第十一章 桥梁结构几何非线性计算理论
大跨度桥梁实用几何非线性分析
大跨度桥梁实用几何非线性分析桥梁被广泛应用于道路和铁路等交通领域，尤其是大跨度桥梁的设计和施工是一个具有挑战性的任务。
为保证桥梁的安全可靠性，实用几何非线性分析成为了一种重要的工具。
本文将探讨大跨度桥梁实用几何非线性分析的方法和应用。
一、什么是实用几何非线性分析？实用几何非线性分析是一种结构分析方法，旨在评估桥梁在实际使用过程中的受力和变形情况。
与传统线性静力分析不同，实用几何非线性分析能够考虑材料的非线性特性和结构的几何非线性效应，对桥梁的性能进行更为准确的评估。
二、大跨度桥梁实用几何非线性分析的步骤和方法1.建立桥梁的有限元模型大跨度桥梁的复杂性要求我们使用有限元模型来进行分析。
在建立有限元模型时，需要准确地考虑桥梁的几何形状、材料特性和荷载情况。
2.进行初始静力分析通过初始静力分析，我们可以获得桥梁在荷载作用下的初始应力、应变和变形情况。
这是进行后续非线性分析的基础。
3.引入材料的非线性特性在实用几何非线性分析中，我们需要考虑材料的非线性特性，如混凝土的非弹性行为和钢材的塑性变形。
这需要根据实际材料的本构关系进行模拟。
4.引入结构的几何非线性效应除了考虑材料的非线性特性外，我们还需要考虑结构的几何非线性效应，如大变形和位移控制。
这需要使用适当的非线性几何算法来描述结构的变形情况。
5.施加荷载并进行分析在完成前述准备工作后，我们可以施加不同的荷载情况，并进行实用几何非线性分析。
通过观察结构的应力、应变和位移响应，我们可以有效评估大跨度桥梁的性能。
三、大跨度桥梁实用几何非线性分析的应用大跨度桥梁实用几何非线性分析在实际工程中具有重要的应用价值。
首先，它可以帮助设计人员更准确地评估桥梁的安全可靠性和承载能力，避免结构的超载和事故发生。
其次，实用几何非线性分析还能够指导结构的优化设计，提高桥梁的经济性和效益。
此外，该分析方法还对于应对突发情况和灾害性荷载具有重要意义。
总结：大跨度桥梁作为一种重要的交通设施，其安全可靠性至关重要。
第十一章 几何组成分析
目录
第十一章 几何组成分析\基本组成规则
11.2.2对瞬变体系的进一步分析
在(图a)所示体系中，在荷载F作用下，铰C向下发生一微小位移 而到达C＇位置。由 (图b)列出平衡方程
目录
第十一章 几何组成分析\概述
11.1.2 几何组成分析的目的
分析体系的几何组成，以确定它们属于哪一类体系，称为体系 的几何组成分析。作这种分析的目的在于：
(1)判别某一体系是否几何不变，从而决定它能否作为结构； (2)研究几何不变体系的组成规则，以保证所设计的结构是几何 不变的； (3)正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必 要的基础；
独立坐标的数目。设一个点A在平面内运动时，确定其位置要用两 个坐标x和y (图a)，因此平面内一个点的自由度等于2。一个刚片在 平面内运动时，其位置可由它上面的任一个点A的坐标x、y和过点A
的任一直线AB的倾角来确定 (图b)，因此平面内一个刚片的自由度
等于3。
目录
第十一章 几何组成分析\概述 3. 约束对自由度的影响 约束是刚片和刚片之间的某种连接装置，是限制体系运动的一
目录Байду номын сангаас
第十一章 几何组成分析\概述 如果用一个铰A将刚片Ⅰ与刚片Ⅱ相连接 (图c)，设刚片Ⅰ的位
置可以由点A的坐标x、y和倾角1确定，由于点A是两刚片的共同点， 则刚片Ⅱ的位置只需用倾角2就可以确定。因此，两刚片原有的6
个自由度就减少为4个。连接两个刚片的铰称为单铰。可见一个单 铰相当于两个约束。
论析斜拉桥几何非线性的解法
论析斜拉桥几何非线性的解法斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和刚构桥的结构分析相比，几何非线性的影响显著，特别是特大跨径的斜拉桥，几何非线性效应尤为突出。
斜拉桥几何非线性影响因素概括为3个方面：（1）斜拉索自重垂度引起的拉索拉力与变形之间的非线性关系；（2）大位移产生的结构几何形状变化引起的几何非线性效应；（3）由于斜拉索的拉力作用，主梁和索塔不仅承受弯矩而且还将承受巨大的轴向力，在主梁和索塔变形过程中，由于轴向力和弯矩相互影响，而产生所谓的梁一柱效应（P -△效应），使整个斜拉桥结构表现出几何非线性行为。
斜拉索的模拟有许多种方法，而应用最为普遍的则属等效弹性模量法，运用Ernst公式进行弹性模量的修正，详细介绍了等效弹性模量法的原理。
1.大跨度斜拉桥几何非线性效应的有限元解法1.1非线性方程的求解几何非线性有限元平衡方程，能够用全量列式法式和增量列式法式（实际上是微分方程表示法）2种方法表示。
从数学角度来看，其实质都是非线性方程。
目前，非线性方程主要的解法有：简单增量法、迭代法、增量迭代混合法、一阶自校正方法、二阶自校正方法、摄动法等。
本文采用迭代法，其迭代过程见图1 （3）索单元的刚度矩阵。
由于索单元比较特殊，一般采用等效刚度的修正弹性模量法。
该法是1965年由德国学者Ernst提出的，被总结为Ernst公式[3]：分析表明，对于承受较大拉应力、索长不是太长的普通斜拉索相差不大，采用的Ernst公式形成索单元刚度能满足工程要求。
以上的常见单元切线刚度矩阵，集合当前状态下所有单元刚度矩阵就可以形成当前状态下结构的切线刚度矩阵。
1.3不平衡力的求解1.4迭代流程对于大跨度斜拉桥，一个典型的迭代循环包括：（1）利用整体坐标下的节点位移单元的局部坐标；（2）计算在局部坐标下各单元的位移列阵，建立在局部坐标下的各单元刚度矩阵，并计算节点力；（3）利用索单元已求得的内力，用Ernst公式修正索单元弹性模量；（4）变换和到整体坐标下的和；（5）集合各单元刚度矩阵，形成结构的整体刚度矩阵，矩阵就是当时变形位置的结构刚度矩阵；（6）计算各单元并且算出不平衡力，作用到节点上的力它就是；（7）求解结构平衡方程式得到位移增量，将位移增量加到前次迭代中累积起来的节点位移中去，这就给出节点位移的新的近似值；（8）检查收敛性，如果不满足，返回到步骤1，直至趋向于零为至。
桥梁结构中的非线性分析方法研究
桥梁结构中的非线性分析方法研究在现代建筑领域，桥梁结构的设计是一个非常重要和复杂的任务。
桥梁的结构需要承受来自不同方向的力，例如道路交通和路面负荷，风力和地震等。
在高科技的帮助下，以往的桥梁结构设计已经得到了很大的提升，然而，需要解决的问题仍旧很多。
桥梁结构的非线性分析方法是研究桥梁结构问题的重要手段之一。
桥梁结构的非线性分析方法是指在考虑结构在受到极限荷载时具有非线性现象，并通过逐步分析反应和改善结构性能的分析方法。
这种分析方法被广泛应用于桥梁结构的设计和调整中。
在非线性分析方法方面，有很多研究，其中基本的非线性分析方法包括非线性静力分析（NLSTA）和非线性动力分析（NLDA）。
非线性静力分析（NLSTA）是桥梁结构中常见的一种非线性分析方法。
它是指根据材料和结构的非线性性质，根据结构受荷载时的非线性反应和承载能力进行结构分析。
这种分析方法的优势在于能够确定结构受荷加载荷和荷载水平之间的关系，并帮助设计师识别结构在承受荷载时的可能失效模式。
然而，该方法的缺点是不能描述动态荷载对结构的影响，因此很难预测结构在地震或强风等灾害发生时所承受的载荷。
非线性动力分析（NLDA）是基于结构非线性性质、地震和风等荷载产生的动态荷载对结构的影响进行分析的一种方法。
它能够模拟结构在地震条件下的反应，特别是在近场地震下，可以评估结构在地震中的应力和变形。
这种分析方法可以提供结构受震后的性能评估，以帮助设计师采取必要的预防措施。
然而，该方法的缺点是计算复杂，并且需要大量的输入数据的测量和分析。
针对上述非线性分析方法的优缺点，科学家们正在开发一种新的混合分析方法，称为非线性混合分析（NLHA）。
非线性混合分析结合了非线性静力分析（NLSTA）和非线性动力分析（NLDA）的相关特点，并在这些方法的基础上提供更具体的结构评估和修补方案。
该方法克服了NLSTA和NLDA分析缺点，在保留分析优点的同时，提高了预测能力。
在桥梁结构的设计和加固过程中，非线性分析方法是十分重要的。
第11章梁和结构的位移.
积分后，得
3 EI 1 FP x 2 C1 8
1 EIw1 FP x 3 C1 x D1 8
3 1 l 2 EI 2＝－ FP x ＋ FP x－ C 2 8 2 4
2
1 1 l 3 EIw2＝－ FP x ＋ FP x－ C 2 x D2 8 6 4
第11章
梁和结构的位移
§11.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
F
A C C'
B
x
B'
数学中的曲率计算公式为
1 d 2 dx 2 d 2 1 d x
3 2
弹性范围内曲率与弯矩、 弯曲刚度之间的关系为
M ＝ EI
1
小挠度情形下
水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组
第11章
梁和结构的位移
§11.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
【解】 2．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
d 2 w1 3 l EI M ( x ) F x （ 0 x ） 1 P 2 dx 4 4 d 2 w2 3 l l EI M ( x ) F x F ( x ) （ x l） 2 P P 2 dx 4 4 4
d 0 dx
d 2 M 2 dx EI
水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组
第11章
梁和结构的位移
§11.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
弹性范围内，梁的挠曲线近似微分方程满足
d 2 M ( x) 2 dx EI 式中的正负号与坐标正向规定有关。
混凝土桥梁结构的非线性分析
混凝土桥梁结构的非线性分析I. 概述混凝土桥梁结构的非线性分析是研究桥梁在承受外力作用下，产生的非线性变形和应力分布规律的一种分析方法。
在桥梁结构设计中，非线性分析是必不可少的一环，它可以更准确地预测桥梁的行为和性能，为工程设计提供更加可靠的依据。
II. 混凝土桥梁结构的非线性分析方法混凝土桥梁结构的非线性分析方法可以分为两种：弹塑性分析和非线性有限元分析。
1. 弹塑性分析弹塑性分析方法是一种经验性的方法，它假设材料在一定范围内具有线性弹性行为，当应力达到一定值时，开始出现塑性变形。
这种方法主要用于简单的结构和静态荷载作用下的分析，比如梁和柱等。
2. 非线性有限元分析非线性有限元分析是目前应用最广泛的混凝土桥梁结构非线性分析方法。
该方法通过对桥梁结构进行离散化，将结构分割成许多小单元，在每个小单元内求解结构的应力、应变等参数，最终得出整个结构的应力、应变分布和变形情况。
III. 非线性分析中的影响因素混凝土桥梁结构的非线性分析中，影响因素主要有材料非线性、几何非线性和边界条件非线性。
1. 材料非线性材料非线性是指混凝土在承受外力作用下产生的非线性变形和应力分布规律。
混凝土的本构关系会随着应力大小和应变历史的变化而发生改变，因此在非线性分析中需要考虑其非线性特性。
2. 几何非线性几何非线性是指桥梁结构在变形过程中，由于几何形状的变化而产生的非线性效应。
这种非线性效应主要表现为结构的刚度和应力分布的变化。
3. 边界条件非线性边界条件非线性是指桥梁结构受到荷载作用时，支座约束条件的变化所引起的非线性效应。
这种效应的主要表现为支座刚度的变化和支座接触状态的变化。
IV. 非线性分析的应用实例非线性分析在桥梁结构设计和评估中的应用越来越广泛。
下面介绍一个实际工程中的应用实例。
某高速公路上的一座大型钢筋混凝土拱桥，在设计时采用非线性有限元分析方法进行了计算和验证。
通过对桥梁结构的受力情况进行模拟，得出了桥梁在各种荷载作用下的应力、应变分布和变形情况。
最新大跨度桥梁中几何非线性综述1
大跨度桥梁中几何非线性综述1大跨度桥梁中几何非线性综述摘要：随着桥梁跨度的不断增加，非线性因素对结构的影响也越来越大。
本文首先对三种非线性因素进行了较为详细的介绍，并且对斜拉桥、悬索桥和拱桥等受非线性影响较为明显的三种桥梁进行了非线性分析。
文章的最后介绍了目前通用的七种有限元程序对于非线性问题的考虑程度。
关键词：大跨度桥梁、非线性、有限元分析引言桥梁(指悬索桥和斜拉桥)的几何非线性源于四个方面：1、恒载初始内力；2、斜缆垂度效应；3、梁一柱效应；4、大变形效应。
普通的结构计算位移和内力时并不需要考虑自重的影响，但是对于这两种桥梁，恒载作用下，在索中产生巨大的拉力，对结构的整体刚度影响较大，从而对结构的位移、内力有影响，解决方法是：在刚度矩阵中考虑几何刚度项。
单元初内力对单元刚度矩阵的影响。
一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。
在大跨径桥梁结构分析中遇到的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的结构刚度变化对本期荷载响应的影响问题。
[1]关于缆索的垂度效应，它也是一种大变形效应，目前，一般都采用厄恩斯特(Ernst)公式来修正单元的弹性模量，用一等效的杆单元来模拟斜缆索；也有采用多根直连杆或曲线单元来模拟，曲线单元精度较高，但较复杂。
关于粱一柱效应，较精确的方法是用稳定函数法，它能考虑弯矩对轴力、轴力对弯矩、弯矩对扭转、剪力对轴力等影响。
通常计人几何刚度的方法是稳定函数法的一阶近似。
关于大变形效应，采用T．L．法或U．L．法。
对桥梁的材料非线性动力问题研究得较多，但是对几何非线性的动力问题研究得较少且不成熟。
[2][3]目前，对于悬索桥、斜拉桥的几何非线性动力问题的处理。
只限于恒载初始内力和缆索垂度效应，即考虑恒载产生的初始内力对刚度项的修正后，其它仍按线性分析计算。
这样处理的原因在于：1、计算简单，动力问题的时程分析可以看作有限多个静力问题的集合，如果每个静力问题都按非线性处理，计算量将非常大；2、精度较好，恒载在结构外荷载中所占比例较大，桥梁在恒载作用下，缆索已被拉紧，再产生大的变形可能性较小。
最新大跨度桥梁中几何非线性综述1
大跨度桥梁中几何非线性综述1大跨度桥梁中几何非线性综述摘要：随着桥梁跨度的不断增加，非线性因素对结构的影响也越来越大。
本文首先对三种非线性因素进行了较为详细的介绍，并且对斜拉桥、悬索桥和拱桥等受非线性影响较为明显的三种桥梁进行了非线性分析。
文章的最后介绍了目前通用的七种有限元程序对于非线性问题的考虑程度。
关键词：大跨度桥梁、非线性、有限元分析引言桥梁(指悬索桥和斜拉桥)的几何非线性源于四个方面：1、恒载初始内力；2、斜缆垂度效应；3、梁一柱效应；4、大变形效应。
普通的结构计算位移和内力时并不需要考虑自重的影响，但是对于这两种桥梁，恒载作用下，在索中产生巨大的拉力，对结构的整体刚度影响较大，从而对结构的位移、内力有影响，解决方法是：在刚度矩阵中考虑几何刚度项。
单元初内力对单元刚度矩阵的影响。
一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响，常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。
在大跨径桥梁结构分析中遇到的初应力（或初应变）问题，就是结构现有内力引起的结构刚度变化对本期荷载响应的影响问题。
[1]关于缆索的垂度效应，它也是一种大变形效应，目前，一般都采用厄恩斯特(Ernst)公式来修正单元的弹性模量，用一等效的杆单元来模拟斜缆索；也有采用多根直连杆或曲线单元来模拟，曲线单元精度较高，但较复杂。
关于粱一柱效应，较精确的方法是用稳定函数法，它能考虑弯矩对轴力、轴力对弯矩、弯矩对扭转、剪力对轴力等影响。
通常计人几何刚度的方法是稳定函数法的一阶近似。
关于大变形效应，采用T．L．法或U．L．法。
对桥梁的材料非线性动力问题研究得较多，但是对几何非线性的动力问题研究得较少且不成熟。
[2][3]目前，对于悬索桥、斜拉桥的几何非线性动力问题的处理。
只限于恒载初始内力和缆索垂度效应，即考虑恒载产生的初始内力对刚度项的修正后，其它仍按线性分析计算。
这样处理的原因在于：1、计算简单，动力问题的时程分析可以看作有限多个静力问题的集合，如果每个静力问题都按非线性处理，计算量将非常大；2、精度较好，恒载在结构外荷载中所占比例较大，桥梁在恒载作用下，缆索已被拉紧，再产生大的变形可能性较小。
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第十一章桥梁结构几何非线性计算理论11.1 概述Oden说过“我们生活在一个非线性世界里”。
早在十九世纪未，科学家就发现，固体力学的经典线性理论在许多情况下并不适用，于是开始了对非线性力学问题的研究。
二十世纪中，科学家奠定了非线性力学的理论基础。
但由于计算繁复，许多非线性微分方程的边值问题无法求解，用解析法解决非线性工程问题仍显得无能为力。
直到二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程中的非线性问题逐步得以解决。
固体力学中有三组基本方程，即本构方程、几何运动方程和平衡方程。
经典线性理论基于三个基本假定，即材料的应力、应变关系满足广义虎克定律；位移是微小的；约束是理想约束，这些假定使得三组基本方程成为线性。
只要研究对象不能满足线性问题基本假定中任何一个时，就转化为各种非线性问题。
表11.1给出了非线性问题的分类及基本特点。
由表11.1可知，几何非线性理论将平衡方程建立在结构变形后位置上。
事实上，任何结构的平衡只有在其变形后的位置上满足，才是真实意义上平衡的。
线性理论之所以能得以广泛应用，只是因为一般结构的受力状态不因变形而发生明显改变。
而有些问题则不然，以图11.1所示结构为例，按线性理论求解就无法找到平衡位置，按几何非线性分析方法处理，在P力作用下，B点产生竖向位移，当位移达到一定值δ时，AB、BC两杆件中轴力的竖向分力与P平衡，δ即为B点位移的解。
可见，受力状态因变形而发生明显改变时，就必须用几何非线性方法进行分析。
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论和大位移、大应变理论，即有限应变理论两种，桥梁工程中的几何非线性问题一般都是有限位移问题。
图 11.1 受集中力的二力杆几何非线性分析理论在桥梁工程中的发展，起因于桥跨的长大化和柔性结构的应用。
早在1888年，Melan就在悬索桥结构分析中提出了几何非线性的挠度理论，在考虑主缆拉力二阶影响的基础上将悬索桥的平衡方程建立在变形后的位置上，但忽略了吊杆伸长、结构水平位移及加劲梁剪切变形的影响。
挠度理论从1908年开始应用于纽约的Manhattan大桥设计，大大节省了工程造价，充分显示了它的优越性。
此后的数十年中，挠度理论为悬索桥和大跨径拱桥的发展作出了巨大贡献。
但是，挠度理论平衡微分方程的求解仍是十分复杂的。
Timoshenko于1928年提出了三角级数解，Godard通过忽略后期荷载对结构刚度的影响提出了线性挠度理论，我国李国豪教授于1941年提出了用于悬索桥分析的等代梁法，将挠度理论中的非线性项等代于偏心受拉梁的弯矩减小系数，揭示了悬索桥受力的本质。
现代桥梁工程的发展和跨径的增大，使得结构越来越柔，越来越复杂，结构分析中梁柱效应、索的伸长、结构水平位移及后期荷载的二阶影响变得不可忽略，对各种复杂结构，建立挠度理论的平衡微分方程及其求解也越来越困难。
为此，工程界渴望出现更精确、方便的理论和方法。
六十年代初，M.J.Turner、Brotton等开始发表求解结构大位移、初应力问题的研究成果，Poskitti、Saffan等也在此领域里作出了贡献。
这些理论方法都可归入几何非线性力学的有限位移理论。
在建立以杆系结构有限位移理论为基础的大跨径桥梁结构几何非线性分析平衡方程时，一般考虑了三方面因素的几何非线性效应：1) 单元初内力对单元刚度矩阵的影响。
一般情况下是指单元轴力对弯曲刚度的影响，有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响。
常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑。
在大跨径桥梁结构分析中遇到的初应力（或初应变）问题，就是指结构现有内力引起的结构刚度变化对本期荷载响应的影响问题。
2) 大位移对建立结构平衡方程的影响。
在这个问题上，目前流行的T.L列式法和U.L列式法各有不同的处理方法。
前者将参考座标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题；后者将参考座标选在变形后的位置上，让节点座标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上。
3) 用杆单元近似模拟索类构件，由索垂度引起的单元刚度变化。
简单的处理方法是引入Ernst公式，通过等效模量法来近似修正垂度效应。
也可以通过导出索元切线刚度矩阵，用索单元直接描述索类构件。
今天，有限位移理论一般用有限元方法通过计算机程序来求解。
因此，程序的编制也应看成是非线性计算理论和方法不可分割的一部分。
七十年代未，国外相继推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP 等结构分析综合程序。
它们可用于桥梁结构的部分非线性计算和局部应力分析。
但由于缺少许多必备的功能，这些程序无法完整地完成桥梁设计计算。
国内学者根据规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序，如同济大学桥梁系开发的BAP系统、交通部公规院开发的QJS系统，有的已具备非线性计算功能。
随着计算机技术的发展，桥梁结构分析软件也得到了迅速发展，经历了从单一化结构分析到将数据管理、用户接口、图形加工与管理、面向对象的软件设计和可视化技术融为一体的发展过程。
本章结合程序计算流程，讨论桥梁结构有限位移分析的理论与方法。
11.2 大跨度桥梁几何非线性分析的有限元方法本节以杆系结构为对象，讨论拉格朗日列式的大跨度桥梁几何非线性有限元方法。
11.2.1 变形体的运动描述任何变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形状简称为构形，物体在问题求解开始时的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动。
在下面讨论中，字母的左上标表示构形所处时刻。
图11.2中有一物体，在t=0t时，物体有初始构形0A。
物体中一点0P的坐标为(0x1，0x2，0x3），在t=n t时，物体运动有构形n A，点0P运动到n P，在t=n+1t=n t+△t时，物体运动有构形n+1A，点0P运动到n+1P。
变形体及其上质点的运动状态，随不同坐标选取有以下几种描述方法：图11.2 变形体的运动 (1) 物质描述：独立变量为0x i (i=1,2,3)和0t ，即给出任意时刻物体中各质点的位置。
这种描述在连续介质力学与有限元中很少使用。
(2) 参照描述：独立变量为任意选择的参照构形中质点Ｐ的当前坐标与时刻t 。
这种描述法称为拉格朗日法 (Lagrangian Formulation)。
当选择t=0时的构形为参照构形时，称总体拉格朗日描述(T.L Formulation)。
(3) 相关描述：以n t 为独立变量。
参照构形与时间有关， 取nt 为非线性增量求解时增量步的开始时刻，则称为更新的拉格朗日描述(U.L Formulation)。
(4) 空间描述：独立变量是质点Ｐ当前位置n+1x 与时间n+1t 。
这种描述称为欧拉描述。
在欧拉描述中，有限元网络在空间中是固定的，材料流过这些网络。
这种描述适用于流体及定常状态。
11.2.2 总体拉格朗日列式法(Total Lagrangian Formulation)在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为总体拉格朗日列式。
对于任意应力－应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：[]B dV f T V{}{}σ-=⎰0 (11－1)式中：{σ}−−单元的应力向量；{f } −−单元杆端力向量；V −− 单元体积分域，对T.L 列式V 是变形前的单元体积域； [B] −− 应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵。
即：{}[]{}εδ=B (11－2) {δ}−−杆端位移向量。
在有限位移情况下[B]是位移{δ}的函数。
后面将看到，[B]矩阵可分解为与杆端位移无关的部分[B 0]和与杆端位移有关的部分[B L ]两部分，即：[B]=[B 0]+[B L ] (11－3) 直接按式(11－1)建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。
在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度阵和结构刚度阵往往是非对称的，对求解不利。
因此多采用增量列式法。
将式(11－1)写成微分形式：d B dV d f TV([]{}){}σ-=⎰0 (11－4)或：d B dV B d dVd f VT V T⎰⎰+=[]{}[]{}{}σσ (11－5)根据式(11－3)和(11－5)等式左边第一项可写成：d B dV d B dV k d VT VL T []{}[]{}[]{}⎰⎰==σσδσ0 (11－6) 另一方面，单元的应力、应变增量关系可表示成：d D d {}[]{}σε= (11－7) 式中： [D] −− 弹性矩阵。
当材料满足线弹性时：{σ}=[D] ({ε}－{ε0})+{σ0} (11－8) 式中： {ε0}−−单元的初应变向量；{σ0}−−单元的初应力向量。
由(11－2)，(11－3)代入(11－7)得：d{σ}=[D]([B 0]+[B L ])d{δ} (11－9) 于是，式(11－5)左边第二项可表示为：[]{}([][][][][][][][][][][][]){}B d dV B D B dV B D B dVB D B dV B D B dV d T V T VT L VL TVL TL Vσδ⎰⎰⎰⎰⎰=+++0000 (11－10)记：0000[][][][]k B D B dV TV=⎰ (11－11)000[][][][][][][]k BD B dV B D B dV L T L V L T V=+⎰⎰+⎰[][][]B D B dV L TL V(11－12)则式(11－5)最后可表达为： }{}{][}{)][][][(00000f d d k d k k k T L ==++δδσ (11－13)式(11－13)就是增量形式T.L 列式的单元平衡方程。
式中0[K]T 是三个刚度阵之和，称为单元切线刚度矩阵，它表示荷载增量与位移增量之间的关系，也可理解为单元在特定应力、变形下的瞬时刚度。
0[k]0与单元节点位移无关，是单元弹性刚度矩阵，0[k]L 称为单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵，是由大位移引起的结构刚度变化，是d{δ}的函数。
0[k]σ称为初应力刚度矩阵，它表示初应力对结构刚度的影响，当应力为压应力时，单元切线刚度减小，反之单元切线刚度增加。
将各单元切线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增量刚度方程，即有：}{}{][0P d d K T =∆ (11－14)式中：0[K]T 为结构切线刚度矩阵，可以由单元切线刚度矩阵按常规方法进行组集形成；d{P}为荷载增量，由于荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式，结构在求得的位移状态下，抗力与总外荷载之间有一差量，即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消除这个失衡力。