(新课标版)备战2018高考数学二轮复习思想3.4等价转换思想测试卷01文
2018年高三最新 等价转化思想 精品
等价转化的思想1．已知x ，y ∈R ，且满足方程0822222=+--+-y x y xy x 求下列各式的最小值：（1）y x +；（2）xy ．2．集合A ＝{x 019|22=-+-a ax x }，B ＝{ 1)85(log |22=+-x x x }，C ＝{ 082|2=-+x x x }，当a 取什么实数时，B A ≠φ且C A ＝φ同时成立．3．解方程：83210321022=+--++x x x x ．4．在△ABC 中，B A C C A sin 232cos sin 2cos sin 2=⋅+⋅，且最大角与最小角之差为90，求证它的三边之比为（17-）︰7︰（17+）．5．如果a ，b ，c ∈R ，并满足044222=+-++b a b a ，044422=++-+d c d c ，求22)()(d b c a -+-=ω的最值．6．设四面体的每组相对棱的长分别为a ，b ，c ，求此四面体的体积．7．已知a ，b ，x ，y ∈R ，且042=++b a ，12=+y x ，求证：5)()(22≥+++y b x a ．8．若2522=+y x ，求50685068),(++++-=x y x y y x f 的范围．9．若△ABC 的三个内角，A ，B ，C 满足1sin cos 2=+A b A a ，1sin cos 2=+B b B a ，1sin cos 2=+C b C a ，求证：△ABC 是等腰三角形．10．求同时满足下列两个条件的所有复数z ：（1）∈+z z 10R ，且6101≤+<zz ； （2）z 的实部和虚部都是整数．11．5个不同的红球和2个不同的白球排在一个圆周上，使2个白球不相邻有几种排法？12．已知1333222=++=++=++z y x z y x z y x ，求证x ，y ，z 中至少有一个等于0．参考答案1．（1）把原方程配方，得08)(2)(2=++--y x y x y x +⇔＝24)(222+-y x ．∵ 0)(2≥-y x ，∴ 24≥+y x （2）原方程配方，得08)(24)(2=++--+y x xy y x ，]8)(2)[(412++-+=y x y x xy 815)22(412+-+=y x ，由（1）知24≥+y x ．而xy 在［24，)∞+上为增函数，∴ xy 的最小值为8815)2224(412=+- 2．∵ B ＝{2，3}，C ＝{2，－4}，要使φ=C A 成立，与－4都不是方程01922=-+-a ax x 的解；要使φ≠B A ，3是方程01922=-+-a ax x 的解，即019392=-+-a a ．∴ 5=a ，或2-=a ．当5=a 时，A ＝{2，3}，不满足φ=C A ，故5=a 舍去；当2-=a 时，A ＝{3，－5}，合题意，故2-=a 为所求3．原方程可化为8)7()5()7()5(2222=+--++x x ，此方程的解等价于双曲线194222=-y x 的右支与直线72=y 的交点的横坐标，解得大于或等于4时的解为316=x ．故原方程解为316=x 4．已知等式B A C C A sin 232cos 1sin 2cos 1sin =+⋅++⋅⇔ C A sin sin +⇔)sin(C A ++＝B sin 3b c a B C A 2sin 2sin sin =+⇔=+⇔．设最小角为α，则三个内角的大小顺序为α，α290-︒，α+︒90．∵ a ︰b ︰c ＝αsin ︰)290sin(α-︒︰)90sin(α+︒＝αsin ︰α2cos ︰αcos （︒<<300α），由αααcos sin 2cos 2+=，得)s i n (c o s 222αα-＝ααcos sin +．∴ 21s i n c o s =-αα．平方得83)sin (cos -=-⋅αα．因此，αcos ，αsin -是方程083212=--x x 的两根，解此方程得417sin -α，417cos +=α（∵ ααs i n c o s >）．∴ 472c o s =α．∴ αs i n ︰α2cos ︰αcos ＝)17(-︰7︰)17(+ 5．设P 的坐标为（a ，b ），则点P 满足方程1)2()1(22=-++y x ．设Q 的坐标为（c ，d ），则点Q 满足4)2()2(22=++-b x ，2PQ =ω．若两圆的连心线分别交圆两圆于A ，B ，C ，D ，如图，PQ 的最大值为BD ，最小值为AC ，8215=++=BD ，2125=--=AC ．6．如图，将四面体“装入”它的外接长方体内，使得长方体相邻的三个面的对角线长分别等于四面体各组棱长．设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z ，则222a y x =+……①，222b z y =+……②，222c x z =+……③．由①、②、③解得)(212222c b a x +-=，)(212222c b a y -+=，)(212222c a b z +-=．∴ 221==xyz V 长方体)[(222c a b +- 21222222)((c b a c b a -++-．∵ 长方体四面体V V 31=∴ 122=四面体V ． ))()((222222222c b a c b a c a b -++-+-7．所证问题可转化为点（a ，b ）与（－x ，－y ）间的距离，已知点（a ，b ）在1l ：042=++y x 上，点（－x ，－y ）在2l ：012=-+y x 上，且1l ∥2l ，因平行直线上任意两点间的距离不小于这两平行线的距离，52221=+-=B A c c d ，∴ 5)()(22≥+++y b x a 8．∵ 2522=+y x ，∴ 25682568),(2222++++++-++=x y y x x y y x y x f ＝2222)4()3()4()3(++++++-y x y x ，),(y x f 可看做圆2522=+y x 上的动点，P （x ，y ）到二定点A （－3，－4），B （3，－4）的距离之和，而A ，B 又在圆2522=+y x 上，因此，当P 与A 或B 重合时，6),(==AB y x f 为最小；当P 与点（0，5）重合时， 1062),(==AC y x f 为最大．),(y x f 的取值范围为［6，106］9．从形上看三个条件具有同一模式1=+by ax ，可看成是P （A 2cos ，A sin ），Q（B 2cos ，B sin ），R （C 2cos ，C sin ）三点同在一直线1=+by ax 上，同时，注意到这三点的坐标也具有同一模式⎩⎨⎧==,sin ,cos 2θθy x 这是抛物线的一段：12+-=x y （10≤≤x ）．这表明P ，Q ，R 是直线1=+by ax 与抛物线段12+-=x y （10≤≤x ）的三个公共点，但实际上它们至多有两个公共点，所以这三点中至少有两点重合，从而A ，B ，C 中至少有两者相等，故△ABC 是等腰三角形．10．∵ z z 10+为实数，且6101≤<<z z ，令u z z =+10，则∈u R ，且61≤<u ．于是0102=+-uz z ……（*）．∴ 方程（*）是关于z 的实系数方程，且0402<-=∆u （61≤<u ）． 从而解出i 24022u u z -±=．∵ z 的实部与虚部均为整数，∴ u 只能取2，6两个值．由此满足条件的复数有i 31±=z ，或i 3±=z11．先转化为2个白球相邻时有多少种排法，然后求出不相邻时的排法总数480P P P 226677=-12．原命题可转化为：已知1333222=++=++=++z y x z y x z y x ，求证：0=xyz ．∵ 1=++z y x ……①，1222=++z y x ……②1333=++z y x ③．①2－②，整理得0=++zx yz xy ……④．又xyz z y x 3333-++222)((z y x z y x ++++=xy - )zx yz --……⑤，将①、②、③、④代入⑤，得13333=-++xyz z y x ．∴ 0=xyz。
2018年高考数学二轮复习 考前数学思想领航 四 转化与化归思想讲学案 理
四、转化与化归思想方法一 一般与特殊的转化问题模型解法一般和特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．破解此类题的关键点： ①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．④得出结论，求解新问题，根据所得结论求解原问题，得出结论．典例1 已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1,1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[12，＋∞)C ．[－1,12] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1,1]，显然满足条件，故排除选项A ，B ；当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ， f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件， 故排除C.综上，故选D.答案 D思维升华 常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量．跟踪演练1 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≤0，则y ＋1x －1的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析 可行域为如图所示的阴影部分，设z ＝y ＋1x －1，因为点(－2，－1)在可行域内，所以z ＝－1＋1－2－1＝0，排除C ，D ；又点A (0，－2)在可行域内，所以z ＝－2＋10－1＝1，排除A.方法二 数与形的转化问题模型解法数与形的转化包含由数到形和由形到数两个方面．由数到形就是把问题的数量信息转换为图形信息，由形到数就是把图形信息进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而得解．破解此类题的关键点：①数形转化，确定需要等价转化的数量关系(解析式)与图形关系．②转化求解，通过降维等方式合理转化，使问题简单化并进行分析与求解．③回归结论，回归原命题，得出正确结论．典例2 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的材料利用率为(材料利用率＝新工件的体积/原工件的体积)()A.89πB.827πC.24(2－1)3πD.8(2－1)3π解析 由三视图知该几何体是一个底面半径为r ＝1，母线长为l ＝3的圆锥，则圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝32－12＝2 2.由题意知加工成的体积最大的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一个底面A 1B 1C 1D 1在圆锥的底面上，过平面AA 1C 1C 的轴截面如图所示，设正方体的棱长为x ，则有22x r ＝h －x h ， 即x 2＝22－x 22，解得x ＝223， 则原工件的材料利用率为V 正方体V 圆锥＝x 313πr 2h ＝89π，故选A. 答案 A思维升华 数与形转化问题，特别是空间转化问题，往往在解决空间几何体问题的过程中将某些空间几何体问题进行特殊化处理，转化为平面几何问题来处理，降低维度，简化求解过程，降低难度．跟踪演练2 已知直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆3x 2＋y 2＝a 相交于A ，B 两个不同的点，记直线l 与y 轴的交点为C .(1)若k ＝1，且|AB |＝102，求实数a 的值； (2)若AC →＝2CB →，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时椭圆的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，3x 2＋y 2＝a ， 得4x 2＋2x ＋1－a ＝0，则x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝1－a 4， 从而|AB |＝2|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·a －34＝102， 解得a ＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，3x 2＋y 2＝a ， 得(3＋k 2)x 2＋2kx ＋1－a ＝0，则x 1＋x 2＝－2k 3＋k 2，x 1x 2＝1－a 3＋k2. 易知C (0,1)，由AC →＝2CB →，得(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，解得x 1＝－2x 2，所以x 1＋x 2＝－x 2＝－2k 3＋k2， 则x 2＝2k 3＋k2. △AOB 的面积S △AOB ＝12|OC |·|x 1－x 2| ＝32|x 2|＝3|k |3＋k 2＝33|k |＋|k |≤323＝32， 当且仅当k 2＝3时取等号，此时x 2＝2k 3＋k2， x 1x 2＝－2x 22＝－2×4k 2(3＋k 2)2＝－23， 又x 1x 2＝1－a 3＋k 2＝1－a 6，则1－a 6＝－23，解得a ＝5. 所以△AOB 面积的最大值为32， 此时椭圆的方程为3x 2＋y 2＝5.方法三 形体位置关系的转化问题形体位置关系的转化法是针对几何问题采用的一种特殊转化方法．主要适用于涉及平行、垂直的证明，如常见线面平行、垂直的推理与证明实际就是充分利用线面位置关系中的判定定理、性质定理实现位置关系的转化．破解此类题的关键点：①分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．②位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征．③得出结论，在新的几何结构中解决目标问题．典例3 如图，已知三棱锥P —ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P —ABC 的体积为__________．解析 因为三棱锥三组对边两两相等，则可将三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)．把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各棱分别是长方体的面对角线．不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，由已知有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得x ＝6，y ＝8，z ＝10，从而知三棱锥P —ABC 的体积为V 三棱锥P —ABC ＝V 长方体AEBG —FPDC －V 三棱锥P —AEB －V 三棱锥C —ABG －V 三棱锥B —PDC －V 三棱锥A —FPC＝V 长方体AEBG －FPDC －4V 三棱锥P —AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160. 答案 160思维升华 形体位置关系的转化常将空间问题平面化、不规则几何体特殊化，使问题易于解决．同时也要注意方法的选取，否则会跳入自己设的“陷阱”中．跟踪演练3 如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常数解析点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．。
2018届高考数学理科二轮总复习练习：四、转化与化归思
四、 转化与化归思想典例1 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________． 分析 本题的解析式中有两个变量x ，m .以m 作为主元，把x 看成系数问题会轻易解决． 解析 对任意的|m |≤2，有f (x )＝mx 2－2x ＋1－m <0恒成立，等价于当|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1<0恒成立．设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )<0恒成立(m ∈[－2,2])， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (－2)<0，g (2)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0. 解得7－12<x <3＋12. 从而实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12 点评 本题如果以x 为主元，会给解题带来很大的难度，而如果以m 为主元，就为解题找到新的突破口．根据已知条件，建立以参数为主元的不等式是一个转化的数学思想，通过转化就可利用一次函数g (m )的单调性通过数形结合解决问题，体现了函数与不等式之间的转化关系． 典例2 已知a 1，a 2，a 3成等差数列(a 1≠0)，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数也成等差数列，问a 1，a 3，a 5之间有什么关系？分析 题目中有5个元素：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，而解题目标是探讨a 1，a 3，a 5之间有什么关系，因此，a 2，a 4对求解目标是多余的，需要从多元向少元化归，即在解题时，设法把a 2，a 4消去．解 由题设，⎩⎨⎧a 2＝a 1＋a 32，a 23＝a 2a 4，2a 4＝1a 3＋1a 5，为消去a 2，a 4，可从方程组中解出a 2＝a 1＋a 32和a 4＝2a 3a 5a 3＋a 5，代入a 23＝a 2a 4得a 23＝a 1＋a 32·2a 3a 5a 3＋a 5， 因为a 3≠0，则a 3＝(a 1＋a 3)a 5a 3＋a 5，整理得a 23＝a 1a 5. 因此，a 1，a 3，a 5成等比数列．点评 一个题目含有较多的元素，它们之间有一定的联系，我们在解题时，总是希望通过一定的变形、转化来减少题目中的元素，从而变成一个较容易的题目，这是一种从多元向少元的化归，实现这一化归的主要方法是消元法．例如，解二元一次方程组时，遇到两个未知数，我们用消元法变成一个一元一次方程就是一种典型的从多元向少元的化归．典例3 设对所有实数x ，不等式x 2log 24(a ＋1)a ＋2x log 22a a ＋1＋log 2(a ＋1)24a 2>0恒成立，求a 的取值范围．分析 这是一个含有参数的不等式的恒成立的问题，但是，这个题目的表面比较复杂，我们可以通过log 22a a ＋1＝t 换元，化为简单的参数的一元二次不等式． 解 设log 22a a ＋1＝t ，则log 24(a ＋1)a ＝log 28(a ＋1)2a ＝3－t ，log 2(a ＋1)24a 2＝－2t . 于是，已知的不等式化为(3－t )x 2＋2tx －2t >0.该不等式对所有实数x 恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧3－t >0，Δ＝4t 2＋8t (3－t )<0，解得t <0. 即log 22a a ＋1<0，进一步解得0<a <1. 点评 换元是一种常见的转化方法，往往能把很杂、很陌生的问题，化归为我们熟悉的简单的问题．这种转化方法在研究函数、不等式、三角函数时应用很广．从上面的例题可以看出转化与化归思想解题思路如下：1．化归的目标要达到：使陌生问题熟悉化，复杂问题简单化，抽象问题直观化，化归过程严谨合理．2．转化的途径很多，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式等等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化． 跟踪演练1．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12都成立，则实数a 的最小值为________． 答案 －52解析 ∵x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12都成立， ∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，而y ＝－x －1x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，y max ＝－52，故a min ＝－52. 2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ， 所以S n ＝－1n. 3．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.①由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2 . 由D 在AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)， h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2). 又AB ＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12·AB ·(h 1＋h 2) ＝12·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k 1＋4k 2≤22， 当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号． 所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.4．如图，A ，B 是函数y ＝e 2x 的图象上两点，分别过A ，B 作x 轴的平行线与函数y ＝e x 的图象交于C ，D 两点．(1)求点A 与原点O 连成直线的斜率的取值范围；(2)若直线AB 过原点O ，求证直线CD 也过原点O ；(3)当直线BC 与y 轴平行时，设B 点的横坐标为x ，四边形ABDC 的面积为f (x )，若方程2f (x )－3e x ＝0在区间[t ，t ＋1]上有实数解，求整数t 的值．(1)解 设过原点O 且和函数y ＝e 2x 的图象相切的切线的切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝02ex ， 又y ′＝2e 2x ，切线OP 的斜率k OP ＝y 0x 0＝022e x ， 由020e x x ＝022e x ，得x 0＝12，k OP ＝022e x ＝2e. 结合图象知，点A 与原点O 连成直线斜率的取值范围是(－∞，0)∪[2e ，＋∞)．(2)证明 由已知可设A ，B ，C ，D 各点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 1)，D (x 4，y 2)，则y 1＝12ex ，y 2＝22e x ，且y 1＝3e x ，y 2＝4e x，∴12e x ＝3e x ，22e x ＝4e x，∴2x 1＝x 3,2x 2＝x 4， ∵直线AB 过原点O ，∴y 2x 2＝y 1x 1，∴y 22x 2＝y 12x 1， 于是y 2x 4＝y 1x 3，即k OD ＝k OC ，∴直线CD 也过原点O . (3)解 当直线BC 与y 轴平行时，x 2＝x 3＝2x 1＝x ，x 4＝2x 2＝4x 1＝2x ，∴f (x )＝12[(x 3－x 1)＋(x 4－x 2)](y 2－y 1) ＝3x 4(e 2x －e x )＝3x 4(e x －1)e x ， 于是方程2f (x )－3e x ＝0可化为32x (e x －1)e x －3e x ＝0， 由于e x >0，且x ＝0不是该方程的解，∴原方程等价于e x －2x－1＝0. 令g (x )＝e x －2x －1，则g ′(x )＝e x ＋2x 2>0对一切x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立， ∴g (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，又∵g (1)＝e －3<0，g (2)＝e 2－2>0，g (－3)＝e －3－13<0，g (－2)＝e －2>0， ∴方程2f (x )－3e x ＝0有且只有两个实根，并且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上， ∴整数t 的值为1和－3.。
(新课标版)备战2018高考数学二轮复习 思想3.4 等价转换思想测试卷01
思想3.4 等价转换一．选择题1.设222ln sin ln cos ln sin cos ln ,ln ,ln ln ln ln x y z b b b αααα===，若,42αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b ∈，则,,x y z 的大小关系为( )A ．x y z >>B ．y x z >> C. z x y >> D ．x z y >> 【答案】A2. 【辽宁省朝阳市2018届第一次模拟】在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为为三角形的重心，所以，又，，所以，，所以，因为三点共线，所以，故，故选A.3.函数()()()4ln 1f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为() s t ，，且() s t ，中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1142 ln 2ln 33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．114( 2 ]ln 2ln33--， C.141( 1]ln332ln 2--， D ．141,1ln 332ln 2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【解析】()0f x >()1x >只有一个整数解等价于，4ln xkx x+>只有一个大于1的整数解，设()()()2ln 1,'ln ln x x g x g x x x -==，可得()g x 在()1,e 递减，在(),e +∞递增，由图可知，4ln x kx x +>只有一个大于1的整数解只能是2，所以有224114ln 2, 2 < 3ln 2ln 3334ln 3k k ⎧+>⎪⎪--⎨⎪+>⎪⎩k<，故选B.4. 【东北三省三校2018届第一次模拟】已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( ) A.B.C.D.【答案】C5.在ABC ∆中，内角,,C A B 的对边分别是,,a b c ，若3sin 242B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2a c +=，则ABC ∆周长的取值范围是( )A ．(]2,3B ．[)3,4 C. (]4,5 D ．[)5,6 【答案】B 【解析】3sin ,242B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭且B 为三角形的内角，所以3223B B ππ∴=∴=，又2222cos b a c ac B =++，()222222cos 3434312a c b a c ac B a c ac ac +⎛⎫=++=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a c ==时，取等号，所以1b ≥，所以3a c b ++≥；又2a c b +=>，所以4a c b ++<，所以ABC ∆周长的取值范围是[)3,4.6. 【东北三省三校2018届第一次模拟】设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点，若，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C7.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，PM =，则2||的最大值是（ ） A ．443B ．449 C. 43637+ D ．433237+【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒．以D为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,,1,A B C --．设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又1,,2x PM MC M ⎛-=∴ ⎝⎭，所以1,2x BM ⎛+= ⎝⎭，所以()(222+14x y BM++=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,--的距离的平方的14，所以()22max149144BM⎫==⎪⎭，故选B ．8. 【辽宁省抚顺市2018届3月模拟】已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数有解即可，即有解.∴有解，即有解即可.设，则.∴方程等价为在时有解，设.∵函数恒过定点，∴要使函数在上有解，只需，即.故选B.9.已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A10. 【安徽省淮南市2018届2月模拟】已知函数有两个零点，则( )A. B.C.D.【答案】A二、填空题11. 【山东省烟台市2018届期末】方程()f x x =的解称为函数()f x 的不动点，若()2axf x x =+有唯一不动点，且数列{}n a 满足112a =， 111n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2018a =_______________________. 【答案】1009 【解析】由题得x 2ax x =+，化简得()220x a x +-=由唯一不动点，所以()220a ∆=-=，2a ∴=，所以()22xf x x =+，所以112121111222nn n n n a a a a a +⨯===+++，{}111122n n n n n a a a a a ++∴=+∴-=∴是一个等差数列， 2018112017100922a ∴=+⨯=，故填1009. 12.已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ．e ≤<13. 【浙江省绍兴市2018届3月】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．【答案】【解析】如图所示,建立直角坐标系,设.由题得，，所以动点O 的轨迹是圆，所以，，所以-4x 的最大值为.故填14.已知函数()()21xf x ex ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是 ．(e 为自然对数的底数)【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】设()()21xg x e x y ax a =-=-，，由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，∵()()()21221xx x g x ex e e x '=-+=+，∴当12x <-时，()0g x '<，当12x >- 时，g′(x)>0，∴当12x =-时，()g x 取最小值122e --，当0x =时，()01g =-，当1x =时，()10g e =>，直线y ax a=-恒过定点(1)0，且斜率为a ，故()01a g ->=-且()113g e a a --=-≥--，解得312a e≤<.三、解答题15.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2 1M ，.（1）求椭圆C 的方程；（2）设()0 1A -，，直线l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且AP AQ =，当O P Q △（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程.122814km x x k +=-+，()21224214m x x k -=+，于是可得PQ 的中点为224 1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.因为AP AQ =，所以2211144014mk km k k++=---+，化简得2143k m +=，结合（*）可得06m <<.又O 到直线l的距离为d =，12PQ x -=1122S PQ d =⋅=.即S ==3m =时，S 取最大值，此时，k =l 的方程为3y =+.综上所述，直线l 的方程为1y =±或3y =+.16. 【山东省烟台市2018届期末】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-.(1)求B 的值；(2)若3b =，求a c +的最大值.17.已知函数()2ln f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立；（Ⅲ）若正实数12 x x ，满足()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，证明12x x +≥【解析】（Ⅰ）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=>，由()'0f x <，得2210x x -->，又0x >，所以1x >，所以()f x 的单调减区间为()1 +∞，，函数()f x 的增区间是()0 1，.本文档仅供文库使用。
2018年高考数学二轮复习第1部分技法篇数学思想专练4转化与化归思想
数学思想专练(四) 转化与化归思想题组1 正与反的相互转化1．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．1D ．2C [命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e|x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.]2．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.15 B ．35 C.710D ．910D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]3．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [如果在[－1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.]4．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ [易知线段AB 的方程为y ＝x ＋1，x ∈[1,3]，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x ∈[1,3]，∴92≤a 2≤412. 又a ＞0，∴322≤a ≤822.故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.]5．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称.[解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y 2b2＝1．2分 把A (1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1．4分所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0．6分(2)证明：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，所以|AM |>|AB |．10分 从而知|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立． 12分题组2 函数、方程、不等式之间的转化6．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)C [f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3， 由于f (x )在区间[1,4]上单调递减， 则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.]7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)＞f (1－2x )的解集为________.(－∞，0)∪(2，＋∞) [∵f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (x )是偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，又∵f (x )是偶函数，∴不等式f (x ＋1)＞f (1－2x )可化为f (|x ＋1|)＞f (|1－2x |)，∴|x ＋1|＜|1－2x |，∴(x ＋1)2＜(1－2x )2，解得x ＜0或x＞2，故原不等式的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．]8．(本小题满分12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ，(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1且x ＞0时，e x＞x 2－2ax ＋1成立. [解] (1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R ． 1分 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2．2分于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增3分故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)， 4分单调递增区间是(ln 2，＋∞)，5分f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a ，无极大值．6分(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .7分 由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0．8分于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )＞0， 所以g (x )在R 上单调递增.9分于是当a ＞ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )＞g (0)．10分而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0， 故e x ＞x 2－2ax ＋1成立． 12分题组3 主与次的相互转化9．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________.(－∞，－1]∪[0，＋∞) [∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x 2－x ＋2≥0，g 1＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ1＜0，φ－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 11．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.[解] 因为f ′(x )＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －83x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x ＋a －2)，2分所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .3分由0＜a ＜1，知1＜2－a ＜2.所以令f ′(x )＞0，得x ＜23或x ＞2－a ；4分令f ′(x )＜0，得23＜x ＜2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a ．6分因为当0＜a ≤25时，13－a 6≥23a ；7分当25＜a ＜1时，23a ＞13－a6，8分 由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，得2f (x )min ＞f (x )max (x ∈[1,2])．所以当0＜a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2＞13－a 6，10分结合0＜a ≤25可解得1－22＜a ≤25；当25＜a ＜1时，必有2×a 6(2－a )2＞23a ， 结合25＜a ＜1可解得25＜a ＜2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22＜a ＜2－2． 12分。
备战2018高考数学二轮复习思想3.4等价转换思想测试卷02
思想3.4 等价转换一．选择题1.已知函数21()sin 21x x f x x x -=+++，且方程(|()|)0f f x a -=有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．(0,)+∞C ．[1,2)-D ．(1,2)-【答案】B2. 【河南省八市2018届第一次联考】设是定义在上的奇函数，且对于任意的实数都有成立，若实数满足不等式，则的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 9 【答案】D【解析】当时，在上单独递减；因为，所以因此的最大值为，选D.3.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞- 【答案】A【解析】4324410x x ax x ++-+>恒成立，当0x =时，a R ∈，当0x ≠时，432222244141(4)(t 42)(2)2x x x a x x t t x x x +-+>-=-+-+=-++=-++ ，其中1t x R x =-∈，因为2(2)22t -++≤，从而2a >，因此实数a 的取值范围是)(2,+∞，选A.4. 【湖南省邵阳市2018届期末】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】D【解析】原不等式等价于,由于函数在区间上为增函数,当,故.故选D.5.已知函数()sin cos f x x a x =-图象的一条对称轴为34x π=,记函数()f x 的两个极值点分别为12,x x ，则12x x +的最小值为（ ） A ．34π B ． 2π C.4πD ．0 【答案】B【解析】对称轴为12min 33,||||4442x k k Z x x πππππ=+∈⇒+=-+=,故选B.6. 【江西省2018届六校联考】定义在（0，+∞）上的函数的导函数为，且对都有，则（ ）（其中e 2.7）A. B. C. D.【答案】D7.已知函数()21(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的㡳数) 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 21,2e ⎡⎤-⎣⎦B ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C.2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【答案】A【解析】原命题等价于()221()g x x a x e e=-≤≤与()2ln h x x =有交点22ln y xy x a=⎧⇔⎨=-⎩在1[,]e e上有解，()22ln f x x a x =--在1[,]e e 上有零点，令()22(1)(1)'201x x f x x x x x +-=-==⇒=⇒当11x e≤<时，()'0,()f x f x <是减函数，当1x e <≤时，()'0,()f x f x >是增函数，又22112()2f a f e e a e e⎛⎫=-+<=-- ⎪⎝⎭()2min max (1)10,()()20f x f a f x f e e a ⇒==-<==--> a ⇒∈21,2e ⎡⎤-⎣⎦．8.已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，设()(())h x f f x c =-，其中(2,2)c ∈-，函数()y h x =的零点个数（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B9. 【浙江省绍兴市2018届3月模拟】如图，已知双曲线： 的左焦点为，为虚轴的一端点.若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】由题得双曲线的第一、三象限的渐近线方程为，所以点A 到渐近线的距离，因为，所以A,B,F 三点共线.由题得,所以，，，故选D.10.设定义在R 的偶函数()y f x =，满足对任意x R ∈都有()()2f t f t =-，且(]0,1x ∈时，()x x f x e =．若201520162017,,357a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a << B ．a b c << C ．c a b << D ．b a c << 【答案】C二、填空题 11.已知函数()()237,22x f x g x x x x --==-+,若存在实数(),2a ∈-∞-，使得()()0f a g b +=成立，则实数b 的取值范围是_________.【答案】(1,3)- 【解析】()371322a f x a a --==--++,当(),2a ∈-∞-时，()(3,)f a ∈-+∞，因为()()0f a g b +=，所以2()23g b b b =-<，解之得13b -<<，所以应填(1,3)-. 12. 【江苏省淮安市等四市2018届一模】已知函数函数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】，，所以，所以的解集为。
备战高考数学二轮复习 思想3.4 等价转换思想测试卷02
思想3.4 等价转换一．选择题1.已知函数21()sin 21x x f x x x -=+++，且方程(|()|)0f f x a -=有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．(0,)+∞C ．[1,2)-D ．(1,2)-【答案】B2. 【河南省八市2018届第一次联考】设是定义在上的奇函数，且对于任意的实数都有成立，若实数满足不等式，则的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 9 【答案】D【解析】当时，在上单独递减；因为，所以因此的最大值为，选D.3.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞- 【答案】A【解析】4324410x x ax x ++-+>恒成立，当0x =时，a R ∈，当0x ≠时，432222244141(4)(t 42)(2)2x x x a x x t t x x x +-+>-=-+-+=-++=-++ ，其中1t x R x =-∈，因为2(2)22t -++≤，从而2a >，因此实数a 的取值范围是)(2,+∞，选A.4. 【湖南省邵阳市2018届期末】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】D【解析】原不等式等价于,由于函数在区间上为增函数,当,故.故选D.5.已知函数()sin cos f x x a x =-图象的一条对称轴为34x π=,记函数()f x 的两个极值点分别为12,x x ，则12x x +的最小值为（ ） A ．34π B ． 2π C.4πD ．0 【答案】B【解析】对称轴为12min 33,||||4442x k k Z x x πππππ=+∈⇒+=-+=,故选B.6. 【江西省2018届六校联考】定义在（0，+∞）上的函数的导函数为，且对都有，则（ ）（其中e 2.7）A. B. C. D.【答案】D7.已知函数()21(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的㡳数) 与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． 21,2e ⎡⎤-⎣⎦B ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C.2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【答案】A【解析】原命题等价于()221()g x x a x e e=-≤≤与()2ln h x x =有交点22ln y xy x a=⎧⇔⎨=-⎩在1[,]e e上有解，()22ln f x x a x =--在1[,]e e 上有零点，令()22(1)(1)'201x x f x x x x x +-=-==⇒=⇒当11x e≤<时，()'0,()f x f x <是减函数，当1x e <≤时，()'0,()f x f x >是增函数，又22112()2f a f e e a e e⎛⎫=-+<=-- ⎪⎝⎭()2min max (1)10,()()20f x f a f x f e e a ⇒==-<==--> a ⇒∈21,2e ⎡⎤-⎣⎦．8.已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，设()(())h x f f x c =-，其中(2,2)c ∈-，函数()y h x =的零点个数（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B9. 【浙江省绍兴市2018届3月模拟】如图，已知双曲线： 的左焦点为，为虚轴的一端点.若以为圆心的圆与的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C.D.【答案】D【解析】由题得双曲线的第一、三象限的渐近线方程为，所以点A 到渐近线的距离，因为，所以A,B,F 三点共线.由题得,所以，，，故选D.10.设定义在R 的偶函数()y f x =，满足对任意x R ∈都有()()2f t f t =-，且(]0,1x ∈时，()x x f x e =．若201520162017,,357a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】C二、填空题 11.已知函数()()237,22x f x g x x x x --==-+,若存在实数(),2a ∈-∞-，使得()()0f a g b +=成立，则实数b 的取值范围是_________.【答案】(1,3)- 【解析】()371322a f x a a --==--++,当(),2a ∈-∞-时，()(3,)f a ∈-+∞，因为()()0f a g b +=，所以2()23g b b b =-<，解之得13b -<<，所以应填(1,3)-. 12. 【江苏省淮安市等四市2018届一模】已知函数函数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】，，所以，所以的解集为。
思想3-4 等价转换思想测试卷03-备战2018高考高三二轮
一．选择题1.若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C2. 【广东省珠海市2018届3月质量检测】定义在上的连续函数，其导函数为奇函数，且，；当时，恒成立，则满足不等式的解集为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为其导函数为奇函数，所以原函数是偶函数，因为当时，恒成立，所以，所以函数在x>0时，是减函数，在x<0时，是增函数.因为，所以，所以,，故选D.3.设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x '+<.若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是( ) A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. [)1,-+∞ D ．[)2,-+∞ 【答案】A【解析】∵22()2()20f x x f x x -+--=，设2()()2g x f x x =-，则()()0g x g x +-=，∴()g x 为奇函数，又1'()'()42g x f x x =-<-，∴()g x 在(,0)-∞上是减函数，从而在R 上是减函数，又(1)()42f m f m m +≤-++等价于22(1)2(1)()2()f m m f m m +-+≤---，即(1)()g m g m +≤-， ∴1m m +≥-，解得12m ≥-． 4. 【东北三省三校2018届高三第一次模拟】底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )A.B.C.D.【答案】D5.如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可知函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，，恒过定点()1 1，，将点()1 1，代入7ax by +=，可得7a b +=，由于()1 1，始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤，由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点() a b ，在以()3 4，和()4 3，为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.选A.6. 【东北三省三校2018届高三第一次模拟】在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】A7. 【山东省烟台市2018届期末】已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.1 B. 1 C.D. 【答案】B8.已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是( )A【答案】A【解析】222222sin 2sin cos 0,2cos 020202a b c A B C a b C a ba b c ab+-+=∴+=∴+=∴+-=；由于221tan 1cos A A =-．又222223cos 244b c a b c A bc bc bc+-+==≥=c =时，等号成立．即cos A 故2tan A tan A A ． 9.已知函数()32f x x ax bx c =+++，()232g x x ax b =++（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①()()010f f ⋅≤；②()()010g g ⋅≥；③23a b -有最小值. 正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3【答案】C10.若方程2|21|0x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则41322()()x x x x -+-的取值范围是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】B二、填空题11. 【辽宁省朝阳市2018届一模】抛物线：（）的准线与轴的交点为，过点作的两条切线，切点分别为，，则__________．【答案】 【解析】由题意得,设过点切线方程为,代入得,即,因此12.已知△ABC 的一个内角为120︒，并且三边长构成公差为2的等差数列，则△ABC 的面积等于 ．【答案】4【解析】设最小边为m ，则由余弦定理得222(4)(2)2(2)cos120m m m m m +=++-+o ，解得3m =，所以△ABC 的面积等于135sin12024⨯⨯⨯=o13. 【山东省菏泽市2018届一模】已知等差数列前项和为，且，若满足不等式的正整数有且仅有3个，则实数的取值范围为__________. 【答案】【解析】不妨设，由，得，则，所以，令，则），易得数列在时单调递减；在n ＞5时单调递增. 令，有，，. 若满足题意的正整数n 只有3个，则n 只能为4，5，6，故实数的取值范围为.14.函数()f x ，()g x 的定义域都是D ，直线0x x =（0x D ∈），与()y f x =，()y g x =的图象分别交于A ，B 两点，若||AB 的值是不等于0的常数，则称曲线()y f x =，()y g x =为“平行曲线”，设()ln x f x e a x c =-+（0a >，0c ≠），且()y f x =，()y g x =为区间(0,)+∞的“平行曲线”，(1)g e =，()g x 在区间(2,3)上的零点唯一，则a 的取值范围是 ．【答案】23,ln 2ln 3e e ⎛⎫⎪⎝⎭.三、解答题15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.【解析】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+.又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34c a =.由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =. (2)由正弦定理，得,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==)()sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛⎫∴+=+=++=++⎤ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦3sin sin cos 226A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.由203A π<<，得5666A πππ<+<.所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c +=16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55625S a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围.17. 【江西省2018届六校联考】已知分别是椭圆C:的左、右焦点，其中右焦点为抛物线的焦点，点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线过与椭圆C 交于A 、B 两点，过点且平行直线的直线交椭圆C 于另一点N ，若四边形MNBA 为平行四边形，试问直线是否存在？若存在，请求出的斜率；若不存在，请说明理由.。
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思想3.4 等价转换思想一．选择题1.设222ln sin ln cos ln sin cos ln ,ln ,ln ln ln ln x y z b b b αααα===，若,42αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b ∈，则,,x y z 的大小关系为( )A ．x y z >>B ．y x z >> C. z x y >> D ．x z y >> 【答案】A2. 【辽宁省朝阳市2018届第一次模拟】在中，为的重心，过点的直线分别交，于，两点，且，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为为三角形的重心，所以，又，，所以，，所以，因为三点共线，所以，故，故选A.3.函数()()()4ln 1f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为() s t ，，且() s t ，中只有一个整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1142 ln 2ln 33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．114( 2 ]ln 2ln33--， C.141( 1]ln332ln 2--， D ．141,1ln 332ln 2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【解析】()0f x >()1x >只有一个整数解等价于，4ln xkx x+>只有一个大于1的整数解，设4. 【东北三省三校2018届第一次模拟】已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( ) A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，可设交点的坐标分别为，联立直线与抛物线方程消去得，则，，，由，即，解得.故选C.5.在ABC ∆中，内角,,C A B 的对边分别是,,a b c ，若3sin 24B π⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2a c +=，则ABC ∆周长的取值范围是( )A ．(]2,3B ．[)3,4 C. (]4,5 D ．[)5,6 【答案】B【解析】3sin 24B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭且B 为三角形的内角，所以3223B B ππ∴=∴=，又2222cos b a c ac B =++，()222222cos 3434312a c b a c ac B a c ac ac +⎛⎫=++=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a c ==时，取等号，所以1b ≥，所以3a c b ++≥；又2a c b +=>，所以4a c b ++<，所以ABC∆周长的取值范围是[)3,4.6. 【东北三省三校2018届第一次模拟】设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点，为该双曲线的右焦点，若，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】C7.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒．以D为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,,1,A B C --．设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又1,,2x PM MC M ⎛-=∴ ⎝⎭，所以1,2x BM ⎛+= ⎝⎭，所以()(222+14x y BM++=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,--的距离的平方的14，所以()22max149144BM⎫==⎪⎭，故选B ．8. 【辽宁省抚顺市2018届3月模拟】已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是A.，B.，C.，D.，【答案】B9.已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由6542a a a =+得220q q --=，解之得2q =或1q =-（舍去），因为存在两项,m n a a 14a =，所以14a a =，解之得6m n +=，所以141141413()()(5)(56662n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立，所以14m n +的最小值是32,故选A. 10. 【安徽省淮南市2018届2月模拟】已知函数有两个零点，则( )A. B. C. D.【答案】A二、填空题11. 【山东省烟台市2018届期末】方程()f x x =的解称为函数()f x 的不动点，若()2axf x x =+有唯一不动点，且数列{}n a 满足112a =， 111n n f a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2018a =_______________________. 【答案】1009 【解析】由题得x 2ax x =+，化简得()220x a x +-=由唯一不动点，所以()220a ∆=-=，2a ∴=，所以()22xf x x =+，所以112121111222nn n n n a a a a a +⨯===+++，{}111122n n n n n a a a a a ++∴=+∴-=∴是一个等差数列， 2018112017100922a ∴=+⨯=，故填1009. 12.已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ．e ≤<【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为x my c =+(0)am b≤<，联立双曲线方程，消去x ，得22222()2b m a y b mcy -+＋40b =，所以2122222b mc y y b m a +=--①，412222b y y b m a =-②．因为OA OB ⋅＝12120x x y y +=，即22121212()0m y y mc y y c y y ++++=，代入①②整理，得422222222b m b m c c b m -+－2240a c b +=，4222222420b a c a m b c b b-≤=<-．由4220b a b -≥，得22222()0c a a c --≥，即422430c a c a -+≥，42310e e -+≥，解得e ≥；由42222242b a c a b c b b -<-，得44220b a a c --<，即222422()0c a a a c ---<，42230c a c -<，所以c a <e ∈． 13. 【浙江省绍兴市2018届3月】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．【答案】14.已知函数()()21xf x ex ax a =--+，其中a <1，若存在唯一的整数0x ，使得()0f x <0，则a 的取值范围是 ．(e 为自然对数的底数) 【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题15.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2 1M ，.（1）求椭圆C 的方程；（2）设()0 1A -，，直线l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且AP AQ =，当O P Q △（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程. 【解析】（1）依题意得：22411a b+=，c e a ==，又222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）显然，直线l 的斜率k 存在.①当0k =时，可设直线l 的方程为0y y =，()00 P x y -，，()00 Q x y ，，则2200182x y +=.所以()220000002122222y y S x y x y +-=⋅=⋅=≤⋅=.当且仅当22002y y =-，即01y =时取等号，此时直线l 的方程为1y =±.②当0k ≠时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11 P x y ，，()22 Q x y ，，联立22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()222148420k xkmx m +++-=.由()()()2228414420km k m ∆=-+⋅->，得2282k m +>（*），则有122814km x x k +=-+，()21224214m x x k -=+，于是可得PQ 的中点为224 1414kmm kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.因为AP AQ =，所以221114014mk k k++=---+，化简得2143k m +=，结合（*）可得06m <<.又O 到直线l的距离为d =，12PQ x =-=以1122S PQ d =⋅=.即S 3m =时，S 取最大值，此时，k =l 的方程为3y =+.综上所述，直线l 的方程为1y =±或3y =+.16. 【山东省烟台市2018届期末】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，()()()sin sin sin sin b c B C a A C -+=-.(1)求B 的值；(2)若3b =，求a c +的最大值.17.已知函数()2ln f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立；（Ⅲ）若正实数12 x x ，满足()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，证明12x x +≥。