第2章 流体静力学

第2章 流体静力学
第2章 流体静力学
★特点:τ=0 ★重点掌握:p（压强）、P （压力）的计算
§2.1平衡流体中的应力特征

特征1（方向性）：平衡流体中的应力p⊥→作用面。
A
B
C
D F
E
§2.1平衡流体中的应力特征

特征2（大小性）：平衡流体内任一点的压强p与作用 方位无关。 z psDyDs

水平分力
d Px d P cos q g h d A cos q g h d A x
积分得
Px
dP
Ax
x
g
hdA
Ax
x
g hc A x p c A x
§2.7 静止液体 作用在曲面上的总压力

铅垂分力
d Pz d P sin q g h d A sin q g h d A z
合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和
求得。对OX轴取矩
Py
D


A
y d P g sin y d A
2 A
d P gy sin d A
§2.6 静止液体 作用在平面上的总压力
式中

A
y d A J x 为受压面A对ox轴的惯性矩。
2
化简上式， 故
yD
Jx yc A
或z p z0 p0 c
z0 z
z p0
h
p p0 g ( z z0 )
y o(x)
g
g
§2.3 重力作用下 流体静压强的分布规律
二、压强的计量
绝对压强 ★绝对压强不可为负

相对压强（计示压强、表压强） ★相对压强可正可负

真空压强（真空值） ★真空压强恒为正值

例题 1
p0
y
p ( g(
o

2
x
2 2 2

2
A g
x
y gz ) c
2
2
2 r z) c

o x y
x
x
2
y r A
y
2
2g
r
2
§2.5 液体的相对平衡
代入定解条件：当z=0，r=0时，p=pa，则c=pa。
p pa g (

2
r
2
z)
2g
2.等压面方程
§2.3 重力作用下 流体静压强的分布规律
三、液体静压强分布图示
1.绘制液体静压强分布图的知识点 流体静力学基本方程 静止流体中的应力特征（大小性、方向性） 2.液体静压强分布图的绘制方法
h1
g h1
h
h2
h
gh
g ( h1 h 2 )
gh
§2.3 重力作用下 流体静压强的分布规律
四、流体静力学基本方程的几何意义
z y
1.压强分布
p p a ( ax gz )
2.等压面方程
p pa ax gz c

( 斜平面 a g x
)
自由液面方程：
z0
§2.5 液体的相对平衡
3.与绝对静止情况比较 压强分布 绝对静止： p p a gz f ( z )
相对静止：

p pa g (
a g
x z ) f ( x,z )
等压面 绝对静止： 相对静止：
z c ( 水平面 )
z
a g
xc
( 斜平面 )
§2.5 液体的相对平衡
二、液体随容器作等角速度旋转运动 建立如图所示动坐标系，则
z
ω
fx x
1.压强分布
2
fy y
2
fz g

微分方程： f x d x f y d y f z d z 0 或 f d s 0 性质 等压面恒与质量力正交（证明）；


两种流体的交界面为等压面。
§2.3 重力作用下 流体静压强的分布规律
一、流体静力学基本方程
将 f x 0、 f y 0、 f z g 代入 d p ( f x d x f y d y f z d z ) 积分得 p 0 g ( z 0 z ) p 0 gh

yc
Jc yc A
yc
引入：平行移轴公式 J x J c yc A
§2.7 静止液体 作用在曲面上的总压力
★实际工程背景
弧形闸门 双曲拱坝
§2.7 静止液体 作用在曲面上的总压力
双曲拱坝 贮油罐
§2.7 静止液体 作用在曲面上的总压力
一、总压力大小
d P gh dA
§2.7 静止液体 作用在曲面上的总压力

2
r
2
z
p pa
2g
g
c ( 旋转抛物面
)
自由液面方程：
z0

2
r
2
2g
§2.5 液体的相对平衡
3.与绝对静止情况比较 压强分布 绝对静止： p p a gz f ( z ) 相对静止：

p pa g(

2
r
2
z ) f ( x, y,z )
例题3
[例3] 试绘制图中abc曲面上的压力体。
a
b 水 水 c
d/2
[解]因abc曲面左右两侧均有水的作用，故应分别考虑。
d
例题3

考虑左侧水的作用
a a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
ab段曲面(实 压力体)
bc段曲面(虚 压力体)
阴影部分相 互抵消
abc曲面(虚 压力体)
例题3

考虑右侧水的作用
a
b
p0 h1
A
h
A
hp
ρ
g
1
2
g
hp
p
h
g
p
§2.4 流体压强的量测
二、U形管压差计 作等压面M-N，则
p M p A g (h h p ) p N p B g (Dz h) g p h p
由pM =pN得A、B两压源的压强差
p A p B g D z (g
p
g )h p
四、压力体概念 构成规则 虚实性
例题3
例题4
例题5
例题1
[例1]图示为量测容器中A点压强的真空计。已知h1=1m,h2=2m，试求A点的 真空压强 p v 。 [解]在空气管段两端应用流体静力学 空气 基本方程得
p A g h1 p a g h 2
A 水
p v p a p A g ( h 2 h1 ) 1000 9 . 8 ( 2 1) 9800 Pa
[解] 建立roz运动坐标系
据p p a g (

2
r z ) 得铸件内任一点的相对压强分布
2
2g
p pa g (

2
r z)
2
2g
d 2 , z h
对A点： 又：
p pA,r

2 n 60
n
30
代入数据得：
p A p a 1018 . 44 kPa
2 3
R R (H
3
R 3
)
H
FT=PZ/N =ρgVP/N
ρ
例题5
[例3]求作用在浮体（如船）上的静水总压力。 吃水线
[解]浮体前后、左右受力分别相互抵消，故只受有铅垂分力，可用 压力体概念求解，即
F pz g
( )
——阿基米德浮力
阿基米德浮力定律
叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻。 他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重 国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题。 回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解。 一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水 声，灵感一下子冒了出来。他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“发现了，发现 了”。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着"真疯了，真疯了"，便随后追了出去。街上的人不知发生了 什么事，也都跟在后面追着看。 灵感出自萦绕在心头的难题。原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法： 阿基米德浮力定律：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同。 如果把王冠放到水里，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假。 阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里， 白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比 金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头 承认，王冠里确实掺了白银。烦人的王冠之谜终于解开了。
c
bc段曲面(实 压力体)
例题3

合成
a a a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
左侧水的作 用
右侧水的作 用
abc曲面(虚 压力体)
例题4
z
Pz
NF T
H
ρ
例题4
F T = P Z /N
其中Pz为作用在上半球面上的铅垂分力，可用压力体概念求解。故