图，在矩形ABCD 中，把点D 沿AE 对折，使点D 落在OC 上的F 点，已知10,8==AD AO ． （1）求F 点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O ，F ，且直线366-=x y 是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；参考答案二.填空题 13．5814．（﹣4，3） 15．256． 16． 46)(x 91-y 2++= 17．33-18．（Ⅱ）如图，①在BA 上截取BG b =；②画出两条裁剪线CG 、FG ;③以点C 为旋转中心，把△CBG 顺时针旋转90°到△CDH 的 位置，以点F 为旋转中心，把△FAG 逆时针旋转 90°到△FEH 的位置．此时，得到的四边形FGCH 即为所求．三、解答题BCD E FGHA ① ②①②22．（1）解：直线CD与⊙O相切. ………………1分理由如下：连接OC.∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM∴OC ∥AM ……3分 ∵CD ⊥AM ∴OC ⊥CD ∴直线CD 与O ⊙相切. …………………………5分 （2）解：∵30CAB °∠= ∴∠COE =2∠CAB =60︒ ∴在Rt △COE 中，OC =3，CE=OC·tan 60︒=（3）证明：若点Q 为反比例函数y =（x ＞0）图象上异于点P 的另一点，参照（2），同理可得：S △COD =DO •CO =24，则有：S △COD =S △AOB =24，即BO •OA =DO •CO ， ∴DO •OC =BO •OA ．（第20题答案图）A25．解：（1）由折叠的性质得到：△ADE≌△AFE，则AF=AD．又∵AD=10，AO=8，∴，∴F（6，0）；（2）依题意可设过点O、F的抛物线解析式为y=a（x﹣0）（x﹣6），即y=ax（x﹣6）（a≠0）．依题意知，抛物线与直线y=6x﹣36相切，∴，∴ax2﹣（6a+6）x+36=0 有两个相等的实数根，∴△=（6a+6）2﹣4a×36=0，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x；。
2014-2015学年天津市第一中学九上第一次月考数学试卷
2014-2015学年天津第一中学九年级上第一次月考数学一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知一元二次方程有一个根为，则另一根为 ( )A. B. C. D.2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ( )A. B. 且C. 且D. 且3. 抛物线的顶点坐标是 ( )A. B. C. D.4. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 ( )A. ，B. ，C. ，D. ，5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后所得抛物线的解析式为 ( )A. B.C. D.6. 某机械厂七月份生产零件万个，第三季度生产零件万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是 ( )A.B.C.D.7. 已知，是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为 ( )A. B. C. D.8. 已知关于的方程，下列说法正确的是 ( )A. 当时，方程无解B. 当时，方程有一个实数解C. 当时，方程有两个相等的实数解D. 当时，方程总有两个不相等的实数解9. 如图，动点从点出发，沿线段运动至点后，立即按原路返回，点在运动过程中速度不变，则以点为圆心，线段长为半径的圆的面积与点的运动时间的函数图象大致为 ( )A. B.C. D.10. 若二次涵数的图象与轴有两个交点，坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方，则下列判断正确的是 ( )A. B.C. D.11. 如图，已知抛物线和直线．我们约定：当任取一值时，对应的函数值分别为，，若，取，中的较小值记为；若，记．下列判断：①当时，；②当时，值越大，值越大；③使得大于的值不存在；④若，则．其中正确的有 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个12. 如图，二次函数的图象的顶点在第一象限，且过点和．下列结论：①，②，③，④，⑤当时，，其中正确结论的个数是 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共6小题；共30分）13. 方程的解是．14. 在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是．15. 已知整数，若的边长均满足关于的方程，则的周长是．16. 若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则．17. 对于实数，，定义运算“ ”：例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则．18. 在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．有以下说法：①；②当时，的值随的增大而增大；③当时，；④面积的最小值为．其中正确的是．（写出所有正确说法的序号）三、解答题（共7小题；共91分）19. 解下列关于的一元二次方程（1）；（2）．20. 已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若的两边，的长是方程的两个实数根，第三边的长为．当是等腰三角形时，求的值．21. 用长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积为 ?（设窗框宽为）22. 某商店购进个旅游纪念品，进价为每个元，第一周以每个元的价格售出个，第二周若按每个元的价格销售仍可售出个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低元，可多售出个，但售价不得低于进价），单价降低元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?23. 如图①，已知抛物线经过点，，．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和轴围成的图形的面积（图②中阴影部分）．24. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，已知抛物线经过三点、、（为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小．若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由；（3）如果点是该抛物线上轴上方的一个动点，那么是否有最大面积．若有，求出此时点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）．25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴的正半轴上，且长分别为、，为边的中点，一抛物线经过点、及点．（1）求抛物线的解析式（用含的式子表示）；（2）把沿直线折叠后点落在点处，连接并延长与线段的延长线交于点，若抛物线与线段相交，求实数的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线顶点到达最高位置时的坐标．答案第一部分1. C 【解析】解析把x=2代入方程，得2^2-6×2+c=0，解得c=8，把c=8代入原方程得x^2-6x+8=0，解得x_{1}=2，x_{2}=4．故选C．答案 C2. D 【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根，＞，且，解得：且．3. C4. B 【解析】二次函数的图象与轴的一个交点为，，，一元二次方程即为，，．5. D6. C7. C8. C 【解析】当时，方程是一元一次方程，有一个实数解；当时，方程有两个实数解；当时，方程有两个相等的实数解；当时，，方程有两个实数解．9. B 【解析】设，点运动速度为，则点从向运动时，有；点从向运动时，有．10. D【解析】A、二次函数的图象与轴有两个交点，无法确定的正负情况，故本选项错误；B、，＞，故本选项错误；C、若，则，若，则或，故本选项错误；D、若，则，，所以，，，若，则与同号，，综上所述，正确，故本选项正确．11. B 【解析】①当时，利用函数图象可以得出，故①错误．②当时，，故此时，由图象知，在时，随的增大而增大，故②正确．③因为抛物线和直线与轴的交点坐标为，当时，，函数的最大值为，故使得大于的值不存在．故③正确．④当时，解得，，当时，解得，由图象可得出当或时，，故④错误．12. B 【解析】有函数图象可得，．所以．所以．抛物线过，可得．由函数图象与轴有两个交点可得，所以．当时，．所以，可得．当时，．即．由可得．所以．由，可得，所以．设抛物线与轴的另一个交点为，则由函数图象可得时，．第二部分13. ，14.15. 或或【解析】且，整数，则取，，得，，因的边长均满足关于的方程，故的边长可以为、、或、、或、、．16.【解析】抛物线与轴只有一个交点，当时，，且，即．因为抛物线过点，，点、关于直线对称，，．将点坐标代入抛物线解析式，得．，．17. 或【解析】解方程得，或，．当，时，；当，时，，所以的值为或．特别强调，是相对而言的，是可以互换的．18. ③④【解析】设，，其中，．联立与得：，即．所以，．设直线的解析式为，将，代入得：解得，，所以．令，得．所以直线与轴的交点坐标为．同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点坐标为．因为所以直线、与轴的交点关于轴对称，即直线、关于轴对称．（1）说法①错误．理由如下：如答图所示，因为、关于轴对称，所以点关于轴的对称点落在上．连接，则，．假设结论：成立，即，所以，又因为，所以，得，所以．而是的外角，则，矛盾，所以说法①错误．（2）说法②错误．理由如下：易知：，所以．由对称可知，为的角平分线，所以．所以，所以如答图所示，过点作轴于点，则，．所以因为，所以，所以所以即：为定值，所以说法②错误．（3）说法③正确．理由如下：当时，联立方程组得，．所以，．所以，故说法③正确．（4）说法④正确．理由如下：所以当时，面积有最小值，最小值为．故说法④正确．第三部分19. （1）因式分解，得于是得（2），，方程有两个不等的实数根20. （1），方程有两个不相等的实数根．（2）一元二次方程的解为，即，，当，，且时，是等腰三角形，则；当，，且时，是等腰三角形，则，解得，所以的值为或．21.答：宽为、长为或长宽均为．22. 设单价降低元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为元．由题意得，得整理得解得．答：第二周的销售价格为元．23. （1）抛物线经过点，，，解得所以抛物线的函数表达式为．（2），抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．（3）如图．抛物线的顶点坐标为，，阴影部分的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积，阴影部分的面积．24. （1）抛物线过点、、，则解得所求抛物线的解析式为．（2）存在，由，配方后得，抛物线的对称轴．点在对称轴上，的周长，而，要使的周长最小，必须最小．点与点关于直线对称，有，的周长．当、、三点共线时，即点是直线与对称轴的交点时，最小，此时的周长最小．设直线的解析式为：，则有解得，．直线的解析式为，当时，，的坐标为．（3）设，则①过点作轴于点，轴于点，过点作于点，过点作于点．则，．由题意得：梯形把①代入②得：当时，的面积最大，最大值是，此时，的坐标为．25. （1）设抛物线的解析式为．将，，，得解得所以抛物线的解析式为．（2）过点作轴于点，设交轴于点．由折叠的性质可得．．又，．．设，则，在中，，解得．，．．点坐标为．易求直线的解析式为，当时，．点坐标为．当抛物线经过点时，解得．当抛物线与经过点时，解得．的取值范围为．（3）．抛物线开口向下，最大时，顶点达到最高位置．当时，随的增大而增大，在内，当时，．最高点的坐标为．。
【解析版】天津一中2015届九年级上第一次月考数学试卷
17．（3 分）对于实数 a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=
．例如 4﹡2，因为 4
＞2，所以 4﹡2=42﹡4×2=8．若1 x ，2 x 是一元二次方程 x2﹡5x+6=0 的两个根，x 则﹡x = ．
范围是（）
A．k＞﹡ 1
B．k＜1 且 k≠0
C．k≥﹡1 且 k≠0 D．k＞﹡1 且 k≠0
3．（3 分）抛物线 y=2（x+3）2+1 的顶点坐标是（）
A．（3，1）
B．（3，﹡ 1）
C．（﹡ 3，1）
D．（﹡ 3，﹡ 1）
4．（3 分）已知二次函数 y=x2﹡3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则
其中正确的有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12．（3 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0， 1）和（﹡1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当 x
＞﹡1 时，y＞0，其中正确结论的个数是（）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
D．2 个
13．（3 分）方程 x2﹡2x﹡2=0 的解是．
14．（3 分）在二次函数 y=﹡x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围 是．
15．（3 分）已知整数 k＜5，若△ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2﹡3 x+8=0，则△ABC 的周长是．
天津一中九年级(上)第二次月考数学试卷
九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在下面的四个设计图案中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为（）A. 6.5×10−4B. 6.5×104C. −6.5×104D. 0.65×1043.用大小一样的正方体搭一几何体（如图），该几何体的左视图是选项中的（）A. B. C. D.4.估计（230-24）÷6的值应在（）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间5.二元一次方程组x+y=22x−y=4的解是（）A. x=0y=2B. x=2y=0C. x=3y=−1D. x=1y=16.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A. 只有乙B. 甲和丁C. 乙和丙D. 乙和丁7.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（）A. 40∘B. 41∘D. 43∘8.若一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9.已知：如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为（）A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．点G是AC上的任意一点，延长AG交DC的延长线于点F，连接GC，GD，AD．若∠BAD=25°，则∠AGD等于（）A. 55∘B. 65∘C. 75∘D. 85∘11.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A. 1或−2B. −2或2C. 2D. 112.已知抛物线y=ax2+（2-a）x-2（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．给出下列结论：①在a＞0的条件下，无论a取何值，点A是一个定点；②在a＞0的条件下，无论a取何值，抛物线的对称轴一定位于y轴的左侧；③y的最小值不大于-2；④若AB=AC，则a=1+52．其中正确的结论有（）个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.计算：（-6x3y）2=______．14.若（ax+2y）（x-y）展开式中，不含xy项，则a的值为______．15.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为______．16.计算x2x−1-x-1的结果是______．17.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EG⊥AD，EF⊥CD，BE的延长线与FG交于点H，若∠ABE=15º，则BEEH的值为________。
天津一中届九级上第二次月考数学试卷含答案解析
2016-2017学年天津一中九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共36分）1．剪纸是扬州的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知两圆半径分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，两圆的圆心距为6，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离3．下列事件：（1）沈阳每年都会刮风；（2）任意买一张电影票，座位号是奇数；（3）在如图的转盘中，转动转盘，转盘停止转动后，指针落在白色区域；（4）掷一枚均匀的硬币，结果是正面向上；（5）小红买彩票中奖．其中确定事件和不确定事件的个数分别是（）A．3，2 B．4，1 C．2，3 D．1，44．当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（）A． B． C． D．5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞56．如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°7．如图，O为坐标原点，边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式可能为（）A．y=x2B．y=﹣x2 C．y=﹣x2 D．y=﹣3x28．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y39．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．3、B．、πC．3、D．3、2π10．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（）对．A．5 B．4 C．3 D．211．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（）A．9π﹣9 B．9π﹣6C．9π﹣18 D．9π﹣1212．如图，△ABC中，边BC=12，高AD=6．矩形MNPQ的边在BC上，顶点P在AB上，顶点N在AC上，若S矩形MNPQ=y，则y与x的关系式为（）A．y=6﹣x（0＜x＜12）B．y=﹣x2+6x（0＜x＜12）C．y=2x2﹣12x（0＜x＜12）D．y=x2+6x（0＜x＜12）二、填空题（每题3分，共18分）13．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为°．15．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．16．若二次函数y=x2+bx﹣5的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为．17．如图，在等边△ABC中，O为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=6O°，BD=3，CE=2，则AB的长为．18．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（Ⅰ）求x的取值范围为；（Ⅱ）△ABC的最大面积为．三、解答题（7道题共66分）19．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（n，3），B（3，﹣1）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积S．20．甲乙两人玩数字游戏，先由甲写一个数，再由乙猜甲写的数：要求：他们写和猜的数字只在1，2、3、4，5这五个数字中：（1）请用列表法或树状图表示出他们写和猜的所有情况；（2）如果他们写和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”：求他们“心灵相通”的概率；（3）如果甲写的数字记为a，把乙猜的数字记为b，当他们写和猜的数字满足|a ﹣b|≤1，则称他们“心有灵犀”，求他们“心有灵犀”的概率．21．某企业2014年盈利1500万元，2016年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2014年到2016年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2015年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2017年盈利多少万元？22．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF 面积最大，点E应选在何处？23．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若AF=1，OA=2，求PC的长．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长；（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）25．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年天津一中九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共36分）1．剪纸是扬州的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断．【解答】解：A、不是中心对称图形，故错误；B、不是中心对称图形，故错误；C、是中心对称图形，故正确；D、不是中心对称图形，故错误；故选：C．2．已知两圆半径分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，两圆的圆心距为6，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．【分析】先解一元二次方程得到两圆半径分别为2和5，再计算两半径之和和两半径之差，然后把它们与圆心距进行大小比较，再根据圆和圆的位置关系进行判断．【解答】解：解方程x2﹣7x+10=0得x1=1，x2=3，即两圆半径分别为2和5，∵2+5=7，5﹣2=3，∴3＜6＜7，∴两圆的位置关系是相交．故答案为：相交．3．下列事件：（1）沈阳每年都会刮风；（2）任意买一张电影票，座位号是奇数；（3）在如图的转盘中，转动转盘，转盘停止转动后，指针落在白色区域；（4）掷一枚均匀的硬币，结果是正面向上；（5）小红买彩票中奖．其中确定事件和不确定事件的个数分别是（）A．3，2 B．4，1 C．2，3 D．1，4【考点】随机事件．【分析】确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件；不确定事件是即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【解答】解：（1）沈阳每年都会刮风，是确定事件；（2）任意买一张电影票，座位号是奇数，是不确定事件；（3）在如图的转盘中，转动转盘，转盘停止转动后，指针落在白色区域，是不确定事件；（4）掷一枚均匀的硬币，结果是正面向上，是不确定事件；（5）小红买彩票中奖，不确定事件．确定事件有1个，不确定事件有4个，故选D．4．当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据k＞0，判断出反比例函数y=经过一三象限，一次函数y=kx+2经过一二三象限，结合选项所给图象判断即可．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y=经过一三象限，一次函数y=kx+2经过一二三象限．故选C．5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选B．6．如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=35°，再根据平行线的性质得出∠C′AB′=∠AB′B=35°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算即可得出答案．【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l10°得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=110°，AB=AB′，∴∠AB′B==35°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′=∠AB′B=35°，∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=110°﹣35°=75°．故选C．7．如图，O为坐标原点，边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式可能为（）A．y=x2B．y=﹣x2 C．y=﹣x2 D．y=﹣3x2【考点】二次函数综合题．【分析】过点B向x轴引垂线，连接OB，可得OB的长度，进而得到点B的坐标，代入二次函数解析式即可求解．【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE=75°，∵∠AOB=45°，∴∠BOE=30°，∵OA=，∴OB=2，∴BE=OB=1，∴OE==，∴点B坐标为（，﹣1），代入y=ax2（a＜0）得a=﹣，∴y=﹣x2，故选B．8．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，∴y3一定最大，y1＞y2，∴y2＜y1＜y3．故选：D．9．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．3、B．、πC．3、D．3、2π【考点】正多边形和圆；弧长的计算．【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD=60°，进而可求出∠COM=30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OM的长，再由弧长公式即可求出弧BC的长．【解答】解：连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°，∵OC=OD，OM⊥CD，∴∠COM=30°，∵OC=6，∴OM=6cos30°=3，∴==2π故选D．10．如图所示，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上的点，AB与DE相交于点F，则图中相似三角形共有（）对．A．5 B．4 C．3 D．2【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，再利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，由BF∥CD得到△EFB∽△EDC，由BE∥AD得到△EFB∽△DFA，根据相似的传递性得到△EDC∽△DFA．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，BC∥AD，△ADB∽△CBD，∵BF∥CD，∴△EFB∽△EDC，∵BE∥AD，∴△EFB∽△DFA，∴△EDC∽△DFA．故选B．11．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点D处，折痕交OA于点C，则整个阴影部分的面积为（）A．9π﹣9 B．9π﹣6C．9π﹣18 D．9π﹣12【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．【分析】首先连接OD ，由折叠的性质，可得CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ，则可得△OBD 是等边三角形，继而求得OC 的长，即可求得△OBC 与△BCD 的面积，又在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB 的面积，继而求得阴影部分面积． 【解答】解：连接OD ．根据折叠的性质，CD=CO ，BD=BO ，∠DBC=∠OBC ， ∴OB=OD=BD ，即△OBD 是等边三角形， ∴∠DBO=60°，∴∠CBO=∠DBO=30°， ∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan ∠CBO=6×=2，∴S △BDC =S △OBC =×OB ×OC=×6×2=6，S 扇形AOB =•π×62=9π， ∴整个阴影部分的面积为：S 扇形AOB ﹣S △BDC ﹣S △OBC =9π﹣6﹣6=9π﹣12．故答案为：9π﹣12．12．如图，△ABC 中，边BC=12，高AD=6．矩形MNPQ 的边在BC 上，顶点P 在AB 上，顶点N 在AC 上，若S 矩形MNPQ =y ，则y 与x 的关系式为（ ）A ．y=6﹣x （0＜x ＜12）B ．y=﹣x 2+6x （0＜x ＜12）C．y=2x2﹣12x（0＜x＜12）D．y=x2+6x（0＜x＜12）【考点】相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；矩形的性质．【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△APN∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出△APN中PN边上的高的表达式，进而可求出MN的长，根据矩形的长和宽，即可得到y、x的函数关系式．【解答】解：设△APN中PN边上的高为h，∵矩形MNPQ的边在BC上，顶点P在AB上，顶点N在AC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，∴h=x，∴MN=6﹣x，=PN•MN∵S矩形MNPQ∴y=x（6﹣x），即y=﹣x2+6x（0＜x＜12）．故选（B）．二、填空题（每题3分，共18分）13．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为2π．【考点】圆锥的计算．【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：如图，∠BAO=30°，AO=，在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，∴AB==2，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=•2π•1•2=2π．故答案为2π．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为80°．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】连接DO，FO，利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=90°，再利用三角形内角和以及四边形内角和定理求出∠DOF的度数，进而利用圆周角定理得出∠DEF的度数．【解答】解：连接DO，FO，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°∴∠A=20°，∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=90°，∴∠DOF=160°，∴∠DEF的度数为80°．15．如图，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是．【考点】概率公式；轴对称图形．【分析】利用轴对称图形的定义由3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，然后根据概率公式可计算出新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率．【解答】解：共有13种等可能的情况，其中3处涂黑得到黑色部分的图形是轴对称图形，如图，所以涂黑任意一个白色的小正方形（每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率=．故答案为．16．若二次函数y=x2+bx﹣5的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为﹣1或5．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的对称轴x=﹣=2，求出b，代入方程，解方程即可．【解答】解：由题意二次函数y=x2+bx﹣5的对称轴x=﹣=2，∴b=﹣4，∴方程x2﹣4x﹣5=0的解为x=﹣1或5．故答案为﹣1 或517．如图，在等边△ABC中，O为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=6O°，BD=3，CE=2，则AB的长为9．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；∴∠BAD+∠ADB=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴，即，解得AB=9．故答案为：9．18．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．（Ⅰ）求x的取值范围为1＜x＜2；（Ⅱ）△ABC的最大面积为．【考点】旋转的性质；二次函数的最值．【分析】（Ⅰ）表示出BN，再根据旋转的性质可得MA=AC，BN=BC，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边和三角形的任意两边之差小于第三边列出不等式组求解即可；（Ⅱ）过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，利用勾股定理表示出AD、BD，再根据BD=AB﹣AD列方程求出h2，然后求出△ABC的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（Ⅰ）∵MN=4，MA=1，AB=x，∴BN=4﹣1﹣x=3﹣x，由旋转的性质得，MA=AC=1，BN=BC=3﹣x，由三角形的三边关系得，解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x＜2，所以，x的取值范围是1＜x＜2；（Ⅱ）如图，过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，由勾股定理得，AD==，BD==，∵BD=AB﹣AD，∴=x﹣，两边平方并整理得，x=3x﹣4，两边平方整理得，h2=﹣，△ABC的面积S2=（xh）2=﹣×8（x2﹣3x+2）=﹣2（x﹣）2+，所以，当x=时，△ABC的最大面积的平方为，△ABC的最大面积为．故答案为：（Ⅰ）1＜x＜2；（Ⅱ）．三、解答题（7道题共66分）19．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（n，3），B（3，﹣1）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求△ABC的面积S．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将点B的坐标带入反比例函数解析式中即可求出m的值，从而得出反比例函数解析式，再将点A的坐标带入反比例函数解析式即可求出n值，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）观察两函数图象，结合点A、B的坐标，即可得出结论；（3）由BC⊥x轴结合点B的坐标可得出BC的长度，再根据点A的坐标利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）将点B（3，﹣1）带入反比例函数解析式中，得：﹣1=，解得：m=﹣3，∴反比例函数解析式为y=﹣；∵点A（n，3）在反比例函数y=﹣的图象上，∴3=﹣，解得：n=﹣1，即点A的坐标为（﹣1，3）．将点A（﹣1，3），点B（3，﹣1）带入到一次函数解析式中，得：，解得：．∴一次函数解析式为y=﹣x+2．（2）观察函数图象发现：当x＜﹣1或0＜x＜3时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴不等式kx+b＞的解集为x＜﹣1或0＜x＜3．（3）∵BC⊥x轴，B（3，﹣1），∴BC=1， ∵A （﹣1，3），∴S △ABC =BC•（x B ﹣x A ）=×1×4=2．20．甲乙两人玩数字游戏，先由甲写一个数，再由乙猜甲写的数：要求：他们写和猜的数字只在1，2、3、4，5这五个数字中：（1）请用列表法或树状图表示出他们写和猜的所有情况；（2）如果他们写和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”：求他们“心灵相通”的概率；（3）如果甲写的数字记为a ，把乙猜的数字记为b ，当他们写和猜的数字满足|a ﹣b |≤1，则称他们“心有灵犀”，求他们“心有灵犀”的概率． 【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）用列表法列举出所有情况即可，（2）根据他们写和猜的数字相同的情况数占所有情况数的多少即可．（3）根据满足条件的事件是|a ﹣b |≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，根据概率公式得到结果． 【解答】解：（1）如图所示：（2）根据图表即可得出，他们写和猜的数字相同的情况一共用5种，则他们“心灵相通”的概率为：=．（3）根据甲写的数字记为a，把乙猜的数字记为b，当他们写和猜的数字满足|a ﹣b|≤1，则称他们“心有灵犀”，满足条件的事件是|a﹣b|≤1，可以列举出所有的满足条件的事件，①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5；总上可知共有2+3+3+3+2=13种结果，∴他们“心有灵犀”的概率为：．21．某企业2014年盈利1500万元，2016年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2014年到2016年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2015年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2017年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设每年盈利的年增长率为x，就可以表示出2016年的盈利，根据2016年的盈利为2160万元建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据意，得1500（1+x）2=2160解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）∴该企业2015年盈利为：1500（1+0.2）=1800 万元．答：20115年该企业盈利1800 万元；（2）由题意，得2160（1+0.2）=2592 万元答：预计2017年该企业盈利2592 万元．22．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF 面积最大，点E应选在何处？【考点】相似三角形的应用；二次函数的最值．【分析】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC=6、AC的长，然后根据四边形CDEF是矩形得到EF∥AC从而得到△BEF∽△BAC，设AE=x，则BE=12﹣x．利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有关x的二次函数，然后求二次函数的最值即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，∴BC=6，AC=AB•cos30°=．∵四边形CDEF是矩形，∴EF∥AC．∴△BEF∽△BAC．∴．设AE=x，则BE=12﹣x．．在Rt△ADE中，．矩形CDEF的面积S=DE•EF=•=（0＜x＜12）．当时，S有最大值．∴点E应选在AB的中点处．23．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若AF=1，OA=2，求PC的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论．（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt △PCO中，利用勾股定理可得出x的值，继而也可得出PC得长．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE，FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵OA=OC（圆的半径相等），∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，∵FA 与⊙O 相切，且AB 是⊙O 的直径，∴FA⊥AB，∴∠FCO=∠FAO=90°，∵CO 是半径，∴PC 是⊙O 的切线；（2）解：∵PC 是⊙O 的切线，∴∠PCO=90°，又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO，∴=，∵CO=OA=2，AF=1，∴PC=2PA，设PA=x，则PC=2x．在Rt△PCO 中，由勾股定理得：（2x）2+（2）2=（x+2）2，解得x=，∴PC=2×=．24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长；（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；（3）由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．【解答】解：（1）如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+=，∴O′点的坐标为（，）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A′=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D=O′P′=，P′D=O′D=，∴DH=O′H﹣O′D=﹣=，∴P′点的坐标为（，）．25．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为A（﹣1，0）．（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线a∥y轴，交抛物线于点E，交x轴于点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②求S的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点P作直线b∥x轴（图2），交AC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据直线解析式令y=0求解得到点B的坐标，令x=0得到点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）①根据直线和抛物线解析式表示出EP的长度，再根据△BCE的面积等于△CEP的面积和△BEP的面积之和列式整理即可得解，再根据点P在线段BC上确定出m的取值范围；②把二次函数整理成顶点式形式，然后根据最值问题求出S的最大值，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OE=BE，判断出△OBE是等腰三角形；（3）根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后求出直线AC的解析式，再根据点P的横坐标求出点P的纵坐标，再求出点Q的横坐标，然后求出PQ的长，再根据等腰直角三角形的性质分PQ是斜边和底边两种情况讨论求解即可．【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，令y=0，得﹣x+2=0，解得x=3，令x=0，得y=2，∴B（3，0），C（0，2），设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，2），∴，解得，∴抛物线解析式为，y=﹣x2+x+2；（2）①∵点P的横坐标为m，过点P作直线a∥y轴，∴EP=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，∴△BCE的面积为S=EP•|x B﹣x C|=×（﹣m2+2m）×|3﹣0|=﹣m2+3m，∵P在线段BC上的一个动点（与B、C不重合），∴0＜m＜3，∴S与m之间的函数关系式为：S=﹣m2+3m（0＜m＜3）；②∵S=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，S最大值=，当m=时，P是BC的中点，OE=BE，EF=，∴△OBE是等腰三角形；（3）令y=0，则﹣x2+x+2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴点A（﹣1，0），易得直线AC的解析式为y=2x+2，∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为﹣m+2，∴点Q的纵坐标为﹣m+2，代入直线AC得，2x+2=﹣m+2，解得x=﹣m，∴PQ=m﹣（﹣m）=m，①当PQ是等腰直角三角形△PQR的直角边时，m=﹣m+2，解得m=1，∴QR是直角边时，点R1（﹣，0），PQ是直角边时，点R2（1，0），②PQ是等腰直角三角形△PQR的斜边时，×m=﹣m+2，解得m=，∴PQ=m=×=2，OR=m﹣PQ=﹣×2=，∴点R3（，0），综上所述，x轴上存在点R（﹣，0）或（1，0）或（，0），使得△PQR为等腰直角三角形．2017年2月25日。
初中数学天津市第一中学九年级数学上学期第二次月考考试题考试卷及答案.docx
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:试题2:如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则的度数是（）A．B．C．D．不能确定试题3:一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根评卷人得分C．只有一个实数根 D．D．没有实数根试题4:已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点，点在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程的两根、判断正确的是（）A．B．C．D．与的符号都不确定试题5:如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，，的平分线交⊙O于点，则的度数是（）A．80° B．85° C．90° D．95°试题6:已知二次函数（，，是常数，且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．….. D．试题7:某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A． B．C． D．试题8:二次函数（，，是常数，且）中的与的部分对应值如下表：﹣1 0 1 3﹣1 3 5 3下列结论：（1）；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（）A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个试题9:若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为（）A． B． C． D．试题10:如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）A． B． C． D．试题11:如图，扇形的半径为1，，以为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．试题12:二次函数（）的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（）A．4个 B． 3个 C．2个 D． 1个试题13:甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为．若、满足，则称甲、乙两人“心有灵犀”．则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .试题14:如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，将绕坐标原点逆时针旋转90°至，则点′的坐标是．试题15:试题16:如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点为坐标原点时的抛物线解析式是．试题17:如图，平行于轴的直线分别交抛物线与于B、两点，过点作轴的平行线交于点，直线∥，交于点，则_______．试题18:如图，有一张纸片，是由边长为的正方形、斜边长为的等腰直角三角形组成的（＜），90°，且边和在同一条直线上．要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．（Ⅰ）该正方形的边长为；（Ⅱ）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：．试题19:在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在中，，．（1）试在图中做出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形；（2）若点B的坐标为，试在图中画出直角坐标系，并写出、两点的坐标；（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形，并写出、两点的坐标．试题20:已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．试题21:小明和小刚做纸牌游戏，如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上，洗匀后从每组牌中各抽取一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明得2分，否则小刚得1分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．试题22:如图，为的直径，点为上一点，若，过点作直线垂直于射线，垂足为点．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）若直线与的延长线相交于点，的半径为3，并且.求的长．试题23:某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．试题24:如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是反比例函数图象上任意一点，以为圆心，为半径的圆与坐标轴分别交于点、．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求的面积；（3）如图2，是反比例函数图象上异于点的另一点，以为圆心，为半径画圆与坐标轴分别交于点、．求证：．试题25:如图，在矩形中，把点沿AE对折，使点落在上的点，已知．（1）求点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点，，且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；试题1答案:B试题2答案:B试题3答案:D试题4答案:C试题5答案:B试题6答案:C试题7答案:A试题8答案:B试题9答案: A试题10答案: C试题11答案: C试题12答案: C试题13答案:试题14答案: （﹣4，3）试题15答案:．试题16答案:试题17答案:试题18答案:（Ⅰ）；（Ⅱ）如图，①在上截取；②画出两条裁剪线、;③以点为旋转中心，把△顺时针旋转90°到△的位置，以点为旋转中心，把△逆时针旋转90°到△的位置．此时，得到的四边形即为所求．试题19答案:解：（1）如图所示；（2）如图所示，A（0，1），C（﹣3，1）；（3）如图所示，B2（3，﹣5），C2（3，﹣1）．试题20答案:解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．试题21答案:试题22答案:（1）解：直线CD与⊙O相切. ………………1分理由如下：连接OC.∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM∴OC∥AM……3分∵CD⊥AM ∴OC⊥CD∴直线与相切. …………………………5分（2）解：∵∴∠COE=2∠CAB=∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan=.试题23答案:解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120整理得：x2﹣18x+72=0 解得：x1=6，x2=12（舍去）．答：该产品的质量档次为第6档．试题24答案:（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，参照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，则有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，∴DO•OC=BO•OA．试题25答案:解：（1）由折叠的性质得到：△ADE≌△AFE，则AF=AD．又∵AD=10，AO=8，∴，∴F（6，0）；（2）依题意可设过点O、F的抛物线解析式为y=a（x﹣0）（x﹣6），即y=ax（x﹣6）（a≠0）．依题意知，抛物线与直线y=6x﹣36相切，∴，∴ax2﹣（6a+6）x+36=0 有两个相等的实数根，∴△=（6a+6）2﹣4a×36=0，解得a=1，∴抛物线的解析式为 y=x2﹣6x；。
天津市第一中学2015届九年级上学期第一次月考数学试题
天津一中2014-2015上学期九年级第一次月考数学试卷一． 选择题（每小题3分，共36分）1．已知一元二次方程062=+-c x x 有一个根为2，则另一根为（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 8【答案】C ．2．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ． 1k ≥-且0k ≠D ． 1k >-且0k ≠【答案】D3．抛物线1)3(22++=x y 的顶点坐标是（ ）A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 【答案】：C4．已知二次函数m x x y +-=32（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为)0,1(，则关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两实数根是（ ）．A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3 【答案】B ．5．将抛物线3)1(2+-=x y 向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A ．2)2(-=x yB ．6)2(2+-=x yC ．62+=x yD ．2x y = 【答案】D6．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．196)1(502=+xB ． 196)1(50502=++xC ．196)1(50)1(50502=++++x xD ．196)21(50)1(5050=++++x x【答案】C ．7．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程032=+-a x x 的两个解，若6)1))(1(-=--n m ，则a 的值为（ ）A ． ﹣10B ． 4C ． ﹣4D ． 10【答案】C ．8．已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ） A ．当0=k 时，方程无解B ．当1=k 时，方程有一个实数解C ．当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D ．当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解【答案】C10．若二次涵数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M (x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）．A ．a>0B ．b 2－4ac ≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a(x 0－x 1)( x 0－x 2)<0【答案】D11．如图,已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=.我们约定：当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2．下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x= 1．其中正确的有A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个【答案】B12．如图，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b 2＞4a ，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b ＜1，⑤当x ＞﹣1时，y ＞0，其中正确结论的个数是（ ）A ． 5个B ． 4个C ． 3个D ． 2个【答案】B二．填空题（每小题3分，共18分）13．方程0222=--x x 的解是_________________．【答案】31,3121-=+=x x14．在二次函数221y x x =-++的图像中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是________________．【答案】1x <15．已知整数5<k ，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程0832=+-x k x ，则△ABC 的周长是 ___．【答案】6、10或1216．若抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，且过点),6(),,(n m B n m A +，则n ＝______．【答案】9． 17．对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧<-≥-=)()(*22b a b ab b a ab a b a 例如：4*2，因为4＞2，所以82442*42=⨯-=．若21,x x 是一元二次方程0652=+-x x 的两个根，则21*x x ＝_________________．【答案】3或－3．18. 在平面直角坐标系xoy 中，直线kx y =(k 为常数)与抛物线2312-=x y 交于A ，B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点的坐标为)4,0(-，连接PA ，PB ．有以下说法：①PB PA PO ⋅=2；②当0>k 时，))((BO PB AO PA -+的值随k 的增大而增大；③当33-=k 时，BA BO BP ⋅=2；④PAB ∆面积的最小值为64．其中正确的是______．(写出所有正确说法的序号)【答案】③、④．三．解答题（共66分）19．解下列关于x 的一元二次方程（1）09102=+-x x （2）0132=--x x121,9x x == 2133,213321-=+=x x20．已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k k 0-+++=。
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天津市一中2015-2016学年九年级数学上学期第二次月考试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列图形中，是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大3．圆的周长是2π，如果一条直线与圆心的距离是，那么这条直线与这个圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定4．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A．a＜0，△＜0，b＞0 B．a＜0，△＞0，b＞0 C．a＜0，△＜0，b＜0 D．a＜0，△＞0，b＜05．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠26．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°7．如图，Rt△A BC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长为（）A．B．6 C．D．48．在半径为R的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（）A．1：：B．：：1 C．1：2：3 D．3：2：19．如图所示，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB等于（）A．150°B．105°C．120°D．90°10．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，已知B（0，），∠BAO=30°，圆心P的坐标为（1，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的P′的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．若=，则的值为（）A．B．C．1 D．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分．）13．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长是30m，母线长7m，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少是㎡．14．如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是．15．已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=15cm，那么△PEF周长是 cm．若∠P=50°，那么∠EOF=．16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是．17．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，D是BC的中点，且∠AOD=165°，AE、CF分别是BC、AB 边上的高，则∠BAE=（度）．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc 0（填“＞”或“＜”）；（2）a的取值范围是．三.解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）19．（2012•营口二模）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B （4，2）．点C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．（1）画出△ABC，点C的坐标是，△ABC的面积是；（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C，连接AB1、BA1，试判断四边形AB1A1B是何种特殊四边形，请说明理由．20．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．21．（2015秋•天津校级月考）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取什么值时，原方程有实数根；（2）对m选取最小正整数值时，求方程的根．22．（2006秋•海淀区期末）已知：如图，点A、B、C为⊙O上的点，点D在OC的延长线上，∠CBA=∠CDA=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB于M，BC=5，求DC的长．23．（2015秋•天津校级月考）分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？24．（2015秋•天津校级月考）有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m；（1）如图所示的在直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）设正常水位时，桥下的水深为1.8m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时，就会影响过往船在桥下顺利航行？25．（2014•咸宁）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．26．（2015秋•天津校级月考）如图1，抛物线C1的顶点A（0，﹣2），抛物线过C（4，6），直线AC 与x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并求出B点坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a 交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．2015-2016学年天津一中九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列图形中，是中心对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行解答．【解答】解：第一、三个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．第三个图形是中心对称图形．第四个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形．综上所述，是中心对称图形的有2个．故选：C．2．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；C．其最小值为1，故此选项正确；D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：C．3．圆的周长是2π，如果一条直线与圆心的距离是，那么这条直线与这个圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【分析】根据圆的周长公式求出半径，得出d＞r，即可得出结论．【解答】解：设圆的半径为r，则2πr=2π，解得：r=1，∵直线与圆心的距离是，∴＞1，即d＞r，∴这条直线与这个圆的位置关系是相离；故答案为：A．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A．a＜0，△＜0，b＞0 B．a＜0，△＞0，b＞0 C．a＜0，△＜0，b＜0 D．a＜0，△＞0，b＜0【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵该抛物线的图象的开口向下，∴a＜0；∵该抛物线图象的对称轴x=﹣＞0，∴b＞0；根据图示知，该图象与x轴没有交点，∴△=b2﹣4ac＜0．故选A．5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出方程组，解之得m＞且m≠2．故选C．6．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由已知可求得∠C的度数，再根据圆周角定理及三角形内角和定理即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵∠ABD=20°∴∠C=∠ABD=20°∵CD是⊙O的直径∴∠CAD=90°∴∠ADC=90°﹣20°=70°．故选D．7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长为（）A．B．6 C．D．4【分析】先证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出AD的长．【解答】解：∵ED⊥AB，∴∠ADE=90°=∠C，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：AD=4．故选：D．8．在半径为R的圆中，它的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边长之比为（）A．1：：B．：：1 C．1：2：3 D．3：2：1【分析】根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可．【解答】解：如图1所示，在正三角形ABC中连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，故BC=2BD=R；如图2所示，在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=R，故BC=R；如图3所示，在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，故AG=OA•cos60°=R，AB=2AG=R，∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R： R：R=：：1．故选：B．9．如图所示，点P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB等于（）A．150°B．105°C．120°D．90°【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得∠P′AP=60°，P′B=CP=10，AP′=AP=6，则可判断△APP′为等边三角形，得到∠APP′=60°，PP′=AP=6，接着利用勾股定理的逆定理证明△PBP′为直角三角形，∠P′PB=90°，然后利用∠APB=∠APP′+∠P′PB 进行计算即可．【解答】解：连结PP′，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P′AP=60°，P′B=CP=10，AP′=AP=6，∴△APP′为等边三角形，∴∠APP′=60°，PP′=AP=6，在△BPP′中，∵BP=8，PP′=6，P′B=10，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PBP′为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠APB=∠APP′+∠P′PB=60°+90°=150°．故选A．10．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，已知B（0，），∠BAO=30°，圆心P的坐标为（1，0）．⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的P′的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】求出函数与x轴、y轴的交点坐标，求出函数与x轴的夹角，计算出当⊙P与AB线切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围．【解答】解：如图，作⊙P′与⊙P″切AB于D、E．∵B（0，），∠BAO=30°，∴OA=OBcot30°=3．则A点坐标为（﹣3，0）；连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，则在Rt△ADP′中，AP′=2×DP′=2，同理可得，AP″=2，则P′横坐标为﹣3+2=﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4=﹣5，∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1，∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．故选B．11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．若=，则的值为（）A．B．C．1 D．【分析】由E为线段AB中点，AD=DF找出ED=BF，再由同弦的圆周角相等和对顶角相等得出△AED∽△CEB，由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵点E为线段AB中点，AD=DF，∴DE为△ABF的中位线，∴ED=BF．∵∠DAE=∠BCE（同弦的圆周角相等），∠AED=∠CEB，∴△AED∽△CEB，∴=，又∵=，ED=BF，∴=．故选D．12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】过A作AD⊥x轴于D，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积即可求出答案．【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，∵OA=OC=4，∠AOC=60°，∴OD=2，由勾股定理得：AD=2，①当0≤t＜2时，如图所示，ON=t，MN=ON=t，S=ON•MN=t2；②2≤t≤4时，ON=t，MN=2，S=ON•2=t．故选：C．二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分．）13．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长是30m，母线长7m，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，则所需油毡的面积至少是105 ㎡．【分析】根据圆锥侧面积=底面周长×母线长计算．【解答】解：圆锥的侧面面积=×30×7=105m2．故答案为：105．14．如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB，那么可添加的条件是∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB．【分析】已知△ADC和△ACB中有一个公共角，我们可以再添加一个角，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB，∴当∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB时，均可得出△ADC∽△ACB．故答案为：∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB15．已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=15cm，那么△PEF周长是30 cm．若∠P=50°，那么∠EOF=65°．【分析】由PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，根据切线长定理可得PA=PB=10cm，ED=EA，FD=DB，则PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB，即可得到△PEF的周长；根据切线的性质得到∠PAO=∠PBO=90°，根据四边形的内角和为360度即可计算出∠AOB；连OD，根据切线的性质得到∠ODE=∠ODF=90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，得∠1=∠2，∠3=∠4，即有∠EOF=∠2+∠3=∠AOB．【解答】解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴PA=PB=15cm，ED=EA，FD=DB，∴PE+EF+PF=PE+ED+PF+FD=PA+PB=30（cm）即△PEF周长是30cm；∵PA、PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°，而∠P=50°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°；连OD，如图，∴∠ODE=∠ODF=90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=∠AOB=65°，则∠EOF=65°．16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是．【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据弧长公式列式计算即可求出点B经过的路径长，再根据S 阴影=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC，再根据旋转的性质可得S△ADE=S△ABC，然后利用扇形的面积公式计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB==，∴点B经过的路径长==；由图可知，S阴影=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC，由旋转的性质得，S△ADE=S△ABC，∴S阴影=S扇形ABD==．故答案为：；．17．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，D是BC的中点，且∠AOD=165°，AE、CF分别是BC、AB 边上的高，则∠BAE=22.5 （度）．【分析】连接BO，CO，根据圆周角定理得到∠BOD=BOC=∠BAC=60°，求得∠AOB=∠AOD﹣∠BOD=105°，根据吹径定理得到OD⊥BC，求得AE∥OD，根据平行线的性质得到∠OAE=180°﹣∠AOD=15°，即可得到结论．【解答】解：连接BO，CO，∵∠A=60°∴∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∵∠AOD=165°，∴∠AOB=∠AOD﹣∠BOD=105°，∠BAO=（180°﹣∠AOB）=37.5°，∵AE⊥BC，OD⊥BC，∴AE∥OD，∴∠OAE=180°﹣∠AOD=15°，∴∠BAE=∠BAO﹣∠OAE=22.5°．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc ＜0（填“＞”或“＜”）；（2）a的取值范围是≤a≤．【分析】（1）观察图形发现，由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号；（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．【解答】解：（1）观察图形发现，抛物线的开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标在第一象限，∴﹣＞0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0；（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，由，解得﹣≤a≤﹣；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x﹣3）2+2，由，解得﹣≤a≤﹣；∵顶点可以在矩形内部，∴﹣≤a≤﹣．三.解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）19．（2012•营口二模）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B （4，2）．点C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．（1）画出△ABC，点C的坐标是（1，1），△ABC的面积是 4 ；（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C，连接AB1、BA1，试判断四边形AB1A1B是何种特殊四边形，请说明理由．【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，第一象限内有3个格点，符合条件的只有一个（1，1），再用割补法求得面积即可；（2）延长AC、BC至点A1、B1，使A1AC=AC，BC=BC1，即可得到△A1B1C，再根据矩形的判定定理：对角线平分且相等的四边形为矩形证得结论．【解答】解：（1）如图，S△ABC=3×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×1×3=9﹣2﹣1.5﹣1.5=4；（2）∵AC=BC，A1C=B1C，BC=B1C，AC=A1C，∴AA1=B1B，∴四边形AB1A1B是矩形（对角线平分且相等的四边形为矩形）．20．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．21．（2015秋•天津校级月考）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．（1）当m取什么值时，原方程有实数根；（2）对m选取最小正整数值时，求方程的根．【分析】（1）要使原方程有实数根，只需△≥0即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；（2）根据（1）中求得的范围，在范围之内确定一个m的值，再求得方程的根即可．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4≥0，∴解得：m≥﹣，∴当m≥﹣时，原方程有实数根；（2）由（1）可知，m≥﹣时，方程有实数根，∴当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，解得：x1=2+，x2=2﹣．22．（2006秋•海淀区期末）已知：如图，点A、B、C为⊙O上的点，点D在OC的延长线上，∠CBA=∠CDA=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB于M，BC=5，求DC的长．【分析】（1）根据圆周角定理由∠CBA=30°，得出∠O=2∠B=60°，进而得出∠CDA+∠O=90°，即∠OAD=90°问题得证．（2）利用垂径定理得出AM=BM，进而得出AM，CM的长，再利用tan30°=，即可得出DM的长，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B是所对的圆周角，∠O是所对的圆心角，∠CBA=30°，∴∠O=2∠B=60°，∵∠CDA=30°，∴∠CDA+∠O=90°．∴∠OAD=90°．∴OA⊥AD．∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线，（2）解：∵OD⊥AB于M，∴AM=BM．∵∠B=30°，BC=5，∴CM=，BM=．∴AM=．在Rt△MAD中，∵∠CDA=30°，∴tan30°===．解得：DM=×=．∴CD=DM﹣CM=﹣=5．∴CD=5．23．（2015秋•天津校级月考）分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？【分析】设圆的半径为r，S圆=πr2=，设矩形边长a，b，S矩形=﹣（b﹣）2+，再求出矩形面积的最大值，最后与圆的面积进行比较即可．【解答】解：设圆的半径为r，则r=，S圆=πr2=，设矩形边长a，b，则a=﹣b，S矩形=（﹣b）b=﹣（b﹣）2+，则b=时，S矩形最大，此时S矩形=，∵4π＜16，∴＞，∴S圆＞S矩，∴圆的面积大．24．（2015秋•天津校级月考）有一座抛物线型拱桥，在正常水位AB时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m；（1）如图所示的在直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）设正常水位时，桥下的水深为1.8m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时，就会影响过往船在桥下顺利航行？【分析】（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，结合图象，只需把（10，﹣4）代入求解；（2）根据（1）中求得的函数解析式，把x=9代入求得y的值，再进一步求得水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【解答】解：（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，结合图象，把（10，﹣4）代入，得100a=﹣4，a=﹣．则该抛物线的解析式是y=﹣x2．（2）当x=9时，则有y=﹣×81=﹣3.24，4+1.8﹣3.24=2.56（米）．所以水深超过2.56米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．25．（2014•咸宁）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．【分析】（1）首先连接OC，由直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，易证得OC∥AD，继而可得AC平分∠DAB；（2）首先连接BC，OE，过点A作AF⊥CE于点F，可证得△ADC∽△ACB，△ACB∽△AFE，△ACF是等腰直角三角形，然后由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理，即可求得答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，即AC平分∠DAB；（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥EC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADC，∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AB=10，∴BC==6，∵点E为的中点，∴∠AOE=90°，∴OE=OA=AB=5，∴AE==5，∵∠AEF=∠B（同弧所对圆周角相等），∠AFE=∠ACB=90°，∴△ACB∽△AFE，∴，∴，∴AF=4，EF=3，∵∠ACF=∠AOE=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF=AF=4，∴CE=CF+EF=7．26．（2015秋•天津校级月考）如图1，抛物线C1的顶点A（0，﹣2），抛物线过C（4，6），直线AC 与x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并求出B点坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a 交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．【分析】（1）根据已知条件抛物线C1的顶点A（0，﹣2），设抛物线的解析式为：y=ax2﹣2，由于抛物线过C（4，6），于是得到方程6=16a﹣2，解得a=，于是得到抛物线的解析式为y=x2﹣2，设直线AB的解析式为y=kx+b，得到方程组，即可得到结论；（2）将x=3代入直线AB、抛物线C1的解析式中，先求出点D、E的坐标及DE的长，根据FG、DE的比例关系，可求出线段FG的长．同理，先用a表示线段FG的长，然后结合FG的长列出关于a的方程，由此求出a的值．（3）根据二次函数的平移规律，先求出抛物线C2的解析式和顶点P的坐标，联立直线AB的解析式可得到点N的坐标．结合N、Q、M三点坐标，易发现△MNQ是等腰直角三角形，过N作NH⊥y轴于H，设MN交y轴于T，那么△MOT、△NHT也是等腰直角三角形，由此求出OT、HT、PT的长；NP是∠MNQ 的角平分线，且NQ∥y轴，能证得△NTP是等腰三角形，即NT=TP，由此求出P点的坐标，结合抛物线C2的解析式，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵抛物线C1的顶点A（0，﹣2），设抛物线的解析式为：y=ax2﹣2，∵抛物线过C（4，6），∴6=16a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2，设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得∴直线AB解析式为y=2x﹣2；（2）如图1，直线x=3分别交直线AB和抛物线C1于D、E两点．∴y D=4，y E=，∴DE=，∵FG：DE=4：3，∴FG=2，∵直线x=a分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点．∴y F=2a﹣2，y G=a2﹣2∴FG=|2a﹣a2|=2，解得：a1=2，a2=2+2，a3=2﹣2；（3）如图2，设直线MN交y轴于T，过点N做NH⊥y轴于点H；设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y=x2﹣2﹣m；∴0=t2﹣2﹣m，∴﹣2﹣m=﹣t2．∴y=x2﹣t2，∴点P坐标为（0，﹣t2）．∵点N是直线AB与抛物线y=x2﹣t2的交点，则点N的横、纵坐标满足：，解得或（不合题意，舍去）．∴N（2﹣t，2﹣2t）．NQ=2﹣2t，MQ=2﹣2t，∴MQ=NQ，∴∠MNQ=45°．∴△MOT、△NHT均为等腰直角三角形，∴MO=OT，HT=HN∴OT=﹣t，NT=（2﹣t），PT=﹣t+t2．∵PN平分∠MNQ，∴∠MNP=∠PNQ，∵NQ∥PT，∴∠NPT=∠PNQ，∴∠MNP=∠NPT，∴PT=NT，∴﹣t+t2=（2﹣t），∴t1=﹣2，t2=2（不合题意，舍去）﹣2﹣m=﹣t2=﹣（﹣2）2，∴m=2．。