内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2015届高三10月月考数学(理)试题
3.已知(,)42ππα∈，3log sin a α=，sin 2b α=，cos 2c α=，则 （ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>4. 已知x x f sin :-→是集合[])2,0(π⊆A A 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,0B 的一个函数,则集合A 中的元素个数最多有( )A.4个B.5个C.6个D.7个 5.函数x x x y sin cos +=的图象大致为( )6.如果函数)cos(ϕ+=x y 23的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛034,π中心对称，那么ϕ的最小值为（ ) A.6πB.4πC.3πD.2π7.对任意的实数,a b ，记{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，若{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数()y f x =在1x =时有极小值2-，()y g x =是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数()y g x =的图象如图所示,则下列关于函数()y F x =的说法中，正确的是（ ）A ． ()y F x =为奇函数B ．()y F x =有极大值(1)F 且有极小值(1)F -C ．()y F x =的最小值为2-且最大值为2D ．()y F x =在(3,0)-上不是单调函数8.已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 9.函数 ),,)(sin()(πϕωϕω<<>>+=000A x A x f 的图像如图所示，为了得到 ()cos g x A x ω=-的图像，可以将()f x 的图像( ) A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度10.函数()的图像))(sin(0321>-=ωπωx x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ,上为增函数，则ω的取值范围为（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3532, B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡322317, C ⎥⎦⎤ ⎝⎛350, D ⎥⎦⎤⎝⎛3170,11.已知a,b,c 分别为4,,cos ,10,5ABC A B C B a ∆==三个内角的对边，若的值等于，则的面积为Aab ABC sin +∆42（ ）A .2227 B .216 C .28 D.1612.已知曲线0)C y x =≤≤：与函数()log ()a f x x =-及函数()(1)x g x a a -=>其中的图像分别交于1122(,),(,)A x y B x y ，则2212x x +的值为 A ．16 B ．8 C ．4 D ．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.曲线21y x =+与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 ．14.求值：=︒-︒1701103sin cos 15.函数x x x x y cos sin cos sin ++=,(R x ∈)的值域是16.设函数x x ax x f cos sin )(++=．(R a ∈）若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线)(x f y =在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且cos a C b += ． （Ⅰ）求角A;（Ⅱ）若1a =21b -=，求角B 18. （本小题满分12分）已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈44ππ,x . （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 的值域.19.（本小题满分12分） 已知2-=x和x=1为函数2312bx ax e x x f x ++=-)(（R b a ∈,）的两个极值点.(1)求a 和b 的值 (2)设2332x x x g -=)(，比较f(x)和g(x)的大小.20.（本小题满分12分）ABC∆中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，3π=C ,a+b=)(,1>λλc（Ⅰ）若3=λ，求证:ABC ∆为直角三角形（Ⅱ）若λλ求且,,316392==∆c S ABC21．（本小题满分12分）已知函数x ax ax x f ln 221)(2+-=（0)a ≠． （1）讨论()f x 的单调性 （2）若]2,221[0+∈∃x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a b a x f 对任意21<<a 恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知5,10BC DB ==． （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求CFDE． 23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24． (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-．（1）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （2）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a.1设集合{}0,2|<==x y y M x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x y x N 1|，则“M x ∈”是“N x ∈”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2已知函数()sin 0y ax b a =+>的图象如右图所示，则函数()log a y x b =+的图象可能是【答案】C3已知(,)42ππα∈，3log sin a α=，sin 2b α=，cos 2c α=，则 （ D ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>4已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=（ ） A. 43 B. 34 C. 34- D. 43- 5ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =，则c =(A) (B) 2 (D)16△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=错误！未找到引用源。
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)Word版含解析
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={y|y=2x，x＜0}，N={x|y=}，则“x∈M”是“x∈N”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：通过求指数函数的值域化简集合M，通过解分式不等式化简集合N，根据集合M，N 的包含关系判断出条件关系．解答：解：M={y|y=2x，x＜0}={y|0＜y＜1}，=∵{y|0＜y＜1}⊆{x|0＜x≤1}∴“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件．故选A点评：判断一个条件是另一个条件的什么条件，一般应该先化简各个条件，再利用充要条件的定义加以判断．2．已知函数f（x）=，若f（a）=1，则a的所有可能结果之和为( ) A．e B．C．e+D．2e+考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数可得，当0＜a≤e时，令|lna|=1得a=e或a=；当a＞e，令2﹣lna=1，则a=e （舍去），即可得到a的所有可能之和．解答：解：由于函数f（x）=，则当0＜a≤e时，令|lna|=1得a=e或a=；当a＞e，令2﹣lna=1，则a=e（舍去），所以a的所有可能结果之和为e+．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数值所对应的自变量的值，注意各段的自变量的范围，属于基础题．3．已知α∈（，），a=log3sinα，b=2sinα，c=2cosα( )A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：由α∈（，），可得，再利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵α∈（，），∴，∴b=2sinα＞2cosα=c＞0＞log3sinα=a．∴b＞c＞a．故选：D．点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．已知f：x→﹣sinx是集合A（A⊆）到集合B={0，}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )A．4个B．5个C．6个D．7个考点：映射．分析：根据三角函数的值对应的角在【0，2π】山找出对应的原像即可．解答：解：A⊆，由﹣sinx=0得x=0，π，2π；由﹣sinx=得x=，，∴A中最多有5个元素，故选B．点评：本题考查了三角函数的知识，注意角的范围的限定．5．函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．6．如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．解答：解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A点评：本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．7．对任意的实数a，b，记若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是( )A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（﹣1）C．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2D．y=F（x）在（﹣3，0）上不是单调函数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．解答：解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B不正确y=F（x）的没有最小值和最大值为，故C不正确y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故D正确故选D．点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题．8．已知，则tan2α=( )A．B．C．D．考点：二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解答：解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx的图象，可以将f（x）的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数的部分图象，看出A=1，同时得到函数四分之一周期为，则周期T=π，求得ω=2，运用五点作图原理求得Φ，求出f（x）后，即可验证排除，也可运用诱导公式尝试．解答：解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选B．点评：本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象的变换问题，解决该题的关键是先求出f （x），同时要注意图象的平移只取决于x的变化．10．函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在上为增函数，则ω的取值范围为( )A．B．C．D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在上为增函数，可得：ω﹣≥﹣且ω﹣≤，结合ω＞0可得答案．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象在上为增函数，∴ω﹣≥﹣且ω﹣≤，解得：ω∈，又由ω＞0可得：ω∈，故选：C点评：本题考查函数周期的求法，涉及三角函数的图象的应用，考查计算能力．熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB=，a=10，△ABC的面积为42，则b+的值等于( )A．B．C．D．16考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由cosB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积，将a，sinA以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，利用正弦定理求出的值，即可确定出原式的值．解答：解：：∵cosB=，B为三角形内角，∴sinB==．∵a=10，△ABC的面积为42，∴ac•sinB=42，即3c=42，解得：c=14，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=100+196﹣224=72，即b=6．再由正弦定理可得===10，∴b+=16，故选：B．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．12．已知曲线C：y=（﹣2≤x≤0）与函数f（x）=log a（﹣x）及函数g（x）=a﹣x（其中a＞1）的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x12+x22的值为( )A．16 B．8 C．4 D．2考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数与反函数，以及圆关于y=x对称，推出A，B的坐标关系，然后求出所求表达式的值．解答：解：因为函数f（x）=log a（﹣x）和g（x）=a﹣x（其中a＞1）是互为反函数，图象关于y=﹣x对称，又圆也关于y=﹣x对称，所以圆C：x2+y2=4与函数f（x）=log a（﹣x）和g（x）=a﹣x（其中a＞1）的图象，如图所示在第二象限的交点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2），满足y1=﹣x2，y2=﹣x1，所以x12+x22=4．故选：C点评：本题主要考查了反函数的性质，关于直线y=﹣x对称，关键是求出点在第二象限，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线y=x2+1与直线x=0，x=1及x轴所围成的图形的面积是．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：确定积分公式中x的取值范围，根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可解答：解：由题意，S=（x2+1）dx=（）=，故答案为：．点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．14．﹣=﹣4．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：将所求关系式通分，利用三角恒等变换与二倍角的正弦即可求得答案．解答：解：原式=﹣====﹣4，故答案为：﹣4．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．15．函数y=sinx+cosx+sinxcosx，（x∈R）的值域是．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：令t=sinx+cosx∈，则函数即y═（t+1）2﹣1，再利用二次函数的性质求得函数的值域．解答：解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈，则有t2=1+2sinxcosx，故函数y=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t+1）2﹣1，∴当t=﹣1时，函数取得最小值为﹣1，当t=时，函数取得最大值为+，故函数的值域为，故答案为：．点评：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．16．设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．解答：解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx﹣sinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2．由，得a2+a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0．令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2，则m∈，．∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2﹣4mn﹣4=（m﹣n）2﹣4，∴0≤（m﹣n）2﹣4≤4，．当m﹣n=时，m+n=0，又=．∴﹣1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围，是有一定难度题目．四、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=l，且，求角B．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）通过已知表达式，利用正弦定理，以及三角形的内角和，转化sinB=sin（A+C），通过两角和的正弦函数，化简可求A的余弦值，即可求角A；（Ⅱ）利用a=l，以及，通过正弦定理，三角形的内角和，转化方程只有B的三角方程，结合B的范围，求角B．解答：解：（Ⅰ）由，可得sinAcosC+sinC=sinB．而sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．可得sinC=cosAsinC，sinC≠0，所以=cosA，A∈（0，π），所以A=；（Ⅱ）因为a=l，由，即，由正弦定理得sinC﹣2sinB=sinA，∵A=C=，∴sin（）﹣2sinB=，整理得cos（B+）=，∵，∴B+∈∴B+=，所以B=．点评：本题考查正弦定理与两角和的正弦函数的应用，三角形的内角和以及三角函数值的求法，考查计算能力．18．已知函数y（x）=cosx•sinx（x+）﹣cos2x+，．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）的值域．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换把函数f（x）转化成正弦型函数f（x）=，进一步利用整体思想求出单调递增区间．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，进一步利用定义域求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）+=cosx﹣cos2x+=sinxcosx+﹣==则：（k∈Z）解得：（k∈Z）单调增区间为：x∈（k∈Z）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x所以：即：f（x）故答案为：（Ⅰ）x∈（k∈Z）（Ⅱ）f（x）点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型三角函数的单调区间，根据定义域求正弦型三角函数的值域．19．已知x=﹣2和x=1为函数f（x）=x2e x﹣1+ax3+bx2（a，b∈R）的两个极值点．（1）求a和b的值（2）设g（x）=，比较f（x）和g（x）的大小．考点：利用导数研究函数的极值；函数单调性的性质．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）根据题意，求出f（x）的导函数，令导函数在﹣2，1处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．（2）求出f（x）﹣g（x）的解析式，将差因式分解，构造函数h（x），利用导函数求出h（x）的最小值，判断出差的符号，判断出f（x）与g（x）的大小关系．解答：解：（1）f'（x）=2xe x﹣1+x2e x﹣1+3ax2+2bx=xe x﹣1（x+2）+x（3ax+2b），由x=﹣2和x=1为f（x）的极值点，得即解得（2）由（1）得f（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2，故f（x）﹣g（x）=x2e x﹣1﹣x3﹣x2﹣（）=x2（e x﹣1﹣x）．令h（x）=e x﹣1﹣x，则h'（x）=e x﹣1﹣1．令h'（x）=0，得x=1．h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：x （﹣∞，1） 1 （1，+∞）h'（x）﹣0 +h（x）↘0 ↗由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（﹣∞，+∞）时，h（x）≥h（1），也就是恒有h（x）≥0．又x2≥0，所以f（x）﹣g（x）≥0，故对任意x∈（﹣∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0；考查利用导数判断函数的单调性、考查通过导数求函数的最值进一步证明不等式．属于中档题．20．△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，C=，a+b=λc，（λ＞1）（Ⅰ）若λ=，求证：△ABC为直角三角形（Ⅱ）若S△ABC=，且c=3，求λ．考点：三角形的形状判断；余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）依题意，a+b=λc=c，又△ABC中，C=，利用余弦定理可得a2+b2+2ab=3c2=3（），继而可求得a=2b或b=2a，于是易判断△ABC为直角三角形；（Ⅱ）S△ABC=absin=⇒ab=λ2①，又c=3，a+b=3λ②，利用余弦定理可得λ2=4，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵λ=，∴a+b=λc=c，又△ABC中，C=，∴a2+b2+2ab=3c2=3（），∴（a﹣2b）（2a﹣b）=0，∴a=2b或b=2a，当a=2b时，c=a+b=3b，c=b，b2+c2=b2+3b2=4b2=a2，故△ABC为直角三角形；当b=2a时，同理可得，a2+c2=b2，故△ABC为直角三角形；综上所述，λ=时，△ABC为直角三角形．（Ⅱ）∵S△ABC=absin=，∴ab=λ2①，又c=3，∴a+b=3λ②，∴9=c2=a2+b2﹣2abcos=3c2=（a+b）2﹣3ab=9λ2﹣3×λ2=λ2，∴λ2=4，λ＞0，故λ=2．点评：本题考查三角形形状的判断，突出考查余弦定理与整体代换的思想，考查综合运算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=﹣2ax+lnx（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性（2）若，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞b（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对任意1＜a＜2恒成立，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数判断函数的单调性，f′（x）=ax﹣2a+=，对a分类讨论即可得出结论；（2）由（1）中a的范围可判断f（x）在（0，x1），（x1，x2），（x2，+∞）上的单调性及x2=1+＜1+，可得f（x）在单调性，从而可求f（x）max=f（2），由已知整理可得不等式ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．通过研究函数g（a）=ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1的单调性可求．解答：解：（1）∵f（x）=﹣2ax+lnx（a≠0）．∴f′（x）=ax﹣2a+=，由ax2﹣2ax+1=0，解得x1=，x2=，∴当a＞0时，f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，当a＜0时，f（x）在（0，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减．（2）由ax2﹣2ax+1=0，解得x1=，x2=，而f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增∵1＜a＜2，∴x2=1+＜1+，∴f（x）在单调递增，∴在上，f（x）max=f（2）=﹣2a+ln2．∴∃x0∈，使不等式f（x0）+ln（a+1）＞b（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2对∀a∈M恒成立，等价于不等式﹣2a+ln2+ln（a+1）＞b（a2﹣1）﹣（a+1）+2ln2恒成立，即不等式ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1＞0对任意的a（1＜a＜2）恒成立．令g（a）=ln（a+1）﹣ba2﹣a+b﹣ln2+1，则g（1）=0，g′（a）=，①当b≥0时，g′（a）=＜0，g（a）在（1，2）上递减．g（a）＜g（1）=0，不合题意．②当b＜0时，g′（a）=，∵1＜a＜2若﹣（1+）＞1，即﹣＜b＜0时，则g（a）在（1，2）上先递减，∵g（1）=0，∴1＜a＜2时，g（a）＞0不能恒成立；若﹣（1+）≤1，即b≤﹣时，则g（a）在（1，2）上单调递增，∴g（a）＞g（1）=0恒成立，∴b的取值范围为（﹣∞，﹣]．点评：本题主要考查了函数的导数的应用：函数的单调性及函数的最值中的应用，要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用，属于难题．五、请在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；（2）求．考点：弦切角；与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）根据弦切角定理，推导出△ABC∽△DBA，由此能求出AB的长．（2）根据切割线定理，推导出△ABC∽△DBA，得，，由此能求出．解答：解：（1）根据弦切角定理，知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，∴△ABC∽△DBA，则，故．…（2）根据切割线定理，知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，两式相除，得（*）由△A BC∽△DBA，得，，又，由（*）得．…点评：本题考查线段长的求法，考查两线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式：1≤f（x）+f（x﹣1）≤2；（2）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（a）．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥1，故只须解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2即可，通过对x分x≤1，1＜x≤2，x＞2三类讨论，去掉绝对值符号，解之即可；（2）当a＞0时，求得f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|，利用绝对值不等式的性质可得|ax ﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=f（a），从而可证结论．解答：解：（1）由题f（x）+f（x﹣1）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1．因此只须解不等式f（x）+f（x﹣1）≤2．…当x≤1时，原不式等价于﹣2x+3≤2，即≤x≤1．当1＜x≤2时，原不式等价于1≤2，即1＜x≤2．当x＞2时，原不式等价于2x﹣3≤2，即2＜x≤．综上，原不等式的解集为{x|≤x≤}．…（2）由题f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣a|x﹣1|．当a＞0时，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣1|﹣|ax﹣a|=|ax﹣1|﹣|a﹣ax|≤|ax﹣1+a﹣ax|=|a﹣1|=f（a）．…点评：本题考查：绝对值不等式的解法，掌握双绝对值不等式的性质，通过分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．。
2014-2015年内蒙古包头市北重三中高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．143．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．64．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣45．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+16．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．19．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有条．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案涂在答题卡上）1．（5分）已知命题p：x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0，则命题p 是命题q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．既不充分又不必要D．充要【解答】解：若x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，则a+b+c=0，若a+b+c=0，则c=﹣a﹣b，则ax2+bx+c=0等价为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x﹣1）（x+1）+b（x﹣1）=（x﹣1）[a（x+1）+b]=0，则由x﹣1=0，解得x=1，即x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，故命题p是命题q的充要条件，故选：D．2．（5分）以S n表示等差数列{a n}的前n项和，若a2+a7﹣a5=6，则S7=（）A．42B．28C．21D．14【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a7﹣a5=6，∴（a1+d）+（a1+6d）﹣（a1+4d）=6，∴a1+3d=6，即a4=6，∴S7=（a1+a7）=×2a4=7a4=42故选：A．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．1B．4C．5D．6【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（1，2.5）．结合可行域可知当动直线经过点A（1，2.5）时，目标函数取得最大值z=1+2×2.5=6．故选：D．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，∴到椭圆的右焦点为（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），∴p=4，故选：C．5．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1C．44D．44+1【解答】解：由a n=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，两式相减得：a n+1则a n=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，+1得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选：A．6．（5分）双曲线my2﹣x2=1的一个顶点在抛物线y=x2的准线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．2D．【解答】解：抛物线y=x2的准线为y=﹣，即有双曲线的一个顶点为（0，﹣），双曲线my2﹣x2=1即为﹣x2=1，则=，则m=4，则有a=，b=1，c==，则e==．故选：A．7．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（）A．10B．8C．D．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T=，最大值为1，过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选：B．8．（5分）给出下列说法：①命题“若α=，则sin α=”的否命题是假命题；②命题p：“∃x0∈R，使＞1”，则¬p：“∀x∈R，sin x≤1”；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，），使sin x+cos x=”，命题q：“在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B”，那么命题￢p∧q为真命题．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：①原命题的否命题为“若α≠，则sin α≠”，当α=时，满足α≠，但sin α=，所以原命题的否命题是假命题，所以①的判断正确．②特称命题的否定是全称命题，所以¬p：“∀x∈R，sin x≤1，所以②正确．③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=+kπ（k∈Z），所以φ=+2kπ（k∈Z）不是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，所以③错误．④因为，当x∈（0，）时，，此时，所以命题p为假命题．在△ABC中，若sin A＞sin B，由正弦定理得a＞b，根据大边对大角关系可得，A ＞B，所以命题q为真，所以￢p为真，所以命题￢p∧q为真命题，所以④正确．故选：B．9．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．10．（5分）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F做倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则的值为（）A．3B．C．1D．【解答】解：设直线l的方程为：x=（y﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入抛物线方程，消去x可得12y2﹣20py+3p2=0，解方程得y1=，y2=由抛物线的性质知，==故选：B．11．（5分）已知正项等比数列{a n}满足S8=17S4，若存在两项a m，a n使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．1+C．D．【解答】解：经验证q=1不成立，∴q＞0且q≠1．∵S8=17S4，∴利用等比数列的求和公式可化为q8﹣17q4+16=0，解得q4=1或16．又q＞0且q≠1，∴q=2．∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴=4a1，m+n=6．∴+=（+）（m+n）=（6++）≥1+，当且仅当=时取等号．∵m，n都应该为整数+的最小值是．故选：A．12．（5分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是AD、A′D′的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N 在底面A′B′C′D′上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与二面角A﹣A′D′﹣B′所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知|FP|=|MN|=1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球面的．于是所求的体积是×（π×13）=π．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上．）13．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 ，故水面宽为m．故答案为：．14．（5分）过双曲线2x2﹣y2=2的右焦点F的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有3条．【解答】解：将双曲线化为标准形式可得：x2﹣=1，则a=1，b=；若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，长度为=4，此时只有一条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=2，距离无最大值，结合双曲线的对称性，可得此时有2条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故答案为3．15．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1] ．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．16．（5分）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是（，1）．【解答】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，∴|PF1|=|F1F2|=10，即c=5，|PF2|=10﹣2a2，又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．故∈（1，2）．∴a2∈（，5），设椭圆的半实轴长为a1，则|PF1|+|PF2|=2a1=20﹣2a2，即a1=10﹣a2∈（5，）故e=∈（，1）故答案为：（，1）三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程．）17．（10分）焦点分别为F1，F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，求椭圆C的方程．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且△MF2F1的面积为，∴，=，∵a2=b2+c2，∴c=，a=，b=，∴椭圆C的方程为．18．（12分）△ABC中，A、B、C是三角形的三内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，且△ABC的面积为，求b+c的值．【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A为三角形内角，∴A=；=，（2）∵a=，A=，S△ABC∴由面积公式得：bcsin=，即bc=6①，由余弦定理得：b2+c2﹣2bccos=7，即b2+c2﹣bc=7②，变形得：（b+c）2=25，则b+c=5．19．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；q：实数x满足≥0，且￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：由￢p是￢q的必要不充分条件，转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件，即p 是q的充分不必要条件，也就是p推出q且q不能推出p．…（4分）化简条件p得，A={x|3a＜x＜a，a＜0}，化简条件q得，B={x|x＜﹣4或x≥﹣2}．…（8分）由A⊊B，得或解得a≤﹣4或﹣≤a＜0．…（12分）20．（12分）（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．求：（1）点D到平面EE1C的距离；（2）求三棱锥E1﹣FCC1的体积【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得D（0，0，0），E（1，0，0），E1（2，0，1），C（﹣1，，0），=（1，0，1），=（﹣2，，0），设平面EE1C的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，2，﹣），=（1，0，0），∴点D到平面EE1C的距离：d===．（2）由题意得CC1⊥CF，CC1=CF=2，∴=，∵平面CC1F∥平面DAA1D1，∴平面CC1F的法向量=（0，1，0），∵=（﹣3，，﹣1），∴E1到平面FCC1的距离h===，∴三棱锥E1﹣FCC1的体积V=•h==．21．（12分）已知函数f（x）=x2+bx为偶函数，数列{a n}满足a n+1=2f（a n﹣1）+1，且a1=3，a n＞1．（1）设b n=log2（a n﹣1），求证：数列{b n+1}为等比数列；（2）设c n=nb n，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵函数f（x）=x2+bx为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴b=0∵a n=2f（a n﹣1）+1，+1﹣1=2（a n﹣1）2，∴a n+1∵b n=log2（a n﹣1），=1+2b n，∴b n+1∴b n+1=2（b n+1）+1∴数列{b n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列（2）解：由（1）可得，b n+1=2n，∴b n=2n﹣1∴c n=nb n=n•2n﹣n，∴S n=1•2+2•22+…+n•2n﹣令T=1•2+2•22+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1两式相减可得，﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2﹣．22．（12分）如图，已知圆G：x2+y2﹣2x﹣y=0，经过椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．【解答】解：（1）过点F、B，∴F（2，0），，故椭圆的方程为（2）直线l：消y得2x2﹣2mx+（m2﹣6）=0由△＞0⇒，又⇒设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2=m ，，，，∴∵F 在圆E 的内部，∴，又⇒．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
内蒙古自治区高二上学期期中数学试卷(理科)C卷
内蒙古自治区高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二下·和平期中) 曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处切线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （2分）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条3. （2分）抛物线的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M 在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A .B .C . 1D .4. （2分）已知直线l1：x+m2y+6=0，l2：（m﹣2）x+3my+2m=0，l1∥l2 ，则m的值是（）A . m=3B . m=0C . m=0或m=3D . m=0或m=﹣15. （2分） (2017高二下·新余期末) 关于x，y的方程y=mx+n和 + =1在同一坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .6. （2分）直线与圆的位置关系是（）A . 相离B . 相切C . 相交且过圆心D . 相交但不过圆心7. （2分）过双曲线的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·唐山期中) 已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则点M 的轨迹是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线9. （2分）直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A . 2B . 2C .D . 110. （2分） (2016高二下·渭滨期末) 已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|=3（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（）A . 直线B . 双曲线C . 抛物线D . 椭圆11. （2分） (2016高一下·厦门期中) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A . （x﹣2）2+（y+1）2=3B . （x+2）2+（y﹣1）2=3C . （x﹣2）2+（y+1）2=9D . （x+2）2+（y﹣1）2=312. （2分） (2017高二上·玉溪期末) 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点A（4，3，2）和点B（2，5，4）的距离相等，则点M的坐标是________14. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1（﹣，0），点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________，离心率是________．15. （1分） (2016高二上·泰州期中) 已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为________16. （1分） (2019高二上·怀仁期中) 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.三、解答题 (共4题；共35分)17. （10分） (2016高二上·襄阳期中) 已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．18. （10分） (2017高一上·石嘴山期末) 已知，圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2 时，求直线l的方程．19. （10分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为2，直线与抛物线交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程.20. （5分） (2017高二上·南阳月考) 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被真线截得的弦长为，求此抛物线方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、7-1、答案：略8-1、9-1、答案：略10-1、答案：略11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共35分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、。
2014-2015年内蒙古包头市北重三中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．64111．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为（填形状）15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为．16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2014-2015学年内蒙古包头市北重三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（5分）已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=（）A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i【解答】解：∵（1﹣i）=2，∴，则z=1﹣i．∴25=（1﹣i）5=（1﹣i）4（1﹣i）=﹣4（1﹣i）=﹣4+4i．故选：B．2．（5分）若A={x|log2（x﹣4）＜1}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}，则A∩B=（）A．[﹣10，6）B．（4，6） C．（6，11] D．（0，11]【解答】解：∵A={x|log2（x﹣4）＜1}={x|0＜x﹣4＜2}={x|4＜x＜6}，B={y|y=3x+2，﹣4≤x≤3}={x|﹣10≤x≤11，∴A∩B=（4，6），故选：B．3．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）向左平移个单位，所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位后得：g（x）=f（x+）=sin（2x+φ+），∵g（x）=sin（2x+φ+）的图象关于y轴对称，∴g（x）=sin（2x+φ+）为偶函数，∴φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=kπ+，k∈Z．∵φ＞0，∴φmin=．故选：B．4．（5分）下列各式中最小值为2的是（）A．B．C．e x+e﹣x（x∈R）D．【解答】解：A．∵，∴sinx∈（0，1），∴=2，因此无最小值．B.=+＞2，因此无最小值；C．e x+e﹣x=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值为2．D．x＜0时，＜2，最小值不可能是2．综上可得：只有C满足题意．故选：C．5．（5分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选：B．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．7．（5分）已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点D、E在AB上，满足，，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===，其中=0，=4×5×=16，=5×3×（﹣）=﹣9，=25，所以=×16﹣×（﹣9）﹣=；故选：C．8．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（﹣∞，﹣4）上为增函数，且函数y=f（x﹣4）为偶函数，则（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣7）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（﹣8）＞f（0）【解答】解：∵y=f（x﹣4）为偶函数；∴f（﹣3）=f（1﹣4）=f（﹣1﹣4）=f（﹣5）；f（﹣2）=f（2﹣4）=f（﹣2﹣4）=f（﹣6）；f（0）=f（4﹣4）=f（﹣4﹣4）=f（﹣8）；又f（x）在（﹣∞，﹣4）为增函数；∴f（﹣5）=f（﹣3）；f（﹣7）＜f（﹣5），即f（﹣7）＜f（﹣3）；f（﹣6）＜f（﹣5），即f（﹣2）＜f（﹣3）；f（﹣8）=f（0）；∴B正确．故选：B．9．（5分）若β=α+30°，则sin2α+cos2β+sinαcosβ=（）A．B．C．cos2βD．sin2α【解答】解：∵β=α+30°，∴cos2β=（cosαcos30°﹣sinαsin30°）2=cos2α﹣sinαcosα+sin2αsinαcosβ=sinαcos（α+30°）=sinα（cosαcos30°﹣sinαsin30°）=sinαcosα﹣sin2α∴sin2α+cos2β+sinαcosβ=sin2α+（cos2α﹣sinαcosα+sin2α）+（sinαcosα﹣sin2α）=sin2α+cos2α+sin2α﹣sin2α=sin2α+cos2α=（sin2α+cos2α）=故选：B．10．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638 B．639 C．640 D．641【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a 1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选：C．11．（5分）对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1|≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3，当且仅当x∈[0，1]，y∈[﹣1，1]成立．故选：C．12．（5分）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0}B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，则a=0．【解答】解：∵f（x）=x2+|x﹣a|具有奇偶性，∴f（x）=f（﹣x）或f（x）+f（﹣x）=0，∴a=0，故答案为：0．14．（5分）在△ABC中，若A=，sinB=cosC 则△ABC为等腰直角三角形（填形状）【解答】解：在△ABC中，sinB=cosCsin（A+C）=cosC若A=，则：tanC=10°＜C＜135°C=45°所以：有三角形内角和定理得：B=90°所以：△ABC为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形15．（5分）已知命题p：f（x）=a x为增函数，q：函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，若p且q 为假，p或q为真，则a的取值范围为（0，1）∪（4，+∞）．【解答】解：∵f（x）=a x为增函数，∴a＞1，∴p：a＞1，∵函数q（x）=x+（a＞0）在[2，+∞）上单调递增，∴，q：0＜a≤4，∵若p且q 为假，p或q为真，∴p，q一真一假，当p真q假时，即a＞4，当p假q真时，，即0＜a＜1，a的取值范围为：a＞4或0＜a＜1，故答案为：（0，1）∪（4，+∞）16．（5分）设数列{a n}中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和等于78．【解答】解：∵a n+（﹣1）n a n=2n﹣1，+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，a8﹣a7=13，a9+a8=15，a10﹣a9=17，a11+a10=19，a12﹣a11=21，∴从第一项开始，相邻的两个式子作差得：a1+a3=a5+a7=a9+a11=2，即依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，相邻的两个式子相加得：a4+a2=8，a6+a8=24，a12+a10=40，即依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．以上式子相加可得，S12=a1+a2+…+a12=（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+（a2+a4）+（a6+a8）+（a10+a12）=3×2+8+24+40=78故答案为：78．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设函数f（x）=x3+bx2+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数，且F（1）=﹣11（1）求b、c、d的值；（2）求F（x）的单调区间与极值．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x+d﹣c，∵F（x）是奇函数，∴b﹣3=0，且d﹣c=0，即b=3，d=c．∴F（x）=x3+（c﹣2b）x．∵F（1）=﹣11，∴F（1）=1+c﹣2b=﹣11，即c﹣2b=﹣12，∴c=2b﹣12=﹣6，又d=c，可得d=﹣6．综上知，b=3，c=﹣6，d=﹣6．（2）由（1）知f（x）=x3+3x2﹣6x﹣6．f'（x）=3x2+6x﹣6，∴F（x）=f（x）﹣f′（x）=x3﹣12x，∴F′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），∴当x＜﹣2或x＞2时，F′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，F′（x）＜0，∴F（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2）．∴当x=﹣2时，F（x）=F（﹣2）=（﹣2）3﹣12×（﹣2）=16，极大值=F（2）=23﹣12×2=﹣16．当x=2时，F（x）极小值∴函数单调递增，无极值．即函数F（x）的单调区间是R，无极值．18．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）三角形ABC中，∵sinB+sin（A﹣C）=2sin2C，∴sin（A+C）+sin（A﹣C）=4sinCcosC，∴sinA=2sinC，或cosC=0．∴a=2c，或C=90°（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）．由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，∴b=c，∴cosB===．（Ⅱ）∵b=，cosB=，∴ac=b2=3，sinB=，∴△ABC的面积S=ac•sinB=．19．（12分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求•+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．【解答】解：（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以•=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|•|sin θ=sin θ，所以•+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，•+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n+1}是公比为2的等比数列，∴S n+1=2n﹣1（S1+1）=2n﹣1（a1+1）①S n﹣1+1=2n﹣2（a1+1）②①﹣②得a n=2n﹣2（a1+1），n≥2a2=a1+1，a3=2（a1+1）a2是a1和a3的等比中项，故a22=a1a3，（a1+1）2=a1•2（a1+1），解得a1=1，（a1=﹣1则a2=0不合题意舍去）故a n=2n﹣1．（2）由a n=2n﹣1，知na n=n×2n﹣1，∴T n=1×20+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，①2T n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，②②﹣①得T n=n×2n﹣（20+21+22+23+…+2n﹣1）=n×2n﹣=n×2n﹣2n+1．21．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna，由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f′（x）=0有唯一解x=0．所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，即y=f（x）的图象与两条平行于x轴的两条直线y=t±1共有三个交点．不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，极小值f（0）=1也是最小值，当x→±∞时，f（x）→+∞．∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有两个根，f（x）=t﹣1只有一个根．∴t﹣1=f min（x）=f（0）=1，∴t=2．（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））≥e﹣1，min由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1），当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）．综合可得，①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a ≥e．②当0＜a＜1时，由，综上知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若，求的值．【解答】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC（2分）∴OD∥AE又AE⊥DE（3分）∴DE⊥OD，又OD为半径∴DE是的⊙O切线（5分）（II）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB（6分）设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x（7分）由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x（8分）又由△AEF∽△DOF可得∴【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】（共1小题，满分0分）23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α是参数）．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．【解答】解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
内蒙古北方重工三中高三数学上学期12月月考试卷理(含解析)
内蒙古北方重工三中2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项符合要求的）1．若复数z满足（3+4i）z=4﹣3i，则z的虚部为( )A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=4﹣3i，∴===﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若x，y∈R，，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=( )A．（2，+∞）B．∪（2，+∞） D．∪B={y|y=3x，x＞0}=A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p假q真D．p，q均为假命题考点：复合命题的真假．专题：常规题型．分析：先求出曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程，判定命题p的真假，然后利用列举法说明命题q是假命题，最后根据复合命题的真值表可得结论．解答：解：命题p：y′=﹣e﹣x则y′|x=﹣1=﹣e∴曲线y=e﹣x在点（﹣1，e）处的切线方程是y﹣e=﹣e（x+1）即y=﹣ex故命题p为真命题命题q：2＞﹣2而，故命题q是假命题根据复合命题的真假的真值表可知“p或q”为真，“p且q”为假故选A．点评：本题主要考查了复合命题的真假，以及曲线的切线和不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．5．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．解答：解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．6．设x，y满足约束条件，则x+2y+3的取值范围是( ) A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=x+2y+3得y=﹣x+z﹣，平移直线y=﹣x+z﹣，aaa由图象可知当直线y=﹣x+z﹣经过点A（0，4）时，直线y=﹣x+z﹣的截距最大，此时z最大．为z=8+3=11，当直线y=﹣x+z﹣经过点O（0，4）时，直线y=﹣x+z﹣的截距最小，此时z最小为z=3，故3≤z≤11故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．7．函数f（x）=( )A．在上递增B．在上递减C．在，（，2π]上递减考点：正切函数的单调性；三角函数的化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简函数的解析式为函数f（x）=，再利用正切函数的单调性得出结论．解答：解：函数f（x）===，故函数f（x）在上递增，故选：A．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正切函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是( )A．1 B．C．D．考点：异面直线及其所成的角；简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：先将三视图转化成空间图形，取AD的中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知∠PBE为异面直线PB与CD所成角，在Rt△PBE中，求出此角的正切值即可．解答：解：取AD的中点E，连接BE，PE，CE，根据题意可知BE∥CD，∴∠PBE为异面直线PB与CD所成角根据条件知，PE=1，BE=，PE⊥BE∴tan∠PBE=故选C．点评：本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及空间图形的三视图等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．9．设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A．B．C．D．3考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；待定系数法．分析：求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．解答：解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2kπ，即，又因为ω＞0，所以k≥1，故≥，故选C点评：本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．10．已知正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P﹣ABC（使P1，P2，P3重合于点P），则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为( ) A．24πB．8πC．4πD．4π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，得折叠成的三棱锥P﹣ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=4、BP=CP=2算出外接球的半径R==，结合球的积公式即可算出三棱锥P﹣ABC的外接球的体积．解答：解：根据题意，得三棱锥P﹣ABC中，AP=2，BP=CP=1∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径2R===，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=，根据球的体积公式，得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为π×（）3=8π，故选：B，点评：本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的表面积公式等知识，属于中档题．11．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立；②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是．其中正确的命题的序号是( )A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据“奇”ד偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0时函数为奇函数，进而根据奇函数定义可判断①；当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故②正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故③正确；当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，b取不同值时，函数的最小值可判断④解答：解：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故①正确；b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故方程f（x）=0，只有一个实数根，故②正确；对于③，因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，当b≤0时，f（x）有最小值是，当b＞0时，f（x）有最小值是c，故④不正确．故选D点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题．12．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，A在曲线y=x2sinx+xcosx，x∈上，则曲线y=f（x）的切线的斜率的最大值是( ) A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用；三角函数的图像与性质．分析：由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，得到d=0，f′（0）=0，f′（p）=0，得到c=0，p=﹣，f′（x）=3ax2﹣3apx，再由A在曲线上，运用两角和的正弦，判断a＜0，b＞0．得到f′（x）≤f′（）==（psinp+cosp），再构造函数g（x）=xsinx+cosx，运用导数求出最大值即可判断．解答：解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，∴f（0）=0，即d=0，f（x）=ax3+bx2+cx，f′（x）=3ax2+2bx+c，f′（0）=0，f′（p）=0，∴c=0，p=﹣，f′（x）=3ax2﹣3apx，设A（p，q），p，q=p2sinp+pcosp=p sin（p+α），tanα=＞0，且＜1，α∈（0，），p+α∈（），即q＞0，f（p）＞f（0），即f（x）分别在x=0和x=p处取极小值和极大值，则a＜0，b＞0．∴f′（x）≤f′（），∵q=f（p）=ap3+bp2=p2sinp+pcosp，∴ap2+bp==psinp+cosp即bp=3（psinp+cosp），∴f′（）==（psinp+cosp），p，令g（x）=xsinx+cosx，g′（x）=xcosx，g′（x）=0，x=，g（x）在解答：解：根据题意画出图形，如图所示：联立直线与抛物线解析式得：，解得：或，设函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与g（x）=﹣x的图象所围成封闭图形的面积为S，则S=∫13dx=（﹣+4x2﹣6x）|13=．故答案为：．点评：此题考查了定积分的运算，考查了数形结合的思想，利用定积分表示封闭图形的面积是解本题的关键．15．在△ABC中，tanA是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，tanB是以﹣4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，则这个三角形是锐角三角形（从锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中选择）．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：由等差数列和等比数列的性质求得角A、B的正切值，判断A，B为锐角，再由两角和的正切求得角C的正切值，判断角C为锐角，则三角形的形状得到判断．解答：解：由题意得，，即tanA=3，∵A∈（0，π），∴A为锐角；4=﹣4+4tanB，即tanB=2，∵B∈（0，π），∴B为锐角；∴tanC=tan=﹣tan（A+B）=．∵C∈（0，π），∴C为锐角．∴△ABC是锐角三角形．故答案为：锐角三角形．点评：本题考查了等差数列和等比数列性质的应用，考查了两角和的正切，是基础题．16．设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=f（f n﹣1（x））=．考点：归纳推理．专题：函数的性质及应用．分析：观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．解答：解：∵函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，第一部分的系数分别是1，3，7，15…2n﹣1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2n∴f n（x）=f（f n﹣1（x））=故答案为：点评：本题考查归纳推理，实际上本题考查的重点是给出一个数列的前几项写出数列的通项公式，本题是一个综合题目，知识点结合的比较巧妙．三、简答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设向量，=（cosx，cosx），．（1）若∥，求tanx的值；（2）求函数f（x）=•的周期和函数最大值及相应x的值．考点：正弦函数的定义域和值域；平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）利用的充要条件得到，化简求出tanx的值；（2）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，利用两个角和的正弦公式及二倍角公式化简f（x），利用周期公式求出周期；利用整体角处理的思路求出函数的最大值．解答：解：（1）∵，∴，∵，∴cosx≠0，∴，∴．（2）f（x）===．∴．∵，∴当，即时，f（x）取得最大值，最大值为点评：本题考查向量共线的充要条件、向量的数量积公式；考查求三角函数的性质问题应该先化简三角函数含一个角一个函数名的形式，属于一道中档题．18．设{a n}为等比数列，且其满足：S n=2n+a．（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式为，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：（1）n=1时，求出a1，n≥2时，利用a n=S n﹣S n﹣1可求出数列{a n}的通项公式；（2）根据数列{b n}的通项公式为可知数列{b n}的前n项和T n可利用错位相减法进行求解．解答：解：（1）n=1时，a1=2+an≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1∵{a n}为等比数列∴a1=2+a=21﹣1=1∴a=﹣1∴{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（2）①②②﹣①得∴点评：本题主要考查了数列的通项，以及利用错位相减法进行求和，同时考查了计算能力，属于中档题．19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，点E、F分别为VB、VC的中点．平面VAB⊥平面ABC，平面VAC⊥平面ABC．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）若二面角C﹣VB﹣A为90°，且VA=BC=AC，求二面角A﹣VC﹣B的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得EF∥BC，由此能证明EF∥平面ABC．（2）在△ABC内任取一点O，作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于N，由已知得VA⊥BC，作AH⊥VB 于H，作AG⊥VC于G，连结GH，得GH⊥VC，∠AGH为二面角A﹣VC﹣B的平面角，由此能求出二面角A﹣VC﹣B的余弦值．解答：（1）证明：∵点E，F分别为VB、VC的中点，∴EF∥BC，∵BC⊂平面ABC，EF⊈平面ABC，∴EF∥平面ABC．（2）解：在△ABC内任取一点O，作OM⊥AB于M，∵面VAB⊥面ABC，交线为AB，∴OM⊥面VAB，∴VA⊥OM，同理，作ON⊥AC于N，则VA⊥ON，又OM∩ON=O，OM，ON⊂平面ABC，∴VA⊥平面ABC，∴VA⊥BC，作AH⊥VB于H，∵二面角C﹣VB﹣A为90°，∴平面VBC⊥平面VAB，交线为VB，∴AH⊥平面VBC，∴BC⊥AH，∵AH∩VA=A，AH，VA⊂平面VAB，∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥AB，BC⊥VB，作AG⊥VC于G，连结GH，由三垂线定理的逆定理，得GH⊥VC，∴∠AGH为二面角A﹣VC﹣B的平面角，设AC=2，由VA=BC=1，在Rt△VAC中，AC=2，VA=1，VC=，∴=，在Rt△ABC中，AC=2，BC=1，AB==，在Rt△VAB中，VA=1，AB=，VB=2，AH==，在Rt△VGH中，GH==，∴cos∠AG H==，∴二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．20．在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，acosC，bcosB，cosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求的最大值．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由acosC，bcosB，ccosA成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，根据三角形为锐角三角形得到A+C=2B，即可确定出B的度数；（2）原式利用正弦定理化简，由B的度数得到A+C的度数，用A表示出C，代入计算得到一个角的余弦函数，由余弦函数的值域确定出最大值即可．解答：解：（1）由题意得：acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，整理得：sin（A+C）=sin2B，∵△ABC为锐角三角形，∴A+C=2B，∴B=60°；（2）由正弦定理得：===2cos（A﹣60°），∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜90°，0＜C＜90°，∴0＜120°﹣A＜90°，即30°＜A＜90°，∴﹣30°＜A﹣60°＜30°，当A﹣60°=0，即A=60°时，最大值为2．点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．21．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）（a是常数）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）求证：当n≥2，n∈N*时，（1+）（1+）…（1+）＜e．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）函数f（x）=x﹣ln（x+a），定义域为{x|x＞﹣a}．=．对a分类讨论即可得出；（2）函数y=f（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，解得a=0．关于x的方程f（x）+2x=x2+b化为x2﹣3x+lnx+b=0．令g（x）=x2﹣3x+lnx+b，（x∈）．利用导数研究其单调性极值与最值，关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，必须满足，解得即可．（3）由（1）可知：a=1，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，可得：当x≥0时，x＞ln （1+x）．令x=（n∈N*），则．利用“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”即可得出．解答：解：（1）函数f（x）=x﹣ln（x+a），定义域为{x|x＞﹣a}．=．当a≥1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增；当a＜1时，令f′（x）＞0，解得x＞1﹣a，此时函数f（x）在（1﹣a，+∞）上单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣a＜x＜1﹣a，此时函数f（x）在（﹣a，1﹣a）上单调递减．（2）∵函数y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=0，解得a=0．关于x的方程f（x）+2x=x2+b化为x2﹣3x+lnx+b=0．令g（x）=x2﹣3x+lnx+b，（x∈）．==，令g′（x）=0，解得x=或1．令g′（x）＞0，解得1＜x≤2，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＜1，此时函数g（x）单调递减．∵关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，则，解得．∴实数b的取值范围是；（3）由（1）可知：a=1，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，∴当x≥0时，x＞ln（1+x）．令x=（n∈N*）．则．依次取n=2，3，…，n．累加求和可得：++…+＜…+．当n≥2时，=，依次取n=2，3，…，n．则+…+＜+…+=．∴++…+＜1﹣＜1．∴（1+）（1+）…（1+）＜e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．一、选修4-1：几何证明选讲22．选做题如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；（Ⅱ）GH2=GE•GF．考点：与圆有关的比例线段；直线与圆的位置关系．专题：证明题；综合题．分析：（I）连接BC．由已知中AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，由过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，可得∠AGE=90°，进而得到∠FDC=∠AEG，根据圆内接四边形判定定理，即可得到C，D，F，E四点共圆；（Ⅱ）由（I）中C，D，F，E四点共圆，则GCD和GEF分别为圆的两条件割线，则GE•GF=GC•GD，又由已知中GH为圆O的切线，GCD为圆O的割线，由切割线定理可得GH2=GC•GD，进而得到结论．解答：证明：（Ⅰ）连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG．∴∠FDC+∠CEF=180°．∴C，D，F，E四点共圆．（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2=GC•GD．由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．∴△GCE∽△GFD．∴=，即GC•GD=GE•GF，∴CH2=GE•GF．点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段及圆内接四边形的判定，其中根据圆内接四边形判定定理，判断C，D，F，E四点共圆，是解答本题的关键．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹为C．（1）求C的参数方程；（2）直线l的参数方程为（t为参数），点F（1，﹣1），已知l与曲线C交于A、B两点，求|AF|+|BF|的值．考点：参数方程化成普通方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）设C（x，y），则P（x，2y），代入圆P所在的方程可得：x2+4y2=4，化为，取x=2cosθ，y=sinθ，即可得出曲线C的参数方程．（2）把直线l的参数方程（t为参数），代入曲线C的参数方程可得=0，利用|AF|+|BF|=t1+t2即可得出．解答：解：（1）设C（x，y），则P（x，2y），代入圆P所在的方程可得：x2+4y2=4，化为，取x=2cosθ，y=sinθ，可得C的参数方程：，θ为参数．（2）把直线l的参数方程（t为参数），代入曲线C的参数方程可得：=4，化为=0，∴|AF|+|BF|=t1+t2=．点评：本题考查了曲线的参数方程、中档坐标公式、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．一、选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；（Ⅱ）已知a，b，c都是正实数，求证：．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）作差因式分解得（x﹣y）2（x+y），根据题意可得（x﹣y）2（x+y）≥0，从而问题得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a3+b3≥a2b+ab2；b3+c3≥b2c+bc2；c3+a3≥c2a+ca2；上述三式相加即可证得．解答：证明：（Ⅰ）∵（x3+y3）﹣（x2y+xy2）=x2（x﹣y）+y2（y﹣x）=（x﹣y）（x2﹣y2）=（x﹣y）2（x+y），又∵x，y∈R+，∴（x﹣y）2≥0，，x+y＞0，∴（x﹣y）2（x+y）≥0，∴x3+y3≥x2y+xy2．…（Ⅱ）∵a，b，c∈R+，由（Ⅰ）知：a3+b3≥a2b+ab2；b3+c3≥b2c+bc2；c3+a3≥c2a+ca2；将上述三式相加得：2（a3+b3+c3）≥（a2b+ab2）+（b2c+bc2）+（c2a+ca2），∴．…点评：本题考查不等式的证明，利用了综合法．综合法由因导果，作差时应注意因式分解，同时与0 比较．。
内蒙古北方重工集团三中数学高二上期中基础卷(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12996]一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n2．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ）A ．2mnB ．2mnC ．4m nD ．16m n3．(0分)[ID ：12987]已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.84．(0分)[ID ：12983]AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1005．(0分)[ID ：12974]若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排尾” C ．“甲站排头”与“乙站排尾”D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”6．(0分)[ID ：12957]A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( ) A ．14B ．25C ．710D ．157．(0分)[ID ：12944]如图所示是为了求出满足122222018n +++>的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n8．(0分)[ID ：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．49．(0分)[ID ：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A ．15B ．24125C ．48125D ．9612510．(0分)[ID ：12937]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn11．(0分)[ID ：13020]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．(0分)[ID ：13019]设点(a,b)为区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为 A ．13B ．2 3C ．1 2D ．1 413．(0分)[ID ：13017]若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是（ ） A ．13B ．19C ．112D ．11814．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x15．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A．203B．72C．165D．158二、填空题16．(0分)[ID：13128]在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.17．(0分)[ID：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.18．(0分)[ID：13106]某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x=_____________.19．(0分)[ID：13098]从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.20．(0分)[ID：13094]执行如图所示的框图，输出值x=______．21．(0分)[ID：13057]下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y的值为__________．22．(0分)[ID ：13055]从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是______．23．(0分)[ID ：13050]为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.24．(0分)[ID ：13029]从一副扑克牌中取出1张A ，2张K ，2张Q 放入一盒子中，然后从这5张牌中随机取出两张，则这两张牌大小不同的概率为__________． 25．(0分)[ID ：13105]已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；三、解答题26．(0分)[ID ：13208]国家公安机关为给居民带来全方位的安全感，大力开展智慧警务社区建设.智慧警务建设让警务更智慧，让民生更便利，让社区更安全.下表是某公安分局在建设智慧警务社区活动中所记录的七个月内的该管辖社区的违法事件统计数据： 月份 1 2 3 4 5 6 7 违法案件数196101663421116根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，用y a bx =+与(0,01)x y c d b d =⋅<<<哪一个更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求y 关于x 的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）. 参考数据：其中i i v lgy =，7117i i v v ==∑.参考公式：对一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑，v u αβ=-.27．(0分)[ID ：13194]己知集合()[][]{},0,2,1,1M x y x y =∈∈-.（1）若, x y M ∈，且, x y 为整数，求0x y +≥的概率； （2）若,x y M ∈，求0x y +≥的概率.28．(0分)[ID ：13187]2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F .享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.29．(0分)[ID：13174]为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.30．(0分)[ID：13149]甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．(1)求甲等待的时间不多于10分钟的概率；(2)求甲比乙多等待10分钟以上的概率．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．D4．C5．A6．D7．A8．C9．C10．C11．A12．A13．C14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】首先计算出五位数的总的个数然后根据可被或整除的五位数的末尾是偶数或计算出满足的五位数的个数根据古典概型的概率计算公式求出概率即可【详解】因为五位数的总个数为：能被或整除的五位数的个数17．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从18．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题19．【解析】【分析】先求出所有的基本事件再求出满足条件的基本事件根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条共有10个基本事件其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个所以取出的两条对20．-1【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得a=2i=1不满足条件i≥221．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别22．【解析】两球颜色不同的概率是23．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形24．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是25．1【解析】ABC成等差数列所以三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为2124ππ⋅=，所以由几何概型可知42π=m n ，所以2π=m n. 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.3．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m .本题选择D选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C【解析】这12天的AQI指数值的中位数是959293.52+=，故A不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的AQI指数值的平均值为110，故D不正确.故选 C．5．A解析：A【解析】【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断．【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B、C、D中两事件能同时发生，故不是互斥事件；故选A．【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．6．D解析：D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为41 205=，故选D．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．A解析：A 【解析】 【分析】 通过要求122222018n +++>时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容．【详解】 因为要求122222018n +++>时输出，且框图中在“是”时输出，所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k ，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.10．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 11．A解析：A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.12．A解析：A 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：若f （x ）=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数，则02122a b a >⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，即020a a b >⎧⎨-≥⎩，则A （0，4），B （4，0），由4020a b a b +-=⎧⎨-=⎩得8343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即C （83，43）， 则△OBC 的面积S=14423⨯⨯=83． △OAB 的面积S=14482⨯⨯=． 则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为P=OBC OABS S =13， 故选：A ．13．C解析：C 【解析】 【分析】利用分步计数原理求出所有的基本事件个数，再求出点落在直线x ＋y ＝4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式即可求出 【详解】连续抛掷两次骰子出现的结果共有6636⨯=，其中每个结果出现的可能性都是等可能的，点(,)P m n 在直线x ＋y ＝4上包含的有(1,3),(2,2),(3,1)共三个， 所以点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是313612= 故选：C 【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生数学应用、概念理解，数学运算能力，属于中档题.14．D解析：D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.15．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构二、填空题16．【解析】【分析】首先计算出五位数的总的个数然后根据可被或整除的五位数的末尾是偶数或计算出满足的五位数的个数根据古典概型的概率计算公式求出概率即可【详解】因为五位数的总个数为：能被或整除的五位数的个数解析：35【解析】 【分析】首先计算出五位数的总的个数，然后根据可被2或5整除的五位数的末尾是偶数或5计算出满足的五位数的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率即可. 【详解】因为五位数的总个数为：55A =120，能被2或5整除的五位数的个数为：443A =72⨯， 所以7231205P ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查排列组合在数字个数问题方面的应用，难度一般.涉及到不同数字组成的几位数个数问题时，若要求数字不重复，可以通过排列数去计算相应几位数的个数.17．7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法求得样本间隔进行抽取即可求解得到答案【详解】由题意从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生其样本间隔为因为在33～48这16个数中取的数是39所以从解析：7【解析】【分析】根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案．【详解】由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为80016 50=，因为在33～48这16个数中取的数是39，所以从33～48这16个数中取的数是第3个数，所以第1组1～16中随机抽到的数是392167-⨯=．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数.【详解】由茎叶图得1617101920188.5xx+++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.19．【解析】【分析】先求出所有的基本事件再求出满足条件的基本事件根据概率公式计算即可【详解】从5条对角线中任意取出2条共有10个基本事件其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个所以取出的两条对解析：1 2【解析】【分析】先求出所有的基本事件，，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．【详解】从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为某一个等腰三角形的两腰有5个，所以取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为51102=.即答案为12. 【点睛】本题考查概率的求法，涉及到直线、组合、概率等知识，属于中档题．20．-1【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得a=2i=1不满足条件i≥2 解析：−1【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 a =2，i =1不满足条件i ≥2013，执行循环体，a =12，i =2 不满足条件i ≥2013，执行循环体，a =−1，i =3 不满足条件i ≥2013，执行循环体，a =2，i =4…观察规律可知a 的取值周期为3，由于2013=671×3，可得： 不满足条件i ≥2013，执行循环体，a =−1，i =2013 此时，满足条件i ≥2013，退出循环，输出a 的值为−1． 故答案为：−1． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．21．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别解析：9 【解析】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ，乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．22．【解析】两球颜色不同的概率是解析：35【解析】两球颜色不同的概率是252363105C ⨯== 23．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形解析：64 【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.24．【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：其中不同的有８种故概率是 解析：45【解析】试题分析：从这5张牌中随机取出两张的情况有：,,,,,,,,,AK AK AQ AQ KK KQ KQ KQ KQ QQ ，其中不同的有８种，故概率是84105P == 。
内蒙古内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题
3、在ABC ∆中，︒===60,10,15A b a ，则B cos 等于（ ）A 、322-B 、322C 、36-D 、364、已知1,0-<<b a ，则下列不等式成立的是 （ ）A 、2b a b a a >>B 、a b a b a >>2C 、a b a b a >>2D 、2ba ab a >> 5、数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝23，且11112n n na a a -++=(n ∈N *，n ≥2)，则a n 等于 ( ) A 、11n +B 、123n -⎛⎫⎪⎝⎭C 、23n⎛⎫⎪⎝⎭D 、21n +6、设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则ba 11+的最小值为（ ） A 、 8 B 、 4 C 、 2 D 、17、在等差数列{}n a 中,0>n a ,且30...1021=+++a a a ,则65a a ⋅的最大值是（ ）A 、3B 、6C 、9D 、368、已知{a n }是首项为1的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 5＝a 13，则数列{1a n a n ＋1}的前五项和为 ( )A 、1011 B 、511 C 、45 D 、259、在ABC ∆中，︒===45,2,B b x a ，若该三角形有两个解，则x 的取值范围是（ ）A 、2>xB 、2<xC 、222>>xD 、232>>x 10、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝2563，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 13＝83，则log 2(a 6a 8)的值为( ) A 、4 B 、5 C 、16 D 、3211、若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥,43,43,0y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则k 的值是 （ ）A 、 37B 、 73C 、 34D 、 4312、已知数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==)2()12(k n a k n n a kn （*N k ∈），设n n a a a a a n f 212321...)(+++++=-，则=-)2013()2014(f f （ ）A 、20124B 、20134C 、20144D 、20154 二、填空题（每小题5分，共20分）13、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≤+,02,1,42x y x y x 则目标函数y x z -=3的最大值为 。
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内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）不等式|x﹣2|＞x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）2．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1B．C．2D．33．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A．B．（）n﹣1C．（）n D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．7．（5分）在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．368．（5分）已知{a n}是首项为1的等差数列，S n是{a n}的前n项和，且S5=a13，则数列的前5项和为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．10．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则log2（a6a8）的值为（）A．4B．5C．16 D．3211．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}满足a n=（k∈N*），设，则f﹣f=（）A．42012B．42013C．42014D．42015二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为．14．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．15．（5分）有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．16．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|．（1）解不等式f（x）＞6；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，试求a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．19．（12分）已知a＞0，b＞0且a+b=1．求证：（1）；（2）．20．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项为a1=2，且4a1是2a2，a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=a n log2a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．22．（12分）已知f（x）=（x﹣1）2，g（x）=10（x﹣1），数列{a n}满足a1=2，（a n+1﹣a n）g（a n）+f（a n）=0，b n=．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（2）当n取何值时，{b n}取最大值，并求出最大值；（3）若＜对任意m∈N*恒成立，求实数t的取值范围．内蒙古北方重工三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）不等式|x﹣2|＞x﹣2的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，把x=3代入不等式检验．方法二：利用一个数的绝对值大于它本身，这个数一定是负数．解答：解：方法一：特殊值法，把x=1代入不等式检验，满足不等式，故x=1在解集内，排除答案C、D．把x=3代入不等式检验，不满足不等式，故x=3 不在解集内，排除答案B，故答案选A．方法二：∵不等式|x﹣2|＞x﹣2，∴x﹣2＜0，即x＜2∴解集为（﹣∞，2），故选答案A点评：对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值．2．（5分）已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）A．1B．C．2D．3考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．3．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：正弦定理．分析：根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．解答：解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．点评：正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．4．（5分）已知a＜0，b＜﹣1，则下列不等式成立的是（）A．a＞＞B．＞＞a C．＞＞a D．＞a＞考点：不等式比较大小．专题：综合题．分析：由已知可得，，然后根据b2＞1比较a与的大小．解答：解：因为a＜0，b＜﹣1，所以，，又因为b2＞1，所以．故选C．点评：本题考查了不等式的大小比较，考查了代数式的意义和性质，是基础题．5．（5分）数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A．B．（）n﹣1C．（）n D．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：将递推公式变形，得到一个新的等差数列，再求它的通项公式，然后求a n．解答：解：∵（n≥2），∴∵a1=1，a2=，∴∴数列{} 是以1为首项，以公差的等差数列，∴=∴故答案选A点评：本题通过递推公式再构造新的特殊数列，比如等差或等比数列，利用等差或等比数列的知识求解问题．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．考点：基本不等式；等比数列的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值解答：解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．7．（5分）在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（）A．3B．6C．9D．36考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质得到项数之和为11的两项之和相等，利用此性质化简已知的等式，可得出a5+a6的值，由a n＞0，得到a5＞0，a6＞0，利用基本不等式即可求出a5•a6的最大值．解答：解：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6，又a1+a2+…+a10=30，∴a1+a2+…+a10=5（a5+a6）=30，可得：a5+a6=6，∵a n＞0，∴a5＞0，a6＞0，∴a5•a6≤=9，当且仅当a5=a6时取等号，则a5•a6的最大值等于9．故选：C．点评：此题考查了等差数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键，是中档题．8．（5分）已知{a n}是首项为1的等差数列，S n是{a n}的前n项和，且S5=a13，则数列的前5项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出d．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S5=a13，∴，解得d=2．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==．∴数列的前n项和T n=+…+=．∴T5==．故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．考点：正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x 的范围即可．解答：解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90°时，圆与AB相切；当A=45°时交于B点，也就是只有一解，∴45°＜A＜90°，＜sinA＜1，由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x=2sinA，∵2sinA∈（2，）．∴x的取值范围是（2，）．故选：C点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则log2（a6a8）的值为（）A．4B．5C．16 D．32考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设正项等比数列{a n}的公比为q（q≠1）⇒数列{}是公比为的等比数列，依题意可求得q12=32，从而可得log2（a6a8）的值．解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q，显然q≠1，∵S13==；①又数列{}是公比为的等比数列，∴++…+===；②得：q12=32，又a6a8=q12=32，∴log2（a6a8）=log232=5．故选：B．点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先根据约束条件：，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．解答：解：满足约束条件：，平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（，）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分，当x=，y=时，代入直线的方程得：k=，故选A．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．12．（5分）已知数列{a n}满足a n=（k∈N*），设，则f﹣f=（）A．42012B．42013C．42014D．42015考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列{a n}满足a n=（k∈N*），可得，f（n﹣1）=a1+a2+…++．可得f（n）=+=[1+3+…+（2n﹣1）]+f（n﹣1），利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a n=（k∈N*），，f（n﹣1）=a1+a2+…++．∴f（n）=+=[1+3+…+（2n﹣1）]+f（n﹣1），∴f（n）﹣f（n﹣1）==4n﹣1．∴f﹣f=42013．故选：B．点评：本题考查了递推式的定义、分段函数的意义、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设x，y满足约束条件x，则目标函数z=3x﹣y的最大值为5．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解答：解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=3x﹣y过点C（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故填：5．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（5分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．考点：正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：由+=6cosC，结合余弦定理可得，，而化简+==，代入可求解答：解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：4点评：本题主要考查了三角形的正弦定理与余弦定理的综合应用求解三角函数值，属于基本公式的综合应用．15．（5分）有一道解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知，，求角A．经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=60°，试将条件在横线处补全．考点：正弦定理．专题：计算题；开放型．分析：要把横线处补全，就要把A的度数作为已知条件求c的值，由a，A和B的度数，根据正弦定理求出b的长，再由三角形的内角和定理求出C的度数，由a，b及cosC，利用余弦定理即可求出c的长．解答：解：根据正弦定理得：=，a=，sinB=，sinA=，所以b==，又C=180°﹣45°﹣60°=75°，所以cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=，所以c2=a2+b2﹣2abcosC=3+2﹣2×==，则c=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的余弦函数公式化简求值，是一道中档题．把A的度数看做已知条件求c的长度是解本题的基本思路．16．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a 2=2，则数列{a n}的通项公式是．考点：数列的应用；数列的函数特性．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：设，利用已知可得A 1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n．解答：解：设，∵OA 1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）设函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|．（1）解不等式f（x）＞6；（2）若关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，试求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x﹣2|+|x+3|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞6，（2）把关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）≤|2a﹣1|的解集非空，求函数f（x）的最小值即可求得a的取值范围．解答：解：（1）解：f（x）=①由，解得x＜﹣3；②，解得﹣3≤x＜﹣1；③，解得x＞；综上可知不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣1}．（2）因为f（x）=|2x﹣2|+|x+3|≥4，所以若f（x）≤|2a﹣1|的解集不是空集，则|2a﹣1|≥f（x）min=4，解得：a≥或a≤﹣．．即a的取值范围是：a≥或a≤﹣．点评：考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想．属中档题，求解问题（2）体现了转化的数学思想，属中档题．18．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．考点：解三角形；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．解答：解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．19．（12分）已知a＞0，b＞0且a+b=1．求证：（1）；（2）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）（）（a+b）利用均值不等式证明．（2）平方转化证明即可．解答：证明：（1）∵a＞0，b＞0且a+b=1，∴=（）=2≥2+2=4．∴；（2）要证．只需a+b+1﹣2≤4，即﹣2≤1，显然成立，∴原不等证成立．点评：本题考查了利用均值不等式法证明不等式，平方转化证明，属于容易题．20．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项为a1=2，且4a1是2a2，a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=a n log2a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（Ⅰ）欲求数列{a n}的通项公式，因为数列{a n}为等比数列，a1=2，所以只需求出q，根据4a1是2a2，a3，的等差中项，就可找到含q的方程，解出q即可．（Ⅱ）先把（Ⅰ）所求数列{a n}的通项公式代入b n=a n log2a n，化简，即得数列{b n}的通项公式，再利用错位相减法，求和即可．解答：解：（Ⅰ）∵数列{a n}为等比数列，a1=2，∴a2=a1q=2q，a3=a1q2=2q2∵4a1是2a2，a3，的等差中项，∴8a1=2a2+a3，即，16=2或=4q+2q2解得，q=2或q=﹣4∵数列{a n}各项均为正数，∴q=﹣4舍去，∴q=2，∴列{a n}的通项公式a n=2n（Ⅱ）把a n=2n代入b n=a n log2a n，得，b n=2n log22n=n2n，∴S n=1×2+2×22+3×23+…+n2n①2S n=1×22+2×23+3×24+…+n2n+1②①﹣②，得﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n2n+1=﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1∴S n=﹣2n+1+2+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2点评：本题考查了等比数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列的和，属于数列的常见题型，应当掌握．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．分析：（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a，b的另一关系式，最后联立方程求出a，b的值．（Ⅱ）通过C=π﹣（A+B）及二倍角公式及sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出∴sinBcosA=2sinAcosA．当cosA=0时求出a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积；当cosA≠0时，由正弦定理得b=2a，联立方程解得a，b的值进而通过absinC求出三角形的面积．解答：解：（Ⅰ）∵c=2，C=，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4，又∵△ABC的面积等于，∴，∴ab=4联立方程组，解得a=2，b=2（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，，，，，求得此时当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得，．所以△ABC的面积综上知△ABC的面积点评：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．22．（12分）已知f（x）=（x﹣1）2，g（x）=10（x﹣1），数列{a n}满足a1=2，（a n+1﹣a n）g （a n）+f（a n）=0，b n=．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（2）当n取何值时，{b n}取最大值，并求出最大值；（3）若＜对任意m∈N*恒成立，求实数t的取值范围．考点：数列与不等式的综合；函数恒成立问题；等比关系的确定．专题：计算题．分析：（1）将a n，代入函数f（x）与g（x）的解析式化简得（a n﹣1）[10×（a n+1﹣a n）+a n ﹣1]=0，所以两边除以a n﹣1，得10（a n+1﹣1）=9（a n﹣1），而a1﹣1=1，{a n﹣1}就是首项为1，公比为的等比数列．（2）求出b n的通项公式，然后研究{b n}的单调性，从而求出n取何值时，b n取最大值，以及最大值；（3）设数列{}，若＜对任意m∈N*恒成立，则数列{}为递增数列，设其通项为c n=为递增数列；那么对于任意的自然数n，我们都有c n+1≥c n，从而求出t的取值范围．解答：证明：（1）由方程，（a n+1﹣a n）g（a n）+f（a n）=0得：（a n+1﹣a n）×10×（a n﹣1）+（a n﹣1）2=0整理得（a n﹣1）[10×（a n+1﹣a n）+a n﹣1]=0；显然由a1=2，则a n显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以a n﹣1；得10×（a n+1﹣a n）+a n﹣1=0．整理后得：10（a n+1﹣1）=9（a n﹣1），a1﹣1=1，{a n﹣1}就是首项为1，公比为的等比数列．解：（2）将a n﹣1=（）n﹣1代入得b n=（）n×（n+2）．b n+1﹣b n=（）n+1×（n+3）﹣（）n×（n+2）=（）n×．∴{b n}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减∴当n取7或8，{b n}取最大值，最大值为9×（）7（3）设数列{}，若＜对任意m∈N*恒成立，则数列{}为递增数列，设其通项为c n=为递增数列；那么对于任意的自然数n，我们都有c n+1＞c n显然我们可以得：＞该不等式恒成立条件是左边的比右边的最大值还要大，就行取n=1．求得t＞∴实数t的取值范围为（，+∞）点评：本题主要考查了等比数列的判定，以及数列的最值和数列的单调性的判定，是一道综合题，有一定的难度．。