2015年4月北京市东城区一模考试高三理科数学试题

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知全集U =R ，集合{|12}A x x =-≤≤，{|3B x x =<-，或4}x >，那么()U AB =ð（A ）{|14}x x -≤≤ （B ）{|32}x x -≤≤ （C ）{|12}x x -≤≤ （D ）{|34}x x -≤≤（2）已知复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a = （A ）2-（B ）12-（C ）2（D ）12（3）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，若事件“30x m -<”发生的概率为16，则实数m = （A ）1（B ）12 （C ）13（D ）16（4）已知点M 的极坐标为2(5,)3π，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为（A ）5()2- （B ）5()2（C ）5(2 （D ）5(2-（5）“1x <”是“12log 0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件D（6）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（A ）2465A A ⨯种 （B ）246A 5⨯种 （C ）2465C A ⨯种 （D ）246C 5⨯种（7）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 （A ）16（B ）6（C （D ）12（8）已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（A ）(0,2) （B ）(0,8) （C ）(2,8) （D ）(,0)-∞第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ． （10）曲线sin (0y x x =≤≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为 ．（11）如图，在△ABC 中，60A ∠=，28AB AC ==，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD CD ⊥于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE = ．O 频率组距a （12）已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为 ．（13）已知函数)(x f 是R 上的减函数，且(2)y f x =-的图象关于点(2,0)成中心对称．若,u v 满足不等式组()(1)0,(1)0,f u f v f u v +-≤⎧⎨--≥⎩则22u v +的最小值为 ．（14）已知x ∈R ，定义：()A x 表示不小于x 的最小整数．如2A =，( 1.2)1A -=-．若(2+1)3A x =，则x 的取值范围是 ；若0x >且(2())5A x A x ⋅=，则x 的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题共13分）在△ABC 中，2b =，3cos 4C =，△ABC ． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin 2A 值．（16）（本小题共13分）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]．规定90分及其以上为合格.（Ⅰ）求图中a 的值（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试，用X 表示这三人中考试合格的人数，求X 的分布列与数学期望.（17）（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，2AB PA BC ===.,D E 分别为,AB AC 的中点，过DE 的平面与,PB PC 相交于点,M N （M 与,P B 不重合，N 与,P C 不重合）.（Ⅰ）求证：MN ∥BC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面PBC 所成角的大小； （Ⅲ）若直线EM 与直线AP所成角的余弦值14时， 求MC 的长. （18）（本小题共13分）已知函数x xax x f ln )(++=，a ∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间)2,1(上单调递增, 求a 的取值范围； （Ⅲ）讨论函数x x f x g -'=)()(的零点个数.（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．（20）（本小题共14分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意n *∈N ，都有n a *∈N ，且1n n a a +<．设集合{|,}m n A n a m m *=≤∈N ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值，我们称数列{}n b 为数列{}n a 的伴随数列． 例如：数列{}n a 是1,3,4,，它的伴随数列{}n b 是1,1,2,3,．(Ⅰ)设数列{}n a 是1,4,5,，请写出{}n a 的伴随数列{}n b 的前5项；(Ⅱ)设1*3()n n a n -=∈N ，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前20项和；（Ⅲ）设*32()n a n n =-∈N ，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 前n 项和n S ．C北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）D （3）A （4）D （5）B （6）D （7）A （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）2（11）2 （12）12（13）12 （14）1(,1]2 5(1,]4注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为3cos 4C =，且0C <<π，所以sin C =． 因为1sin 2S a b C =⋅⋅， 得1a =． …………………6分 （Ⅱ）由余弦定理，2222cos c b a b a C =+-⋅⋅所以c =由正弦定理，sin sin c a C A =，得sin A =所以cos 8A =．所以sin 22sin cos 16A A A =⋅=． …………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由直方图知，(0.010.020.060.07)51a ++++⨯=，解得0.04a =． …………3分 （Ⅱ）设事件A “某名学员交通法规考试合格” ．由直方图知，()(0.060.02)50.4P A =+⨯=. …………6分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为012,3，，.3(0)(10.4)0.216P X ==-=，123(1)C 0.4(10.4)0.432P X ==⋅⋅-=， 223(2)C 0.4(10.4)0.288P X ==⋅⋅-=，3(3)0.40.064P X ===.所以X 的分布列为00.21610.43220.28830.064 1.2EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………13分（17）（共14分）（Ⅰ）证明：因为,D E 分别为,AB AC 的中点，所以DE ∥BC .因为BC ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， 所以DE ∥平面PBC . 因为平面DENM 平面PBC MN =，所以DE ∥MN .所以MN ∥BC . …………………5分（Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内，作BZ ∥AP ，则,,BA BC BZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,2,2)P .y(2,0,0)BC =，(0,2,2)BP =，(2,2,0)AC =-设平面BPC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,220.x y z =⎧⎨+=⎩令1z =-，得1y =，0x =，(0,1,1)=-n .设直线AC 与平面PBC 所成角为α，则1sin |cos ,|||2||||AC AC AC α⋅=<>==n n n .又[0,]2απ∈，所以直线AC 与平面PBC 所成角为6π. …………………10分 （Ⅲ）解：设点M 的坐标为(,,)u v w .因为点M 在棱PB 上，所以可设(01)BM BP λλ=<<. 因为(,,)(0,2,2)u v w λ=，所以(0,2,2)M λλ.(1,21,2)EM λλ=--，(0,0,2)AP =.因为直线EM 与直线AP 所成角的余弦值为14， 设直线EM 与直线AP 所成角为θ， 所以3cos ||14||||EM AP EM AP θ⋅==. 所以281890λλ-+=. 所以34λ=或32λ=. 因为01λ<<， 所以34λ=. 所以33(0,,)22M .因为(2,0,0)C ，所以MC =…………………14分 （18）（共13分）解：（Ⅰ）因为22211)('xax x x x a x f -+=+-=， 由已知()f x 在1x =处取得极值， 所以'(1)0f =.解得2a =，经检验2a =时，()f x 在1x =处取得极小值.所以2a =. ……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，22211)('xax x x x a x f -+=+-=，0x >. 因为)(x f 在区间)2,1(上单调递增，所以0)('≥x f 在区间)2,1(上恒成立.即x x a +≤2在区间)2,1(上恒成立.所以2≤a . ……8分（Ⅱ）因为x x f x g -'=)()(， 所以21()1a g x x x x=-+-，0>x . 令0)(=x g 得x x x a ++-=23，令x x x x h ++-=23)(，0>x .)1)(13(123)(2-+-=++-='x x x x x h .当)1,0(∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 在)1,0(上单调递增， ),1(+∞∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 在),1(+∞上单调递减. 所以max ()(1)1h x h ==.综上：当1>a 时，函数)(x g 无零点，当1=a 或0≤a 时，函数)(x g 有一个零点，当10<<a 时，函数)(x g 有两个零点. ……13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k =． 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ， 则2121()(1)()MQ MP m m k k k k ⋅=---+-+ 2222122m m m k k k =-+-++-． 21(1)(2)m m k=---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分（20）（共14分） 解：(Ⅰ)1,1,1,2,3．………………4分(Ⅱ)由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m ≤+∈N所以当*12,m m ≤≤∈N 时，121b b ==．当*38,m m ≤≤∈N 时，3482b b b ====． 当*920,m m ≤≤∈N 时，910203b b b ====．所以1220122631250b b b +++=⨯+⨯+⨯=． …………9分（Ⅲ）由32n a n m =-≤，得*2()3m n m +≤∈N ． 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*123456323131,2,,()t t t b b b b b b b b b t t --======⋅⋅⋅===∈N ． 当*32()n t t =-∈N 时，21(1)313(1)(1)(2)226n t t t S t t n n +--=⨯-+==++．当*31()n t t =-∈N 时，21(1)313(1)2(1)(2)226n t t t S t t n n +-+=⨯-+==++．当*3()n t t =∈N 时，213()13(3)226n t t t S t n n ++=⨯⨯==+．所以(1)(2)(3231,*),6(3)(3,*).6n n n n t n t t S n n n t t ++⎧=-=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩N N 或…………14分。