26.1二次函数及其图像(A)

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考点五:二次函数������ = ������(������ − ������)������ + ������的图像及性质
（1） 二次函数y = a(x − h)2 + k的图像是由抛物线y = ax 2 向左或者向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位 （2） 二次函数y = a(x − h)2 + k的对称轴是 x=h，开口方向决定于 a 的取值，当 a>0 时，函数图像开口向上，最小值 在对称轴处取得，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而增大;当 a<0 时，函数 图像开口向下，最大值在对称轴处取得，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边 y 随 x 的增大 而减小。 注 1：顶点式解析式是中考重点考查内容之一，二次函数的图像及性质，二次函数的增减性，二次函数的最值都是中考 中的热点，考查方式也具有多样性，以选择填空和解答为主，而且经常出现在压轴题目当中 注 2：在求抛物线的顶点时，应先将解析式变为y = a(x − h)2 + k的形式，顶点即为(h,k)注意在求解当中的符号问题
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学员编号：年级：课时数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 授课日期及时段 教学目的 1：熟悉掌握几种形式的二次函数的图像及性质（重点） 2：用待定系数法求二次函数的解析式（难点） 教学内容 26.1 二次函数及其图像（1）
y ax2 bx c ( a, b, c 是常数， a 0 )叫做二次函数的一般式
注 1：二次函数的概念及列函数关系式是中考的必考内容，也是重点考查内容。二次函数的概念在中考题中一般出现在 选择题和填空题中，难度较小，只要把握 x 的最高次数是 2， a 0 这两个隐含条件即可。 注 2：列二次函数关系式多出现在解答题中，难度适中，而近年的中考中还出现了一些关于二次函数的实际问题，常需 要列二次函数关系式，难度较大。列二次函数关系式时，需考虑自变量取值应使实际问题有意义
任何形式如y = ax 2 + bx + c的二次函数都可以经过适当的配方变成y = a(x − h)2 + k的形式，这样比较容易直观的看出 来二次函数的对称轴，顶点以及最值 注： 配方法是数学的一种重要的解题思想， 考题中常利用配方法作为解决问题的着手点， 利用配方法可以抛物线的顶点， 对称轴以及最值，常在填空选择中出现。 考查题目 8：已知函数 y
2 2 2 2 2 3 考查题目 1：下列函数y = −2x − 4x − 5, y = 2x − 3x + m,y = x 2 + x ,y = 2x + x(1 − 2x),y = mx + 3x + 5,y = x − 1
x(x2 + x − 3),y = a2 + 1 x2 + bx + 2中是二次函数的是__________.
考点九： y ax2 bx c 中 a，b，c 符号的确定
抛物线的开口方向决定 a 的符号，当 a>0 时函数图像开口方向向上，当 a<0 时函数图像的开口方向向下；抛物线与 y 轴 的交点确定 c 的符号，抛物线过原点 c=0，抛物线交于 y 轴的正半轴 c>0，抛物线与 y 轴交与 y 轴的负半轴 c<0;对称轴 以及抛物线的开口方向决定 b 的取值 注 1：a+b+c 的符号由 x=1 时的 y 值来确定，a-b+c 的符号由 x=-1 时的 y 值来确定 注 2：本考点是中考的中的阿，一般是结合图像求 a,b,c 的符号以及其他代数式的符号。题目以填空选择为主，特别是求 a+b+c，a-b+c，4a+2b+c,4a-2b+c 以及 2a+b,2a-b 的符号 考查题目 11：若二次函数 y mx 4x m 1 的最小值为 2，求 m 的值
A B
O 图5
x
A． （2，3） C． （3，3） 【答案】D
B． （3，2） D． （4，3）
考点四：二次函数������ = ������(������ − ������)������ 的图像及其性质
（1）二次函数y = a(x − h)2 的图像可以由抛物线y = ax 2 向左或者向右平移得到，当 h>0 时，抛物线向右平移 h 个单位， 得到y = a(x − h)2 的函数图像，当 h<0 时,抛物线向左平移 h 个单位，得到y = a(x − h)2 的函数图像 （2）二次函数y = a(x − h)2 的图像性质，当 a>0 时,函数的开口方向向上，对称轴是 x=h，最小值在对称轴处取得，在 对称轴的左边 y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而增大;当 a<0 时，函数的开口方向向下，对称轴是 x=h，最大值在对称轴处取得，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小。 注 1：该类二次函数的考查在中考中是重点，涉及到开口，顶点，对称轴，最大（小）值，考查题目有选择，填空和解 答，近几年利用函数的增减性来比较函数值是中考的热点 注 2：注意：确定这类函数的顶点时，要注意函数必须具有y = a(x − h)2 的形式，不然的话，必须经过变形来解决 考查题目 6：将抛物线y = 3 x 2 向右平移 2.6 个单位所得到的函数解析式是____,变化后的函数对称轴是_______.
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练习题目一：
1、已知二次函数 y＝Ax2＋Bx＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( A．a＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞0 )
(第 1 题) 【答案】D 2、如图 5，已知抛物线 y x 2 bx c 的对称轴为 x 2 ，点 A，B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其中点 A 的坐 标为（0，3） ，则点 B 的坐标为 y x=2
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中小学 1 对 1 课外辅导专家 考查题目 3：已知函数y = (n + 2)x n +n −4 是关于 x 的二次函数，求： （1） 满足条件的 n 的值 （2） n 为何值时，抛物线有最低点，求出最低点的坐标，并求出 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围 （3） n 为何值时，抛物线有最高点，求出最高点的左边，并求出 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围
考点二：二次函数������ = ������������ ������ 的图像及性质
（1） 图像：二次函数y = ax 2 的图像是一条抛物线，其对称轴是 y 轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶 点坐标是（0,0） （2） 性质：当 a>0 时，函数y = ax 2 的开口方向向上，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而增大；当 a<0 时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小 （3） 抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大 注 1：二次函数y = ax 2 的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小） 值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。 注 2：利用函数的增减性进行函数值的大小比较也是重点考查内容之一，此类问题先画出二次函数的草图，在尽享分析， 利用了数形结合的思想 考查题目 2：已知（2，y1 ）， （-1，y2 ）两点都在函数y = 13x 2 的函数图像上，试比较y1 ,y2 的大小
考点一：二次函数的概念
（1）一般的，形式如 y ax2 bx c ( a, b, c 是常数， a 0 )的函数，叫做二次函数。 例如：y = x 2 − 2x − 3,y = 2x 2 + 3等都是 x 的二次函数 （2）等号左边是 y，右边是 x 的二次多项式，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。 （ 3 ）任何一个二次函数的解析式都可以化成 y ax2 bx c ( a, b, c 是常数， a 0 ) 的形式，因此我们也把这个
1 2 5 x 3x 2 2
（1）利用配方法求出函数的顶点坐标以及对称轴 （2）求出函数的最大（小）值 （3）求出这个函数与 x 轴 y 轴的交点分别是
考点七：二次函数������ = ������������ ������ + ������������ + ������的图像及其性质
二次函数y = ax 2 + bx + c经过配方可以化成y = a(x − h)2 + k的形式， 其中 h
4ac b 2 b ,k ， 从而可知二次函数 2a 4a
b 4ac b2 b , ) ，它的开口方向决定于 a 的取值，增减性决定于 a 以及对称轴 的对称轴是 x ，顶点坐标 ( 2a 2a 4a
注 1：考查用公式求抛物线的对称轴，顶点坐标以及二次函数的最值，结合图像考查函数值的变化，利用对称性求相关 的问题。题型考查有选择填空和解答题。 注 2：求二次函数的顶点坐标一般有两种方法配方法和公式法 考查题目 9：将二次函数 y
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考点三：二次函数������ = ������������ ������ + ������的图像及其性质
（1） 二次函数y = ax 2 + k的图像与y = ax 2 的图像形状相同，知识位置不同，可以经过适当的平移使之重合，当 k>0 时，抛物线y = ax 2 的图像向上平移 k 个单位，便得到y = ax 2 + k，当 k<0 时，抛物线y = ax 2 的图像向下平移 k 个单位，便得到y = ax 2 + k （2） y = ax 2 + k的图像，当 a>0 时，函数的开口方向向上，对称轴是 y 轴，最小值是当 x=0 时，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而增大；当 a<0 时，函数的开口方向向下，对称轴是 y 轴， 最小值是当 x=0 是取得，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小 注：关于这类型的二次函数在中考中考查常以选择填空出现，考查的是函数的增减性，最值，顶点和求函数的关系式， 也可能结合实际问题考查，一般难度不是很大。 考查题目 4：抛物线y = x 2 − 1的顶点坐标是________. 考查题目 5：将抛物线y = 2x 2 向上平移 5 个单位，所得到的抛物线的解析式为_______.