【精品奥数】五年级下册数学思维训练讲义-第二讲 盈亏问题 人教版(含答案)
五年级奥数-盈亏问题
盈亏问题专题简析：盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。
例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。
小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4.不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。
解题时我们可以记住：1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
例1.某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。
乒乓球队共有多少名学生？变式训练1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。
学校买来两种粉笔各多少盒？2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。
两堆货物一共有多少吨？3.五（1）班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1名女生，则男、女生人数同样多；苦减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。
这些优秀学生中男、女生各多少人？例2.幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。
(完整版)五年级奥数 盈亏问题
盈亏问题一、方法讲解在日常生活中有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知盈亏的情况下确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：（1）（盈+亏）÷两次分配差=份数（大盈-小盈）÷两次分配差=份数（大亏-小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分的数量×份数+盈=总数量每次分的数量×份数-亏=总数量二、例题讲解例1.学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺35支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？例2.学校给一批新入学的学生分配宿舍。
如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。
求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？例3.三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少1条船；如果每条船坐6人，则多出4条船。
公园里有多少条船？三（1）班有多少个学生？例4.在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。
问：桥有多高？绳子有多长？例5.一个学生从家到学校，如以每分钟50米的速度行走，就要迟到8分钟；如果以每分钟60米的速度行走，就可以提前5分钟到校。
这个学生出发时离上学时间有多少分钟？例6.少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。
问：一共要挖几个坑？例7.有若干个苹果和若干个梨。
如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。
问：苹果和梨各有多少个？三．达标练习1.将月季花插入一些花瓶中。
如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵。
求花瓶的只数和月季花的朵数。
2.老师将一些练习本发给班上的学生。
小学奥数：盈亏问题(二).专项练习及答案解析
1. 熟练掌握盈亏问题的本质.2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意：1.条件转换； 2.关系互换.利用条件关系转换解盈亏问题——转化分配单位数（接受分配的人数）【例 1】 小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。
如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。
问：零售价每本多少元?【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第9题【解析】 见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为黄色部分面积与绿色部分面积相等，所以黄色的宽是绿色高的2倍，设批发价为x 元（图中绿色长方形的高），则有：x ×（2x ＋4）＝48，即x ×（x ＋2）＝24＝4×6＝4×（4＋2），所以，x ＝4（元），零售价为x ＋2＝6（元）【答案】6元【例 2】 春节前夕，一富翁想丐帮帮众施舍一笔钱财，一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。
这时从其它地方又闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其它乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。
原有（ ）知识精讲教学目标6-1-7.盈亏问题（二）名乞丐。
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 如果不来这五个乞丐，富翁能剩下120555050⨯-=元。
五年级下册奥数较复杂的盈亏问题人教版
答：家到学校有1400米。
第十七页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
即学即练
火车上午9点开车，一乘客从家到车站。如果每分钟走100米可提
早10分钟到达；如果每分钟走80米，可提早6分钟到达。家到车站有多远
？
准时：(100×10-80×6)÷(100-80)=26（分钟） 距离：100×(26-10)=1600（米）
如果每人挖5个坑，多3个坑。
每人分配的数量不同，要保证每 人都是平均分配，怎么办呢？
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例2：少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；
如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问： 有多少名少先队员？一共要挖几个坑？
如果每人挖5个坑，多3个坑。 如果每人挖6个坑，那么 少4个坑。
两盈： （大盈-小盈）÷每份数的差=份数
两亏：
（大亏-小亏）÷每份数的差=份数
第二页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
第10讲
较复杂的盈亏问题
第三页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
例1：某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6
人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。学生共有多少人？
第五页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
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探险队露营时，每个帐篷刚好住6人。如果多搭一顶帐篷，那么
每顶帐篷刚好住5人。探险队一共有多少人？
帐篷：5÷（6-5）=5（顶）
人数：6×5=30（人）
答：探险队一共有30人。
第六页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
例2：少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖； 如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问： 有多少名少先队员？一共要挖几个坑？
盈亏问题(五年级教师版)
第8讲盈亏问题盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的对象，因为两种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。
此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。
标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。
基本的数量关系是：（盈+亏）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。
广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：一、两次分配都有余（两盈）；二、两次分配都不够分（两亏）；三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。
解决盈亏问题常用比较的解题策略：通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。
此类问题基本数量关系有：①盈适足问题：盈余部分三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。
②亏适足问题：亏欠部分三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。
③两盈问题：（盈多一盈少）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。
④两亏问题：（亏多一亏少）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。
⑤盈亏问题：（盈+亏）三两种分配标准的数量之差=固定对象数量。
比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。
较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。
【例1】“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。
问这个小队有多少人一共要栽多少棵树解析】：可以画出线段图帮助理解题意，如下图：观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。
雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）；而每个人多栽：7－5=2（棵）；所以小队人数为：（12+4）三（7—5）=8（人）。
由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：5X8+12=52（棵）或7X8—4=52（棵）。
小学奥数思维训练-盈亏问题(通用,含答案)
小学奥数思维训练-盈亏问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．有红、白球若干，若每次拿出1个红球和1个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个，那么这堆红球、白球共有( )个。
2．四（2）班举行“六•一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果。
如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元。
已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么辅导老师带了_______元钱。
二、解答题3．妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果。
那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？4．学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？5．明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？6．学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？7．阳光小学学生乘汽车到香山春游。
如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？8．用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。
求绳子长度和井深？9．有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两块，这些糖共有多少块？10．学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分钟走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？参考答案：1．250【解析】【分析】由“每次拿走1个红球和1个白球，等到没有红球时，还剩下50个白球”可知白球比红球多50个，设红球X个，白球（X+50）个，再根据“每次拿走1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个”列出方程解答。
五年级下册奥数较复杂的盈亏问题(人教版)
例3：鲁巷小学组织学生去秋游，如果每辆车坐45人， 有10人不能坐车；如果每辆车多坐5人，又多出一辆车。一 共有多少辆汽车？该校又有多少名学生去秋游？
如果每辆车坐45人，那么多#43;5=50（人） (10+50)÷(50-45)=12（辆）
45×12+10=550（名）
50×3=150（米） 70×5=350（米） 准时：(150+350)÷(70-50)=25（分） 50×(25+3)=1400（米）
答：家到学校有1400米。
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火车上午9点开车，一乘客从家到车站。如果每分钟走100米 可提早10分钟到达；如果每分钟走80米，可提早6分钟到达。家 到车站有多远？
答：探险队一共有30人。
例2：少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑
无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰
好将坑挖完。问：有多少名少先队员？一共要挖几个坑？
注意：老师要控制时间，规定时间4至5分钟，播放音乐，老师调控督促每组同学尽量按时完成。 教师：同学们，欢迎来到数学乐园，你们的入场券就是课前合作完成的思维导图。先有请在班级空间上获赞最多的小组来分享一下你们的作品吧！ 预设方法四： 解方程：①12÷x=0.3 ②0.7x+6×5=100 ③4x＋x =10
可不可以统一成女生？
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同学们举行联欢晚会，辅导老师带着一笔钱去买糖果。如果 买芒果糖15千克，还差5元；如果买奶糖17千克，则还剩7元。已 知每千克芒果糖比奶糖贵2元。那么，辅导老师带了多少元钱？
那么，四年级（3）班共有多少名学生？这些钢笔共多少支？ 小丽从动物园到家，一共要花多少钱呢？ 书本数：4×12-2=46（本） 例4：金博士将若干支钢笔分给四年级（3）班的学生，如果只分给女生，每人分6支钢笔，则多5支钢笔；
五年级奥数盈亏问题讲座及练习答案
五年级奥数盈亏问题讲座及练习答案The document was prepared on January 2, 2021五年级奥数盈亏问题讲座及练习答案盈亏问题又叫盈不足问题,是指把一定数量的物品平均分给固定的对象,如果按某种标准分,则分配后会有剩余盈；按另一种标准分,分配后又会不足亏,求物品的数量和分配对象的数量.例如：把一袋饼干分给小班的小朋友,每人分3块,多12块,；如果每人分4块,少8块,小朋友有多少人饼干有多少块这种一盈一亏的情况,就是这们通常说的标准的盈亏问题.标准盈亏问题的基本数量关系式：盈+亏÷两次分配之差＝参与分配对象总数；每次分得的数量×份数＋盈＝总数量；每次分得的数量×份数－亏＝总数量还有一些非标准盈亏问题,如：1、两盈：两次分配都有余.数量关系式为：大盈－小盈÷两次分配差＝参与分配对象总数2、两亏：两次分配都不够.数量关系式为：大亏－小亏÷两次分配差＝参与分配对象总数例1：一盈一亏问题一个植树小组,如果每人植5棵,还剩14棵；如果每人植7棵,就缺4棵.这个植树小组有多少人一共有多少棵树分析：由题意可知,植树的人数和棵数是不会变化的,只是两次分配的方案不一样,结果就差了18棵,即第一种方案的结果比第二种多18棵,这是因为两种分配方案每人植树棵数相差7-5＝2棵,所以根据一盈一亏解答此题就非常简单了.人数：14＋4÷7－5＝2人棵数：5×9＋14＝59棵答：这个植树小组一共有9人,一共有59棵树.巩固练习1：幼儿园把一些积木分给小朋友,如果每人分2个,则剩下20个；如果每人分3个,则差40个.幼儿园有多少个小朋友一共有多少个积木解,小朋友分积木,每人2个则剩20个,每人3个则少40个,因此这是一亏一盈问题,两种分积木的方案最后相差20+40=60个,两种方案中每人分得的积木数相差3-2=1个,所以小朋友的个数为：60÷1=60人,积木数为：60×2+20=140个或60×3-40=140个综合算式为：幼儿园有多少个小朋友一共有多少个积木20+40÷3-2 60×2+20 或 60×3-40=60÷1 =120+20 =180-4060个 =140个 =140个答：幼儿园有60个小朋友,一共有140个积木.例2：两亏问题学校将一批铅笔奖给三好学生.如果每人奖9支,则缺45支；如果每人奖7支,则缺7支.三好学生有多少人铅笔有多少支分析：这是两亏问题,由题意可知,三好学生人数和铅笔支数是不变的.根据两亏关系可知,人数：45－7÷9－7＝19人铅笔：9×19－45＝126支答：三好学生有19人,铅笔有126支.巩固练习2：将月季花插入一些花瓶中.如果每瓶插8朵,则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵,则缺少1朵,求花瓶的只数和月季花的朵数解：将月季花插入一些花瓶中,如果每瓶插8朵,则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵,则缺少1朵,因此这是两亏问题,两次插花的方案中,一次少15朵,一次少1朵,则两次少的朵数相差15-1=14朵,一次每瓶插6朵,一次每瓶插8朵,两次每瓶相差2朵,因此花瓶数为14÷2=7个,花的朵数为7×8-15=41朵,或7×6-1=41朵综合算式为：花瓶的个数为：花的朵数为：15－1÷8－2 7×8-15 或 7×6-1＝14÷2 =56-15 =42-1=7个=41朵 =41朵答：花瓶有7只,月季花有41朵例3：两盈问题有一些少先队员到山上种一批树.如果每人种16棵,还有24棵没种；如果每人种19棵,还有6棵没有种.问有多少名少先队员有多少棵树根据两盈问题请自己分析解答解：少先队员种树,如果每人种16棵,还有24棵没种；如果每人种19棵,还有6棵没有种,所以这是两盈问题.两个方案中所剩棵数相差24-6=18棵,每人所种棵数相差19-16=3棵,所以种树人数为18÷3=6人,树的总棵数为6×19+6=114+6=120棵,或6×16+24=96+24=120棵综合算式为：种树人数为：花的朵数为：24－6÷19－16 6×19+6 或 6×16+24＝18÷3 =114+6 =96+24=6个=120棵 =120棵答：有6名少先队员,120棵树.例4：盈亏转化学校给一批新入学的学生分配宿舍.如果每个房间住12人,则34人没有位置；如果每个房间住14人,则空出4个房间.求学生宿舍有多少间住宿学生有多少人分析：“把每个房间住14人,则空出4个房间”转化为“每个房间住14人,则少14×4=56人后,就得到标准盈亏问题,这样就好解答了.房间数：34＋14×4÷14－12=45间人数：12×45＋34=574人答：学生宿舍有45间,学生有574人.我也能行1、某班安排宿舍,如果每间6人,则16人没有床位；如果每间8人,则多出10个床位.问有宿舍多少间学生多少人解：如果每间6人,则16人没有床位；如果每间8人,则多出10个床位.此为一亏一盈问题：宿舍间数学生人数16+10÷8-613×6+16 或 13×8-10＝26÷2 =78+16 =104-10=13间=94人 =94人答：有宿舍13间学生94人.2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸.如果每人发5张,则少32张；如果每人发3张,则少2张.美术兴趣小组有多少名同学王老师一共有多少张图画纸解：如果每人发5张,则少32张；如果每人发3张,则少2张,说明这是两亏问题：32-2÷5-315×5-32 或 15×3-2＝30÷2 =75-32 =45-2=15人=43张 =43张答：美术兴趣小组有15名同学,王老师一共有43张图画纸.3、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一个说每人背50发还多200发.求有多少敌人有多少发子弹解：每人背45发还多260发；每人背50发还多200发,说明这是两盈问题,所以：敌人人数为子弹颗数为260-200÷50-4512×45+260 或 12×50+200＝60÷5 =540+260 =600+200=12人=800颗 =800颗答：有12个敌人有800发子弹4、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔.如果每人分5支则多12支；如果每个人分8支还多3支.请问每人分多少支刚好把彩色笔分完解：如果每人分5支则多12支；如果每个人分8支还多3支,说明这是两盈问题.所以：学生人数为：彩笔支数为：12-3÷8-53×5 + 12 或 3×8 + 3＝9÷3 =15 + 12 =24 + 3=3人=27支 =27支每人分多少支刚好把彩笔分完：27÷3=9支答：每人分9支刚好把彩色笔分完.5、某校有若干个学生寄宿学校,若每一间宿舍住6人,则多出34人；若每间宿舍住7人,则多出4间宿舍.问宿舍有多少间住宿学生有多少人解：每一间宿舍住6人,则多出34人,每间宿舍住7人,则多出4间宿舍,多出4间宿舍,每间住7人,实际上是多出28人,则这是两盈问题, 所以宿舍间数为：学生人数为：34-28÷7-66×6 + 34 或 6×7 + 28＝6÷1 =36 + 34 =42 + 28=6间=70人 =70人答：宿舍有6间,住宿学生有70人6、学校分配学生宿舍.如果每个房间住6人,则少2间宿舍；如果每个房间住9人,则空出2个房间.问学生宿舍有多少间住宿学生有多少人解：每个房间住6人,则少2间宿舍,也就是多6×2=12人；如果每个房间住9人,则空出2个房间,也就是少6×2=12人,所以这是一亏一盈问题,所以宿舍间数为：学生人数为：12+12÷9-68×6 + 12 或 8×9 – 12＝24÷3=48 + 12 =72 + 12=8间=60人 =60人答：宿舍有8间,住宿学生有60人7、小强从家到学校,如果每分钟走50米,上课就要迟到3分钟,如果每分钟走60米,就可以比上课时间提前2分钟到校.小强从家到学校的路程是米选自北京市第四届“迎春杯”刊赛解：每分钟走50米,上课就要迟到3分钟,也就是说还要走50×3=150米才能走到学校每分钟走60米,就可以比上课时间提前2分钟到校.也就是说在提前的2分钟里可以多走60×2=120米,所以此题是一盈120米一亏150米,则：走到学校的时间为家到学校的路程为150+120÷60-5050×27 + 150或60×27–120=270÷10 =1350+ 150 =1620–120=27分 =1500米 =1500米答：小强从家到学校的路程是1500米.8、买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友.如果每人分5个苹果,那么还剩余32个；如果每人分8个苹果,那么还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是_____.选自小学数学奥林匹克预赛A卷解：如果每人分8个苹果,那么还有5个小朋友分不到苹果.也就是说少了8×5=40个苹果,则此题为一盈一亏问题,所以小朋友的人数为：苹果的个数为32+40÷8-524×5 + 32 或 24×8–40=72÷3 =120+ 32 =192 –40=24个 =152个 =152答：这批苹果的个数是152个。
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第2讲盈亏问题
第一部分：趣味数学
盈亏问题
《九章算术》第七章介绍了盈亏问题，这一类问题是把一定数量的物品平均分给若干对象，每个对象少分，则物品有余；如果每个对象多分，则物品不足。
所以分物时经常出现盈（有余）、亏（不足）、尽（恰好分完）的情况，所以古人把这类问题称为盈不足问题。
盈亏问题情况多样，解法巧妙，倍受古人重视，在许多古代算书上留下了不少好题。
下面选取其中的一个给同学欣赏：
题目
今有人共买物，
人出八，盈三；
人出七，不足四，
问人数，物价各几何？
题意：有一群人凑钱买一件物品。
如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。
如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。
求人数和钱数各是多少？
分析：这是属于“一盈一亏”类的问题。
当第一次每人出8枚钱币时多3枚，当第二次每人出7枚钱币时不但不多，还要少4枚，即第二次比第一次共少了4＋3＝7枚。
这是由于第
二次比第一次每人少出了8－7＝1枚钱币。
相差7枚，就说明有7÷1＝7人。
这样物价也就可以算出来了。
解答：4＋3＝7（枚）
8－7＝1（枚）
7÷1＝7（人）
7×8 – 3 = 53（枚）
答：一共有7人，物价为53枚。
事实上，古代数学家发现，在计算人数（即分物对象的个数）时，还有一个简单易记、琅琅上口的口诀：“有余加不足，大减小来除”。
这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋，只要把几个数按口诀对号入座，马上可以得出答案。
同学们如果你学会了，有兴趣就试试下面这个题目吧！
钱几何
今有散钱不知其数，
作七十七陌穿之，欠五十凑穿；
第二部分：奥数小练
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适
足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。
解题时我们可以记住：
1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；
3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
【例题1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。
乒乓球队共有多少名学生？
【思路导航】（1）由“少一个女生，增加一个男生，则男生为总人数的一半”可知：女生比男生多2人；（2）“少一个男生，增加一个女生”后，女生就比男生多2＋2=4人，这时男生为女生人数的一半，即现在女生有4×2=8人。
原来女生有8－1=7人，男生有7－2=5人，共有7＋5=12人。
练习一：1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。
学校买来两种粉笔各多少盒？
2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；若甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。
两堆货物一共有多少吨？
3.五（1）班的优秀学生中，若增加2名男生，减少1名女生，则男、女生人数同样多；若减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。
这些优秀学生中男、女生各多少人？
【例题2】幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。
如果平均分给小朋友，则少4个；如果每个小朋友只发给4个，则老师自己也能留下4个。
有多少个小朋友？共有多少个苹果？
【思路导航】如果平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友人数大于4；如果每个小朋友只发给4个，则教师也能留下4个，说明每人少拿若干个，就少拿4＋4=8个苹果。
因为小朋友人数大于4，所以，一定是每人少拿1个，有8÷1=8个小朋友，有8×4＋4=36个苹果。
练习二：1.给小朋友分梨，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。
有多少个小朋友？有多少个梨？
2.老把一些铅笔奖给三好学生。
每人5支则多4支，每人7支则少4支。
老师有多少支
铅笔？奖给多少个三好学生？
3.有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人；如果减少一条船，正好每条船上坐9人。
这个班一共有多少个同学？
【例题3】幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。
如果分给大班的学生每人5个余10个；如果分给小班的学生每人8个缺2个。
已知大班比小班多3人，这筐苹果有多少个？
【思路导航】如果大班减少3人，则大班和小班的人数同样多。
这样，大班每人5个就多余3×5＋10=25个。
由于两班人数相等，小班每人多分3个就要多分（25＋2）个苹果，用（25＋2）÷（8－5）就能得到小班同学的人数是9人，再用9×8－2就求出了这筐苹果有多少个。
练习三：1.一些学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。
这些学生有多少人？这批砖有多少块？
2.老师给幼儿园小朋友分糖，每人3块还多10块；如果减少2个小朋友再分，每人4块还多7块。
原来有多少个小朋友？有多少块糖？
3.筑路队计划每天筑路720米，正好按期筑完。
实际每天多筑80米，这样，比原计划提前3天完成了筑路任务。
要筑的路有多长？
【例题4】幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块；如果只分给中班的小朋友，平均每人可以多分得4块。
如果只分给小班的小朋友，平均每人分得多少块？
【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每人分得6块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可多分4块。
说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍。
因此，这箱饼干分给小班的小朋友，每位小朋友可多分到6×1.5=9块，一共可分到6＋9=15块饼干。
练习四：1.老师把一批书借给甲组同学，平均每人借4本。
如果只借给甲组的女同学，每人可借6本。
如果只借给甲组的男生，平均每人借到几本？
2.甲、乙两组同学做红花，每人做8朵，正好送给五年级每个同学一朵。
如果把这些红花让甲组同学单独做，每人要多做4朵。
如果把这些红花让乙组同学单独做，每人要做几朵？
3.老师把一袋糖分给小朋友。
如果只分给小班，每人可得12块；如果只分给中班和小班，每人只能分到4块。
如果这袋糖只分给中班，每人可分到几块？
【例题5】全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9个同学；如果增加一条
船，每条船正好坐6个同学。
这个班有多少个同学？
【思路导航】根据题意可知：每船坐9人，就能减少一条船，也就是少9个同学；每船坐6人，就要增加一条船，也就是多出6个同学。
因此，每船坐9人比每船坐6人可多坐9
＋6=15人，15里面包含5个（9－6），说明有5条船。
知道了有5条船，就可以求全班人数：9×（5－1）=36人。
练习五：1.老师把一篮苹果分给小班的同学，如果减少一个同学，每个同学正好分得5个；如果增加一个同学，正好每人分得4个。
这篮苹果一共有多少个？
2.五年级同学去划船，如果增加一只船，正好每只船上坐7人；如果减少一只船，正好每只船上坐8人。
五年级共有多少人？
3.一个旅游团去旅馆住宿，6人一间，多2个房间；若4人一间又少2个房间。
旅游团
共有多少人？
分数的起源
人类历史上最早产生的数是自然数，随着生产活动的发展，在度
量和均分时很难正好得到整数的结果，这样就产生了分数。
看似简单的分数，它的产生可经历了一个漫长过程。
刚开始人们
也只是使用简单的分数，如一半，一半的一半等，后来才逐渐出现
了三分之一，三分之二等简单的分数。
今天我们认识分数也是按这
样一个过程进行的。
2000多年前，中国有了分数，但是当时分数表现形式与现在不一样，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。
当除不尽时，把余数作为分子，除数作为分
母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式。
现在的分数形式是阿拉伯人发明的。
为什么叫分数呢？分数这个名称能直观而生动地表示这种数的特征。
分数是为度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。
奥赛题新编参考答案：。