程序流程图

基本思想：由于 R 型因子分析和 Q 型分析都是反映一个整体的不同侧面，因而它们之间 一定存在内部的联系。对应分析就是通过对应变换后的标准化矩阵 Z 将两者有机地结合起 来。
对因分析的原理与依据：将原始数据阵 X 变换为 Z 矩阵后，则变量点和样品点的协方
差阵分别为 SR = Z 'Z 和 SQ = ZZ ' 。 SR 和 SQ 这两个矩阵存在明显的简单的对应关系，而且
l
p
∑ ∑ 为 fi 对 X 各分量方差总和的贡献率，记η(l) = λi′/ λi′ 为 f1, f2 ,", fl 的累加方差贡献
i =1
i =1
率，若η(l) ≥ p （P 由用户确定），则直接取 A = (a1, a2 ,"al ) 作为载荷阵即可。
共同度定义为： hi2 = a12i + a22i + "+ al2i ，它是各 f 对 X i 的决定系数。
将原始数据 xij 变换为 zij 后， zij 关于 i, j 是对等的，即 zij 对变量和样品室对等的。
引理 1 设 SR = Z 'Z ， SQ = ZZ ' ，则 SR 和 SQ 的非零特征值相同。
引理 2 若 v 是 Z 'Z 相应于特征值 λ 的特征向量，则 u = Zv 是 Z 'Z 相应于特征值 λ 的特
征向量。
定义 1（矩阵的奇异值分解）设 Z 为 n × p 矩阵，rank(Z ) = m ≤ min(n −1, p −1) ，Z 'Z 的非零特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ "λm > 0 ，令 di = λi (i = 1,"m) ，则称 di 为 Z 的奇异值。
引理 3 任意非零矩阵 Z 的奇异值分解必存在。
(i = 1, 2," p)
lii /(n −1)
因子分析模型
⎡ X1 ⎤ ⎡ a11
X
=
⎢ ⎢
X
2
⎥ ⎥
⎢#⎥
=
⎢ ⎢
a12
⎢#
a21
a22 #
" " #
al1
al 2 #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
f1
f2 #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
+
⎡ε1 ⎢⎢ε 2 ⎢#
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
写成矩阵形式为：
⎢ ⎢⎣
X
p
⎥ ⎥⎦
对 A 的每两列都要作一次旋转，共作 1 l(l −1) 次，全部旋转完成则完成一个循环，对 A 2
作了一次循环后，因子载荷阵为 B1 = AT12T13 "Tl−1,l = AT1 ，经过 r 次循环后，则因子载荷
阵为 Br = AT1T2 "Tr = Br−1Tr ，则 ft 的方差和总方差公式按下试计算：
当把相关阵 R 计算出来后，计算其特征根和对应的特征向量分别为：
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因子分析与主成分分析
( ) ∑p
λ1′ ≥ λ2′ ≥ " ≥ λp′ > 0 ，V1,V2 ,",Vp ，则 A = λ1′V1, λ2′V2 ,", λp′Vp 。记ηi = λi′ / λi′
i =1
当因子模型建立以后，可以将 f j 表示成 x1, x2 ,", xp 的线性组合：
f j = bj1x1 + bj2 x2 + "+ bjp xp ( j = 1, 2,", l)
系数 bji 可由多对多的回归分析指出，最小二乘估计为： fˆ = ( fˆ1, fˆ2 ,", fˆ l )T = BX ′ B = (R−1 A)T X ′ = AT R−1 X ′
因子分析与主成分分析
4.1、理论基础：
⎡ x11 x12 " x1n ⎤
( ) 设样本矩阵为：
X
=
⎢ ⎢
x21
⎢#
x22 #
" #
x2 #
n
⎥ ⎥ ⎥
=
X1, X 2,", X p
T
⎢ ⎢⎣
x
p1
xp2
"
x
pn
⎥ ⎥⎦
⎡ x11
样本均值向量为：
X
=
1 n
⎢ ⎢
x21
⎢#
x12
x22 #
" " #
x1n
根据随机向量求协方差
标准化
根据随机向量求相关阵
根据线性变换得
F = U T X 有X = UF
再求 aij = u ji λ j 为 xi在Fj的载荷，改写为X = Af ，其中A载荷阵
求决定系数
r2 xi Fj
，即
Fj对xi的方差贡献率，选择主成分 。
结果分析
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三、对应分析
用加权方法 计算第 i 个 变量及第 j 个变量的协 方差
方法与 R 型类 似 （Q 型）
变量间的协方差阵为： SR = Z 'Z
样品间的协方差阵： SQ = ZZ '
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对 P 中心化 对 P 标准化得 Z
因子分析与主成分分析
计算行轮 廓分布
计算列轮 廓分布
计算总惯量和
x2n #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
X1
X2 #
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢⎣
x
p1
xp2
"
x
pn
⎥ ⎥⎦
⎢⎥ ⎢⎣ X p ⎥⎦
⎡l11 l12 " l1p ⎤
样本离差阵为：
L
=
⎢ ⎢
l21
⎢#
⎢⎢⎣l p1
l21 #
lp2
"
l2
p
⎥ ⎥
# #⎥
"
l
pp
⎥ ⎥⎦
∑ ∑ ∑ 其中 lij
=
n k =1
xik x jk
−
1⎛ n ⎜⎝
n k =1
xik
⎞⎛ ⎟⎠ ⎜⎝
n k =1
x jk
⎞ ⎟⎠
⎡ 1 r12 " r1p ⎤
样本的相关阵为：
R
=
⎢ ⎢ ⎢
r21 #
⎢⎢⎣rp1
1 # rp 2
" # "
r2 p #
⎥ ⎥ ⎥
其中
rij
=
r ji
=
1
⎥ ⎥⎦
lij liil jj
对个分量进行标准化
X
′
i
=
X i
−
Xi
计算共同度和特殊方差
i =1
i =1
当 v,σ 同正时，ϕke ∈ (0,π / 8) ；
当 v,σ 同负时，ϕke ∈ (−π / 4, −π / 8) ；
当 v 正σ 负时，ϕke ∈ (π / 8,π / 4) ；
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因子分析与主成分分析
当 v 负σ 正时，ϕke ∈ (−π / 8, 0) ；
⎡ 1 r12 Λ
R
=
⎢ ⎢
r21
⎢Μ
r22 Μ
Λ Ο
⎢ ⎢⎣rp1 rp2 rp3
r1p ⎤
r2
p
⎥ ⎥
；
Μ⎥
⎥ rpp ⎥⎦
三、可 用 协 方 差 阵 或 者 相 关 阵 分 析 主 成 分 ， U 为 正 交 阵 ， 由
F = U T X得X = UF,
⎡ x1 ⎤ ⎡u11 u21 Λ
⎢ ⎢
因子分析与主成分分析
3.1、理论基础
对应分析方法是在 R 型和 Q 型因子分析基础上发展起来的多元统计分析方法，它对原始 数据采用适当的标度方法。把 R 型和 Q 型结合起来，同时得到两个方面的结果——在同一因 子平面上对变量和样品一块进行分类，从而揭示所研究的样品和变量的内在联系。
对应分析由 R 型因子分析的结果，可以很容易地得到 Q 型因子分析的结果，这不仅克服 样品量大时作 Q 型因子分析带来计算上的困难，且把 R 型和 Q 型因子分析统一起来，把样品 点和变量点同时反映到相同的因子轴上，这就便于我们对研究的对象进行解释和推断。
设 X = (x1, x2 ,⋅ ⋅ ⋅, xm )T 为 m 维正态随机列向量，均值向量为 μ, 协方差阵 ∑ = (σ ij )m×m ,且 ∑ 正定 。现做线性变换：
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因子分析与主成分分析
⎧ F1 = u11x1 + u12 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + u1m xm
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一、软件界面
程序流程图
因子分析与主成分分析
直接输入数据
主界面的初始化
主界面窗口 分析方法选择 分析方法参数录入
导入 Excel 数据 数据的保存
退出
返回
创建分析方法类并运算 传输运算结果
显示运算结果
二、主成分分析
2.1、理论基础
主成分分析是将多指标问题化为较少的综合指标问题，而综合指标是原来多
D −
− 2EF / E2 − F2
p /
p
=
v σ
其中
ui
=
⎛ ⎜ ⎝
aki hi
⎞2 ⎟ ⎠
⎛ −⎜
⎝
aei hi
⎞2 ⎟ ⎠
vi
=
⎛ 2⎜
⎝
aki hi
⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝
aei hi
⎞ ⎟ ⎠