2019届高三10月月考数学试题

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合1，，集合，则______．【答案】【解析】【分析】由交集的定义逐一检验集合B中的元素，根据集合交集的运算，即可求解．【详解】由集合A={0，1，2}，集合B={-1，1}，又对于集合B中的元素，-1∉A，1∈A且1∈B，所以=．【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及其运算，其中解答中熟记集合交集的概念与运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据要使有意义，则满足，即可求解．【详解】由题意，要使有意义，则满足，解得，所以该函数的定义域为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.函数的最小正周期为______．【答案】【解析】【分析】由三角函数恒等变换的公式，化简函数的解析式，进而求解函数的最小周期，得到答案．【详解】由题意，函数，所以函数的最小正周期为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式化简函数的解析式是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.命题“，”的否定是______命题填“真”或“假”【答案】，【解析】试题分析：“，”的否定是，考点：命题否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p（x0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则就是假命题.5.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系式，求得，进而可求得的值，得到答案．【详解】由题意，因为，，所以，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6.函数在点处切线的斜率为______【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率．【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的值等于______．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的图象变换，求得函数的解析式，再根据函数的奇偶性，即可求解，得到答案．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则，即，，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求解函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8.已知函数且，则______【答案】-15【解析】【分析】分别代入和，利用正弦函数的奇偶性化简解析式，再两式相加，即可求解．【详解】由题意，因为，可得，又由，两式相加得，则，故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦函数的奇偶性的应用，其中解答中利用正弦函数的奇偶性，合理运算是解答解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.若函数在区间单调递增，则k的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求得函数的导数，由函数在区间单调递增，转化为在区间恒成立，利用正弦函数的性质，即可求解．【详解】由题意，函数，可得，函数在区间单调递增，则在区间恒成立，，，由，可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的恒成立问题，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中把由函数在区间单调递增，转化为在区间恒成立，再利用正弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．10.已知函数是定义在R上的偶函数，且对于任意的都有，，则的值为______．【答案】4【解析】【分析】令，可以求得，从而可得是以为周期的函数，结合，即可求得的值【详解】函数是定义在上的偶函数，，，令，可得，则则，，是以为周期的函数，，则故答案为【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。

11.已知函数和函数的图象交于A，B，C三点，则的面积为_．【答案】【解析】【分析】由函数和函数的图象，求得A，B，C三点的坐标，即可求解三角形的面积，得到答案．【详解】由题意，函数和函数的图象，如图所示，可得，，令，解得，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正弦函数和正切函数的图象与性质，得到A，B，C三点的坐标是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12.已知，则方程的根的个数是______．【答案】5【解析】【分析】由题意，根据函数的解析式，可得或，进而得到或，分类讨论，即可求解．【详解】由题意，根据函数的解析式，可得或，即舍去或或；若，则或，故舍去或或；若，则或，故或或；故方程共有5个解，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中由函数的解析式，得到或，再利用指数函数与对数函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．13.已知三次函数，，对于任意，均有且存在唯一，满足，则______【答案】-3【解析】【分析】，且存在唯一，满足等价于即，从而而可得必为二次函数，且最小值为，进而可得结果.【详解】，，即，又存在唯一满足，必为二次函数，且最大值为，即，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的求导公式以及导数的运算法则，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.14.若不等式对恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】试题分析：根据，有，由于，所以，没有最小值，所以不符合；令，，故当时取得最大值为，故.考点：函数导数与不等式.【思路点晴】本题考查多个知识点：绝对值不等式、分离常数法，利用导数求极值与最值.由于原不等式是绝对值不等式，利用绝对值不等式的解法，可去绝对值化为，由于，所以上述不等式可化为，第一个不等式解集为空集，第一个不等式利用导数可求得右边的最大值为，故.二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知，为钝角且，．求的值；求的值．【答案】（1）-2；（2）【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得的值．利用二倍角公式求得、的值，再利用两角和的余弦公式求得的值．【详解】（1）由题意，因为，为钝角，所以，所以，所以．（2）因为，为钝角，且，．，，，，，．．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和的余弦公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.已知命题p：函数的值域为R；命题q：函数在上有极值，若是真命题，求实数a的取值范围．【答案】或【解析】【分析】先求出命题p和q为真命题时，实数a的取值范围，由是真命题，则p，q至少要有一个为真命题，分类讨论即可求出a的取值范围．【详解】若命题命题p：的值域为R，为真命题，则能取遍所有大于0的数，即，解得或，命题q：函数在上有极值，为真命题，，有实根，，解得，或，是真命题，，q至少要有一个为真命题，若p真，q假，则，解得，若p假，q真，则，解得，若p真，q真，则，解得，综上所述或【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断的应用，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题．17.如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径，，OB与OM之间的夹角为．Ⅰ将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数．Ⅱ若，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？精确到【答案】Ⅰ，；Ⅱ)当时，矩形的面积有最大值【解析】【分析】Ⅰ要建立矩形面积模型，则只须表示出AB，BC即可，易知点M为的中点，则有设OM于BC的交点为F，则，．再用面积公式求解．Ⅱ由由，确定再利用正弦函数最值求解．【详解】Ⅰ由题意可知，点M为的中点，所以．设OM于BC的交点为F，则，．．所以，．Ⅱ因为，则．所以当，即时，S有最大值．．故当时，矩形ABCD的面积S有最大值．【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题其中解答中认真审题，建立恰当的函数模型，利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．18.已知函数，．函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；讨论函数的单调性；当时，证明：不等式成立其中，，【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】求出原函数的导函数为，由题意可知，，求解即可得答案；，需要分类讨论，分当时，当时，当时，当时，根据导数和函数的单调性求出即可；设，则，可得在上单调递减，进一步得到，从而可证明不等式成立．【详解】（1）由题意，求得函数的导数，则，解得；，①当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；③当时，在上恒成立，即在上单调递减；④当时，的解集为，的解集为，即的增区间为，减区间为；设，则，在上单调递减，又，在上恒成立，即，，则．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知函数，，其中若函数，存在相同的零点，求a的值若存在两个正整数m，n，当时，有与同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数可得其零点，代入函数可求得值；（Ⅱ）由和可得其解集交集，对进行分类讨论可得的最大整数为，此时的取值范围为. 试题解析：（Ⅰ）=，∴，，由得，由得或或，经检验上述的值均符合题意，所以的值为，，，；（Ⅱ）令，则，∵为正整数，∴即，记，令即的解集为，则由题意得区间.①当时，因为，故只能，即或，又因为，故，此时.又，所以.当且仅当即时，可以取，所以，的最大整数为；②当时，，不合题意；③当时，因为，，故只能无解；综上，的最大整数为，此时的取值范围为．考点：1.二次函数的零点；2.集合关系；3.分类讨论思想的应用.20.已知函数，．求函数的单调增区间；若函数有三个互不相同的零点0，，，其中．若，求a的值；若对任意的，都有成立，求a的取值范围．【答案】（1）单调增区间为，；（2）．【解析】【分析】求出原函数的导函数，再利用导数与函数的单调性的关系即可求得函数的单调增区间；由题意可知，列出方程组，即可求解；由题意可知，，根与系数的关系，和判别式求得a范围，当时，设，则，当时，求得的范围，则a的取值范围可求．【详解】（1）由题意，求得函数的导数，当，即时，恒成立，在R上单调递增；当时，令，解得，的解集为，即的单调增区间为，；由题意可知，，，解得，；由题意可知，，，．若，即时，在上恒成立，且，符合题意；当时，设，则，当时，，，，，整理得，即，解得，又，．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。