试题精选-高中数学选修2-2同步练习+综合测试题31份合集

选修2-2 1◎1 第1课时 变化率问题一、 选择题1◎在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )A ◎ 大于零B ◎小于零C ◎ 等于零D ◎不等于零[答案] D[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D ◎2◎设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ◎ f (x 0＋Δx )B ◎f (x 0)＋ΔxC ◎ f (x 0)·ΔxD ◎f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D ◎3◎已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0◎9的平均变化率为( )A ◎ 3B ◎0◎29C ◎2◎09D ◎2◎9[答案] D[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2◎f (－0◎9)＝－(－0◎9)2＋(－0◎9)＝－1◎71◎∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2◎9，故应选D ◎4◎已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1◎3，则直线AB 的斜率为( ) A ◎ 2B ◎2◎3C ◎2◎09D ◎2◎1[答案] B[解析] f (1)＝5，f (1◎3)＝5◎69◎∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2◎3，故应选B ◎5◎已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ◎2－ΔxB ◎－2－ΔxC ◎ 2＋ΔxD ◎(Δx )2－2·Δx[答案] B[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0， ∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2， ∴f (2＋Δx )－f (2)2＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B ◎6◎已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ◎ 2B ◎2xC ◎2＋ΔxD ◎2＋(Δx )2[答案] C [解析]Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx＝2＋Δx ◎故应选C ◎7◎质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3◎3内，质点运动的平均速度为( )A ◎6◎ 3B ◎36◎3C ◎3◎ 3D ◎9◎3[答案] A[解析] S (3)＝12，S (3◎3)＝13◎89，∴平均速度v ＝S (3.3)－S (3)3.3－3＝1.890.3＝6◎3，故应选A ◎8◎在x ＝1附近，取Δx ＝0◎3，在四个函数①y ＝x 、 ②y ＝x 2、 ③y ＝x 3、 ④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ◎④B ◎③C ◎ ②D ◎①[答案] B[解析] Δx ＝0◎3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2◎3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3◎99；④y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013◎∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B ◎9◎物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，则物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ◎v 0B ◎Δts (t 0＋Δt )－s (t 0)C ◎s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD ◎s (t )t[答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C ◎10◎已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(Δx )2C ◎ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2D ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14(1＋Δx )2[答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝14(Δx ＋1)2，故应选C ◎二、 填空题11◎已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________◎[答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12ΔxΔx＝(Δx )2＋6Δx ＋12◎12◎在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x的平均变化率为________◎[答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29◎13◎函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________◎[答案] 6－2[解析]Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2◎14◎已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0◎1时，割线AB 的斜率是________◎[答案] 5 4◎1[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5◎当Δx ＝0◎1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4◎1◎三、 解答题15◎已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率◎[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2◎函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2◎函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)－1－(－3)＝－2◎函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2◎16◎过曲线f (x )＝2x2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14时割线的斜率◎[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝ΔyΔx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225◎17◎求函数y ＝x 2在x ＝1、 2、 3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大◎[解析] 在x ＝2附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ◎对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3， ∴在x ＝3附近的平均变化率最大◎18◎(2010·杭州高二检测)路灯距地面8m ，一个身高为1◎6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯◎(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率◎[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ， 即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x ◎(2)84m/min ＝1◎4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1◎4×10－1◎4×0＝14，f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72◎所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7214＝14◎即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为14◎选修2-2 1◎1 第2课时 导数的概念一、 选择题1◎函数在某一点的导数是( )A ◎在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ◎一个函数C ◎一个常数，不是变数D ◎函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C ◎2◎如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( )A ◎ 6B ◎18C ◎ 54D ◎81[答案] B[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt＝18＋3Δt ◎当Δt →0时，ΔsΔt→18，故应选B ◎3◎y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )A ◎ 2xB ◎2C ◎ 2＋ΔxD ◎1[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2∴ΔyΔx＝2＋Δx 当Δx →0时，ΔyΔx →2∴f ′(1)＝2，故应选B ◎4◎一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )A ◎37B ◎38C ◎39D ◎40[答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt ＝40＋4Δt ，∴s ′(5)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0(40＋4Δt )＝40◎故应选D ◎5◎已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( )A ◎Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量B ◎Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ◎f (x )在x 0处的导数记为y ′ D ◎f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误◎故应选C ◎6◎函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( )A ◎f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)B ◎f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ◎f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxD ◎f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确◎故应选D ◎7◎函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( )A ◎ 4aB ◎2a ＋bC ◎ bD ◎4a ＋b[答案] D[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c Δx＝4a ＋b ＋a Δx ，∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0(4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b ◎故应选D ◎8◎如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ◎ 圆B ◎抛物线C ◎ 椭圆D ◎直线[答案] D[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D ◎9◎一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )A ◎ 0B ◎3C ◎ －2D ◎3－2t[答案] B[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2Δt ＝3－Δt ，∴s ′(0)＝li m Δt →0 ΔsΔt＝3◎故应选B ◎10◎设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a等于( ) A ◎－1aB ◎2aC ◎－1a2D ◎1a2[答案] C[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a ＝li m x →a 1x －1a x －a＝li m x →aa －x (x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1a2◎二、 填空题11◎已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝________◎[答案] －11，－112[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；li m x →x 0f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－112◎12◎函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________◎[答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1◎∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0◎13◎已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______◎[答案] 2[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx＝a ◎∴a ＝2◎14◎已知f ′(x 0)＝li m x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →32x －3f (x )x －3的值是________◎[答案] 8[解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3 ＝lim x →32x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3◎由于f (3)＝2，上式可化为li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3＝2－3×(－2)＝8◎三、 解答题15◎设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)◎[解析] 由导数定义有f ′(x 0) ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0 Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，16◎枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5◎0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1◎6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度◎[解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5◎0×105m/s 2，t 0＝1◎6×10－3s ，∴at 0＝800m/s ◎所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s ◎17◎在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)ΔyΔx(2)f ′(1)◎[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx＝2＋Δx ◎(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2◎18◎函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数◎若有，求出来，若没有，说明理由◎[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2(x ≥0)－x －x 2(x <0)Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )＝⎩⎪⎨⎪⎧Δx ＋(Δx )2(Δx >0)－Δx －(Δx )2(Δx <0)∴lim x →0＋ Δy Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1， lim Δx →0－ Δy Δx ＝lim Δx →0－(－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－ Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy Δx无极限◎∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导◎(x →0＋表示x 从大于0的一边无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)选修2-2 1◎1 第3课时 导数的几何意义一、 选择题1◎如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ◎ f ′(x 0)＞0B ◎f ′(x 0)＜0C ◎ f ′(x 0)＝0D ◎f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0◎故应选B ◎2◎曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ◎ 1B ◎π4C ◎ 54πD ◎－π4[答案] B[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(12x 2－2)Δx ＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1◎∴切线的倾斜角为π4，故应选B ◎3◎在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ◎ (0,0)B ◎(2,4)C ◎ ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [答案] D[解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14◎4◎曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ◎ y ＝3x －4B ◎y ＝－3x ＋2C ◎y ＝－4x ＋3D ◎y ＝4x －5[答案] B[解析] y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3◎由点斜式有y＋1＝－3(x－1)◎即y＝－3x＋2◎5◎设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )A◎ 2 B◎－1C◎ 1 D◎－2[答案] B[解析] limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0f(1－2x)－f(1)－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B◎6◎设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A◎不存在B◎与x轴平行或重合C◎与x轴垂直D◎与x轴斜交[答案] B[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B◎7◎已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )A◎ 3,3 B◎ 3，－1C◎－1,3 D◎－1，－1[答案] B[解析] 由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B◎8◎曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( ) A◎ (1,0)或(－1，－4) B◎ (0,1)C◎ (－1,0) D◎ (1,4)[答案] A[解析] ∵f(x)＝x3＋x－2，设x P＝x0，∴Δy＝3x20·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴ΔyΔx＝3x20＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3x20＋1，又k＝4，∴3x20＋1＝4，x20＝1◎∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故应选A◎9◎设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为( )A ◎⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πB ◎⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πC ◎⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πD ◎⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π[答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx ＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3， ∴tan α＝3x 20－3≥－3◎∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π◎故应选A ◎10◎(2010·福州高二期末)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ◎[－1，－12]B ◎[－1,0]C ◎ [0,1]D ◎[12，1][答案] A[解析] 考查导数的几何意义◎∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－12◎二、 填空题11◎已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________◎[答案] 4x －y －1＝0[解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2∴Δy Δx＝4＋Δx ◎∴li m Δx →0 Δy Δx ＝4◎即f ′(2)＝4◎又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2) 即4x －y －1＝0◎12◎若函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线的方程为________◎[答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)[解析] 由f (x )＝x －1x＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)◎∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －x ＋1xΔx＝li m Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x (x ＋Δx )＝1＋1x 2◎∴切线的斜率k ＝1＋11＝2◎∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)◎13◎曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个◎[答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个◎14◎曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________◎[答案] 3x －y －11＝0[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值◎设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2＋3◎ 当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0◎三、 解答题15◎求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程◎[解析] ∴y ′＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx＝lim Δx →0 －Δx x (x ＋Δx )－Δx x ＋Δx ＋x Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x ◎∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为：y ＋74＝－516(x －4)◎即5x ＋16y ＋8＝0◎16◎已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ◎(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )◎[解析] (1)y ′＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－3x 3＋3x Δx＝3x 2－3◎则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率k 1＝f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2◎(2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)， 则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0) 又直线l 过点P (1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)， ∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12◎故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94，于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14◎17◎求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1◎[解析] y ′＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx＝li m Δx →0 x ·Δx (x ＋Δx )－Δx(x ＋Δx )·x ·Δx＝li m Δx →0(x ＋Δx )x －1(x ＋Δx )x＝x 2－1x 2＝1－1x2＜1，∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1◎18◎已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2◎(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、 l 2和x 轴所围成的三角形的面积◎[解析] (1)y ′|x ＝1＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx ＝3， 所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3◎设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2◎因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229◎(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52◎又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0◎所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512◎选修2-2 1◎2 第1课时 几个常用的函数的导数一、 选择题1◎下列结论不正确的是( )A ◎若y ＝0，则y ′＝0B ◎若y ＝5x ，则y ′＝5C ◎若y ＝x －1，则y ′＝－x －2[答案] D2◎若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( )A ◎ 0B ◎－12C ◎2D ◎12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ，所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D ◎3◎抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ◎ x －y －1＝0B ◎x ＋y －3＝0C ◎ x －y ＋1＝0D ◎x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2，∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1◎∴切线方程为y －1＝x －2◎即x －y －1＝0◎4◎已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( )A ◎ 0B ◎3x 2C ◎ 8D ◎12[答案] D[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx＝lim Δx →0 6Δx 2＋12Δx Δx＝lim Δx →0 (6Δx ＋12)＝12，故选D ◎5◎已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ◎ 2B ◎－2C ◎ 3D ◎－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件◎故应选A ◎6◎函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ◎ 1B ◎2C ◎ 3D ◎4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx ＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4◎故应选D ◎7◎曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为( )A ◎ (－2，－8)B ◎(－1，－1)C ◎ (1,1)D ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ◎∴k ＝＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C ◎8◎已知f (x )＝f ′(1)x 2，则f ′(0)等于( )A ◎ 0B ◎1C ◎ 2D ◎3[答案] A[解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0◎故应选A◎9◎曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为( )A◎y＝－x B◎x＝0 C◎y＝0 D◎不存在[答案] B[解析] ∵y＝3 x∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0◎10◎质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是( )A◎14433B◎14334C◎12334D◎13443[答案] A[解析] Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)∴li m Δt →0 Δs Δt＝124t ·2t ＝144t 3， ∴s ′(3)＝14433 ◎故应选A ◎二、 填空题11◎若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为________◎[答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动◎12◎若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是________◎[答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)◎13◎过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45的切线的斜率为______________◎[答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x∴k ＝25×2＝45◎14◎(2010·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N ◎，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________◎[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21◎三、 解答题15◎过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程◎[解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上， 故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x ，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2)，即：x －22y ＋2＝0◎16◎质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264◎[解析] ∵s ＝1t2，∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t2＝t 2－(t ＋Δt )2t (t ＋Δt )＝－2t Δt －(Δt )2t (t ＋Δt ) ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3◎∴－2t 3＝－264，∴t ＝4◎即质点在第4秒的速度为－264◎17◎已知曲线y ＝1x◎(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程◎[解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2◎(1)显然P (1,1)是曲线上的点◎所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数◎即k ＝f ′(1)＝－1◎所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2◎(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上◎则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2◎则切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )◎①将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )◎解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4◎(3)设切点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，则切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33，A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，3－3◎代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)◎整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233◎18◎求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积◎[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1◎∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示◎∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34◎选修2-2 1◎2◎2 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、 选择题1◎曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ◎ 30°B ◎45°C ◎ 135°D ◎60°[答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°◎2◎设f (x )＝13x 2－1x x，则f ′(1)等于( )A ◎－16B ◎56C ◎ －76D ◎76[答案] B3◎若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ◎ 4x －y －3＝0B ◎x ＋4y －5＝0C ◎ 4x －y ＋3＝0D ◎x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0◎4◎已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A ◎193B ◎163 C ◎103D ◎133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163◎∴选B ◎5◎已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ◎ 0秒、 2秒或4秒B ◎0秒、 2秒或16秒C ◎2秒、 8秒或16秒 D ◎0秒、 4秒或8秒[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8◎故选D ◎6◎(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ◎ y ＝x －1B ◎y ＝－x －1C ◎ y ＝2x －2D ◎y ＝－2x －2[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题◎由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A ◎7◎若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ◎π2B ◎C ◎ 钝角D ◎锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C ◎8◎曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、 直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A ◎π22B ◎π2C ◎2π2D ◎12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22◎9◎设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ◎sin xB ◎－sin xC ◎ cos xD ◎－cos x[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x ◎故选D ◎10◎f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、 g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ◎ f (x )＝g (x )B ◎f (x )－g (x )为常数C ◎f (x )＝g (x )＝0D ◎f (x )＋g (x )为常数[答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数◎二、 填空题11◎设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________◎[答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝0◎12◎设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________◎[答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3◎13◎曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______◎[答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32◎14◎已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________◎[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1◎三、 解答题15◎求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x◎[解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ；(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2◎16◎已知两条曲线y ＝sin x 、 y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直◎并说明理由◎[解析] 由于y ＝sin x 、 y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的， ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直◎17◎已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2◎直线l 与C 1、 C 2都相切，求直线l 的方程◎[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)◎对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21◎①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4◎②∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4， 解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0◎∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4◎18◎求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1◎[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0 可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3◎(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数， 则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1 若想对任意x 方程都成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1◎选修2-2 1◎2◎2 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、 选择题1◎函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ◎ 1B ◎2C ◎ 3D ◎4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4◎2◎若对任意x ∈R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )＝( )A ◎x 4B ◎x 4－2C ◎4x 3－5D ◎x 4＋2[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝4x 3◎∴f (x )＝x 4＋c ，又f (1)＝－1∴1＋c ＝－1，∴c ＝－2，∴f (x )＝x 4－2◎3◎设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N ◎)的前n 项和是( )A ◎n n ＋1 B ◎n ＋2n ＋1 C ◎nn －1D ◎n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， 即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴数列{1f (n )}(n ∈N ◎)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 故选A ◎4◎二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、 二、 三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ◎第一象限B ◎第二象限C ◎ 第三象限D ◎第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、 三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a，顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a，－b 24a 在第三象限，故选C ◎5◎函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ◎6x 5＋12x 2B ◎4＋2x 3C ◎2(2＋x 3)2D ◎2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6， ∴y ′＝6x 5＋12x 2◎6◎(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ◎ －1B ◎－2C ◎ 2D ◎[答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B ◎7◎设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( )A ◎ 0B ◎－1C ◎ －60D ◎60[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60◎8◎函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( )A ◎22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ◎cos2x －sin2xC ◎sin2x ＋cos2xD ◎22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4◎9◎(2010·高二潍坊检测)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ◎3B ◎2C ◎1D ◎12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3◎10◎设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ◎－15B ◎C ◎15D ◎5[答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x ) ∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0) 又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x ) 即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0 故f ′(5)＝f ′(0)＝0◎故应选B ◎二、 填空题11◎若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________◎[答案]2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，1＋sin2x[解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4◎φ[f (x )]＝1＋sin2x ◎12◎设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝。