2020年高考数学《极化恒等式》
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)
2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝
高考数学复习考点题型专题讲解6 极化恒等式、投影向量
高考数学复习考点题型专题讲解专题6 极化恒等式、投影向量极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)在平行四边形PMQN 中，O 是对角线交点，则： ①PM →·PN →＝14[|PQ →|2－|NM →|2](平行四边形模式)；②PM →·PN →＝|PO →|2－14|NM →|2(三角形模式).类型一 投影向量的应用由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.例1 已知|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量是________；向量e 在向量a 上的投影向量是________. 答案 －2e －18a解析 由|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3， 向量a 在向量e 上的投影数量：|a |cos 23π＝－2，向量e 在向量a 上的投影数量：|e |cos 23π＝－12，故向量a 在向量e 上的投影向量：－2e ， 向量e 在向量a 上的投影向量：－12×a |a |＝－18a .训练1 (1)已知向量a 与b 的夹角为34π，且|a |＝2，|b |＝3，则a 在b 方向上的投影向量与投影向量的长度分别是( ) A.23b ，2B.23b ，－ 2 C.－23b ，2D.－23b ，－ 2 (2)已知向量a ＝(1，2)，A (6，4)，B (4，3)，b 为向量AB →在向量a 上的投影向量，则|b |＝________. 答案 (1)D (2)455解析 (1)设a 在b 方向上的投影向量为λb (λ∈R )，则a ·b ＝λb ·b ， 故λ＝a ·b b 2＝|a |cos 34π|b |＝－23.故a 在b 方向上的投影向量为－23b ，a 在b 方向上的投影向量的长度为|a | cos 34π＝－ 2.(2)AB →＝(－2，－1)， 由投影公式可知|b |＝|AB →·a ||a |＝|－2×1＋（－1）×2|5＝455.类型二 利用极化恒等式求向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例2 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________.(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 (1)78 (2)32解析 (1)设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ， 则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1，联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.(2)连接EG ，FH 交于点O (图略)， 则EF →·FG →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.训练2 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________.答案 (1)－16 (2)4解析 (1)因为M 是BC 的中点， 由极化恒等式得AB →·AC →＝|AM →|2－14|BC →|2＝9－14×100＝－16.(2)取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，因AB ＝4，AE ＝2，∠BAC ＝60°，故BE ⊥AE ，所以BE ＝2 3. 在△DEB 中，FN 綉12BE ，所以FN ＝3，故BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫FN →2－14DB →2＝2(3－1)＝4.类型三 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例3 (1)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________.(2)(2022·济南调研)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →2的最小值为________. 答案 (1)214 (2)2 3解析 (1)法一(极化恒等式法)连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD →2－BD →2， 又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB →·AC →＝254－BD →2＝254－14BC →2，又因为BC min ＝3－1＝2， 所以(AB →·AC →)max ＝214.法二(坐标法)以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图，则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)， 则AB →＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3) 从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52， 即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤（b ＋c ）24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立. (2)取BC 中点O ，PB →·PC →＝PO →2－14BC →2⇒PB →·PC →＋BC →2＝PO →2＋34BC →2≥2PO →2·34BC →2＝3|PO →||BC →|，当且仅当PO ＝32BC 时等号成立.∵PO ≥12h ，∴3|PO →||BC →|≥32h |BC →|＝3S △ABC ＝23，∴PB →·PC →＋BC →2的最小值为2 3.训练3 (1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________.(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB→的最大值是________.答案(1)[0，2] (2)2解析(1)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，则PM→·PN→＝PO→2－ON→2＝|PO→2|－1.由于P为正方体表面上的动点，故|OP|∈[1，3]，所以PM→·PN→∈[0，2].(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则OC →·OB →＝OM →2－14＝|OM →|2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号. 所以OC →·OB →的最大值为2.一、基本技能练1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.2.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝( )A.－9B.21C.－21D.9答案 D解析 AB →·AD →＝|AO →|2－14|BD →|2＝－7，∴14|BD →|2＝16，BC →·DC →＝|CO →|2－14|BD →|2＝25－16＝9.3.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13.法一 FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 由极化恒等式得FD →·FE →＝FO →2－14DE →2＝19－1＝－89.4.已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( ) A.92B.2 C.32D.34 答案 B解析 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝|PE →|2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE →|＝52最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 5.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C.2D.22答案 C解析 由极化恒等式(a －c )·(b －c )＝14[(a ＋b －2c )2－(a －b )2]，∵(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a ＋b －2c )2＝(a －b )2， 故c 2＝(a ＋b )·c ， 又因为|a |＝|b |＝1，a ⊥b ， ∴|a ＋b |＝2，于是|c |2≤|a ＋b ||c |＝2|c |， ∴|c |≤ 2.6.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，PA→·PB→有最小值，即PA→·PB→＝PO→2－OB→2＝(2)2－12＝1.故选A.7.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1答案 C解析∵PA→＋PB→＝2PO→，∴(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，取OC中点D(图略)，由极化恒等式得，PO→·PC→＝|PD→|2－14|OC→|2＝|PD→|2－14，又|PD →|2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12.8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A.－2 B.－32C.－43D.－1答案 B解析 取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，取AD 的中点E ，连接PE .由△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为中线AD 的中点得AE ＝12AD ＝32，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(|PE →|2－|EA →|2) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤|PE →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫322≥2×⎝⎛⎭⎪⎫0－34＝－32， 当且仅当|PE →|＝0时，取等号， ∴PA →·(PB →＋PC →)的最小值为－32.9.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. 答案 1解析 取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO →|2－14|AE |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1. 10.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA →·PB →的最小值为________. 答案 16解析 设AB 的中点为M ，则PA →·PB →＝PM →2－MA →2＝|PM →|2－9， 所以要求PA →·PB →的最小值，只需求|PM →|的最小值，显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM →|取得最小值，最小值为|MC |－2. 在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49， 所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5， 则PA →·PB →的最小值为16.11.在Rt△ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得 CM →·CN →＝|CP →|2－14|MN |2＝|CP →|2－12.当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.12.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________. 答案 [－9，0]解析 如图，取CD 的中点G ，连接OG ，MO ，CO ，得OG ⊥CD ，MA →·MB →＝|MO →|2－14|BA →|2＝|MO →|2－16，∵|OC →|≥|OM →|≥|OG →|， ∴7≤|OM →|≤4， ∴MA →·MB →∈[－9，0]. 二、创新拓展练13.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8答案 C解析 如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE →|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14，∵当P 在椭圆右顶点时，|PE →|2有最大值，|PE →|2max＝254， ∴OP →·FP →的最大值为6.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.PB →·PC →＝PD →2－DB →2B.存在点P ，使|PD →|<|P 0D →| C.P 0C →·AB →＝0 D.AC ＝BC 答案 AD解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，所以|PD →|≥|P 0D →|，A 正确；B 错误；故由点P 为边AB 上任意一点知：点D 到边AB 上点的距离的最小值为|DP 0→|，从而DP 0⊥AB ， ∴P 0C →·AB →≠0，C 错误；取AB 的中点E ，则由P 0B ＝14AB 知，CE ∥DP 0，故CE ⊥AB ，于是AC ＝BC ，D 正确.15.(2022·宁波模拟)AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，|AB |＝6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA →·PB →的取值范围是( ) A.[0，100] B.[－12，48] C.[－9，64] D.[－8，72] 答案 D解析 如图，取AB 中点为Q ，连接PQ .∴PA →＋PB →＝2PQ →，PA →－PB →＝BA →，∴PA →·PB →＝14[(PA →＋PB →)2－(PA →－PB →)2]＝14(4|PQ →|2－|BA →|2).又∵|BA →|＝6，|CQ |＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝4，∴PA →·PB →＝|PQ →|2－9， ∵点P 为⊙C 上一动点， ∴|PQ |max ＝5＋|CQ |＝9， |PQ |min ＝5－|CQ |＝1，∴PA →·PB →的取值范围为[－8，72].16.在半径为1的扇形中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于P ，则OP →·BP →的最小值为________. 答案 －116解析 取OB 的中点D ，作DE ⊥AB 于点E ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，易知|PD →|∈[]|DE →|，|AD →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32，则OP →·BP →＝PD →2－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，12，故所求最小值为－116.17.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°，∠ABC ＝90°，则BD →·BC →的最大值为________.答案 1解析 取CD 的中点E ，连接EA ，EB ，∵AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°， ∴AE ⊥CD ，DE ＝AD sin 60°＝3， 由∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A ，B ，C ，E 四点共圆，且AC 为直径，则BD →·BC →＝|BE →|2－|ED →|2＝|BE →|2－(3)2≤|AC →|2－3＝22－3＝1， 所以BD →·BC →的最大值为1.18.(2022·金丽衢12校联考)已知平面向量a ，b ，c ，d 满足|a |＝|b |＝2，a·b ＝0，|b ＋2c |＝2，若(d －a )·(d ＋2b )≤4，则|c ＋d |的取值范围为________. 答案 [0，10＋4]解析 如图，因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝0，所以不妨设a ＝OA →＝(2，0)，b ＝OB →＝(0，2).设c ＝OC →，d ＝OD →.因为|b ＋2c |＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＝1，所以可知点C 在以(0，－1)为圆心，1为半径的圆上.设E (0，－4)，M 为AE 的中点，由(d －a )·(d ＋2b )＝AD →·ED →＝DM →2－AM →2＝DM →2－5≤4，可得点D 在以M (1，－2)为圆心，3为半径的圆内(包含边界)， 所以|c ＋d |＝|d －(－c )|＝|OD →－OC ′→|＝|C ′D →|∈[0，10＋4].。
极化恒等式三角公式
极化恒等式三角公式极化恒等式是数学中的基本公式之一。
在三角函数中，这个公式被广泛地应用于推导其他的三角函数公式。
以下是关于极化恒等式以及三角公式方面的详细介绍。
一、极化恒等式极化恒等式的公式如下：$2\cos A\cos B=\cos (A+B) + \cos (A-B)$$2\sin A\sin B=\cos (A-B) - \cos (A+B)$$2\sin A\cos B=\sin (A+B) + \sin (A-B)$这一公式的含义是，可以把两个三角函数写成另外两个三角函数的和或差的形式。
其中，第一个公式是余弦定理的另一种形式，第二个公式可以用来导出一些三角函数的重要性质，第三个公式则可以用于求解三角方程。
二、三角公式1. 倍角公式倍角公式可以用来求解一些复杂的三角函数问题：$ \sin 2A= 2\sin A\cos A $$ \cos 2A= \cos^2 A - \sin^2 A $$ \cos 2A= 2\cos^2 A - 1 $2. 和差公式和差公式可以用来把两个三角函数的和或差写成一种更简单的形式：$ \sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B $$ \sin(A-B)= \sin A\cos B - \cos A\sin B $$ \cos(A+B)= \cos A\cos B - \sin A\sin B $$ \cos(A-B)= \cos A\cos B + \sin A\sin B $3. 半角公式半角公式可以用来把一个角的三角函数值拆分成一个底角的三角函数值：$ \sin\frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} $$ \cos\frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} $$ \tan\frac{A}{2}= \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} $这些公式可以用于求解一些关于角度的三角函数的问题，比如说，可以用半角公式把 $\sin\frac{\pi}{8}$ 转化成更简单的形式。
高中数学极化恒等式公式_概述及解释说明
高中数学极化恒等式公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在对高中数学中的极化恒等式公式进行概述和解释说明。
高中数学中，极化恒等式是一类重要的数学公式，具有广泛的应用。
通过深入探究极化恒等式的定义、重要性以及在高中数学中的应用，希望能够帮助读者更好地理解和运用这些公式。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分，包括引言、高中数学极化恒等式公式概述、解释极化和恒等式概念、常见的高中数学极化恒等式公式及其证明方法介绍以及结论与展望。
每个部分将详细介绍相关内容，并提供实例和解释，以便读者能够更好地理解。
1.3 目的本文的目的是系统地总结和阐述高中数学中涉及到的极化恒等式公式，并提供相应的证明方法。
通过对这些公式进行深入讲解，旨在帮助读者加深对这些概念的理解，并掌握它们在实际问题中应用的技巧。
同时，本文也将展望未来研究的方向，为相关领域的进一步探索提供思路和建议。
以上是对“1. 引言”部分的详细清晰撰写。
2. 高中数学极化恒等式公式概述2.1 极化恒等式的定义在高中数学中，极化恒等式是指可以在变量或未知数所代表的值满足一定条件的情况下，将一个表达式变为另一个等价的表达式。
极化恒等式通常涉及到代数、三角函数、数列和几何等方面的内容。
它们由数学家们总结得出，是解决问题和推导证明的重要工具。
2.2 极化恒等式的重要性极化恒等式在高中数学教学中具有重要作用。
通过运用极化恒等式，我们可以简化复杂的表达式、推导出新的关系和性质，并解决各种类型的问题。
理解和掌握了极化恒等式，能够提升学生对高中数学概念和方法的理解，在解决实际问题时更加灵活和高效。
2.3 极化恒等式在高中数学中的应用极化恒等式广泛应用于高中数学各个领域。
例如，在代数领域，我们经常使用分配律、合并同类项以及因式分解来转换表达式；在三角函数领域，我们利用三角函数的周期性和各种恒等式来简化计算；在数列领域，我们可以运用递归关系和等差、等比数列的性质；在几何领域，我们使用勾股定理、相似性质和平行线截切定理等。
一个活跃在高考中的恒等式
中学数学月刊
2020年第4期
一"话趺％
张玉虎 （云南省施甸县第一中学 678200）
极化恒等式是泛函分析中揭示内积和范数 关系的一个重要恒等式，有实内积空间与复内积 空间两种表现形式•极化恒等式能有效地将内积 运算问题转化为范数运算问题，从而使内积问题 得以简单、直观地解决.在高中数学的平面向量
分点，BA •Cd=4,Df ・CF=—1 则BE .CE
的值是________ . 解析设| BDI =b,DF\=%,由极化恒等
D D 式得 ~BA ・7 =A ・ ~AC= \~A,\2 — \~DB\2 = 9%2 —b2 =4 ①%
B .CF =F .FC = 1312 — |BI2 =
%2 —b2 =—! ②%
于教材,构建
长度之间的 通
、数的之间的巧妙结合,
方法,值得广
去重视和
•
|6点|2 = |2点|2 — 1.
当点C为AB的中点
7
时，|CO| mn
2
1点 =i（又点c在圆内，所
以 |2点| 2 < \~OB\2 1,从而C点・2点（
—，。）.故选 C.
3 用极化恒等式求解圆锥曲线问题 例6 （2010年福 ）若点O和点F分别为 2
椭圆4 + 3 =1的中心和左焦点，点P为椭圆上
由①②，可得％2 = 5'2 =等.故B・CE
极化恒等式解决的是共起点两向量的数量积 问题，解决的关键是在第三边上取中点,将多变量 问题转化为单变量问题，将向量的数量积转化为 向量的长度问题•在高考数学中，极化恒等式能将 一些涉及向量的数量积问题化繁为简、化难为易, 从而使共起点向量的数量积问题得以快捷、高效 地
2020高考数学复习专题34 极化恒等式(解析版)
【解析】
设 E 是 AD 的中点，作 EN BC 于 N ，延长 CB 交 DA 的延长线于 F ，
由题意可得： FD 3CD 6, FC 2CD 4 3 BF 2 3 AB 2, FA 4
【解析】 法一(坐标法)：
以直线 n 为 x 轴，过点 A 且垂直于 n 的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，如图：则
A(0，3)，C(c，0)，B(b，2)，则A→B＝(b，－1)，A→C＝(c，－3)，从而 (b＋c)2＋(－4)2＝52，即 (b＋c)2＝9，
又A→C·A→B＝bc＋3≤(b＋c)2＋3＝21，当且仅当 b＝c 时，等号成立．
AB
2 AD,
AC
3AE
，若
F
为
DE
的中点，则
BF
DE
的值为________.
【解析】取 BD 的中点 N ，连接 NF , EB ，则 BE AE BE 2 3 ，
在 DEB 中， FN / / 1 EB FN 3 2
所以P→B·P→C＋B→C2＝
P→M2－1B→C2 4
＋B→C2＝P→M2＋34B→C2＝P→M2＋h32≥h2＋h32≥2
3(当且仅当|P→M|＝h，h2＝
3时，
等号成立)
4.在△ABC 中，已知 AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点 P 满足A→P＝A→B＋λA→C，且B→P·C→P＝1，则实数λ的值为
专题 34 极化恒等式
专题知识梳理
1.公式推导
a b a b
极化恒等式公式高中
极化恒等式公式高中在高中数学的学习中，有一个不太起眼但却十分实用的工具，那就是极化恒等式公式。
极化恒等式，对于很多同学来说，刚接触时可能会觉得有点陌生和头疼。
但别怕，咱们一起来好好琢磨琢磨它。
先来说说极化恒等式的表达式：对于向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，有\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{1}{4}\left(|\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a}- \vec{b}|^2\right)\)。
这个公式看起来是不是有点复杂？其实呀，它就是在告诉我们向量内积和向量模长之间的一种巧妙关系。
我记得有一次在课堂上，我给同学们讲解极化恒等式。
当时有个同学一脸困惑地问我：“老师，这个公式到底有啥用啊？感觉好抽象。
”我笑了笑，拿起粉笔在黑板上画了一个简单的几何图形。
我说：“同学们，咱们假设这里有一个平行四边形 ABCD，AC 和BD 是它的两条对角线，\(\vec{AB} = \vec{a}\)，\(\vec{AD} = \vec{b}\) 。
那 AC 的长度平方加上 BD 的长度平方等于多少呢？” 同学们都开始思考起来。
我接着引导他们：“我们可以利用极化恒等式来解决这个问题。
AC的长度平方就是\(|\vec{a} + \vec{b}|^2\)，BD 的长度平方就是\(|\vec{a}- \vec{b}|^2\) 。
所以，AC 的长度平方加上 BD 的长度平方，就等于 2（\(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\)）。
”这时候，同学们的眼睛里开始有了亮光，似乎明白了一些。
再举个例子，假如我们要求一个三角形 ABC 中，边 BC 上中线 AD 的长度。
如果知道了\(\vec{AB}\)和\(\vec{AC}\) ，那我们就可以利用极化恒等式轻松搞定。
极化恒等式在解决一些与向量相关的最值问题、几何问题时，往往能发挥出意想不到的效果。
极化恒等式公式
极化恒等式公式1、基本极化恒等式基本极化恒等式又称为Stokes方程，它是理解介质中电磁波传播的基本方程。
它由波动磁场场强E和磁场场强H的外场响应组成，可以概括为：E =εHH=-D其中ε表示极化率，D表示电导率。
我们可以从它推导出其他极化恒等式，如：2、垂直极化恒等式垂直极化恒等式又称为Faraday方程，它是介质中电磁波传播的重要方程，可以根据基本极化恒等式推导而来，它包括垂直极化分量的电离度、垂直极化作用的等效度以及垂直极化圆盘的传播常数等因素，可以表示为：Dtanθ=ε+ηV其中，θ表示极化角，η表示磁导率，V表示电位场的垂直极化分量。
3、水平极化恒等式水平极化恒等式由基本极化恒等式推导而来，它表达了水平极化作用的电离度、极化作用的等效度、电位场的水平极化分量以及水平极化圆盘的传播常数等因素，可以表示为：cosθ=ε+ηV其中，θ表示极化角，η表示磁导率，V表示电位场的水平极化分量。
4、反射极化恒等式反射极化恒等式可以由基本极化恒等式推导而来，用来研究电磁波在介质之间沿极化方向传播时所见到的反射现象。
这个公式可以表达用于反射电离度、等效度、反射圆盘传播常数以及反射角等因素，可以表示为：Et/Es=(ncosθ-μsinθ) / (ncosθ+μsinθ)其中，θ表示反射极化角，n为介质的电离度，μ为介质的等效度，Es 为入射波的强度，Et为反射波的强度。
5、传播极化恒等式传播极化恒等式凝结了电磁波在介质中沿一定方向传播时的电离度、等效度，以及传播极化圆盘的传播常数等因素，它可以由基本极化恒等式推出，可以表示为：H/E=ncosθ/μsinθ其中，θ表示传播极化角，n为介质的电离度，μ为介质的等效度，E 为入射波的强度，H为传播波的强度。
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极化恒等式例1：（2014年高考全国新课标II 卷文（理）科第4（3）题）设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则b a •等于 （ ）A.1B. 2C. 3D. 5解：由极化恒等式，即得.14610422=-=--+=•ba b a b a例2:（2014江苏）在平行四边形ABCD 中，已知,2,3,5,8=•===BP AP PD CP AD AB 则AD AB •的值是 .解:222=-=•AE PE PB PA 182=∴PE 8,3==CD PD CP 中位线为故FAE DP AE PD ,4,2==∴40222222=-+=∴PEAE AF AP 2222=-=•=•∴PE AP AD AB AE AF例3：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则)(PC PB PA ••的取值范围是 解：如图，设BC 的中点为D ，则PD PC PB 2=+,设AD 的中点为M ，则)41(2)(22AD PM PC PB PA -=+•,显然，当P 在B 点时，PM 的值最大，此时2)(=+•PC PB PA ；当ABPM ⊥时，PM 的值最小，此时89)(-=+•PC PB PA .所以)(PC PB PA +•的取值范围是]2,89[-.例4：正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM •的最大值为秒杀秘籍：极化恒等式：()()[].4122b a b a b a --+=•在ABC ∆中，若AM 是ABC ∆的BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.21,21AB AC BM AB AC AM定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM 是ABC ∆的中线，则().22222BM AM AC AB +=+定理 2 （极化恒等式的三角形模式）在ABC ∆中，若M 是BC 的中点，则有.412222BM AM BC AM AC AB -=-=•解：设球心为O ，球半径为R ，则R=2,根据极化恒等式：4444222-=-=•PO R PO PN PM 又因为P 为正方形表面上的动点，所以PO 的最大值为正方体体对角线长的一半，即3，所以PN PM •的最大值为2例5：.△ABC 中，∠C=︒90,AC=4,BC=3,D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且EF=1，则DF DE •的最小值等 解：41422--=•EF DH DF DE （H 为EF 的中点）。
又因为22125,=-=-≥≥+CH CD DH CD DH CH 所以所以415414412=-≥-=•DH DF DE 。
一、求数量积的值1. （2016年高考江苏卷第13题）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，F E ,是AD 的两个三等分点，1,4-=•=•CF BF CA BA ，则=•CE BE .则=•AC AB . 2. （2012年高考浙江卷理科第15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，,10,3==BC AM 则=•AD AB .3. （2011年高考上海卷理科第11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，,1,3==BD AB ,4,3==AD AB P 为矩形ABCD4. （2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11题）在矩形ABCD 中，所在平面上一点，满足,21,2==PC PA 则=•PD PB .二、界定数量积的取值范围5. （2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11题）在ABC Rt ∆中，N M CB CA ,,3==是斜边AB 上的两个动点，且,2=MN 则CN CM •的取值范围为 （ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 B. []4,2 C. []6,3 D. []6,4三、探求数量积的最值6. （2017年高考全国II 卷理科第12题）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面内一点，则()PC PB PA +•的最小值是 （ ） A. 2- B. 23-C. 34- D. 1- 7.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．38.（2016年高考浙江卷理科第15题）已知向量,2,1,,==b a b a 若对任意单位向量e ，均有,6≤•+•e b e a 则b a •的最大值是 . 四、处理长度问题9.（2008年高考浙江卷理科第9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()(),0=-•-c b c a 则c 的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D.22 10.（2013年高考重庆卷理科第10题）在平面内，.,12121AB AB AP AB AB +===⊥21<,（ ） A. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,0 B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛27,25 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2,25 D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛2,27 11.（2017年高考浙江卷理科第15题）已知向量b a ,满足：,2,1==b a 则b a b a -++的最小值是 ，最大值是 .12.（2013年高考天津卷文（理）科第12题）在平行四边形ABCD 中，E BAD AD ,60,1︒=∠=为CD 的中点.若1=•BE AC ，则=AB . 13. （2012年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11题）若边长为4的正方形ABCD 沿对角线BD 折成平面角大小为︒60的二面角，则边BC 的中点与点A 的距离为 .14. （2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，21,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，则=+•221PO PF PF .五、解决综合性问题15. （2012年高考江西卷理科第7题）在ABC Rt ∆中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PC PB PA +等于 （ ）A. 2B. 4C. 5D. 1016. （2013年高考浙江卷理科第7题）已知在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•，则 （ ）A. ︒=∠90ABCB. ︒=∠90BACC.AC AB =D. BC AC =17. （2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）已知直线AB 与抛物线x y =2交于点B A ,，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若点0C 满足{}CB CA B C A C •=•min 00，则下列一定成立的是（其中l 是抛物线过点0C 的切线） （ ）A. AB M C ⊥0B. l M C ⊥0C. B C M C 00⊥D. AB M C 210=18. （2014年高考浙江卷理科第8题）记{}{}⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥=,,,,,min ,,,,,max y x x y x y y x y x y y x x y x 设b a ,为平面向量，则 （ ）A. {}{}b a b a b a ,min ,min ≤-+B. {}{}b a b a b a ,min ,min ≥-+C. {}2222,max baba b a +≤-+D. {}2222,max b aba b a +≥-+ABCD 中，19. （浙江省鲁迅中学等六校2016届高三下学期联考理科第8题）如图5，在等腰梯形5,4,2===BC CD AB ,点F E ,分别为BC AD ,的中点.如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P ，使得λ=•PF PE 成立，那么λ的取值范围是（ ）A. ⎪⎭⎫⎝⎛--209,45 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-411,209 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--41,209 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-411,45 20. （2005年高考湖北卷理科第18题）在ABC ∆中，已知364=AB ，66cos =B ，AC 边上的中线5=BD ，求A sin 的值.1. 87； 131,42222-=-=⋅=-=⋅BD AD CF BF BD AD CA BA ;解得：,813,84522==BD AD故873222=-=⋅BD AD CE BE .2.-16； 1625922-=-=-=⋅BM AM AC AB .3.215；法一：215323132312=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅AB AC AB AB AC AB AD AB .4.0； 定理：在矩形ABCD 中，P 为矩形平面内任意一点，设AC 与BD 交点为O,一定有22AO PO PD PB PC PA -=⋅=⋅；故此题由于222AC PC PA =+,0=⋅=⋅PD PB PC PA .5. D ；取MN 中点P ，21222-=-=⋅CP MP CP CN CM ，故当P 位于AB 中点时，CP 取得最小值223，当M 位于A （B ）点时，CP 取得最大值，根据余弦定理，︒⋅=-+45cos 2222AP CA CP AP CA ，2132=CP ，选D 。
6. B ；取AB 中点E ，AC 中点F ，连接EF ，()222222AB PF AB PE PC PA PB PA PC PB PA -+-=⋅+⋅=+⋅ 22-≥PF PE ，当PF PE =时等号成立，当P 位于EF 中点时，21212122=⨯⨯=PF PE 取得最小，答案为23-。
7. A ；取AB 中点F ，连接EF ，41222-=-=⋅EF AF EF BE AE ，根据几何条件，当CD EF ⊥时，EF 最小，过B 作CD BG ⊥交CD 于G ，3,60=︒=∠BC C ，2360cos =︒=BC BG ，此时452=+=BG AD EF ，选A 。
8.；设=，=，=，则=+，=﹣，由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．9. C；()()()()()()()()b a c b a b a c b a c b c a c b c a c b c a -=-+⇒=---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=--2042222222，由于2=-=+b a b a ，而c 2与b a +反向时，取得最大值，此时2=c 。