2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第5章 数列 练案36
2019-2020年高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和学案含解析
2019-2020年高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和学案含解析【考纲传真】1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式．2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 【知识扫描】知识点 数列求和的常见方法1．公式法；直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．倒序相加法；如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法；如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．4．裂项相消法；(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形： ①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .5．分组求和法；一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．6．并项求和法；一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．必会结论；常用求和公式1＋2＋…＋n ＝n n ＋212＋22＋…＋n 2＝n n ＋n ＋613＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋222.(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．(2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，an ＋1的式子应进行合并．(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项． 【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减 法求得．( )(4)如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .( ) 2．数列{a n }中，a n ＝1nn ＋，若{a n }的前n 项和为2 0152 016，则项数为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 0173．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 2＋7n4B.n 2＋5n3C.2n 2＋3n 4D ．n 2＋n4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 2 016＝________.5．(xx·安徽高考)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .参考答案1.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.【解析】 a n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n n ＋1. 令nn ＋1＝2 0152 016，得n ＝2 015. 【答案】 B3.【解析】 设等差数列公差为d ，则a 1＝2.a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d . 又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6. 即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0. ∵d ≠0，∴d ＝12.∴S n ＝na 1＋nn －2d ＝n 24＋74n .【答案】 A4.【解析】 S 2 016＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋2 015－2 016＝(－1)×1 008＝－1 008. 【答案】 －1 0085.【解】 (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1，②①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n1－3－n ·3n ＋1＝－2nn ＋1－32，所以S n ＝n －n ＋1＋34.2019-2020年高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和练习含解析时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( ) A.－20 B.4 C.12 D.20【答案】C【解析】 因为S 5＝－20，所以S 5＝5a 3＝－20，∴a 3＝－4，∴－6a 4＋3a 5＝－6(a 1＋3d )＋3(a 1＋4d )＝－3(a 1＋2d )＝－3a 3＝12.2.(xx·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.101100【答案】A【解析】 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.3.数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004 C.2 0082 009 D.4 0162 009【答案】D【解析】法一 因为a n ＋m ＝a n ＋a m ＋mn ，则可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，则可猜得数列的通项a n ＝n （n ＋1）2，∴1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 008－12 009＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009.故选D. 法二 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 4.设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A.11个 B.12个 C.15个 D.25个【答案】A【解析】 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A.5.中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A.1 300 B. 2 600 C.0 D.2 602【答案】B【解析】原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列.所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600.6.已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( )A.5B.6C.7D.8【答案】A 【解析】令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0， ∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3132，∴n ＝5.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7.已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________. 【答案】 12【解析】设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12.8.(xx·辽宁14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 【答案】63【解析】 因为x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4，又数列{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝2.所以S 6＝1·（1－26）1－2＝63.9.已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为________. 【答案】19 【解析】 由a 11a 10<－1得a 11＋a 10a 10<0，由它们的前几项和S n 有最大值，可得公差d <0， ∴a 10>0，a 10＋a 11<0，a 11<0，∴a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，使得S n >0的n 的最大值为19，10.已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________. 【答案】19【解析】 依题意得a·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5≤19，当且仅当n ＝4n，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11.(xx·天津18)已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列.(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.【答案】见解析【解析】 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)， 即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1， 故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k＝2k＝2n2.所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1，n ∈N *.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.12.设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】见解析【解析】 (1)由a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2，所以{a n }是等差数列，又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13.(2)由a n ＝2n ＋13得a n ＋1＝2n ＋33.所以1a n a n ＋1＝9（2n ＋1）（2n ＋3）＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.∴S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝92⎣⎢⎡13－15＋15－17＋17－19＋…⎦⎥⎤＋12n ＋1－12n ＋3＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3.由S n ≥3t 得t ≤n 2n ＋3，又⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n ＋3递增，所以n ＝1时，n 2n ＋3有最小值为15，所以t ≤15.即t 的取值范围为.。
全国版2019版高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法学案201805092207
第1讲数列的概念与简单表示法板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．考点2 数列的分类考点3 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 考点4 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[必会结论]1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (2)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．[课本改编]数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n 2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋3答案 B解析 由已知得，数列可写成11，23，35，…，故该数列的一个通项公式为n 2n －1.故选B.3．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34 D.38答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.故选C.4．已知f (1)＝3，f (n ＋1)＝f (n )＋12(n ∈N *)．则f (4)＝________.答案 54解析 由f (1)＝3，得f (2)＝2，f (3)＝32，f (4)＝54.5．[2018·山东师大附中月考]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 5＋a 6＝________. 答案124解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝6＋16＋2－4＋14＋2＝78－56＝124.6．[课本改编]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则数列a n ＝________.答案 3－1n解析 由题意，得a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3－1n .板块二 典例探究·考向突破考向由数列的前几项求数列的通项公式例 1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…； (2)32，1，710，917，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)1,3,6,10,15，…； (5)3,33,333,3333，….解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，所以a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可用逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.(5)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n ＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．考向由a n 与S n 的关系求通项a n例 2 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________.答案 4n －5解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 3n解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3，又a 1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n.(3)已知数列{a n }，满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2解析 当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， 当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1， ②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.触类旁通给出S n 与a n 的递推关系，求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【变式训练】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)[2018·广州模拟]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝________.答案13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13，符合上式，所以a n ＝13n .(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析 由已知S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )， 即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.考向由递推公式求数列的通项公式命题角度1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n例 3 在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求数列{a n }的通项公式． 解 由递推关系得a n ＋1a n ＝n ＋2n， 又a 1＝4， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3·…·42·31·4＝(n ＋1)·n2·1·4＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．命题角度2 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和． 解 由题意可得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和为1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.(2)若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，求数列{a n }的通项公式． 解 由题意知a n ＋1－a n ＝2n，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.命题角度3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 例 5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n .解 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3.命题角度4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n 例 6 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0， ∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n . (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n . (3)已知a 1且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{a n ＋k }．(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．核心规律已知递推关系求通项，一般有以下方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)累加法、累乘法、待定系数法． 满分策略1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2.数列的通项公式不一定唯一．3.在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列6——用函数思想解决数列的单调性问题[2018·南京段考]数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．解题视点 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n 的取值．解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3，∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.答题启示 (1)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,(2)本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.跟踪训练已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0. (2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a2.∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立， 结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.故a 的取值范围为(－10，－8)．板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项 答案 C解析 由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，由3n －1＝25，可得n ＝7.故选C.2．[2018·上饶模拟]已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝n ，若a 1＝2，则a 4－a 2＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 由a n ＋1＋a n ＝n ，得a n ＋2＋a n ＋1＝n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＝1，令n ＝2，得a 4－a 2＝1.故选D.3．[2018·济宁模拟]若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130 D ．30 答案 D解析 ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.故选D.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n(n ∈N *)，则a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 答案 B解析 ∵a n ＋1a n ＝2n，∴a n ＋2a n ＋1＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.又a 1a 2＝2，a 1＝1，∴a 2＝2. 则a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4a 2＝24，即a 10＝25＝32.故选B. 5．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1024 答案 C解析 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.∴a 9＝a 6·a 3＝64×8，a 9＝512.故选C.6．[2018·辽宁实验中学月考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2nD ．2n－1 答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n－1，∴a n ＝2a n －1，∴a n ＝2·2n －1＝2n.选C.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项 答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式． ∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．于是，数列{na n }中数值最小的项是第3项．故选B.8．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________． 答案 31解析 ∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n－1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.9．[2018·洛阳模拟]数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12(n ≥2)， 所以a 3＋a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＝6116. 10．[2015·全国卷Ⅱ]设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n. [B 级 知能提升]1．[2018·天津模拟]已知正数数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋2)·a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，n ∈N *，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1 B ．a n ＝2n ＋1 C ．a n ＝n ＋12 D ．a n ＝n答案 B解析 由题意可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n n ＋1.n －1n .. (23)×1＝2n ＋1.故选B. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k 2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 D解析 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k 2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1＜0， 所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D.3．[2018·重庆模拟]数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1，a 1＝35，则数列的第2018项为_______． 答案 15解析 ∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝15. ∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝45. ∴a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，…. ∴该数列周期为T ＝4.∴a 2018＝a 2＝15. 4．已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝9－6n ，求数列{a n }的通项公式． 解 令S n ＝a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ，则S n ＝9－6n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，2n －1a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2.而n ＝1时，a 1＝3，不符合上式， ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，－32n －2，n ≥2.5．[2018·贵阳模拟]已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2. 综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.。
2019年高考数学一轮复习(文理通用) 第5章 数列 考案5
考案[5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 2 019＝导学号 58534543( D )A ．5B ．－5C ．1D ．4[解析] 由题意知a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，a 8＝5，…，{a n }是以6为周期的周期数列，∴a 2 019＝a 3＝4，故选D ．2．(2018·吉林长春外国语学校期中)已知等差数列{a n }满足a 3＝3，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 5＝导学号 58534544( C )A ．5B ．3C ．5或3D ．4或3[解析] 设公差为d ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3a 1d ＝d 2解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1a 1＝1∴a 5＝a 1＋4d ＝3或5.故选C ． 3．(2017·辽宁六校协作体期中)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 13－a 8＝2，则{a n }的前15项和S 15＝导学号 58534545( C )A ．10B ．15C ．30D ．60[解析] 由等差数列的性质知a 3＋a 13－a 8＝2a 8－a 8＝a 8＝2，∴S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8＝30，故选C ．4．(2018·江西赣州十四县(市)期中联考)在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前5项的积为导学号 58534546( D )A ．±3B ．3C ．±1D ．1[解析] ∵3＝a 4＝a 1·q 3＝19·q 3，∴q ＝3，∴a 3＝a 4q ＝1，a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝1，故选D ．5．(2018·河南郑州一中期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＝－2，S 3＝21，则当S n 取最大值时，n 的值为导学号 58534547( D )A ．10B ．9C ．6D ．5[解析] 由题意知21＝S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2，∴a 2＝7，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝7－(2n －4)＝11－2n ，由a n ≥0得n ≤112，又n ∈N *，∴n ≤5，故选D ．6．(文)(2018·湖北重点中学协作体期中联考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2·a 12＝16，则a 6等于导学号 58534548( B )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 由等比数列的性质知a 2·a 12＝a 27＝16，又a n >0，∴a 7＝4，又q ＝2，∴a 6＝a 7q ＝2.故选B ．(理)(2018·山东曲阜期中)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝导学号 58534549( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 因为a 27＝a 1a 11＝16，且a n >0，所以a 7＝4，因为公比q ＝2，所以a 10＝a 7q 3＝4×23＝25.所以log 2a 10＝log 225＝5.故B 正确．7．(2018·河南八市测评二)设a ∈R ，则“1，x ，a ，y,16为等比数列”是“a ＝4”的导学号 58534550( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若1，x ，a ，y,16为等比数列，则a 2＝16，∴a ＝4或－4，设公比为q ，则a ＝q 2，∴a ＝4.a ＝4时，1，x ，a ，y,16不一定是等比数列，如x ＝3，y ＝1时，故“1，x ，a ，y,16为等比数列”是“a ＝4”的充分不必要条件．故选A ．8．(2018·河南许昌、平顶山联考)中国古代数学老师在教学中对学生提出这样一个问题：“三百一十五里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人走3 1 5里路，第一天健步行走，从笫二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则此人笫二天走了导学号 58534551( A )A ．80里B ．40里C ．160里D ．20里[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1(1－126)1－12＝315，解得a 1＝160，则a 2＝160×12＝80，即第二天走了80里，故选A ．9．(2018·北京朝阳区期中)已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下四个命题：①数列{S n }中的最大项为S 10；②数列{a n }的公差d <0；③S 10>0；④S 11<0；其中正确的序号是导学号 58534552( A )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④[解析] ∵S 5>S 6>S 4，∴a 6<0，a 5>0，a 5＋a 6>0，∴{S n }中最大项为S 5，①错；d ＝a 6－a 5<0，②正确，S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)>0，③正确；S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6<0，④错，故选A ．10．(2018·河南南阳期中)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝导学号 58534553( B )A ．29B ．31C ．33D ．36[解析] 由等比数列的性质知a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，又a 3≠0，∴a 4＝2，又由题意知a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14，∴q ＝3a 7a 4＝12，且a 1＝a 4q 3＝16，∴S 5＝16(1－(12)5)1－12＝31.故选B ． 11．(理)(2018·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为导学号 58534554( B )A ．3B ．4C ．23－2D ．92[解析] 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立．故选B ．(文)(2018·河南洛阳期中)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 10＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)…(x －a 10)，则f ′(0)＝导学号 58534555( D )A ．26B ．29C ．212D ．215[解析] f ′(x )＝(x －a 1)…(x －a 10)＋x (x －a 2)…(x －a 10)＋x (x －a 1)(x －a 3)…(x －a 10)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 9)，又a 1＝2，a 10＝4，∴f ′(0)＝a 1·a 2…a 10＝(a 1·a 10)5＝85＝25.故选D ．12．(理)(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是导学号 58534556( A )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2.由题意可知，N > 100，令n (n ＋1)2>100，∴n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后，易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n－1，前n组的所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数，第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数，即2t －1＝k ＋2，∴2t ＝k ＋3，∴t ＝log 2(k ＋3)，∴当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×(13＋1)2＋4＝95<100，不满足题意，当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×(29＋1)2＋5＝440，当t >5时，N >440，故选A ．12．(文)(2018·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为导学号 58534557( B )A ．3B ．4C ．23－2D ．92[解析] 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2018·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__.导学号 58534558[解析] a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为__18__.导学号 58534559[解析] S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，由S 11为定值，可知a 6＝a 1＋5d 为定值．设4a 2＋a 10＋a n ＝24，整理得a 1＋n ＋126d ＝4，可知n ＝18.15．(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__2n －1__.导学号 58534560[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9，a 1a 4＝8，则a 1，a 4可以看作一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，a 4＝1，又因为{a n }是递增等比数列∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8，∴q ＝2，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1. 16．(文)(2018·湖南“三湘教育联盟”联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n1＋3a n，则a 10＝__255__.导学号 58534561[解析] ∵a n ＋1＝a n 1＋3a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋3，即1a n ＋1－1a n＝3，又a 1＝2，∴1a 1＝12，∴{1a n}是首项为12，公差为3的等差数列，∴1a 10＝12＋27＝552，∴a 10＝255.(理)(2018·广东实验中学月考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则[2 017a 1＋2 017a 2＋…＋2 017a 2 017]＝__2_016__.导学号 58534562[解析] ∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，又a 2－a 1＝4 ∴{a n ＋1－a n }是首项为4，公差为2的等差数列 ∴a n ＋1－a n ＝4＋2(n －1)＝2(n ＋1) ∴a n －a n －1＝2n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[n ＋(n －1)＋…＋2＋1]＝n (n ＋1)∴2 017a 1＋2 017a 2＋…＋2 017a 2 017＝2 017[11×2＋12×3＋…＋12 017×2 018] ＝2 017[1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018]＝2 017(1－12 018]＝2 017－2 0172 018，0<2 0172 018<1，∴[2 017a 1＋2 017a 2＋…＋2 017a 2 017]＝2 016.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·全国卷Ⅲ，12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.导学号 58534563(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.18．(本小题满分12分)(2017·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6.导学号 58534564(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．[解析] (1)设{a n }的公比为q 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－a ＝－23＋(－1)n2n ＋13由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．19．(本小题满分12分)(2018·重庆一中期中)已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1，32a 2，a 2成等差数列.导学号 58534565(1)求a n ；(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，记{b n }前n 项和为T n ，求T n 的最大值． [解析] (1)4a 1，32a 2，a 2成等差数列，∴4a 1＋a 2＝3a 2，即2a 1＝a 2，∴q ＝2，∴S 6＝a 1(1－26)1－2＝21，解得a 1＝13，所以a n ＝2n －13.(2)由(1)可知{b n }是首项为2，公差为－13的等差数列，∴b n ＝－13n ＋73，于是T n ＝n (b 1＋b n )2＝－16n 2＋136n ＝－16(n －132)2＋16924则T n 的最大值为7，此时n ＝6或7.20．(本小题满分12分)(2018·河南中原名校质量考评)设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n＝2a n －2.导学号 58534566(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 2a n ，求数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n .[解析] (1)∵S n ＝2a n －2，∴S 1＝2a 1－2，∴a 1＝2， 又S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2(a n －a n －1)，即a n ＝2a n －1，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列a n＝2n ；(2)b n ＝log 2a n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.21．(本小题满分12分)(2018·辽宁六校协作体期中)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝2，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1,2,3，…).导学号 58534567(1)证明：数列{S nn }是等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n .[解析] (1)证明：因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝n ＋2n S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2S nn ，又a 1＝2，∴S 11＝2≠0，∴S n ＋1n ＋1S nn ＝2，∴数列{S nn }是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)可知S nn＝2n ，∴S n ＝n ·2nT n ＝2＋2·22＋3·23＋…(n －1)·2n －1＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝－T n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.22．(本小题满分12分)(2018·宁夏银川一中月考)已知等比数列{a n }的公比q >1，且满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项.导学号 58534568(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>62成立的正整数n 的最小值？[解析] (1)∵a 3＋2是a 2，a 4的等差中项， ∴2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，可得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝8a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32q ＝12，∵q >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (2)∵b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴S n ＝－(1×2＋×2×22＋…＋n ·2n )①2S n＝－(1×22＋×2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1)②②－①得S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2(1－2n)1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1∵S n＋n·2n＋1>62，∴2n＋1－2>62，即2n＋1>26.∴n＋1>6，n>5，∴使S n＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值为6.。
2019版高考数学一轮复习第5章数列5.4数列求和习题课件文
2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足S33－S22＝ 1，则数列{an}的公差是( )
∵672×3＝2016，∴S2016＝672S3＝6720.
B级 三、解答题 15．已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且满足 Sn－2an＝n －4. (1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列； (2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn.
解 (1)证明：由题意知 Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)， 即 Sn＝2Sn－1－n＋4，
∴S3＝a1＋a1＋2 1＋3a12＋1＝3a1＋1＝10，解得 a1＝3， 此时数列{an}为 3,2,5,3,2,5，….当 a1 为偶数时，a2＝3a1－1， 此时 a2 为奇数，则 a3＝a2＋2 1＝3a1－21＋1＝32a1，∴S3＝a1 ＋3a1－1＋32a1＝121a1－1＝10，解得 a1＝2，此时数列{an}为 2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{an}均为周期数列．
10．(2017·江西九校联考)已知数列{an}是等比数列，数
列{bn}是等差数列，若 a1·a6·a11＝3 3，b1＋b6＋b11＝7π，则
tan1b－3＋a4b·a98的值是(
)
A．1
2 B. 2
C．－
2 2
D．－ 3
解析 {an}是等比数列，{bn}是等差数列，且 a1·a6·a11 ＝3 3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a36＝( 3)3,3b6＝7π，∴a6＝ 3， b6＝73π，∴tan1b－3＋a4b·a98＝tan12－b6a26＝tan1－2× 733π2＝tan－73π＝ tan－2π－π3＝－tanπ3＝－ 3.故选 D.
2019届高考数学(文)一轮复习课件-第五章 数列-共4课时-合编
高考数学·数列
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn， S1，n＝1， 则 an＝ Sn－Sn－1，n≥2. 4．数列的分类 递增数列 ∀n∈N*，an＋1>an 单 递减数列 ∀n∈N*，an＋1<an 调 常数列 ∀n∈N*，an＋1＝an 性 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有 摆动数列 些项小于它的前一项的数列 周期数列,∀n∈N*，存在正整数常数 k，an 周期性 ＋k＝an
解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式． 答案：A
高考数学·数列
2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； 1 1 1 1 (2)(易错题)－ ， ，－ ， ，…； 1×2 2×3 3×4 4×5 (3)a，b，a，b，a，b，…(其中 a，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….
高考数学·数列
2.数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an 的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 式 使用初始值 a1 和 an＋1＝f(an)或 a1，a2 和 an＋1＝ 递推公式 法 f(an，an－1)等表示数列的方法
高考数学·数列
2．设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 a8 的值为( A．15 B．16 C．49 D．64
)
解析：∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 当 n＝1 时符合上式， ∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15. 答案：A
－1n 4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (n≥2)，则 a5＝( an－1 3 5 8 2 A.2 B.3 C.5 D.3
2019版高考数学一轮复习第五章数列练习理
第五章数列、推理与证明第 1 讲数列的观点与简单表示法1．设数列 { a n n2)} 的前n项和S＝ n ，则 a8的值为(A．15 B ．16 C ．49 D ．64≥2时，·2· · n＝2，则＋5＝()2．在数列 {a n}中，已知1＝ 1，且当n1n3a a a a a a7613111A.3B.16C. 15D.43．古希腊人常用小石子在沙岸上摆成各样形状来研究数，如图X5-1-1.图 X5-1-1他们研究过图 X5-1-1(1)中的1,3,6,10 ，，因为这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；近似地，称图 X5-1-1(2)中的 1,4,9,16 ，，这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是()A． 289 B ． 1024 C ． 1225 D ．1378a n＋1－14．已知数列 { a n} 知足a1＝ 2，a n＝a n＋1＋1，其前 n 项积为 T n，则 T2017＝() 11A.2B．－2C．2D．－25． (2015年辽宁大连模拟 ) 在数列 { a } 中，a＝2，a＝ a ＋ln1＋n，则 a ＝()n1n＋ 1n1n A． 2＋ln n B ．2＋(－1)ln nnC． 2＋n ln n D．1＋ n＋ln n6． (2014年新课标Ⅱ ) 若数列 {} 知足n＋ 1＝11＝________.n， 8＝2，则a a1－ana a7．已知数列 { a n} 知足：a4n－3＝ 1，a4n－1＝ 0，a2n＝a n，n∈ N*，则a2009＝________，a2014＝________.8．已知递加数列{ a n} 的通项公式为a n＝ n2＋ kn＋2，则实数 k 的取值范围为________．9． (201321年新课标Ⅰ ) 若数列 { a n} 的前n项和S n＝a n＋，则数列 { a n} 的通项公式是a n33＝________.10．(2016年上海 ) 无量数列 { a n} 由k个不一样的数构成，S n为 { a n} 的前n项和．若对随意*n∈N， S n∈{2,3}，则 k 的最大值为________．n n10n*n 11．已知数列 { a } 的通项公式为 a ＝( n＋1)11( n∈ N ) ，则当n为多大时，a最大？12． (2012 年纲领 ) 已知数列 { a } 中，a1＝ 1，前n项和S＝＋ 2a.3n nn n(1)求 a2， a3；(2)n求 { a } 的通项公式．第2讲等差数列1．(2017 年江西南昌二模) 已知数列 { a n} 为等差数列，其前n项和为S n，2a7－a8＝ 5，则S11＝()A．110 B ．55C． 50 D ．不可以确立2．设 { a n} 是首项为a1，公差为－1的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1， S2，S4成等比数列，则 a1＝()A．2 B ．－211C.2D．－23．已知S n为等差数列 { a n} 的前n项和，若a1＋a7＋a13的值是一个确立的常数，则以下各式：①a21；② a7；③ S13；④ S14；⑤ S8－ S5.其结果为确立常数的是()A．②③⑤ B ．①②⑤C．②③④D ．③④⑤4．(2017 年新课标Ⅲ ) 等差数列 { a n} 的首项为1，公差不为0. 若a2，a3，a6成等比数列，则数列 { a n} 前 6 项的和为 ()A．－24 B ．－3 C ．3 D．85．(2017 年湖北七市 4 月联考 ) 在我国古代有名的数学专著《九章算术》里有一段表达：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相遇，问：几天相逢？()A．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12 日d 2 a －d，6．已知等差数列 { } 的公差为，对于的不等式 2＋ 2 x＋ c≥0的解集是[0,22]1则使得数列 { a n} 的前n项和最大的正整数n 的值是()A． 11B ．11或12C． 12D ．12或13，7．(2017 年广东揭阳一模 ) 已知数列 { a } 对随意的n∈N都有 a ＋1＝ a －2a ＋1 a ，若 a1＝2n*nn nn1则 a8＝__________.8．已知数列 { a n} 的通项公式为a n＝2n－10( n∈N*)，则| a1|＋| a2|＋＋| a15|＝________.9． (2016 年新课标Ⅱ ) 在等差数列 { a n} 中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝ 6.(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)设 b n＝[ a n]，求数列{ b n}的前10项和，此中[ x]表示不超出 x 的最大整数，如[0.9]＝0， [2.6] ＝ 2.10． (2014 年纲领 ) 数列 { a n} 知足a1＝ 1，a2＝ 2，a n＋2＝ 2a n＋1－a n＋2.(1)设 b n＝ a n＋1－a n，证明{ b n}是等差数列；(2)求 { a n} 的通项公式．11．(2014 年新课标Ⅰ ) 已知数列 { a n} 的前n项和为S n，a1＝ 1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－ 1，此中λ 为常数．(1)证明： a n＋2－ a n＝λ；(2)能否存在λ，使得 { a n} 为等差数列？并说明原因．第3讲等比数列1．对随意的等比数列 { a n} ，以下说法必定正确的选项是()A．a1，a3，a9成等比数列 B ．a2，a3，a6成等比数列C．2，4，8 成等比数列D．3，6，9 成等比数列a a a a a a{ a n} 的前n项和为S n，若S n＝ 2，S3n 2．(2016 年河北衡水模拟 ) 各项均为正数的等比数列＝14，则S4n＝ ()A．80 B ．30 C ．26 D ．163．(2013年新课标Ⅰ ) 设首项为 1，公比为2的等比数列 {n}的前n项和为n，则() 3a SA．n＝2n－1 B．n＝3a n－2S a SC．S n＝ 4－ 3a n D ．S n＝ 3－ 2a n4．(2017年广东深圳一模 ) 已知等比数列 { a } 的前n n－ 1a)项和为 S＝ a·3＋b，则b＝n nA．－3 B ．－1 C．1 D．35． (2016年河南模拟 ) 已知等比数列 {a3，公比为－1n项和为n，则n}的首项为，其前22Sn 的最大值为()S3243A.4B.3C.3D.2年北京 ) 若等差数列 { a n } 和等比数列{b n}知足a1＝ b1＝－1，a4＝ b4a26．(2017＝ 8，则b2＝__________.年江西南昌二模 ) 在等比数列 { a n} 中，a1＝ 1，前n项和为S n，知足S7－ 4S6 7． (2017＋3 5＝0，则4＝________.S S8．(2017 年广东深圳第二次调研 )《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相遇，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，此后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，此后每天减半．”假如墙足够厚，S 为前 nn天两只老鼠打洞长度之和，则n＝__________尺．S19． (2016年新课标Ⅰ ) 已知 { a n} 是公差为 3 的等差数列，数列{ b n} 知足b1＝ 1，b2＝3，a nb n＋1＋ b n＋1＝ nb n.(1)求 { a n} 的通项公式；(2)求 { b n} 的前n项和．10． (2016 年新课标Ⅲ ) 已知数列 { a n} 的前n项和S n＝ 1＋λa n，此中λ ≠0.(1)证明 { a n} 是等比数列，并求其通项公式；31(2)若 S5＝32，求λ.11． (2017 年广东广州一模) 已知数列 { a n} 的前n项和为S n，且S n＝2a n－ 2( n∈ N* ) ．(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)求数列 { S n} 的前n项和T n.第 4 讲数列的乞降1． (2017 年辽宁鞍山一中统测) 数列 { a } 的通项公式为 a ＝14n － 1，则数列 { a } 的前 nnn2n项和 S ＝()n2nA.2n ＋ 1 B.2n ＋ 12nnC.4 ＋1 D.4＋1nnn ·(3 n － 2) ，则 a 1＋ a 2＋ ＋ a 10＝ (2．若数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ ( － 1) ) A ．15 B ．12 C ．－ 12 D ．－ 153．已知等差数列 { a n } 知足 a 1 >0， 5 a 8＝ 8a 13，则目前 A ．20 B ．21 C ．22D ．23 2nn 项和 n4．已知数列 { a } 的前S ＝ n － 6n ，则数列 {|A ． 6n － n 2B ． n 2－ 6n ＋ 186n － n 2，1≤ n ≤3，6n － n 2，1≤ n ≤3，n 项和 S n 取最大值时， n ＝ ()a n |} 的前 n 项和 T n 等于 ()C.n 2－ 6n ＋ 18， n ＞ 3D.n 2－ 6n ，n ＞ 35．(2016 年湖北七校 2 月联考 ) 中国古代数学著作 《算法统宗》 中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获得其关，要见次日行里数，请 公认真算相还． ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走， 从次日起脚痛每天 走的行程为前一天的一半，走了 6 天后抵达目的地，请问次日走了 ( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里6． (2015 年江苏 ) 已知数列 { a } 知足 a ＝ 1，且 a－ a*1的前n ＋1＝ n ＋ 1( n ∈ N ) ，则数列a nn1n10 项和为 ________．7．如图 X5-4-1 ，它知足： ①第 n 行首尾两数均为 n ；②图中的递推关系近似杨辉三角， 则第 ( ≥2) 行的第 2 个数是 ______________．n n12 234 34 7 7 45 11 14 11 5图 X5-4-18． (2017 年安徽合肥第二次质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n ＝ 2a n －2n ，则 S n＝ __________.9． (2016 年浙江金华模拟 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 知足 6S n ＋ 1＝ 9a n ( n ∈ N * ) ． (1) 求数列 { a n } 的通项公式；1(2) 若数列 { b n } 知足 b n ＝ ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . a n10． (2017年广东佛山二模) 已知 { a n} 是等差数列，{ b n} 是各项均为正数的等比数列，且 b1＝ a1＝1， b3＝ a4， b1＋ b2＋ b3＝ a3＋ a4.(1)求数列 { a n} ，{b n}的通项公式；(2)设 c n＝ a n b n，求数列{ c n}的前 n 项和 T n.11． (2017 年广东湛江二模 ) 察看以下三角形数表，数表 (1) 是杨辉三角数表，数表 (2) 是与数表 (1) 有相同构成规律 ( 除每行首末两头的数外 ) 的一个数表．对于数表 (2)，设第 n 行第二个数为 a n.( n∈N*)( 如1＝2，2＝4，3＝7)a a an n－ 1*不用证明 ) ，并由概括的递推公式求出n(1) 概括出a与 a ( n≥2，n∈N)的递推公式({ a }的通项公式a n；(2) 数列 { b n} 知足： ( a n－1) ·b n＝ 1，求证：b1＋b2＋＋b n<2.第 5 讲合情推理和演绎推理S 11．在平面几何中有以下结论： 正三角形 ABC 的内切圆面积为 S 1，外接圆面积为 S 2，则 S 211＝ 4，推行到空间能够获得近似结论；已知正四周体P - ABC 的内切球体积为 V ，外接球体积2V1为 V ，则 V 2 ＝ ( )1 111A. 8B. 9C. 64D.272． (2017 年广东惠州三模 ) 我国南北朝期间的数学家祖暅提出体积的计算原理 ( 祖暅原理) ：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等． 类比祖暅原理， 如图 X5-5-1 ，在平面直角坐标系中， 图 X5-5-1(1) 是一个形状不规则的关闭图形， 图 X5-5-1(2) 是一个上底为 1 的梯形，且当实数 t 取 [0,3] 上的随意值时，直线 y ＝ t 被图 X5-5-1(1) 和图 X5-5-1(2) 所截得的两线段长一直相等，则图(1) 的面积为 __________.(1) (2)图 X5-5-13． (2017 年北京 ) 某学习小组由学生和教师构成，人员构成同时知足以下三个条件： ①男学生人数多于女学生人数； ②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1) 若教师人数为 4，则女学生人数的最大值为 _____________；(2) 该小组人数的最小值为 __________ ． 4．察看以下等式： 12＝ 112－ 22＝－ 3 12－ 22＋ 32＝612－ 22＋ 32－42＝－ 10照此规律，第 n 个等式为 _____________________________________ ．5．如图 X5-5-2 ，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，则截下的一个直角三角形按如图 X5-5-2(1) 所标边长，由勾股定理，得 c 2＝ a 2＋ b 2. 假想把正方形换成正方体，把截线 换成如图 X5-5-2(2) 所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O - ABC ，若用 S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，则能够类比获得的结论是 __________________ ．(1)(2)图 X5-5-26．已知 cos π＝1， cosπ·cos2π＝1，cosπ·cos2π·cos3π＝1，，依据以上等325547778式，可猜想出的一般结论是___________________________________ ．7．(2017 年东北三省四市一联) 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优异．当他们被问到谁获得了优异时，丙说“甲没有得优异”，乙说“我得了优异”，甲说“丙说的是实话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是谎话，那么得优异的同学是 __________ ．*－nb ma8．已知数列 { a n} 为等差数列，若a m＝a，a n＝b( n－m≥1，m，n∈ N ) ，则a m＋n＝n－m .n nn*m n类比等差数列 { a } 的上述结论，对于等比数列{ b }( b >0， n∈N ) ，若 b ＝ c，b ＝ d( n－m≥2，*＝________.m， n∈N )，则能够获得 bm＋ n9．某同学在一次研究性学习中发现，以下 5 个式子的值都等于同一个常数．①sin 213°＋ cos 217°－ sin13 °cos17°；22②sin 15°＋ cos 15°－ sin15 °cos15°；③ sin 218°＋ cos 212°－ sin18 °cos12°；22④ sin ( －18°) ＋ cos 48°－ sin( －18°)cos48 °；22⑤ sin ( －25°) ＋ cos 55°－ sin( －25°)cos55 °.(1)试从上述 5 个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．10．在等差数列 { a n} 中，a1＋a2＝ 5，a3＝ 7，记数列1的前 n 项和为 S n.a n a n＋1(1)求数列 { a n} 的通项公式；(2)能否存在正整数 m， n，且1<m<n，使得 S1， S m， S n成等比数列？若存在，求出全部切合条件的 m， n 的值；若不存在，请说明原因．第 6 讲直接证明与间接证明1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x2＋ax ＋ ＝0 起码有一个实根”时，b要作的假定是 ( )A ．方程 2 ＋ ax ＋ ＝ 0 没有实根x bB ．方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有一个实根C ．方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 至多有两个实根D ．方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 恰巧有两个实根2．剖析法又称执果索因法， 若用剖析法证明： “设 a >b >c ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0，求证 b 2－ ac< 3a ”索的因应是 () A ． － >0B ．－>0aba cC ． ( a － b )( a － c )>0D ．( a － b )( a － c )<0 3．在△ 中，三个内角 ， ， C 的对边分别为 a ， ， ，且 ， ， 成等差数列，，ABCA Bb cA B Cab ，c 成等比数列，则△ ABC 的形状为 __________三角形．4．用反证法证明命题： 若整系数一元二次方程 ax 2＋ bx ＋c ＝ 0( a ≠0) 存在有理数根， 则 a ， b ， c 中起码有一个是偶数．以下假定正确的选项是 ________．①假定 a ， b ， c 都是偶数； ②假定 a ， b ， c 都不是偶数； ③假定 a ， b ， c 至多有一个偶数； ④假定 a ， b ， c 至多有两个偶数．5．凸函数的性质定理：假如函数 f ( x ) 在区间 D 上是凸函数，那么对于区间D 内的随意 f x 1 ＋f x 2 ＋ ＋ f x n ≤ f x 1＋ x 2＋ ＋ x nx x 1，x 2， ， x n ，有 n n. 已知函数 y ＝sin在区间 (0 ，π ) 上是凸函数，则在△中， sin＋ sin＋ sin C 的最大值为 ________．ABCAB6．α ，β 是两个不一样的平面， m ，n 是平面 α 及 β 以外的两条不一样的直线，给出以下 四个论断：① m ⊥ n ；② α ⊥ β ；③ n ⊥ β ；④ m ⊥ α . 以此中的三个论断作为条件，余下一个论 断 作 为 结 论 ， 写 出 你 认 为 正 确 的 一 个 命 题 ： _________________________________________________________________________________________________________________________.7．下表中的对数值有且仅有一个是错误的：x3 5 89 15lg x2 － b＋3－3 －3 c4 a － 23 －＋ ＋ 1aa c aba bc请将错误的一个更正为________________ ．8．已知会合 { a ，b ， c } ＝ {0,1,2} ，且以下三个关系：① a ≠2；② b ＝ 2；③ c ≠0有且只有一个正确，则 100 ＋ 10 b ＋ ＝ __________.a c9．已知等差数列 { a n } 的公差 d >0，设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1＝ 1， S 2·S 3＝ 36.(1) 求 d 及 S n ；(2) 求 m ， k ( m ，k ∈ N * ) 的值，使得 a m ＋ a m ＋ 1＋ a m ＋ 2＋ ＋ a m ＋ k ＝ 65 建立．10． (2016 年湖北武汉调研 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 3＝5， S 8＝ 64.(1) 求数列 { a n } 的通项公式；(2) 求证： 1 ＋ 1 > 2( n ≥2， n ∈ N * ) ．S n －1 S n ＋1 S n第 7 讲 数学概括法1．用数学概括法证明： ( n ＋ 1)( n ＋2) · ·( n ＋ n ) ＝ 2n ×1×3× × (2n －1)( n ∈ N * ) ，从“ ＝ ”到“ n ＝ k ＋1”左端需乘的代数式是 ( )n kA ． 2k ＋ 1B ． 2(2 k ＋ 1)2 ＋ 12 k ＋ 3C.k ＋ 1 D. k ＋ 12．用数学概括法证明：22222n n 2＋，第二步证明由“ k1＋2 ＋ ＋ n ＋ ＋ 2 ＋ 1 ＝3到 k ＋1”时，左侧应加 () A ． k 2B ． ( k ＋ 1) 2C ． k 2＋ ( k ＋ 1) 2＋ k 2D ． ( k ＋ 1) 2＋ k 2n 1－a n ＋12*3．用数学概括法证明1＋ a ＋a ＋ ＋ a ＝1－a ( a ≠1， n ∈N ) 时，当考证 n ＝ 1时，左侧计算所得的式子是 ()A ． 1B ． 1＋ aC ． 1＋a ＋ a 2D ．1＋ a ＋ a 2＋a 4n 4＋ n 24．用数学概括法证明等式： 1＋ 2＋ 3＋ ＋n 2＝*＝ 到＝ ＋ 1(∈N )，则从2nn kn k时，左侧应增添的项为 ()A ． k 2＋ 1B ． ( k ＋ 1) 2k ＋ 4＋k ＋2C.2D． ( k2＋1) ＋ ( k2＋ 2) ＋ ( k2＋ 3) ＋＋ ( k＋ 1)25．用数学概括法证明1＋2＋ 22＋＋ 25n－1是 31 的整数倍时，当n＝ 1 时，上式等于 () A．1＋2 B ． 1＋2＋22C． 1＋2＋ 22＋ 23 D ． 1＋ 2＋22＋ 23＋ 246．用数学概括法证明n n－ 12n－ 1∈ N＋ ) 时，假定当＝k时命题成1＋ 2＋3＋＋ 2 ＝2＋ 2(n n立，则当 n＝ k＋1时，左端增添的项数是()A． 1 项 B ．k－ 1 项 C ．k项 D ． 2k项7．用数学概括法证明“n3＋( n＋ 1) 3＋ ( n＋ 2) 3( n∈N*) 能被 9 整除”，利用概括法假定证明当 n＝ k＋1时，只要睁开()A． ( k＋ 3) 3B ． ( k＋ 2) 3C． ( k＋ 1) 3D ． ( k＋ 1) 3＋ ( k＋ 2) 3111138．用数学概括法证明不等式n＋1＋n＋2＋＋n＋n>24的过程中，由k推导到k＋ 1 时，不等式左侧增添的式子是________________ ．9．能否存在常数a，b，c，使等式222n n＋21×2＋2×3＋＋n( n＋ 1) ＝12( an＋bn＋c)对全部正整数n 都建立？证明你的结论．10． (2017n1n＝ x n＋1＋ ln (1＋x n＋ 1*年浙江 ) 已知数列 { x } 知足： x ＝ 1，x)( n∈ N ) ．证明：当 n∈N*时，(1)0 ＜x n＋ 1n；＜ xx n x n＋1(2)2 x n＋1－x n≤；211(3)2n＋ 1≤x n≤2n＋ 2.第五章数列、推理与证明第 1 讲 数列的观点与简单表示法1． A 分析： a 8＝S 8－ S 7＝ 228 － 7 ＝ 64－49＝15. 2． B3．C 分析：第n 个三角形数可表示为1( ＋1)，第 n 个四边形数可表示为 2. 应选 C.2n nn4． C 分析：由 a n ＝ a n ＋1 －11＋ a n，得 a n ＋ 1＝，而 a 1＝ 2，a n ＋ 1＋ 11－ a n则有115＝2. 故数列 {n1234a＝－，＝－，＝，a 是以 4 为周期的周期数列，且a2a3 aa a a a＝ 1.所以 T 2017＝ ( a 1 a 2a 3a 4) 504a 1＝ 1504×2＝ 2.n ＋1) － lnn .5． A分析：由已知，得an ＋ － a ＝ ln(所以2－ 1＝ ln 2－ ln 11n－ ln 2 ，4－3＝ ln 4 －ln 3 ， ，n－ n － 1＝a，a 3－2＝ ln 3ln n － ln(aaaaaan － 1) ，以上 ( n － 1) 个式子左、 右分别相加， 得 a － a ＝ lnn ．所以 a ＝ 2＋ lnn ．故n1n选 A.1分析：由已知，得n186.a ＝－， a ＝ 2，2a ＋1n1 1a11∴7＝1－＝，6＝1－＝－ 1， 5＝1－ ＝ 2.aa 82 a 7aa 611同理， a ＝ 2， a ＝－ 1， a ＝ 2， a ＝ 2.43217． 1 0 分析： a 2009＝a 4×503－ 3＝ 1， a 2014＝ a 2×1007 ＝ a 1007＝ a 4×252－ 1＝0.8． ( －3，＋∞) 分析：由 { } 为递加数列，得 － ＝( 2＋ ( ＋1)＋2－2－a a a n ＋ 1) nnn ＋1nkn － 2＝ 2n ＋ 1＋ k >0 恒建立，即 k >－ (2 n ＋ 1) 恒建立，即 k >[ － (2 n ＋ 1)] max ＝－ 3.9． ( －2) n －1 分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ 1；22当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝ 3a n － 3a n －1，故 a n＝－ 2，故 a n ＝ ( －2) n －1.a n －1当 n ＝1 时，也切合 a n ＝ ( －2) n －1.综上所述， a n ＝ ( －2) n －1.10．4 分析：从研究 S n 与 a n 的关系下手， 推测数列的构成特色， 解题时应特别注意“数列{ a n } 由 k 个不一样的数构成”的“不一样”和“ k 的最大值”．此题主要考察考生的逻辑推理能力、 基本运算求解能力等． 当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2 或 a 1＝ 3；当 n ≥2时，若 S n ＝ 2，则 S n － 1＝ 2，*此中数 于是 a n ＝ 0，若 S n ＝ 3，则 S n － 1＝3，于是 a n ＝ 0. 进而存在 k ∈ N ，当 n ≥ k 时， a k ＝ 0. 列{ a n } ： 2,1 ，－ 1， 0,0,0 ， 知足条件，所以 k max ＝ 4.11．解：∵a n ＋ 1－ n ＝ ( ＋ 2) 10 n ＋ 1－ ( ＋1) 10 na n 11n 11n9－ n 10 n＝11 · 11 ，而 11 >0，10∴当 n <9 时， a n ＋ 1－ a n >0，即 a n ＋1 >a n ；当 n ＝9 时， a n ＋1－ a n ＝ 0，即 a 10＝ a 9；当 n >9 时， a n ＋ 1－ a n <0，即 a n ＋ 1<a n . 所以 a 1<a 2 < <a 9＝ a 10>a 11>a 12> .∴当 n ＝ 9 或 n ＝ 10 时，数列 { a n } 有最大项，最大项为a 9 或 a 10.12．解： (1) 由 a 1＝1 与 S n ＝ n ＋ 2 a n 可得322＋2 21 2 21 S ＝ 3 a ＝ a ＋ a ? a ＝ 3a ＝ 3，S ＝a ＝ a ＋ a ＋ a ?a ＝ a ＋ a ＝ 4? a ＝ 6.33＋2 3123 2 3 12333故所求 a 2， a 3 的值分别为 3,6.n ＋ 2(2) 当 n ≥2时， S n ＝ 3 a n ，①n ＋ 1S n － 1＝ 3 a n －1，②＋ 2 n ＋ 1①－②，可得 S －Sa，即＝ 3a － 3n －nn － 1n1nn ＋ 2 n n ＋ 1 n － 1 n －1 n n ＋ 1 n － 1 ? a nn ＋1a ＝a －a ? a ＝ a＝3333－1n －1n故有 a n ＝ a na n － 1a 2n ＋ 1 × n3n 2＋ n×× ×× a 1＝n － 1 n － × × ×1＝.a n － 1 a n － 2a 1 21212＋ 1 1nnn 2＋ n而2 ＝1＝ a ，所以 { a } 的通项公式为 a ＝2.第2讲等差数列1． B 分析：设公差为d ，则 2 7－ 8＝ 2( a 1＋ 6 d ) － (a 1＋7 )＝ 1＋ 5 ＝6＝ 5， 11＝11× a 1＋ a 11a ad ad aS＝ 11a 6＝55. 应选 B.2222．D 分析：因为 S 1，S 2， S 4 成等比数列，有－6) ，解得S 2＝S 1S 4，即 (2 a 1－ 1) ＝ a 1(4 a 1 11 a ＝－ 2.3． A 分析：由 a 1＋ a 7＋ a 13 是一个确立的常数，得3a 7 是确立的常数，故②正确；S 13＝aa1＋ 13＝13a 7 是确立的常数，故③正确； S 8－ S 5＝ a 6＋ a 7＋ a 8＝ 3a 7 是确立的常数，故⑤2正确．24． A 分析：设等差数列的公差为d ，由 a 2， a 3， a 6 成等比数列，可得a 3＝ a 2a 6，即 (1＋2d )2 ＋d )(1 ＋ 5d ) ．整理，可得2＝ (1d ＋2d ＝ 0. ∵d ≠0，∴ d ＝－ 2. 则 { a } 前 6 项的和为 Sn6＝66×56×5a 1＋d ＝6×1＋×( － 2) ＝－ 24.2 25．A 分析：依据题意，明显良马每天行程构成一个首项a 1＝ 103，公差1＝ 13 的等差dn n －132数列．前 n 天共跑的里程为 S ′＝ na 1＋2d 1＝ 103n ＋ 2 n ( n － 1) ＝ 6.5 n ＋ 96.5 n ；驽马每天行程也构成一个首项b ＝ 97，公差 d ＝－ 0.5的等差数列，前 n 天共跑的里程为S ′12n n －0.52＝ nb 1＋ 2d 2＝ 97n － 2 n ( n － 1) ＝－ 0.25 n ＋ 97.25 n . 两马相遇时，共跑了一个来 回．设其第 n 天相遇， 则有 6.5 n 2＋ 96.5 n － 0.25 n 2＋97.25 n ＝1125×2，解得 n ＝ 9. 即它们第 9 天相遇．应选 A.d 2 a 1－ d6 ． A 解 析 ： ∵ 关 于 x 的 不 等 式 2 x ＋ 2 x ＋ c ≥0 的 解 集 是 [0,22] ， ∴d <0，1d解得 a 1＝－21da － 22.－d＝ 22，2n121d－ 23∴ a ＝ a＋( n － 1) d ＝－ 2 ＋( n － 1) d ＝ n2 d .1111－ 23 11212－ 231可得 a ＝ 2 d ＝－ 2d >0，a ＝ 2 d ＝ 2d <0.故使得数列 { a n } 的前 n 项和最大的正整数 n 的值是 11.7. 1 分析： 由 a n ＋ 1＝ a n － 2a n ＋1a n ，得 1 － 1＝2，故数列16 n ＋1 na a 的等差数列，则 1 ＝ 2＋2( n－1)＝2 .故a 8＝ 1 .a nn16{ 1 } 是首项 1＝ 2，公差 d ＝ 2 a n a 18．130 分析：由n－ 10(*n 为首项， 2 为公差的等差数列． 令a ＝ 2∈N ) ，知a 是以－nna n ＝2n －10≥0，得 n ≥5. 所以当 n <5 时，a n <0；当 n ≥5时，a n ≥0. 所以 | a 1| ＋ | a 2| ＋ ＋ | a 15| ＝－ ( a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4) ＋ ( a 5＋ a 6＋ ＋ a 15) ＝ S 15－2( a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4) ＝ 90＋ 40＝ 130.9．解： (1) 设 { a n } 的公差为 d ，由题意，得 2a 1＋ 5d ＝4， a 1＋ 5d ＝ 3.2 2n ＋ 3解得 a 1＝1， d ＝ 5. 所以 a n ＝5 .(2) 由 (1) 知， b n ＝ 2n ＋ 3 .52n ＋ 3当 n ＝1,2,3时， 1≤<2， b n ＝ 1；52n ＋ 3当 n ＝4,5 时， 2<<3， b n ＝ 2；5当 n ＝6,7,8 当 n ＝9,10 时， 4<5 <5， b n ＝ 4.所以数列 { b n } 的前 10 项和为 1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝ 24.10． (1) 证明：由 a n ＋ 2＝2a n ＋ 1－a n ＋ 2，得 a n ＋ 2－a n ＋ 1＝a n ＋ 1－ a n ＋2，即 b n ＋ 1＝ b n ＋2. 又 b 1＝ a 2－a 1＝ 1，所以 { b n } 是以首项为 1，公差为 2 的等差数列． (2) 解：由 (1) ，得 b n ＝ 1＋2( n － 1) ，即 a n ＋1－ a n ＝ 2n －1.nn于是( a k ＋ 1－ a k ) ＝ ( 2k － 1) ，k 1k 1所以 a22n ＋ － a ＝ n ，即 a ＝ n ＋ a .11n ＋ 11又 a 1＝ 1，所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n 2－ 2n ＋ 2.11． (1) 证明：由题意，得 a n a n ＋ 1＝λ S n － 1， a n ＋1a n ＋ 2＝ λ S n ＋ 1－ 1. 两式相减，得 a n ＋1( a n ＋ 2－ a n ) ＝ λ a n ＋ 1. 因为 a n ＋ 1≠0，所以 a n ＋ 2－ a n ＝ λ .(2) 解：由题意，得 a 1＝ 1，a 1a 2＝ λ S 1－ 1，可得 a 2＝ λ－ 1. 由 (1) 知， a 3＝ λ ＋1.令 2a 2＝ a 1＋ a 3，解得 λ ＝ 4.2n ＋ 32n ＋ 3时， 3≤ <4， b n ＝ 3； 5故 a n ＋2－ a n ＝ 4，由此可得{ a 2n － 1} 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， a 2 n － 1＝ 4n －3；{ a 2n } 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a 2n ＝ 4n － 1. 所以 a n ＝2n － 1， a n ＋ 1－ a n ＝2.所以存在 λ ＝ 4，使得数列 { a n } 为等差数列．第3讲 等比数列1． D 分析：因为数列 { n2 ，所以3，6， 9 成等比数列．a是等比数列，a＝ aa aa a2． B 分析：由等比数列性质，得 S n ， S 2n － S n ， S 3n － S 2n ， S 4n －S 3n 成等比数列，则 ( S 2n －S ) ＝ ·( － S )．所以( S － 2) ＝2×(14 － S ) ．又 S >0，得 S ＝6. 又( S － S ) ＝ ( S n 2 n 3n 2n 2n 2 2n 2n 2n 3n 2n22n－S n )( S 4n － S 3n ) ，所以 (14 － 6) 2＝ (6 － 2)( S 4n －14) ，解得 S 4n ＝ 30.3． D分析：方法一，在等比数列{ a } 中，n1－ n21－ a · 3naa qn2nS ＝ 1－ q ＝＝3－ 2a .1－32方法二，在等比数列 { a n } 中， a 1＝ 1， q ＝ ，3∴ a n ＝1× 2 n － 1＝ 2 n － 1.3 32 n∴ S n ＝ 1×1－3＝3 1－2 n1－2332 2n － 1n＝3 1－3 3＝ 3－ 2a .4． A 分析：因为 a 1＝ S 1＝ a ＋ b ， a 2＝ S 2－ S 1＝2a ， a 3＝ S 3－ S 2＝6a ，由等比数列，得公 比 q ＝a 3 a＝－ 3.＝ 3. 又 a 2＝ a 1q ，所以 2a ＝ 3( a ＋ b ) ，解得ba 25． D 分析：∵等比数列 { a n } 的首项为3，公比为－1，2231－ － 1n2 21 n1 nn＝1－ －nn∴ S ＝12. 当 n 取偶数时， S ＝ 1－ 2<1；当 n 取奇数时， S ＝ 11－ －21 n 1 3n3＋ 2 ≤1＋ 2＝ 2. ∴ S 的最大值为2. 应选 D.6． 1 分析：设等差数列{ a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，由 a 4＝ b 4＝8，得－1＋ 3d ＝－ q 3＝ 8，解得 q ＝－ 2， d ＝ 3. 则 a＝ － 1＋ 3＝ 1.22 2分析：设 { a } 的公比为ba7． 408，由 S － 4S ＋3S ＝0，可得 S －S －3( S － S ) ＝0?n76 57 6 657a 1－ q 41－ 34－3a 6＝ 0，所以 q ＝ 3. 所以 S 4＝1－ q＝ 1－ 3＝40.n18． 2 －2n － 1＋1 分析：依题意，得大老鼠每天打洞的距离构成以1 为首项，2 为公比的等比数列，所从前 n 天大老鼠打洞的距离共为 － 2n n＝2 －1；1－ 21 n1×1－2＝ 2－2 1同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共为1.n － 11－ 2n1 n1所以 S n ＝2 － 1＋ 2－ n －1＝ 2 － n － 1＋ 1.229．解： (1) 由 a b ＋b ＝ b ， b ＝ 1，b ＝ 13，得 a ＝ 2.1 221121所以数列 { a n } 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为a n ＝ 3n － 1.(2) 由 (1) 和 n n ＋ 1＋ b n ＋ 1＝ n ，得b b n＋ 1＝ a bnb31 n11－ 33所以 { b n } 是首项为 1，公比为 3的等比数列． 记 { b n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n＝1－ 1＝ 2－31n － 1.2×310．解： (1) 由题意，得 a 1＝ S 1＝ 1＋λ a 1.1故 λ≠1， a 1＝ 1－λ ， a 1≠0.由 S n ＝ 1＋ λ a n ， S n ＋1＝ 1＋ λ a n ＋ 1，得 a n ＋ 1＝λ a n ＋ 1－ λ a n ，即 a n ＋ 1( λ－ 1) ＝ λa n .由 a ≠0， λ ≠0，得 a ≠0，所以 a n ＋ 1 λ a n＝λ －1.1n所以 { a n } 是首项为1，公比为 λ 的等比数列，于是 a n ＝1λ n － 1.1－ λ λ － 11－ λ λ － 1λ n(2) 由 (1) ，得 S n ＝1－ λ －1 .31λ 5 31 λ51由 S 5＝ ，得 1－λ － 1 ＝ ，即λ － 1 ＝ ，32 32 32解得 λ ＝－ 1.11. 解： (1) 当 n ＝ 1 时， S 1＝ 2a 1－ 2，即 a 1＝ 2a 1－ 2. 解得 a 1＝2.当 n ≥2时， a n ＝ S n －S n － 1＝(2 a n － 2) －(2 a n － 1－2) ＝ 2a n － 2a n －1，即 a n ＝ 2a n －1.所以数列 { a n } 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．n －1n*所以 a n ＝2×2 ＝ 2 ( n ∈ N ) ．(2) 因为 S n ＝ 2a n － 2＝2n ＋1－2,所以 T n ＝S 1＋ S 2＋ ＋ S n ＝ 22＋ 23＋ ＋ 2n ＋1－ 2n－ 2 n n ＋2－ 4－ 2n . ＝－2n ＝ 2 1－ 2第 4 讲 数列的乞降1． B 分析：由题意，得数列{ a } 的通项公式为nn1＋1－1 1 －1a ＝ 42－ 1＝＝2 2n － 12n ＋1 ，nnnnn1 1－ 1所以数列 { a } 的前 n 项和 S ＝ 23 ＋1 11 1 113－5 ＋ 5－7＋ ＋ 2 －1－ 2 ＋ 1n n11n＝2 1－2n ＋ 1 ＝2n ＋ 1.应选B.2． A3． B 分析：设公差为 d . 由 5a 8＝ 8a 13，得 5( a 1＋ 7d ) ＝ 8( a 1＋12d ) ．解得 d ＝－ 613a 1. 由n11－ 3a 1641a ＝a ＋ ( n － 1) d ＝ a ＋ ( n －1) · 61≥0? n ≤ 3 ＝ 213. ∴数列 { a n } 的前 21 项都是正数，此后各项都是负数．故 S n 取最大值时， n 的值为 21. 应选 B.24． C 分析：由 S n ＝ n － 6n ，得 { a n } 是等差数列， ∴ a n ＝－ 5＋ ( n －1) ×2＝ 2n － 7. ∴当 n ≤3时， a n <0；当 n >3 时， a n >0.6n － n 2∴ T n ＝ 1≤ n ≤3，n 2－ 6n ＋ 18， n ＞ 3.11a 1 1－ 65．Ba 1 为首项， 公比为 2分析：由题意， 知每天所走行程形成以2的等比列， 则11－ 2＝378. 解得 a 1＝ 192，则 a 2＝ 96，即次日走了96 里路．应选 B.6. 20分析：由题意， 得 a n ＝ ( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋ ( a n －2－ a n －3) ＋ ＋ ( a 2－ a 1) ＋ a 1 11 ＝ ＋ － 1＋－2＋ ＋ 1＝nn ＋.nnn21＝211所以 nn ＋＝2× n －n ＋ 1 .a n1 1 1 1 ＋ ＋1 1 ＝2×1－ 12010－ ＋ － － 11 S ＝2× 1 2 2 3 10 11 ＝ 11.7. 2－ ＋2 n ( n ≥2) 行的第 2 个数构成数列 { a } ，则有 a － a ＝2， a － a nn分析：设第n 32 4322＋ n －1＝ 4， ， a n － a n － 1＝ n －1，相加，得a n －a 2＝ 2＋ 3＋ ＋ ( n － 1) ＝ ×(n 2＋－n ＋－2－ ＋2－2) ＝＝， a ＝2＋.2n22n *n nnnn8．n ·2( n ∈ N )分析：由 S ＝ 2a－2，适当 n ＝1 时，S 1＝ a 1＝ 2；当 n ≥2时，S ＝ 2( Sn － 1n，－S) －2S nS n － 1nS n即 2n － 2n － 1 ＝ 1. 所以数列S是首项为1 ，公差为1的等差数列，则2n ＝ n ， S ＝2nnnn ＝ 1 时，也切合上式，所以n *n ·2( n ≥2) ．当 S n ＝ n ·2( n ∈ N ) ．9．解： (1) 当 ＝1 时，由 6 1＋1＝91，得a 11＝ .n a a 3当≥2时，由 6n ＋ 1＝ 9 n ，得 6 n － 1＋ 1＝ 9nn － 1，S a S a两式相减，得 6( S n － S n －1 )＝9( a n － a n － 1) ，即 6a n ＝ 9( a n － a n －1) ．∴ a n ＝ 3a n － 1.1∴数列 { a n } 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，其通项公式为a n ＝ 1 n － 1n －23×3＝ 3 .(2) ∵ b n ＝ 1＝1 n － 2， a n3∴ { b n } 是首项为13，公比为 3的等比数列．1 n∴ T n ＝ b 1＋b 2＋ ＋ b n ＝31－39 1 n1＝ 2 1－ 3 .1－ 310．解： (1) 设数列 { a n } 的公差为 d ，{ b n } 的公比为1＋ 3d ＝ q 2，依题意，得 1＋ q ＋ q 2＝ 2＋ 5d ，d ＝ 1，解得q ＝ 2.所以 a n ＝1＋ ( n － 1) ＝ n ， b n ＝1×2n －1＝ 2n －1 .(2) 由 (1) 知， c n ＝a n b n ＝ nn ·2－1，则：0 1 2n －1 ， ①T n ＝1×2 ＋2×2＋3×2＋ ＋ n ×21 2n － 1n2 n ＝1×2＋2×2 ＋ ＋ ( －1)×2 ＋×2，②Tnn12n －1n①－②，得－ T n ＝ 2 ＋ 2 ＋2 ＋ ＋ 2 － n ·2＝q ，－2n1－2n n－ n ·2＝ (1 － n ) ·2－ 1.所以 T n ＝( n －1) ·2n ＋ 1.11． (1) 解：依题意，当 ≥2，可概括出n＝ n － 1＋ .naan所以 a n ＝( a n － a n －1) ＋ ( a n －1－ a n －2) ＋ ＋ ( a 2－ a 1) ＋ a 1.＋ －1 a n ＝ n ＋ ( n － 1) ＋ ＋ 2＋ 2＝ n2 n＋ 2＝ 2( n 2＋ n ) ＋ 1.查验当 n ＝ 1 时，上式也建立．12所以通项公式为 a n ＝ ( n ＋ n ) ＋ 1. (2) 证明：∵ ( a n －1) · b n ＝ 1，1 2＝ 2 1 1 n－ ∴ b ＝ a n － 1＝nn ＋ n n ＋ 1 . ∴ b 1 ＋ b 2 ＋ ＋ b n1 1 1 1 1 1 ＝2 1－ 2 ＋ 2－3 ＋ ＋ n －n ＋ 11＝ 2 1－ n ＋ 1 .1又 1－ n ＋1<1，∴ b 1＋ b 2＋ ＋ b n <2.第 5 讲 合情推理和演绎推理V11． D1∶3. 故 1.分析：正四周体的内切球与外接球的半径之比为＝ 27V 29192. 2 分析：类比祖暅原理， 可得两个图形的面积相等， 梯形面积为 S ＝2(1 ＋2) ×3＝ 2，9 所以图 X5-5-1(1) 的面积为2.3． (1)6 (2)124． 12－ 22＋32－ ＋ ( － 1)n ＋1n 2＝ ( － 1) n ＋1nn ＋2 2 2 225． S 4＝ S 1＋ S 2＋ S 3π2π n π1*6． cos 2n ＋ 1·cos 2n ＋ 1· · cos 2n ＋ 1＝ 2n ， n ∈ N 7．丙 分析：假如丙说的是谎话，则“甲得优异”是实话，又乙说“我得了优异”是 实话，所以矛盾； 若甲说的是谎话， 即“丙说的是实话”是假的， 则说明“丙说的是假的”， 即“甲没有得优异”是假的， 也就是说“甲得了优异”是真的， 这与乙说“我得了优异”是 实话矛盾； 若乙说的是谎话，即“乙没得优异”是真的， 而丙说“甲没得优异”为真， 则说 明“丙得优异”， 这与甲说“丙说的是实话”切合． 所以三人中说谎话的是乙， 得优异的同 学是丙．8.n m d n 分析：方法一，设数列 { a } 的公差为d ，则 d ＝ a n －a m b － a . 所以 a ＝ a m＝cn1 1 － m n －m m ＋n mn＋nd 1＝ a ＋ n ·b － a bn － am＝.n － m n － m类比推导方法可知：设数列{ b n } 的公比为 q ，由 b n ＝ b m qn －m，可知 d ＝ cqn －m. 所以 q ＝ n m d. cnn所以 b m ＋ n ＝ b m q n ＝c · n md＝n mdm .c c方法二， ( 直接类比 ) 设数列 { a n } 的公差为 d 1，数列 { b n } 的公比为 q ，则 a n ＝ a 1＋ ( n － 1) d 1，b ＝b qn － 1＝ nb － ma＝ n m d n. 因为 a，所以 bm.n1m ＋ n－m ＋ ncn m9．解： (1) 选择②，由sin 215°＋ cos 215°－ sin15 °cos15°＝ 1－ 1 s in30 °＝ 3 . 故这2 43个常数是 4.(2) 推行，获得三角恒等式2α ＋cos23sin (30 °－ α ) － sin α cos(30 °－ α) ＝ .4证明： sin 2α ＋ cos 2(30 °－ α ) － sin αcos(30 °－ α )＝ sin 2 α＋ (cos30 ° cos α＋ sin30 ° sin α ) 2－ sin α (cos30 °cos α ＋sin30 °sin α ) ＝ sin 2323 1 23 123 2αα＋cosα ＋sin α cos α＋ sinα －sin α cos α － sinα＝ sin42422423＋ 4cos α ＝ 4.310．解： (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，a 1＋ a 2＝ 5， 2a 1＋ d ＝ 5， a 1＝1，因为 即 解得a ＝ 7，a ＋ 2d ＝ 7，d ＝3.31所以 a ＝a ＋ ( n － 1) d ＝ 1＋ 3( n － 1) ＝ 3n － 2.n1所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3n － 2( n ∈ N * ) ．(2) 因为 1 ＝ 1 ＝ 1 1 1，n － n ＋ 3 － ＋ 1n n ＋ 13 － 2 3a a n n所以数列1的前 n 项和a n a n ＋ 1n＝1 ＋ 1 ＋1＋ ＋ 1＋ 1Sa 1a 2 a 2a 3 a 3a 4a n － 1a n a n a n ＋ 111 1 1 1 1 1 1 111111 ＝ 3 1－ 4 ＋3 4－ 7 ＋ 3 7－10 ＋ ＋ 3 3 －5－3 －2＋3 3 n － 2－3 ＋ 1nnn＝ 1 1－ 3 1 ＝ n .3 ＋ 1 3n ＋ 1n假定存在正整数m ， n ，且 1<m <n ，使 S ， S ， S 成等比数列，则2S ＝SS ，1m nm1n即m2＝ 1×n .3m ＋ 1n ＋1432所以 ＝－ 4m2.n 3m － 6m －1因为 n >0，所以 23m － 6m －1<0.2 3 因为 m >1，所以 1<m <1＋ 3 <3.因为 m ∈ N * ，所以 m ＝ 2.2－ 4m此时 n ＝ 3 2－ 6－1＝ 16.m m故存在知足题意的正整数 m ， n ，且只有一组值，即 m ＝2， n ＝ 16.第 6 讲 直接证明与间接证明1．A 分析：反证法的步骤第一步是假定命题的反面建立，而“起码有一个实根”的否定是“没有实根”．应选 A.2． C 分析：由题意，知 b 2－ ac < 3a ? b 2－ ac <3a 2? ( a ＋ c ) 2－ ac <3a 2? a 2＋ 2ac ＋c 2－ ac－ 3a 2<0? － 2a 2＋ ac ＋c 2<0? 2a 2－ ac － c 2>0? ( a － c )(2 a ＋ c )>0 ? ( a － c )( a － b )>0.3．等边 分析：由题意，得 2B ＝ A ＋C ，又 A ＋ B ＋ C ＝ π ，∴ B ＝π3 . 又 b 2＝ ac ，由余弦定理，得 b 2＝ a 2＋c 2－ 2ac cos B ＝ a 2＋ c 2－ac . ∴ a 2＋ c 2－2ac ＝ 0，即 ( a － c ) 2 ＝0. ∴ a ＝c . ∴ A＝C . ∴ A ＝ B ＝ C ＝π3. ∴△ ABC 为等边三角形．4．②3 3 x 在区间 (0 ， π ) 上是凸函数，且 A ， B ，C ∈ (0 ， π) ．5. 分析：∵ f ( x ) ＝ sin 2 f A ＋ f B ＋ f C A ＋ B ＋C π ∴3≤ f3＝ f 3 .A ＋ sinB ＋ sinC ≤3sinπ3 3即 sin 3 ＝2 .3 3∴ sin A ＋ sin B ＋ sin C 的最大值为 2 .6．若①③④，则② ( 或若②③④，则① )分析：依题意可得以下四个命题：(1) m ⊥n ， α ⊥β ， n ⊥ β? m ⊥ α ； (2) m ⊥ n ， α ⊥ β ，m ⊥ α ? n ⊥ β ；(3) m ⊥n ， n ⊥ β， m ⊥ α? α ⊥ β； (4) α ⊥β ， n ⊥ β ， m ⊥ α ? m ⊥ n .不难发现，命题 (3)(4) 为真命题，而命题 (1)(2) 为假命题．7． lg 15 ＝ 3 － ＋分析：假如 lg 3 ＝ 2 a － b 是正确的，那么lg 9 ＝ 2lg 3 ＝2(2 a －a b c。
2019高考数学一轮复习(文理通用)课件：第5章 数列 第3讲
4．(2018· 黑龙江大庆开学考)等比数列{an}的各项均为正数，且 a1＋2a2＝4， a2 4＝4a3a7，则 a5＝ 导学号 58532812 ( A ) 1 A．8 1 B．16 C．20 D．40
4
a5 2 [ 解析] 由等比数列性质知 a2 ＝ 4 a · a ＝ 4 a ，又 a >0 ，∴ a ＝ 2 a ，故 q ＝ 4 3 7 5 n 4 5 a＝ 1 4 1 ，又 a ＋ 2 a ＝ 2 a ＝ 4 ，∴ a ＝ 2 ，∴ a ＝ a q 1 2 1 1 5 1 ＝ .故选 A． 2 8
时，{an}是递增数列． 时，{an}是递减数列．
时，{an}为常数列．
④当 q<0 时，{an}为摆动数列．
1．等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零． (2)由 an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同． S偶 (4)Sm＋n＝Sn＋q Sm＝Sm＋q Sn；若数列{an}的项数为 2n，则 ＝q；若项数为 S奇
S4 3．(2018· 广西柳州模拟)设等比数列{an}中，公比 q＝2，前 n 项和为 Sn，则a
3
的值 导学号 58532811 ( A ) 15 A． 4 15 B． 2 7 C．4 7 D．2
a11－q4 S4 15 2 [ 解析] S4＝ ＝15a1，a3＝a1q ＝4a1，∴a ＝ 4 ，选 A 项． 1－q 3
错位相减法 2．等比数列前 n 项和公式的推导方法___________________.
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”). 导学号 58532808 (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的比都是常数， 则这个数列是 等比数列．( × ) (2)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q 为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (3)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝ab.( × ) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × )
(福建专用)2019高考数学一轮复习课时规范练36数学归纳法理新人教A版
课时规范练36 数学归纳法一、基础巩固组1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n (2n+1)时,当n=1时的左边等于( )A.1B.2C.3D.42.如果用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n ,总有2n >n 3,那么验证不等式成立所取的第一个n 的最小值应该是( )A.1B.9C.10D.n>10,且n ∈N *3.用数学归纳法证明1++…+(n ∈N *)成立,其初始值至少应取( )12+1412n -1>12764A.7 B.8 C.9 D.104.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n ∈N *)”的过程如下:n 2+n 证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的.(2)假设当n=k 时,有<k+1,则当n=k+1时,k (k +1)=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(k +1)2+(k +1)=k 2+3k +2<k 2+4k +4(2)可知对于n ∈N *,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于( )A.从k 到k+1的推理过程没有使用归纳假设B.归纳假设的写法不正确C.从k 到k+1的推理不严密D.当n=1时,验证过程不具体5.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,x n +y n 能被x+y 整除”的第二步是( )A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3正确(k ∈N *)B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1正确(k ∈N *)C.假设n=k 时正确,再推n=k+1正确(k ∈N *)D.假设n ≤k (k ≥1)时正确,再推n=k+2时正确(k ∈N *)6.凸n 多边形有f (n )条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f (n+1)为( )A.f (n )+n+1B.f (n )+nC.f (n )+n-1D.f (n )+n-27.(2017河南郑州模拟)用数学归纳法证明不等式+…+的过程中,由n=k 1n +1+1n +21n +n >1324推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是 . 8.由下列不等式:1>,1+>1,1++…+,1++…+>2,……你能得到一个怎样的1212+1312+1317>3212+13115一般不等式?并加以证明.〚导学号21500741〛9.平面内有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这n 条直线把平面分割成(n 2+n+2)个区域.12二、综合提升组10.设f (x )是定义在正整数集上的函数,且f (x )满足:当f (k )≥k+1成立时,总能推出f (k+1)≥k+2成立,则 下列命题总成立的是( )A.若f (1)<2成立,则f (10)<11成立B.若f (3)≥4成立,则当k ≥1时,均有f (k )≥k+1成立C.若f (2)<3成立,则f (1)≥2成立D.若f (4)≥5成立,则当k ≥4时,均有f (k )≥k+1成立11.在数列{a n }中,a 1=,且S n =n (2n-1)a n ,通过求a 2,a 3,a 4,猜想a n 的表达式为( )13A. B.1(n -1)(n +1)12n (2n +1)C. D.1(2n -1)(2n +1)1(2n +1)(2n +2)12.(2017广西南宁质检)用数学归纳法证明不等式:·…·.2+12·4+142n +12n >n +1〚导学号21500742〛三、创新应用组13.已知f (n )=1++…+(n ∈N *),经计算得f (4)>2,f (8)>,f (16)>3,f (32)>,则其一般结论为 12+131n 5272. 14.(2017山东济南模拟)已知函数f (x )=a ln x+(a ∈R ).2x +1(1)当a=1时,求f (x )在[1,+∞)内的最小值;(2)若f (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;(3)求证:ln(n+1)>+…+(n ∈N *).13+15+1712n +1课时规范练36 数学归纳法1.C 在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n (2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.2.C 210=1 024>103.故选C.3.B 左边=1++…+=2-,12+1412n -1=1-12n 1-1212n -1代入验证可知n 的最小值是8.故选B .4.A 证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大,而没有使用归纳假设(k +1)2+(k +1)<k+1.k (k +1)5.B 因为n 为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第k 个正奇数也成立,本题即假设n=2k-1正确,再推第k+1个正奇数,即n=2k+1正确.6.C 边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C .7 不等式的左边增加的式子是,.1(2k +1)(2k +2)12k +1+12k +2‒1k +1=1(2k +1)(2k +2)故填1(2k +1)(2k +2).8.解 一般结论:1++…+(n ∈N *),证明如下:12+1312n -1>n 2(1)当n=1时,由题设条件知不等式成立.(2)假设当n=k (k ∈N *)时不等式成立,即1++…+12+1312k -1>k 2.则当n=k+1时,1++…++…++…+12+1312k -1+12k 12k +1-1>k 2+12k +12k +112k +1-1>k 2+12k +1+12k +1+…+12k +1⏟2k 个=k 2+2k 2k +1=k +12.所以当n=k+1时不等式成立.根据(1)和(2)可知不等式对任何n ∈N *都成立.9.证明 (1)当n=1时,一条直线把平面分成两个区域,又(12+1+2)=2,12×所以当n=1时命题成立.(2)假设当n=k 时,命题成立,即k 条满足题意的直线把平面分割成了(k 2+k+2)个区域.12则当n=k+1时,k+1条直线中的k 条直线把平面分成了(k 2+k+2)个区域,第k+1条直线被这k 12条直线分成k+1段,每段把它们所在的区域分成了两块,因此增加了k+1个区域,所以k+1条直线把平面分成了(k 2+k+2)+k+1=[(k+1)2+(k+1)+2]个区域.1212所以当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)知,对一切的n ∈N *,此命题均成立.10.D 当f (k )≥k+1成立时,总能推出f (k+1)≥k+2成立,说明如果当k=n 时,f (n )≥n+1成立,那么当k=n+1时,f (n+1)≥n+2也成立,所以如果当k=4时,f (4)≥5成立,那么当k ≥4时,f (k )≥k+1也成立.11.C 由a 1=,S n =n (2n-1)a n ,得S 2=2(2×2-1)a 2,即a 1+a 2=6a 2.13解得a 2=,S 3=3(2×3-1)a 3,即+a 3=15a 3.115=13×513+115解得a 3=135=15×7.同理可得a 4=,故猜想a n 的表达式为163=17×91(2n -1)(2n +1).12.证明 (1)当n=1时,左式=,右式=,左式>右式,所以结论成立.322(2)假设当n=k (k>1,k ∈N *)时结论成立,即…,则当n=k+1时,2+12·4+14··2k +12k >k +1…2+12·4+14··2k +12k ·2k +32(k +1)>k +1·2k +32(k +1)=2k +32k +1.要证当n=k+1时结论成立,只需证,2k +32k +1>k +2即证,2k +32>(k +1)(k +2)由基本不等式可得成立,故成2k +32=(k +1)+(k +2)2>(k +1)(k +2)2k +32k +1>k +2立.所以当n=k+1时,结论成立.由(1)(2)可知n ∈N *时,不等式…成立.2+12·4+14··2n +12n >n +113.f (2n )>(n ≥2,n ∈N *) 因为f (22)>,f (23)>,f (24)>,f (25)>,所以当n ≥2,n ∈N *时,有n +2242526272f (2n )>故填f (2n )>(n ≥2,n ∈N *).n +22.n +2214.(1)解 当a=1时,f (x )=ln x+,定义域为(0,+∞).2x +1因为f'(x )=>0,1x ‒2(x +1)2=x 2+1x (x +1)2所以f (x )在(0,+∞)内是增函数,所以f (x )在[1,+∞)内的最小值为f (1)=1.(2)解 f'(x )=,因为f (x )存在单调递减区间,所以f'(x )<0有a x ‒2(x +1)2=ax 2+2(a -1)x +a x (x +1)2正数解,即ax 2+2(a-1)x+a<0有正数解.①当a=0时,显然成立.②当a<0时,h (x )=ax 2+2(a-1)x+a 是开口向下的抛物线,所以ax 2+2(a-1)x+a<0有正数解.③当a>0时,h (x )=ax 2+2(a-1)x+a 是开口向上的抛物线,即方程ax 2+2(a-1)x+a=0有正根.因为x 1x 2=1>0,所以方程ax 2+2(a-1)x+a=0有两正根,所以解得0<a<{Δ>0,x 1+x 2>0,12.综合①②③知,a 的取值范围是(-∞,12).(3)证明 ①当n=1时,ln(n+1)=ln 2.因为3ln 2=ln 8>1,所以ln 2>,即当n=1时,不等式成立.13②假设当n=k 时,ln(k+1)>+…+成立.13+1512k +1则当n=k+1时,ln(n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln +…++ln k +2k +1>13+1512k +1k +2k +1.根据(1)的结论可知,当x>1时,ln x+>1,即ln x>2x +1x -1x +1.令x=,所以ln ,则有ln(k+2)>+…+,即当n=k+1时,k +2k +1k +2k +1>12k +313+1512k +1+12k +3不等式也成立.由①②可知不等式成立.。
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练案[36]第二讲 等差数列及其前n 项和A 组基础巩固一、选择题1．(2018·河北邯郸摸底)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝12，公差d ＝2，则a 9＝导学号 58534463( D )A ．14B ．15C ．16D ．17[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝12⇒2a 1＋5d ＝12d ＝2⇒a 1＝1∴a 9＝a 1＋8d ＝1＋16＝17.故选D ．2．(2018·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，S 5＝25，a 2＝3，则a 7＝导学号 58534464( A )A ．13B ．12C ．15D ．14[解析] ∵S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，∴a 3＝5，又a 2＝3，∴d ＝a 3－a 2＝2，∴a 7＝a 3＋4d ＝5＋8＝13.故选A ．3．(文)在等差数列{a n }中，若a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝导学号 58534465( B ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14[解析] 由等差数列的性质，得a 1＋a 7＝a 3＋a 5.因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B ．(理)(2018·河南豫南豫北联考)等差数列{a n }中，a 4＋a 10＋a 16＝30，则a 18－2a 14的值为导学号 58534466( D )A ．20B ．－20C ．10D ．－10[解析] ∵a 4＋a 10＋a 16＝3a 10＝30，∴a 10＝10， 又2a 14＝a 18＋a 10，∴a 18－2a 14＝－a 10＝－10，故选D ．4．(2017·山东师大附中)已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝导学号 58534467( C )A ．138B ．135C ．95D ．23[解析] 由等差数列性质得2a 3＝4,2a 4＝10.即a 3＝2，a 4＝5，公差d ＝3，a 1＝2－6＝－4∴S 10＝－4×10＋10×92×3＝95，故选C ．5．(2018·辽宁沈阳东北育才学校模拟)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 4＋a 8＝25，则S 9＝导学号 58534468( B )A ．60B ．75C ．90D ．105[解析] 由等差数列的性质知a 3＋a 4＋a 8＝3a 5＝25∴a 5＝253，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝75.故选B ．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9等于导学号 58534469( A )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2[解析] S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 3＋a 6)．因为S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以d ＝a 7－a 6＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－2－4＝－6.故选A ．7．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为导学号 58534470( A )A ．13B ．12C ．11D ．10[解析] 因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180. 又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， 所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60.所以S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ·602＝390，即n ＝13.8．(2017·云南玉溪一中期中)《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布.导学号 58534471( B )A ．12B ．815C ．1631D ．1629[解析] 设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．故选B ．9．(2018·广东佛山一中期中)设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 15，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为导学号 58534472( C )A ．S 23B ．S 24C ．S 25D ．S 26[解析] 设等差数列的公差为d ，∵3a 8＝5a 15 ∴3a 1＋21d ＝5a 1＋70d ，∴a 1＋2412d ＝0∵a 1>0，∴d <0，∴a 1＋24d ＝a 25>0，a 1＋25d ＝a 26<0，∴数列{S n }最大项为S 25.故选C ． 二、填空题10．(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝__10__.导学号 58534473[解析] 由等差数列的性质知a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，∴a 5＝5，∴a 2＋a 8＝2a 5＝10. 11．(2015·陕西)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__5__.导学号 58534474[解析] 由题意知，1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项，故a 1＋2 0152＝1 010，解得a 1＝5.12．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为__9__.导学号 58534475[解析] 解法一：∵S 4＝1，S 8＝4，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成首项为1，公差为2的等差数列，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝1＋2×(5－1)＝9.解法二：由等差数列的性质知{S nn }是等差数列，且其公差d ＝S 88－S 448－4＝12－144＝116∴S 2020＝S 88＋12d ＝12＋34＝54，∴S 20＝25，同理S 16＝16，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9. 三、解答题13．(2017·辽宁沈阳三模)已知等差数列{a n }，a 1＝－11，公差d ≠0，且a 2，a 5，a 6成等比数列.导学号 58534476(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵a 2，a 5，a 6成等比数列，∴a 25＝a 2a 6. 即：(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )∴2a 1d ＋11d 2＝0，又∵d ≠0，a ＝－11，∴d ＝2 ∴a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13.(2)设数列{a n }有前n 项和为S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－12n ，∵a n ＝2n －13∴n ≤6时，a n <0；n ≥7时，a n >0 ∴当n ≤6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝－S n ＝12n －n 2.当n ≥7时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＋|a 7|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋…＋a n ＝－S 6＋S n －S n ＝S n －2S 6＝n 2－12n ＋72综上：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12n －n 2(n ≤6)n 2－12n＋72(n ≥7)B 组能力提升1．(文)(2018·内蒙古巴彦淖尔一中期中)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是导学号 58534477( A )A ．15B ．30C ．31D ．64[解析] 解法一：由等差数列性质知a 7＋a 9＝a 4＋a 12，即16＝1＋a 12，∴a 12＝15，故选A ．解法二：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋14d ＝16，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎨⎧a 1＝－174d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝15.故选A ．(理)(2018·湖北咸宁联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 5＝10，则{a n }的公差为导学号 58534478( C )A ．23B ．12C ．13D ．14[解析] 由题意知a 1＋a 2＝3①，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝10，即a 1＋a 5＝4②，②－①得3d ＝1，∴d ＝13，故选C ．2．(2017·福建漳州一中期中)在等差数列{a n }中，若S 9＝18，S n ＝240，a n －4＝30，则n 的值为导学号 58534479( B )A ．14B ．15C ．16D ．17[解析] 由等差数列的性质知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝18，∴a 5＝2，又a n －4＝30.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a n －4＋a 5)2＝16n ＝240∴n ＝15.故选B ．3．(2017·安徽芜湖质检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为导学号 58534480( B )A ．14B ．16C ．24D ．40[解析] 由等差数列性质知S 10＝5(a 1＋a 10)＝5(a 3＋a 8)＝40∴a 3＋a 8＝8，又a 3>0，a 8>0∴a 3·a 8≤(a 3＋a 82)2＝16.(当且仅当a 3＝a 8即a n ＝4时取等号)故选B ．4．(2018·黑龙江哈尔滨六中期中)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 6＝S 11，则必有导学号 58534481( B )A ．a 17＝0B ．a 6＋a 12＝0C ．S 17>0D ．a 9<0[解析] 由S 6＝S 11得a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＝0 ∴a 9＝0，a 6＋a 12＝2a 9＝0.故选B ．5．(文)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.导学号 58534482 (1)求证：{1S n }成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝2，故{1S n }是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.(理)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.导学号 58534483(1)证明：数列{a n2n }是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意的n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．[解析] (1)证明：当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4. S n ＝2a n －2n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n ，两式相减得 a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝1，又a 121＝2，所以数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝n ·2n ＋2n .因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于5－λ>2n －32n .由题意知λ<5－(2n －32n )max . 记b n ＝2n －32n ，b 1＝－12，b 2＝14，当n ≥2时，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n＝2n －14n －6，则b 3b 2＝32，即b 3>b 2，又显然当n ≥3时，b n ＋1b n <1，所以(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<378.。