空间几何体的表面积和体积(一)

空间几何体的表面积与体积柱体、锥体、台体的表面积与体积[新知初探]1．柱体、锥体、台体的表面积公式2．柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)；台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h.[点睛](1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案：(1)× (2)√2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于22a ，∴S 表＝34a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2.3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高h ＝4， 所以V 圆锥＝13π×32×4＝12π.答案：12π柱、锥、台的表面积[典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．[解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64，∴AB ＝8. ∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160.(1)求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．(2)结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．[活学活用]1．(陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋4解析：选D由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为() A．81π B．100πC．168π D．169π解析：选C先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋(R－r)2＝(4r)2＋(3r)2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.柱体、锥体、台体的体积[典例])A．2π＋2 3 B．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233[解析] 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.[答案] C空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[活学活用]1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π，∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π，∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝733π.答案：733π 2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________． 解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积V ＝12×3×4×5－13×12×4×3×3＝24.答案：24几何体体积的求法1.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A -DED 1的体积为________．解析：V 三棱锥A -DED 1＝V 三棱锥E -DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.答案：162.如图所示，三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，且PA ，PB ，PC 两两互相垂直，又PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，求三棱锥P -ABC 的体积V .解：三棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B 看作顶点，△PAC 作为底面求解．故V ＝13S △PAC ·PB ＝13×12×2×4×3＝4.题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连接EB ，EC .四棱锥E -ABCD 的体积 V 四棱锥E -ABCD ＝13×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .∴V 三棱锥F -EBC ＝V 三棱锥C -EFB ＝12V 三棱锥C -ABE ＝12V 三棱锥E -ABC ＝12×12V 四棱锥E -ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E -ABCD ＋V 三棱锥F -EBC ＝16＋4＝20. 题点三：补形法4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.5．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝13，BC ＝AD ＝25，BD ＝AC ＝5，求四面体ABCD 的体积．解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图． 设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则{x 2＋y 2＝13，y 2＋z 2＝20，x 2＋z 2＝25，∴{ x ＝3，y ＝2，z ＝4.∵V D -ABE ＝13DE ·S △ABE ＝16V 长方体， 同理，V C -ABF ＝V D -ACG ＝V D -BCH ＝16V 长方体， ∴V 四面体ABCD ＝V 长方体－4×16V 长方体＝13V 长方体．而V 长方体＝2×3×4＝24，∴V 四面体ABCD ＝8.(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法)．(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．层级一 学业水平达标1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( ) A ．22 B ．20 C ．10D ．11解析：选A 所求长方体的表面积S ＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433πB.36πC.12π D.33π 解析：选B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为12×13×π×12×3＝36π. 4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.5.如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 6．棱长都是3的三棱锥的表面积S 为________．解析：因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S ＝4×34×32＝9 3. 答案：9 37．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________． 解析：易知圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π.答案：33π 8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则a ＝________.解析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V ＝3×⎝⎛⎭⎫12×2×a ＝3 3，所以a ＝ 3.答案： 39．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，若四边形ABCD 绕AD 旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图； (2)求出该几何体的表面积． 解：(1)如图所示．(2)过C 作CE 垂直AD 延长线于E 点， 作CF 垂直AB 于F 点． 由已知得：DE ＝2，CE ＝2， ∴CF ＝4，BF ＝5－2＝3. ∴BC ＝CF 2＋BF 2＝5. ∴下底圆面积S 1＝25π，台体侧面积S 2＝π×(2＋5)×5＝35π， 锥体侧面积S 3＝π×2×22＝42π， 故表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝(60＋42)π.10.如图，已知正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底， ∴12·3a ·h ′＝34a 2×2. ∴a ＝3h ′.∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝⎛⎭⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.层级二 应试能力达标1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．486B ．64C ．16D ．96解析：选B 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝96，∴a ＝4，故V ＝a 3＝43＝64. 2.已知高为3的棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B -AB 1C 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：选D VB -AB 1C ＝VB 1-ABC ＝13S △ABC ×h ＝13×34×3＝34.3．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πSD.233πS解析：选A 底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.533B.433C.536D. 3 解析：选A 由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为34×22×2－13×34×22×1＝533. 5．已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________．解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 66．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为8.答案：87．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)cm2，所求几何体的体积V＝23＋12×(2)2×2＝10(cm3)．8．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积．(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．解：(1)圆锥的母线长为62＋22＝210(cm)，∴圆锥的侧面积S1＝π×2×210＝410 π(cm2)．(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知r2＝6－x 6，∴r＝6－x3，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝2π3(－x2＋6x)＝－2π3[(x－3)2－9]，∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2.。