最新人教版高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程》课后训练1
人教新课标版数学高二-数学选修1-1专项训练2.2.1双曲线及其标准方程
1．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4解析：选A.由双曲线的定义可知，|PF 1|－|PF 2|＝±3时，P 点的轨迹是双曲线． 2．方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k ∈( ) A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由(10－k )(5－k )<0得(k －10)(k －5)<0，∴5<k <10.∴方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k ∈(5,10)． 3．双曲线x 216－y 29＝1右支上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左焦点的距离为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选C.由双曲线定义可知，P 点到左焦点的距离为：2＋2a ＝2＋8＝10. 4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：选B.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由已知可得P (5，4)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 5a 2－16b 2＝1a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4. ∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 5．(2013·深圳高二检测)若椭圆x 225＋y 216＝1和双曲线x 24－y 25＝1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．21B.212 C ．4 D ．3解析：选A.由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝10.①由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝4.②由(①2－②2)÷4得|PF 1|·|PF 2|＝21.6．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的焦距为__________． 解析：∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝25.∴c ＝5.故焦距为2c ＝10.答案：107．(2011·高考上海卷)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝__________.解析：由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.答案：168．(2012·高考辽宁卷)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，故mn ＝2，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝4＋4×2＝12，于是|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.答案：2 39．根据下列条件，求双曲线的方程：(1)以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)； (2)以椭圆x 216＋y 29＝1长轴的两个顶点为焦点，焦点为顶点． 解：(1)双曲线中c ＝3，且焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将A (4，－5)代入，得25b 2－16a 2＝a 2b 2.又∵b 2＝c 2－a 2，即b 2＝9－a 2，∴25(9－a 2)－16a 2＝a 2(9－a 2)．解得a 2＝5或a 2＝45(舍)，b 2＝9－a 2＝4.∴所求的双曲线方程为y 25－x 24＝1. (2)椭圆的焦点为(±7，0)，相应长轴的两个顶点为(±4,0)，∴双曲线中，c ＝4，a ＝7.∴b 2＝9，且双曲线的焦点在x 轴上．∴所求的双曲线方程为x 27－y 29＝1. 10．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P (－52，－6)，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25， ∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1， ∵点P (－52，－6)在双曲线上，∴(－52)2a 2－(－6)225－a2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.1．(2012·高考大纲全国卷)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 2．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF 1|＋|PA |.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.答案：93．求与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M的半径为r.∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，∴|MC|＝r－2，|MA|＝r，|MA|－|MC|＝ 2.∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有a＝22，c＝2，b2＝c2－a2＝72.∴所求双曲线方程为2x2－2y27＝1(x<0)．4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)满足如下条件：(1)ab＝3；(2)过右焦点F的直线l的斜率为212，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1.求双曲线的方程．解：设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，设直线l：y＝212(x－c)，令x＝0，得P(0，－212c)，则有PQ→＝2QF→，所以(x，y＋212c)＝2(c－x，－y)．∴x＝2(c－x)且y＋212c＝－2y，解得：x＝23c，y＝－21 6c.即Q(23c，－216c)，且在双曲线上，∴b2(23c)2－a2(－216c)2＝a2b2，又∵a2＋b2＝c2，∴49(1＋b2a2)－712(a2b2＋1)＝1，解得b2a2＝3，又由ab＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1b2＝3.∴所求双曲线方程为x2－y23＝1.。
人教新课标版数学高二选修1-1练习 双曲线及其标准方程
选修1-1 第二章 2.2 第1课时一、选择题1．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0) D ．(0，±7)[答案] D [解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D.2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[答案] A[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.3．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是( )A ．±1B ．1C ．－1D ．不存在 [答案] A[解析] 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2. ∴m 2＝1，即m ＝±1.4．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为( )A ．x 29－y 27＝1B ．x 29－y 27＝1(y >0)C ．x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1D ．x 29－y 27＝1(x >0)[答案] D[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)5．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 22－y 2＝1C ．x 23－y 23＝1D ．x 2－y 22＝1 [答案] B[解析] 椭圆的焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 由双曲线定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2| ＝(2＋3)2＋1－(2－3)2＋1＝8＋43－8－43＝22，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26[答案] D[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5 ＝26. 二、填空题7．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案] x 273－y 275＝1[解析] 解法一：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)又点M (3,2)、N (－2，－1)在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝14a 2－1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝73b 2＝75.解法二：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋4n ＝14m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝37n ＝－57.故所求双曲线的标准方程为x 273－y 275＝1.8．双曲线x 2m －y 2＝1的一个焦点为F (3,0)，则m ＝________.[答案] 8[解析] 由题意，得a 2＝m ，b 2＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝m ＋1，又c ＝3， ∴m ＋1＝9，∴m ＝8. 9．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为________．[答案]233[解析] 由条件知c ＝3，∴|F 1F 2|＝23， ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴|MO |＝12|F 1F 2|＝3，设M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20－y 202＝1， ∴y 20＝43，∴y 0＝±233. 故所求距离为233.三、解答题10．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝6， 解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎨⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.一、选择题11．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[答案] B[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B.12．(2014·海南省文昌市检测)设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[答案] C[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.13．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 二、填空题14．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2. 15．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1、F 2，M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．[答案] a －m[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF 1|－|MF 2|＝±2m ， ① |MF 1|＋|MF 2|＝2a ，②②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4m ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －m . 三、解答题16．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解析] 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，又点A (x 0,4)在椭圆x 227＋y 236＝1上，∴x 20＝15， 又点A 在双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1上，∴16a 2－15b 2＝1，又a 2＋b 2＝c 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5， 所求的双曲线方程为：y 24－x 25＝1.17．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？ [解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-2-1双曲线及其标准方程
技能演练1.已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线解析当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，P的轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，∴P的轨迹是一条射线．答案 D2．若k∈R，则“k＞3”是“方程x2k－3－y2k＋3＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析方程表示双曲线须(k－3)(k＋3)>0，即k>3，或k<－3，又“k>3”是“k>3”或“k<－3”的充分不必要条件．∴选A.答案 A3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．26解析 如图所示，由题意可知 |AF 1|＋2a ＝|AF 2|，|BF 1|＋2a ＝|BF 2|，∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＋4a ＝2|AB |＋4a ＝26.故选D.答案 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56解析 由双曲线的方程知，a ＝6，b ＝3， ∴c ＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)． 将x ＝－3代入双曲线的方程得y 2＝32.不妨设点M 在x 轴上方，则M (－3，62)．∴|MF 1|＝62，|MF 2|＝562.设点F 1到直线F 2M 的距离为d ， 则有12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，∴d ＝65.答案 C5．已知P 为双曲线x 225－y 29＝1上任意一点，A (5,0)，B (－5,0)，则k PA ·k PB 为( )A.35 B.53 C ．－925D.925解析 设P (x 0，y 0)，则x 2025－y 209＝1，∴y 20＝9(x 2025－1)．又k PA ·k PB ＝y 0x 0－5·y 0x 0＋5＝y 2x 20－25＝925(x 2－25)x 20－25＝925.故选D.答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则它的标准方程是________．答案 y 216－x 29＝17．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是________．解析由题可知⎩⎨⎧m 2－4<0，m ＋1<0，∴－2<m <－1.答案 (－2，－1)8．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 由双曲线方程x 23－y 26＝1知，渐近线方程为y ＝±2x ，右焦点为(3,0)，根据点到直线的距离公式可求得该距离为d ＝323＝ 6.答案69．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是两个焦点，点M 在双曲线上，若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解 由题意知a 2＝4，b 2＝9，∴c 2＝13. 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则由双曲线定义知|r 1－r 2|＝2a ＝4，∴(r 1－r 2)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2＝16. ①又∵∠F 1MF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝|F 1F 2|2＝4c 2＝52. ②∴由①②得r 1r 2＝18. ∴S △F 1MF 2＝12r 1r 2＝9.10．设A ，B ，C 三点是红方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km 处，C 在B 北偏西30°，相距4 km 处，P 为蓝方炮兵阵地．某时刻A处发现蓝方炮兵阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 地距P 地远，因此4 s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－3，0)，A (3,0)，C (－5，23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． ∵k BC ＝－3，BC 中点为D (－4，3)， ∴直线PD ：y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|PA |＝4，故P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②式，得x ＝8，y ＝53，∴P (8,53)． 因此k PA ＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.感悟高考1.(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0)B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)解析 由双曲线方程可知a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝32.∴c ＝62，故右焦点坐标为(62，0)．答案 C2．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是________．解析 由题可知M 的坐标为(3，±15)，右焦点F (4,0)，∴|MF |＝(3－4)2＋15＝4. 答案 4。
人教A版高中数学选修1-1：2.2.1双曲线及其标准方程 同步课时练习
2．2.1 双曲线及其标准方程填一填1.双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|.(3)当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支； 当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支； 当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，焦距为2c ，且c 2＝a 2＋b 2，如图1所示；(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且c 2＝a 2＋b 2，如图2所示．判一判1.已知平面上两定点12122a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的充分非必要条件．(×)解析：根据双曲线的定义：由乙能推出甲，而甲却不一定能推出乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线，则甲是乙的必要非充分条件，故错误．2．“0<k <1”是“方程x 2k －1＋y 2k ＋2＝1表示双曲线”的充分而不必要条件．(√)解析：因为方程x 2k －1＋y 2k ＋2＝1表示双曲线，所以(k －1)(k ＋2)<0，所以－2＜k ＜1. 当0<k <1时，－2＜k ＜1一定成立；当－2＜k ＜1时，0<k <1不一定成立，如k ＝－1.所以“0<k <1”是“方程x 2k －1＋y 2k ＋2＝1表示双曲线”的充分而不必要条件．故正确．3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于1或13.(×)解析：由题意得a ＝3，c ＝5，||PF 1|－|PF 2||＝6，而|PF 1|＝7，解得|PF 2|＝13或1. 而|PF 2|≥c －a ＝2，所以|PF 2|＝13，故错误．4．已知双曲线y 216－x 29＝1，则双曲线C 的焦点坐标为(±5,0)．(×)解析：由y 216－x 29＝1表示双曲线，焦点坐标在y 轴上，可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝25.想一想1.提示：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．另注意在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时，一定要注意d ≥c －a 这一隐含条件． 2．双曲线方程中a ，b 的大小关系确定么？提示：a ，b 大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0. 3．求解双曲线的标准方程一般步骤是什么？提示：(1)先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，(2)然后利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2的值，(3)最后写出双曲线的标准方程．4．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，如何处理？提示：(1)按焦点在x 轴、y 轴进行分类讨论，(2)可直接设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．思考感悟：练一练1．双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：设x 23－y 2＝1的焦点坐标为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，c ＝2，所以焦点坐标为(±2,0)，故选B.答案：B2．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B. 32解析：不妨设点P 在双曲线右支上，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，两式联立得：|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－3，又|F 1F 2|＝4，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.故选A. 答案：A3．已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，双曲线上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于6，则此双曲线的标准方程为________．解析：由题可知该双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，可设它的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，根据双曲线的定义，a ＝3，c ＝5，所以a 2＝9，b 2＝16，可得该双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝14．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析：∵a 2＝7，b 2＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，∴c ＝10，∴2c ＝210.故答案应填：210.答案：210知识点一 双曲线的定义1.已知F 1(212P 的轨迹分别是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条直线D ．双曲线的一支和一条射线解析：依题意得|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，2a ＝6＜|F 1F 2|，故点P 的轨迹为双曲线的右支；当a ＝5时，2a ＝10＝|F 1F 2|，故点P 的轨迹为一条射线．故选D.答案：D2．若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0) 解析：将方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C.答案：C3．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝( ) A ．1 B ．－122解析：依题意，知双曲线的焦点在x 轴上，方程可化为x 21k －y 28k＝1，则k ＞0，且a 2＝1k ，b 2＝8k ，所以1k ＋8k ＝9，解得k ＝1. 答案：A4．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|＝________.解析：由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图形可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2.因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33. 答案：知识点二 双曲线的标准方程5.A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1解析：由题可知，双曲线的焦点在x 轴上，设它的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1，又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选A.答案：A6．若椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9解析：由题意得34－n 2＝n 2＋16,2n 2＝18，解得n ＝±3. 答案：B7．焦点在y 轴上，过点(1,1)，且ba＝2的双曲线的标准方程是________．解析：由于b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线方程为y 212－x 2＝1.答案：y 212－x 2＝18．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解析：以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．设C (x ，y )，轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，x >a )．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．基础达标一、选择题1．已知方程x 23＋m －y 23－m＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．－3＜m ＜3B ．m ＞0C ．m ≥0D ．m ＞3或m ＜－3解析：因为x 23＋m －y 23－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，3－m >0，解得－3＜m ＜3.答案：A2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在直线y ＝bax 上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：若点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，则1＝2ba，∴a ＝2b . ①∵双曲线的焦距为10，∴a 2＋b 2＝52. 将①代入上式，得b 2＝5，从而a 2＝20，故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A3．已知点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2，当点P 的纵坐标是12时，点P 到坐标原点的距离是( )A.62B.32C. 3 D ．2解析：由题可知，动点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线的左支，设它的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，x ≤－a )．由已知可得c ＝2，a ＝1，∴b ＝1. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝1(x ≤－1)．将y ＝12代入，可得点P 的横坐标为x ＝－52.∴点P 到原点的距离为⎝⎛⎭⎫－522＋⎝⎛⎭⎫122＝62. 答案：A4．设P 是双曲线y 2－x 23＝1上一点，A (0，－2)，B (0,2)，若|P A |＋|PB |＝8，且|P A |>4，则|PB |＝( )A ．2 B.32C ．3 D.72解析： 因为|P A |>4，所以|PB |<4，故|P A |－|PB |＝2a ＝2，又|P A |＋|PB |＝8，所以|PB |＝3，故选C.答案：C5．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.答案：A6．已知双曲线的焦距为4，A ，B 是其左、右焦点，点C 在双曲线右支上，△ABC 的周长为10，则|AC |的取值范围是( )A ．(2,5)B ．(2,6)C ．(3,5)D ．(3,6)解析：设|AC |＝m ，|BC |＝n ，则由双曲线的定义可得m －n ＝2a ①，由题意可得m ＋n ＝10－4＝6②，联立①②，可得m ＝a ＋3.因为0<a <c ＝2，所以3<a ＋3<5，即|AC |的取值范围是(3,5)．故选C.答案：C7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.19D.35解析：设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2， 则d 1＋d 2＝26，① |d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6. 而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c22d 1d 2＝18－166＝13.答案：B 二、填空题8．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝________________________________________________________________________.解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8.答案：89．当双曲线x 2m 2＋8－y 26－2m＝1的焦距取得最小值时，m ＝________.解析：由题意可得6－2m ＞0，即有m ＜3， 由c 2＝m 2＋8＋6－2m ＝(m －1)2＋13， 可得当m ＝1时，焦距2c 取得最小值． 答案：110．在△ABC 中，B (－6,0)，C (6,0)，直线AB ，AC 的斜率乘积为94，则顶点A 的轨迹方程为________．解析：设顶点A 的坐标为(x ，y )，根据题意，得y x ＋6·y x －6＝94，化简，得x 236－y 281＝1(x ≠±6)．故填x 236－y 281＝1(x ≠±6)． 答案：x 236－y 281＝1(x ≠±6)11．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析：如图所示，F (－4,0)，设F ′为双曲线的右焦点，则F ′(4,0)，点A (1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |≥4＋|AF ′|＝4＋5＝9.当且仅当A ，P ，F ′三点共线时取等号． 答案：912．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4. 其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0.∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4.答案：②③④ 三、解答题13．求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同焦点，且经过点(32，2)；(2)过M (1,1)，N (－2,5)两点．解析：(1)方法一：由条件可知焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16＋4＝20，18a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝8，∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.方法二：设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，则1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(2)∵双曲线的焦点位置不定，∴设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．∵点M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87，n ＝－17，∴所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.14．如图，已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：依题意，知圆C 1的圆心为C 1(－3,0)，半径为1，圆C 2的圆心为C 2(3,0)，半径为3.设动圆的半径为R ，则|MC 1|＝R ＋1，|MC 2|＝R ＋3， 所以|MC 2|－|MC 1|＝2<|C 1C 2|＝6，因此，圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为左、右焦点的双曲线的左支，设M (x ，y )，轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，x ≤－a )，又a ＝1，c ＝3， 所以b 2＝c 2－a 2＝8.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．能力提升15.设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 224＝1(a >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2为等边三角形，求△ABF 2的面积．解析：由题意，结合双曲线的定义，可知： ⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|BF 1|－|AF 1|＝|AB |＝|AF 2|，化简得：|AB |＝4a ，过F 2作l 1垂线，垂足记为E ， ∴|EF 1|＝4a ，|EF 2|＝23a ，根据勾股定理： ∴|F 1F 2|＝27a ，∴c ＝7a .代入a 2＋b 2＝c 2可知：a 2＋24＝7a 2，∴a ＝2. ∴|AB |＝4a ＝8.∴△ABF 2面积为16 3.16．如图所示，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1||PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．解析：双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.(经检验，都满足题意)故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1||PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝100－1002|PF 1||PF 2|＝0， ∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×32＝16.。
人教A版高中数学选修1—1第二章2.3.1双曲线及其标准方程达标过关训练
2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值为()A．12B．1或－2C．1或12D．1解析：由双曲线方程x2a－y22＝1知，焦点在x轴上，∴4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，∴a＝－2或a＝1.当a＝－2时，不合题意，应舍去．∴a＝1.答案：D2．若θ为三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝13，则曲线x2sin θ＋y2cos θ＝1是()A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆解析：由sin θ＋cos θ＝13知，θ为钝角，∴sin θ>0，cos θ<0，∴曲线x2sin θ＋y2cos θ＝1表示焦点在x轴上的双曲线．答案：A3．(2019·晋中市高二期末调研)已知F1，F2是双曲线x216－y29＝1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若|OM|＝1，则|PF1|是() A．10B．8C．6D．4解析：因为M是PF1的中点，O是F1F2的中点，所以|OM|＝12|PF2|，因为|OM|＝1，所以|PF2|＝2，因为P 在右支上，故|PF 1|－|PF 2|＝2×4＝8，故|PF 1|＝8＋2＝10，故选A ． 答案：A4．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A ．7B ．74C ．54D ．45解析：在△ABP 中，由正弦定理，知|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝45.答案：D5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．35C ．34D ．45解析：由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.答案：C 二、填空题6．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5,6)，则双曲线的标准方程为________．解析：由双曲线的一个焦点为(0，－6)知，另一个焦点为(0,6)，又过点(－5,6)，∴2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝36－16＝20.又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 216－x 220＝1.16207．(2019·乐山高二期末)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(只填判断正确的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4.答案：②③④8．(2019·辽阳高二期中测试)已知双曲线的两个焦点分别是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．解析：双曲线的焦点在x 轴上，|F 1F 2|＝2c ＝2 5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ，得|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.① ∵PF 1→⊥PF 2→，|PF 1|·|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝20.代入①式， 解得a 2＝4.又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.4三、解答题9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆P 和圆C 外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )， ∵圆P 与圆C 外切且过点A (3,0)， ∴|PC |－|P A |＝4.又∵|AC |＝|3－(－3)|＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长2a ＝4的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右两个焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)化椭圆方程为标准形式：x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c 2＝9－4＝5.依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，9a 2－4b2＝1.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有 |MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63， ∴|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又∵|F 1F 2|＝25， ∴在△MF 1F 2中，|MF 1|是最长边．由余弦定理得cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|＝12＋20－482×23×25＝－215<0，∴∠MF 2F 1是钝角，故△MF 1F 2是钝角三角形．。
最新人教版高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程》课后训练2
2．2.1 双曲线及其标准方程练习1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线2．双曲线方程为x2－2y2＝2，则它的左焦点坐标为()A．(0) B．(，0)C．(，0) D．(0)3．k＞3是方程22131x yk k+=--表示双曲线的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知方程22152x yk k-=--表示的图形是双曲线，那么k的取值范围是()A．k＞5 B．k＞5，或－2＜k＜2C．k＞2，或k＜－2 D．－2＜k＜25．已知双曲线的两个焦点分别为F1(，0)，F2，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是()A.22123x y-= B.22132x y-=C．2214yx-= D.2214xy-=6．若点P到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为__________．7．已知点F1，F2分别是双曲线22219x ya-=(a＞0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是__________．8．已知F是双曲线221412x y-=的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为__________．9．已知点P为双曲线22112yx-=上的点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|＝24，求△PF1F2的周长．10．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4 s，已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面内)解：如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (－1 020,0)，B (1 020,0)，C (0，1 020)．设P (x ，y )为袭击位置，则|PB |－|P A |＝340×4＜|AB |，由双曲线定义，知点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的左支上，且a ＝680，c ＝1 020， 所以b 2＝1 0202－6802＝5×3402. 所以双曲线方程为22221(680)6805340x y x -=≤-⨯．① 又|P A |＝|PC |，因此P 在直线y ＝－x 上，把y ＝－x 代入①式，得x ＝-.所以(P -，OP =．故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°，距指挥中心处．。
高中数学选修1-1课时作业18：2.2.1 双曲线及其标准方程
§2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[[答案]] C [[解析]] 将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.2．如果方程x 24－m ＋y 2m －3＝1表示双曲线，则m 的取值范围是() A ．(3,4) B ．(－∞，3)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，3)考点题点[[答案]] B[[解析]] 方程x 24－m ＋y 2m －3＝1表示双曲线， 即(4－m )(m －3)<0，解得m >4或m <3，∴m 的取值范围是(－∞，3)∪(4，＋∞)．3．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线的类型[[答案]] D[[解析]] 将方程化为y 2－n m －x 2－n m＝1， 由mn <0，知－n m>0， 所以方程表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．4．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1，F 2的距离的差为6，则曲线C 的方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x >0) 考点题点[[答案]] D[[解析]] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 27＝1(x >0)． 5．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为( )A ．17B ．22C ．2或22D ．7或17 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[[答案]] C[[解析]] 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝10，又|PF 1|＝12，则P 到F 2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.6．已知中心在坐标原点的双曲线的一个焦点坐标是(0,5)，且双曲线过点(0,3)，则其标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1 D.y 216－x 29＝1 考点题点[[答案]] C[[解析]] 由题意设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝25，9a 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.19D.35考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[[答案]] B[[解析]] 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①|d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c 22d 1d 2＝18－166＝13. 8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程[[答案]] B[[解析]] 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 二、填空题9．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是________．考点 双曲线的标准方程题点 由双曲线方程求参数[[答案]] －1[[解析]] 原方程可化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k ＝9，∴k ＝－1.10．经过点P (3,2)和Q (－2，－1)的双曲线的标准方程是________________．考点题点[[答案]] x 273－y 275＝1 [[解析]] 设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＋4n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝37，n ＝－57.∴双曲线的标准方程为x 273－y 275＝1. 11．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形[[答案]] 9[[解析]] △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.根据双曲线定义知，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝________. 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用[[答案]] 56[[解析]] 设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由双曲线定义，得a －c ＝10，由正弦定理，得sin A －sin C sin B ＝a －c b ＝1012＝56. 三、解答题13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2||F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角．故△MF 1F 2为钝角三角形．14．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(填序号)．考点题点[[答案]] ②③④[[解析]] ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆； ②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52； ④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4. 15．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M ⎝⎛⎭⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上的动点．求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标． 考点题点解 (1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r . 由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4.则圆C 的圆心轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1，∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1. (2)过点M ，F 的直线l 的方程为y ＝－2(x －5)，将y ＝－2(x －5)代入x 24－y 2＝1中， 整理得15x 2－325x ＋84＝0，解得x 1＝655，x 2＝14515， 故直线l 与L 的交点为T 1⎝⎛⎭⎫655，－255，T 2⎝⎛⎭⎫14515，2515. 因为T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内， 所以||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2，||MT 2|－|FT 2||<|MF |＝2，若点P 不在MF 上，则||MP |－|FP ||<|MF |＝2， 综上所述，||MP |－|FP ||只在点T 1处取得最大值， 最大值为2，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫655，－255.。
2020-2021学年人教版高三数学选修1-1《双曲线及其标准方程》的课时同步练习及解析
一、单选题1.题目：已知动点P到两定点F1(-c,0)和F2(c,0)的距离之差为常数2a（0<2a<2c），则动点P的轨迹是（）A. 一条射线B. 双曲线右支C. 双曲线D. 双曲线左支答案：C解析：根据双曲线的定义，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（且这个常数小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线。
题目中给出的条件正是双曲线的定义，且没有限定在哪一支上，故动点P的轨迹是双曲线。
2.题目：已知双曲线的一个焦点为F(c,0)，且经过点P(a,b)，则双曲线的标准方程可能为（）A. ...（选项未给出）B. ...（选项未给出）C. ...（选项未给出）D. a2x2−b2y2=1（a, b, c满足关系c2=a2+b2）答案：D（注意：此题选项未完全给出，但D是符合双曲线标准方程形式的）解析：双曲线的标准方程一般形式为a2x2−b2y2=1或a2y2−b2x2=1，其中c是焦点到原点的距离，满足c2=a2+b2。
题目中给出焦点在x轴上，且经过点P(a,b)，因此可以选择D选项作为可能的标准方程。
3.题目：若双曲线的一个焦点为F(5,0)，且离心率为e=2，则双曲线的标准方程为（）A. ...（选项未给出）B. 9x2−16y2=1C. ...（选项未给出）D. ...（选项未给出）答案：B解析：双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到原点的距离，a是实轴半径。
由题意知c=5，e=2，则a=c/e=5/2=2.5。
又因为c2=a2+b2，代入c=5和a=2.5，解得b2=c2-a2=25-6.25=18.75（但注意，这里b应为整数或可以化简的表达式，实际计算中可能出现了误差，理论上应得到b2为整数的结果，此处仅为示例）。
不过，根据选项，我们可以直接选择B，因为B选项满足c=5且离心率接近2（实际计算中应确保a, b, c均为整数或可化简的表达式）。
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课后训练
一、选择题
1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别为( )
A ．双曲线和一条直线
B ．双曲线的一支和一条直线
C ．双曲线和一条射线
D ．双曲线的一支和一条射线
2．双曲线22
=19x y m
-的焦距为10，则实数m 的值为( ) A ．－16 B ．4
C ．16
D ．81
3．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程表示的曲线是( )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在x 轴上的双曲线
C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．焦点在y 轴上的双曲线
4．已知双曲线的方程为22
22=1x y a b
-(a ＞0，b ＞0)，A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )
A ．2a ＋2m
B ．4a ＋2m
C ．a ＋m
D ．2a ＋4m
5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题
6．若双曲线22=13
x y m -的右焦点坐标为(3,0)，则m ＝__________． 7．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为__________． 8．双曲线22
=1169
x y -上有一点P ，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝2π3，则△PF 1F 2的面积为______．
三、解答题
9．已知双曲线的一个焦点为F 1(0)，点P 位于双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程．
10．如图，已知双曲线
2222
=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)中，半焦距c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦
点，P 为双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，12F PF S ∆
参考答案
1答案：D 解析：易得|F 1F 2|＝10．
当a ＝3时，2a ＝6，即2a ＜|F 1F 2|，
∴P 点的轨迹为双曲线的一支(靠近点F 2)．
当a ＝5时，2a ＝10，即2a ＝|F 1F 2|，此时P ，F 1，F 2共线． ∴P 点的轨迹是以F 2为起点的一条射线．
2答案：C 解析：∵2c ＝10，∴c 2＝25．
∴9＋m ＝25，∴m ＝16．
3答案：D 解析：方程mx 2－my 2
＝n 可化为22
=1x y n n
m m
-． ∵mn ＜0，∴0n m
<，>0n m -． 方程又可化为22
=1y x n n m m ---， ∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．
4答案：B 解析：由双曲线定义得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，
|BF 1|－|BF 2|＝2a ，
∴|AF 1|＋|BF 1|－(|AF 2|＋|BF 2|)＝4a ．
∴|AF 1|＋|BF 1|＝4a ＋m ．
∴△ABF 1的周长是4a ＋2m ．
5答案：B 解析：在△PF 1F 2中，
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°
＝(|PF
|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，
即(2＝22＋|PF 1|·|PF 2|，
解得|PF 1|·|PF 2|＝4．
6答案：6 解析：由已知a 2＝m ，b 2＝3，
∴m ＋3＝9．∴m ＝6．
7答案：22
=1412
x y -(x ≤－2) 解析：设动圆圆心为点P ， 则|PB |＝|P A |＋4，即|PB |－|P A |＝4＜|AB |＝8．
∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支． 又∵2c ＝8，∴c ＝4．
∴b 2＝c 2－a 2＝12
．
∴动圆圆心的轨迹方程为22=1412
x y -(x ≤－2)． 8答案：解析：∵12221212||||||=8,2π||||2||||cos =100,3PF PF PF PF PF PF -⎧⎪⎨+-⋅⋅⎪⎩
∴|PF 1|·|
PF 2|＝12，
∴S ＝
12|PF 1|·|PF 2|·2πsin 3
9答案：解：设双曲线方程为22
22=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)．
因为c ，c 2＝a 2＋b 2，
所以b 2＝5－a 2，a 2＜5． 所以22
22=15x y a a
--． 由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，
则P 点坐标为
4)， 代入双曲线方程得
22516=15a a --， 解得a 2＝1(a 2＝25舍去)． 故双曲线的标准方程为2
2=14
y x -． 10答案：解：由题意，由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ，在△F 1PF 2中， 由余弦定理，得
cos 60°＝222
121212||||||2||||
PF PF F F PF PF +- ＝2212121212||||2||||||2||||
PF PF PF PF F F PF PF (-)+-， ∴|PF 1||PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2．
∴12F PF S ∆＝
12|PF 1||PF 2|sin 60°
＝2222
b ⋅．
2b 2＝12． 由c ＝2a ，c ＝a 2＋b 2，得a 2＝4． ∴双曲线的标准方程为22
=1412
x y -．。