第七章 第二节 空间几何体的表面积和体积

∽△GFA 求得． 求得． ∴外接球半径可利用△OHA∽△ 外接球半径可利用△ ∽△ 3 ∵AG＝ 2 ，AF＝ ＝ ＝ 3 6 1－( )2＝ ，在 － 3 3
△AFG 和△AHO 中，根据三角形相似可知， 根据三角形相似可知， 3 AH＝ ， ＝ 3 3 3 ×3 AG·AH 2 6 ∴OA＝ AF ＝ ＝ ＝4， 6 3 4 4 6 6 6 ∴外接球体积为3π×OA3＝3π· 43 ＝ 8 π. ×
∴AB⊥平面 ACC1A1，在图中连接 A1C，则 A1C⊂平面 ACC1A1， ⊥ ， ⊂ ∴AB⊥A1C. ⊥ 1 9 (2) VABCD− A B C ＝ ×AB×AC×AA1＝ . × × 2 2 1 1 1
考点三
球与空间几何体的接切问题
如图所示，在等腰梯形 如图所示，在等腰梯形ABCD中， 中 AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中 ＝ ＝ ， ＝ ° 为 的中 ADE与 BEC分别沿 分别沿ED、EC向 点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向 上折起， 重合， 上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥 、 重合 的外接球的体积． 的外接球的体积．
(2010·全国新课标 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 全国新课标)设三棱柱的侧棱垂直于底面 全国新课标 设三棱柱的侧棱垂直于底面， ， 顶点都在一个球面上， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A．πa2 ． 11 C. πa 3 7 B. πa2 3 D．5πa2 ． ( )
一个三棱柱ABC­A1B1C1的三 一个三棱柱 视图如图所示． 视图如图所示． (1)证明：AB⊥A1C； 证明： ⊥ ； 证明 (2)求此三棱柱的体积． 求此三棱柱的体积． 求此三棱柱的体积
解：(1)证明：由三视图可知，三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱，其直 证明：由三视图可知， 为直三棱柱， 证明 观图如图所示． 观图如图所示． 又在△ ∴AB⊥AA1.又在△ABC 中，∠BAC＝90°，即 AB⊥AC， ⊥ 又在 ＝ ， ⊥ ，
[考题印证 考题印证] 考题印证 1．(2010·安徽高考 一个几何体的三视图如图，该几何体的 ． 安徽高考)一个几何体的三视图如图 安徽高考 一个几何体的三视图如图， 表面积是 ( )
A．372 ．
B．360 ．
C．292 ．
D．280 ．
[规范解答 规范解答] 规范解答
该几何体的直观图如图所示，上方长方体的长、 该几何体的直观图如图所示，上方长方体的长、
ห้องสมุดไป่ตู้
解析： 解析：设三棱柱上底面所在圆的半径为 r，球的半径为 R， ， ， 2 3 3 由已知 ＝ 由已知 r＝3· 2 a＝ 3 a. ＝ 1 2 1 2 1 2 7 2 又∵R ＝r ＋(2a) ＝3a ＋4a ＝12a ，
2 2
7 2 ∴S 球＝4πR ＝4π·12a
2
7 2 ＝3πa ，故选 B.
答案： 答案：C
2．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个 ．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 顶点上的三条棱的长分别为2,2,3，则此球的表面积 ， 顶点上的三条棱的长分别为 为 A．17π ． C．15π ． B．16π ． D．14π ． ( )
解析：长方体的对角线长即球的直径为： 解析：长方体的对角线长即球的直径为： 22＋22＋32＝ 17， ， 17 故半径 R＝ 2 ，∴S＝4πR2＝17π. ＝ ＝
法二：如图所示，把正四面体放在正方体中． 法二：如图所示，把正四面体放在正方体中． 显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球． 显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球． ∵正四面体的棱长为 1， ， 2 ∴正方体的棱长为 ， 2 4 2 6 6 6 ∴外接球直径 2R＝ 3× 2 ，∴R＝ 4 ，∴体积为3π·( 4 )3＝ 8 π. ＝ × ＝ 6 ∴该三棱锥外接球的体积为 8 π.
答案： 答案： B
棱柱、棱锥、棱台、球的内容着重考查表面积、 棱柱、棱锥、棱台、球的内容着重考查表面积、体积 以及某些元素的计算，是高考中的常考内容，近几年新课 以及某些元素的计算，是高考中的常考内容， 标高考常以三视图为载体在选择、填空题中考查， 标高考常以三视图为载体在选择、填空题中考查，但也有 以多面体为载体在考查线面位置关系的同时考查体积的计 算．
(2)连结 AC.因为 AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°. 连结 因为 ∥ ， ＝ ，所以∠ ＝ 从而由 AB＝2，BC＝1，得△ABC 的面积 S△ABC＝1. ＝ ， ＝ ， 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD＝1， ⊥ ＝ ， 1 1 得三棱锥 P-ABC 的体积 V＝ S△ABC·PD＝ . ＝ ＝ 3 3
答案： 答案：B
4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 ．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 何体的表面积是________． ． 何体的表面积是
解析：由三视图知该几何体为一圆柱和一个球的组合体， 解析：由三视图知该几何体为一圆柱和一个球的组合体， S＝4π×12＋π×12×2＋2π×1×3＝12π. ＝ × × ＋ × × ＝ 答案： 答案：12π
5．如图是一个几何体的三视图． ．如图是一个几何体的三视图． 若它的体积是 3 3，则 a＝______. ， ＝
解析：由三视图可知此几何体是三棱柱， 解析：由三视图可知此几何体是三棱柱，其高为 3，底面是边长为 2， ， ， 2a 底边上的高为 a 的等腰三角形，所以有 ×3＝3 3，得 a＝ 3. 的等腰三角形， ＝ ， ＝ 2
[自主解答 自主解答] 自主解答
如图所示三棱锥． 如图所示三棱锥．
AO⊥底面 BCD，O 点为 BD 的中点， ⊥ 的中点， ， BC＝CD＝6 (cm)， ＝ ＝ ， BC⊥CD，AO＝4 (cm)，AB＝AD. ⊥ ， ＝ ， ＝ 1 S△BCD＝6×6× ＝18 (cm2)， × × ， 2 1 S△ABD＝ ×6 2×4＝12 2 (cm2)． × ＝ ． 2
[自主解答 由已知条件知，平面图形中，AE＝EB＝BC＝ 自主解答] 由已知条件知，平面图形中， ＝ ＝ ＝ 自主解答 CD＝DA＝DE＝EC＝1，∴折叠后得到一个正四面体． ＝ ＝ ＝ ＝ ， 折叠后得到一个正四面体． 法一： 即为△ 的中心． 法一：作AF⊥平面 ⊥平面DEC，垂足为 ，F即为△DEC的中心． ，垂足为F， 即为 的中心 取EC的中点 ，连结 、AG，过球心 作OH⊥平面 的中点G，连结DG、 ，过球心O作 ⊥平面AEC， 的中点 ， 则垂足H为 的中心， 则垂足 为△AEC的中心， 的中心
[自主解答 证明：(1)因为 ⊥平面 自主解答] 证明： 因为 因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面 自主解答 ， ⊂ ABCD，所以PD⊥BC. ，所以 ⊥ 由∠BCD＝90°，得BC⊥DC. ＝ ° ⊥ 又PD∩DC＝D，PD⊂平面 ∩ ＝ ， ⊂平面PCD， ， DC⊂平面PCD，所以 ⊥平面 ⊂平面 ，所以BC⊥平面PCD. 因为PC⊂平面 因为 ⊂平面PCD，所以 ⊥BC. ，所以PC⊥
高分别为8、 宽、高分别为6、2、8，下方长方体的长、宽、高分别为 、 高分别为 、 、 ，下方长方体的长、 10、2.其表面积为两长方体表面积之和再减去一个面的面 、 其表面积为两长方体表面积之和再减去一个面的面 如图阴影)的 倍 积(如图阴影 的2倍，即S＝S上＋S下－2S阴＝2×(6×2＋2×8 如图阴影 ＝ × × ＋ × ＋6×8)＋2×(8×10＋2×8＋2×10)－2×6×2＝360. × ＋ × × ＋ × ＋ × － × × ＝
若将本例(2)问改为求点 若将本例 问改为求点A 问改为求点
解：连结 AC，设点 A 到 ， 平面 PBC 的距离为 h. 因为 AB∥DC，∠BCD ∥ ， 90°，所以∠ABC＝90°， ＝90°，所以∠ABC＝90°， 从而由 AB＝2，BC＝1，得△ABC 的面积 SABC＝1. ＝ ， ＝ ， 1 由 PD⊥平面 ABCD 及 PD＝1，得三棱锥 P－ABC 的体积 V＝3S△ ⊥ ＝ ， － ＝ 1 DC⊂ ＝3 因为 ⊥ ， ⊂平面 ABCD， ， 所以 PD⊥DC. ⊥ ABC·PD＝ .因为 PD⊥平面 ABCD，
答案： 答案：A
考点二
空间几何体体积的计算
在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面 中 在四棱锥 ⊥平面ABCD，PD＝ ， ＝ DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°. ＝ ＝ ， ＝ ， ∥ ， ＝ ° (1)求证：PC⊥BC； 求证： ⊥ ； 求证 (2)求三棱锥 求三棱锥P­ABC的体积． 的体积． 求三棱锥 的体积
4 1． ． 母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于3π， ， 则该圆锥的 体积为 2 2 A. π 81 C. 4 5 π 81 8 B. π 81 D. 10 π 81 ( )
4 4 解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长， 解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为3π·1＝3 ＝ 4 2 π，设底面圆的半径为 r，则有 2πr＝ π，得 r＝ ，所以圆锥的高 ， ， ＝3 ， ＝3 22 5 4 5 h＝ 1－( ) ＝ ，故圆锥的体积 V＝ ＝ －3 ＝ 81 π. 3
到平面PBC的距离，应如 的距离， 到平面 的距离 何求？ 何求？
又 PD＝DC＝1， ＝ ＝ ， 所以 PC＝ PD2＋DC2＝ 2. ＝ 由 PC⊥BC，BC＝1， ⊥ ， ＝ ， 2 得△PBC 的面积 S△PBC＝ 2 ， 1 1 2 1 由 V＝3S△PBC·h＝3· 2 ·h＝3，得 h＝ 2. ＝ ＝ ＝ ＝ 因此， 因此，点 A 到平面 PBC 的距离为 2.
(2010·广州模拟 如果一个几何体的三视图如图所示，则 广州模拟)如果一个几何体的三视图如图所示 广州模拟 如果一个几何体的三视图如图所示， 此几何体的表面积是 ( )
A．(80＋16 2) cm2 ． ＋ C．(96＋16 2) cm2 ． ＋