数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳摘要：一、数列的概念与分类1.数列的定义2.等差数列与等比数列3.几何数列与调和数列二、数列的性质与运算1.数列的项与公比2.数列的求和公式3.数列的性质及其应用三、数列的递推关系式1.递推关系式的定义2.常见的递推关系式3.递推关系式的应用四、数列的通项公式1.通项公式的定义2.常见的通项公式3.求解通项公式的方法五、数列的极限与无穷级数1.数列的极限2.无穷级数的概念与性质3.级数的收敛性与发散性正文：高中数学的数列知识点是数学学习中的一个重要部分，它涉及到数列的概念、分类、性质、运算、递推关系式、通项公式以及极限和无穷级数等内容。
首先，我们要了解数列的概念与分类。
数列是一组按照一定规律排列的数字，可以用来描述事物的发展和变化规律。
根据数列中相邻两项的关系，数列可以分为等差数列和等比数列。
等差数列是相邻两项之差相等的数列，而等比数列是相邻两项之比相等的数列。
此外，还有几何数列和调和数列等特殊类型的数列。
其次，我们要掌握数列的性质与运算。
数列的项是指数列中的每一个数字，而公比是指等比数列中相邻两项的比。
数列的求和公式是计算数列和的重要工具，而数列的性质如单调性、有界性等则是解决数列相关问题的关键。
递推关系式是描述数列的一种方法，它是指用一个已知项和其后的项的关系式来表示数列。
掌握常见的递推关系式，如等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等，有助于我们更好地理解数列的规律。
数列的通项公式是指能够表示数列中任意一项的公式。
求解通项公式是数列学习中的难点，需要我们灵活运用数学方法。
最后，我们要了解数列的极限与无穷级数。
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的值趋于一个确定的值。
无穷级数是指一个数列的所有项按照一定的方式排列组成的级数。
理解级数的收敛性与发散性，有助于我们更好地把握数列的性质。
总的来说，高中数学的数列知识点繁多且重要，需要我们认真学习并掌握。
数列单元知识点归纳总结
数列单元知识点归纳总结数列是数学中常见的概念，也是许多数学问题的基础。
在数学的学习中，了解数列的性质和相关概念是非常重要的。
本文将对数列单元的相关知识点进行归纳总结，供读者参考。
一、数列的基本概念数列是由一系列的数按照一定的规律排列所组成。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示。
数列用{an}或者(an)表示。
例如：{1, 3, 5, 7, 9, ...} 或者 (1, 3, 5, 7, 9, ...)二、数列的分类数列可以按照数值的性质和规律进行分类。
1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等。
差值称为公差，用d表示。
等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等。
比值称为公比，用q表示。
等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是其前两项之和。
斐波那契数列可以表示为：an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 幂次数列幂次数列是指数列中的每一项都是以某个数为底的幂的结果。
幂次数列可以表示为：an = a ^ n，其中a为常数，n为自然数三、数列的性质和公式在数列的学习中，掌握一些常用的数列性质和公式是非常有帮助的。
1. 通项公式通项公式是指数列中的任意一项与其下标之间的关系式。
通过寻找数列的规律，可以求得通项公式，从而计算任意项的值。
2. 前n项和公式前n项和公式是指数列中前n项的和与n之间的关系式。
通过对数列进行求和，可以得到前n项和公式，从而计算任意项的和。
3. 数列的递推关系数列的递推关系是指数列中的每一项与它的前一项之间的关系式。
通过分析数列的递推关系，可以找到数列的规律，从而得到通项公式和前n项和公式。
四、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中。
1. 应用于数学建模数列可以用来建立数学模型，描述和解决实际问题。
数列知识点归纳
数列知识点归纳（一）数列的概念 一．数列的概念1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列可以看做定义域为*N （或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
三、数列的分类1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小 四、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 1．∑==++++=ni in n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n（二）等差数列的相关知识点1．定义：)()(1∙+∈=-N n d a a n n 常数。
当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。
2．通项公式：d n a a n )1(1-+=d m n a m )(-+=q pn d a dn +=-+=)(1d =11--n a a n ，d =mn a a mn -- 是点列（n ，a n ）所在直线的斜率. 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=21()22d d n a n =+-Bn An +=2 {nS n}是等差数列。
4．等差中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5、等差数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1-a n =d 是常数 (2)等差中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:q pn a n += (4)前n 项和法:Bn An S n +=26．性质:设{a n }是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q(2) a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公差为md 的等差数列.(3) S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ……组成公差为n 2d 的等差数列. (4) 若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a +-,,, 四数：d a d a d a d a 3,,,3-+-- 9、项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶 ，1+=n na a S S 偶奇项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. （三）等比数列（类比等差数列） 1、定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠0,≠n a ）， ，摆动数列当时时，数列递减且；且当时，数列递增且；且当0q 10100100101111<><<<><<<>>q a q a q a q a 2、通项公式：11-=n n q a a =（0,1≠q a ）m n m n q a a -==3、前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意q 的讨论）A Aq n-=4、等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S5、等比数列的判定方法(n ∈N*)(1)定义法: a n+1/a n =q 是常数 (2)等比中项法:221++∙=n n n a a a (3)通项法: n n cq a =(q c ,为非零常数). (4)前n 项和法: A Aq S nn -= 6、性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··（2）a n ,a n+m ,a n+2m ……组成公比为 的等比数列.（3）232n n n n n S S S S S --，，……)0(≠n S 仍为等比数列,公比为nq . 7．n n S a n d a ,,,,1知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质, 8、巧设元：三数:d a a d a ⋅,,/, 四数：d a d a d a d a 3,.,/,3/⋅⋅9．、．非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 10、正数列{n a }成等比，则数列)1}({log >a a na 成等差数列；若数列{n a }成等差，则数列}{n aa 成等比数列； 11.会从函数角度理解和处理数列问题.（四）、求通项1、形如 a n+1-a n =f(n) 形式，求法：累加法2、形如a n+1=a n ·f(n), 求法：累乘法3、形如a n+1=Aa n +B (A B ≠0), 求法：构造法4、形如a an n nmka 1-=+ (k ≠0)形式，求法：m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法5、已知S n ,求a n例1：已知数列{a n }中，a 1=1，na n =a 1+2a 2+3a 3+……(n-1)a n-1(n ≥2),求a n例2：已知数列{a n }中，a 1=1，对所有n ≥2,都有a 1a 2a 3……a n =n 2,求a n （五）数列求和的常用方法： 1、公式法：（等差、等比数列直接用公式）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n ③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n 2.等差数列的绝对值的和① 当a 1>0,d<0时，若a k ≥0,a k+1<0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |= ② 当a 1<0,d>0时，若a k ≤0,a k+1>0,则: S=|a 1|+|a 2|+……|a k |+|a k+1|+……|a n |=3、分组求和法：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- （答：(1)n n -⋅）4、倒序相加法：求证：01235(21)(1)2n nn n n n C C C n C n +++++=+5.裂项相消求和,常见类型==∙-==++=++=+-=+++-aa C C Cnn mnm n m nn n n n n n n n n k n n 111log !11)2)(1(1)12)(12(1)(16.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
小学数列知识点归纳总结
小学数列知识点归纳总结一、数列的概念数列是按一定的顺序排列的一组数，其中每一个数称为数列的一个项，使用字母表示的数列一般写成a₁, a₂, a₃, ..., a_n。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
二、等差数列1. 概念等差数列是指一个数列中，任意相邻两项的差都相等的数列，该差值称为公差，用d表示。
2. 公式通项公式：a_n = a_1 + (n-1)d前n项和公式：S_n = (a_1 + a_n) * n / 2三、等比数列1. 概念等比数列是指一个数列中，任意相邻两项的比都相等的数列，该比值称为公比，用q表示。
2. 公式通项公式：a_n = a₁ * q^(n-1)前n项和公式：S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)四、特殊数列1. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中，每一项都是前两项之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=F(2)=1。
2. 调和数列调和数列是指一个数列中，每一项是其逆数的等差数列，即1, 1/2, 1/3, 1/4, ...。
五、常见数列问题求解1. 求和问题对于等差数列和等比数列，可以利用对应的前n项和公式进行求解。
2. 求通项问题对于已知数列的前几项，可以利用数列的定义进行求解。
3. 求公差/公比问题可以通过已知数列的任意两项之差或者比值得到公差或者公比的数值。
六、数列的图形表示1. 等差数列的图形在平面直角坐标系中，等差数列的图形呈线性。
2. 等比数列的图形在对数坐标系中，等比数列的图形呈指数函数。
七、数列的应用1. 数学问题数列常常用于解决一些数学问题，如寻找规律、求和等。
2. 物理问题在物理学中，数列也常常被用于描述某些物理现象的变化规律。
3. 经济问题在经济学中，数列也被广泛应用于描述经济增长、收益等方面的规律。
总结：数列是数学中的一个重要概念，了解数列的概念和性质，以及掌握常见数列的公式和应用是数学学习的基础。
数列知识点归纳
数列知识点归纳
1. 定义：数列是按照一定规律排列的数的集合。
2. 公式表示：数列可以用通项公式表示，通项公式中含有一个变量n，表示数列中的第n项。
3. 等差数列：如果一个数列中相邻两项之间的差值相等，那么这个数列就是等差数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
4. 等比数列：如果一个数列中相邻两项之间的比值相等，那么这个数列就是等比数列。
其通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
5. 递推公式：数列也可以用递推公式表示，递推公式中含有一个或多个前一项的变量，表示第n项与前一项之间的关系。
6. 求和公式：数列的前n项和可以用求和公式表示，包括等差数列和、等比数列和及其它一些特殊数列和。
7. 应用：数列在数学中有广泛的应用，如在数学分析、数值计算、概率论、组合数学等领域中都有涉及。
在物理、化学、生物、经济等学科中也有广泛应用。
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
数列知识点归纳总结学生
数列知识点归纳总结学生在学习数学的过程中，数列是一个非常基础且重要的概念。
数列可以说贯穿于中学及高中数学的各个知识点，理解并掌握好数列的相关知识对学生来说十分必要。
本文将对数列的相关知识点进行归纳总结，帮助学生更好地理解和应用数列知识。
一、数列的基本概念数列是按照一定顺序排列的一组数值，数值之间的顺序关系可以是递增、递减、等差或等比等。
数列常用字母表示，比如a1, a2, a3等。
其中第n项表示为an。
二、等差数列1. 概念: 若一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，则称这个数列为等差数列，这个差值称为公差，通常用d表示。
2. 通项公式: 若等差数列的第一项为a1，公差为d，则该等差数列的第n项(an)可用以下公式表示：an = a1 + (n - 1)d。
3. 前n项和公式: 若等差数列的第一项为a1，公差为d，前n项和Sn可用以下公式表示：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等比数列1. 概念: 若一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等，则称这个数列为等比数列，这个比值称为公比，通常用q表示。
2. 通项公式: 若等比数列的第一项为a1，公比为q，则该等比数列的第n项(an)可用以下公式表示：an = a1 * q^(n-1)。
3. 前n项和公式: 若等比数列的第一项为a1，公比为q，前n项和Sn可用以下公式表示：Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q) (q ≠ 1)。
四、递推公式与通项公式的推导方法1. 递推公式的推导: 递推公式是指通过前一项的值推导出下一项的公式。
对于等差数列，递推公式为an = an-1 + d。
对于等比数列，递推公式为an = an-1 * q。
2. 通项公式的推导: 通项公式是指通过项数n或前n项和Sn推导出每一项的公式。
具体的推导方法会在相关知识点中详细介绍。
五、常见数列及其性质1. 等差数列：首项为a1，公差为d，有通项公式和前n项和公式，常见性质有：对称性、倒序性、相邻两项之和相等等。
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数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*1(1) ()n a a n d n N =+-∈ ， 首项:1a ，公差:d 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列*-112(2,)n n n a a a n n N +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n -时，n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)n a a n d =+-②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a m a m a m a m --++,…（注意；公差为2m ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}12n n a b λλ+都为等差数列，其中12,R λλ∈ (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k (k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和当项数为偶数n 2时，则 21()n n n S n a a +=+ S S nd -=奇偶 1n n S a S a +=奇偶 当项数为奇数21n -时，则 21(21)(1)1n n nn n S S S n a S na S n S S a S n a S n -⎧⎧=+=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==--⎪⎪⎩⎩偶奇奇偶奇奇偶偶 （其中n a 是项数为2n-1的等差数列的中间项）．（8）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n S 、n T ，则2121(21)(21)n n n n n n a n a S b n b T ---==-.（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+,,n m a m a n ==则0n m a +=(10) 求n S 的最值法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+01n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．或求{}n a 中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．二、等比数列性质总结1、等比数列的定义: *n N ∀∈，+10n na q a =≠ 注意：（1）．公比q 一定是由后项比前项（相邻的两项）所得，而不能用前项比后项来求； （2）．由公比0≠q 知，等比数列{n a }中的每一项都不为零； （3）. 在等比数列{}n a 中， ○1 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列；○2 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列； ○3 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列；○4 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列；○5 当1q =时，数列{}na 是常数列； ○6 当0q <时，数列{}na 是摆动数列. （4）若一个数列{}n a 既为等差数列又为等比数列⇔{}n a 为非零常数列. （5）等比数列的奇数项的符号相同；偶数项的符号相同.2、等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 推广为：n mn m a a q-=⋅(, )m n N *∈ 注意：(1)等比数列的计算问题中，首项1a 和公比q 是基本量； (2) 有以下几种方法可以计算公比q ① 1 (2, )n n a q n n N a *-=≥∈ ② 11n n a q a -= ③ n m n maq a -= 其中，若公式②③中的指数1n -，n m -为偶数，开方求公比，要根据题意选取正确的符号。
3、等比中项：若a ,G ,b 是等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项. 由等比数列的定义可知:ab G =2.注意：（1）,a b 同号；G -也是,a b 的等比中项；,,a G b ±均为非零常数；（2）任意两数的等比中项不一定存在且不唯一；所以，ab G =2是a ,G ,b 成等比数列的必要非充分条件；4、等比数列的性质：(1) 下标和性质：下标和相等，则对应项的积相等； 使用条件：等式两边项的个数相同，且项数之和相同. 在等比数列{}n a ，① 若, , , , m n p q t N *∈且2m n p q t +=+=，则2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=；反之是否成立？No ！ 若* m n p N m n p ∈+=、、且,则m n p a a a ⋅=成立吗? NO!若* m n p q s t N m n s p q t ∈++=++、、、、、且,则m n s p q t a a a a a a ⋅⋅=⋅⋅成立吗? YES!② 从等比数列中抽取等距离（即下标成等差）的项组成的新数列仍是等比数列，如：25811,,,,a a a a ⋅⋅⋅； (2) ①若{}n a 是以q 为公比的等比数列，则数列{}||n a ，{}(0)n ca c ≠，{}k n a 等也为等比数列，公比分别为||, , k q q q ，但{}1n n a a ++不一定是等比数列.② 若数列{}n a 、{}n b 为项数相同的等比数列，则{}(, )s tn n a b s t R ⋅∈也是等比数列.5、等比数列的判定方法：(1) 定义法：对于任意n N *∈，验证1n na a +为同一常数； (2) 等比中项法：验证2+120 () ()n n n n a a a a n N *+≠=⋅∈且成立；(3) 通项公式法：验证nn a cq =，其中, c q 都为非零常数, n N *∈.6、等比数列设元技巧： （1）三数成等比：设三数为, , aa aq q； （2）四个同符号的数成等比：设四数为33, , , a a am am m m7、等比数列前n 项和公式：111(1), (1) 11 , (1) n n n a a qa q q S q qna q ⎧--=≠⎪=--⎨⎪=⎩ 注意：（1） 等比数列前n 项和公式要注意分1q =和1q ≠两种情况；（2） 等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及5个量1a ，q ，n ，n a ，n S ，知道其中任意3个量就可求出另外2个量，注意前提条件是0q ≠；8、等比数列前n 项和的的性质：公比不为－1的等比数列的依次m 项之和构成的新数列仍为等比数列，如：m S ，2m m S S -，32m m S S -，43 ,m m S S - ()m N *∈.9、等比数列前n 项和的函数特性：当1≠q 时，等比数列{}n a 的前n 项和公式111(1)111n n n n a q a a q S B Bq q q q -==-=----，其中11a B q=-；数列{}n a 为非常值等比数列的充要条件是 (0,1, 0)nn S B Bq B q B =-≠≠为常数,.10、等差数列与等比数列间的联系（1）若{}n b 是各项为正的等比数列，则{}log a n b 是等差数列（0 1a a >≠且）； （2）若{}n c 是等差数列，则{}n c a 是等比数列（0a >）11类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。