2018版 第3章 §4 4.1 第1课时 对数
§4 对数 4．1 对数及其运算 第1课时 对数
1. 理解对数的概念．(重点)
2. 掌握指数式与对数式的互化．(重点)
3. 理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理 1 对数的定义
阅读教材P 78～P 79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题． 1. 对数的有关概念
2. 对数的底数a 的取值范围是a >0，且a ≠1.
下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．22＝4与log 24＝2 B ．
2
1
4
＝12与log 412＝－12
C ．(－2)3＝－8与log (－2)(－8)＝3
D ．3－2＝19与log 31
9＝－2
【答案】 C
教材整理 2 对数的基本性质与对数恒等式
阅读教材P79“思考交流”的内容，完成下列问题.
1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零和负数没有对数．()
(2)1的对数是1.()
(3)2log22－1＝－1.()
【答案】(1)√(2)×(3)×
2. 计算：log2
2
2＝________，2log23＋log43＝________.
【解析】log2
2
2＝log22－log22＝
1
2－1＝－
1
2；2log23＋log43＝2log23·2log43
＝3×2log43＝3×2log23＝3 3.
【答案】－1
23 3
教材整理 3 两种常见对数
阅读教材P79“思考交流”下方与“例1”上方之间的内容，完成下列问题.
若ln(lg x)＝0，则x＝________.
【解析】∵ln(lg x)＝0，∴lg x＝1，∴x＝10.
【答案】10。
2018学年高中数学北师大版必修1课件：3.4.1.2 对数的运算性质 精品
【解】 (1)log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
对数函数定义域
[探究共研型]
探究 1 对数式 lg(x－1)有意义的条件． 【提示】 由 x－1>0，得 x>1，即对数式 lg(x－1)有意义的条件是 x>1.
探究 2
已知对数
y＝log(2－x)(x＋1)有意义，求
x
的取值范围． x＋1>0，
【 提 示 】 因 为 函 数 y ＝ log(2 － x)(x ＋ 1) 有 意 义 ， 则 2－x>0，
阶
阶
段
段
一
三
第 2 课时 对数的运算性质
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握对数的运算性质．(重点) 2．能灵活使用对数的运算性质进行化简求值．(难点)
[基础·初探] 教材整理 对数的运算性质 阅读教材 P80～P83 有关内容，完成下列问题． 如果 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)＝ logaM＋logaN ； (2)logaMn＝ nlogaM (n∈R)； (3)logaMN＝ logaM－logaN .
从而有 xy＝(x－2y)2，整理，得
x2－5xy＋4y2＝0，
即(x－y)(x－4y)＝0，
所以 x＝y 或 x＝4y.
由 x>0，y>0，x－2y>0，可得
人教2018版第3章§44.1第1课时对数.docx
学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有()A．log2x＝y B．log2y＝x C．log x y＝2 D．log y x＝2 【解析】由x＝y2得log y x＝2.【答案】 D2. 若log x 7y＝z，则()A．y7＝x z B．y＝x7z C．y＝7x z D．y＝z7x【解析】由log x 7y＝z，得x z＝7y，所以x7z＝y.【答案】 B3. 若＝9，则x＝()A．3 B．－3 C．±3 D．2 【解析】由＝x2＝9，得x＝±3.【答案】 C4. 计算：＝()A．15 B．51 C．8 D．27【答案】 B5. 已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 等于( ) A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 【解析】 ∵a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝12.故选D. 【答案】 D 二、填空题6. 方程log 2(2x ＋1)＝2的解为x ＝________.【解析】 由log 2(2x ＋1)＝2，则2x ＋1＝22＝4，故x ＝32. 【答案】 32 7. ln 1＋log (2－1)(2－1)＝________.【解析】 ln 1＋log (2－1)(2－1)＝0＋1＝1.【答案】 18 .已知log 7 [log 3(log 2x )]＝0，那么＝__________.【解析】 由题意得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x ＝23＝8，∴＝＝＝24.【答案】 24 三、解答题9. 求下列各式中的x .(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log x 27＝34.【解】 (1)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝1，∴x ＝5. (2)由log x 27＝34得43x＝27，∴x ＝3427， 即x ＝ 34)(33，∴x ＝34＝81. 10. 计算下列各式：[能力提升]1 .若lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，则ba 等于( ) A ．10 B.110 C.1100D ．100 【解析】 由lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，得a ＝105.21，b ＝103.21，则b a ＝103.21105.21＝10－2＝1100.【答案】 C2. 的值为( ) 【导学号：04100053】A ．6 B.72 C ．8 D.37【解析】 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1·＝2×4＝8.故选C.【答案】 C3. 方程9x －6·3x －7＝0的解是________．【解析】 令t ＝3x ，则t >0，则方程变为t 2－6t －7＝0， 解得t ＝7或－1(舍去)． 则3x ＝7，得x ＝log 37. 【答案】 log 37 4. 求下列对数的值：(1)ln e 2；(2)；(3)log 1.52.25；(4)lg 110 000；(5)log 816；(6)ln (e ln 1)．【解】 (1)设ln e 2＝x ，则e x ＝e 2，∴x ＝2，∴ln e 2＝2.(2)设＝x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＝81＝92，即9－x ＝92，∴x ＝－2，即＝－2.(3)∵1.52＝2.25，∴log 1.52.25＝2.(4)∵10－4＝110 000，∴lg 110 000＝－4.(5)设log 816＝x ，则8x ＝16，即23x ＝24， ∴3x ＝4，即x ＝43，∴log 816＝43.(6)∵ln 1＝0，∴ln (e 0)＝ln 1＝0，∴ln e ln 1＝0.初中数学试卷桑水出品。
人教2018版第3章§44.1第1课时对数
学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有( )A．log2x＝y B．log2y＝xC．log x y＝2 D．log y x＝2 【解析】由x＝y2得log y x＝2.【答案】 D2. 若log x 7y＝z，则( )A．y7＝x z B．y＝x7z C．y＝7x z D．y＝z7x【解析】由log x 7y＝z，得x z＝7y，所以x7z＝y.【答案】 B3. 若＝9，则x＝( )A．3 B．－3 C．±3 D．2 【解析】由＝x2＝9，得x＝±3.【答案】 C4. 计算：＝( )A．15 B．51 C．8 D．27【答案】 B5. 已知log a 2＝m，log a 3＝n，则a2m＋n等于( ) A．5 B．7 C．10 D．12【解析】∵a m＝2，a n＝3，∴a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝12.故选D.【答案】 D二、填空题6. 方程log2(2x＋1)＝2的解为x＝________.【解析】由log2(2x＋1)＝2，则2x＋1＝22＝4，故x＝32.【答案】3 27. ln 1＋log(2－1)(2－1)＝________.【解析】ln 1＋log(2－1)(2－1)＝0＋1＝1. 【答案】 18 .已知log7 [log3(log2x)]＝0，那么＝__________.【解析】由题意得log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式则有x＝23＝8，∴＝＝＝2 4.【答案】2 4三、解答题9. 求下列各式中的x.(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log x 27＝34.【解】 (1)由log 2(log 5x )＝0得log 5x ＝1，∴x ＝5. (2)由log x 27＝34得43x＝27，∴x ＝3427， 即x ＝ 34)(33，∴x ＝34＝81. 10. 计算下列各式：[能力提升]1 .若lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，则ba 等于( )A ．10 B.110 C.1100D ．100【解析】 由lg a ＝5.21，lg b ＝3.21，得a ＝105.21，b ＝103.21，则b a ＝103.21105.21＝10－2＝1100.【答案】 C2. 的值为( ) 【导学号：04100053】A ．6 B.72 C ．8 D.37【解析】 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1·＝2×4＝8.故选C.【答案】 C3. 方程9x －6·3x －7＝0的解是________．【解析】 令t ＝3x，则t >0，则方程变为t 2－6t －7＝0， 解得t ＝7或－1(舍去)． 则3x ＝7，得x ＝log 37. 【答案】 log 37 4. 求下列对数的值：(1)ln e 2；(2) ；(3)log 1.52.25；(4)lg110 000；(5)log 816；(6)ln (e ln 1)． 【解】 (1)设ln e 2＝x ，则e x ＝e 2，∴x ＝2，∴ln e 2＝2.(2)设＝x ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫19x ＝81＝92，即9－x＝92，∴x ＝－2，即＝－2.(3)∵1.52＝2.25，∴log 1.52.25＝2. (4)∵10－4＝110 000，∴lg 110 000＝－4.(5)设log 816＝x ，则8x ＝16，即23x ＝24， ∴3x ＝4，即x ＝43，∴log 816＝43.(6)∵ln 1＝0，∴ln (e0)＝ln 1＝0，∴ln e ln 1＝0.初中数学试卷。
(教师用书)高中数学 3.4.1 第1课时 对数配套课件 北师大版必修1
对
数
4．1 对数及其运算 第 1 课时 对 数
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解对数的概念，了解对数与指数的关系． (2)理解和掌握对数的性质． (3)掌握对数式与指数式的关系．
2．过程与方法 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质． 3．情感、态度与价值观 (1)学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、 分析、归纳能力． (2)通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维 品质． (3)在学习过程中培养学生探究的意识．
式组，再解不等式组即可 . 【自主解答】 由于对数 log(1 － a)(a ＋2) 有意义，则有
a＋2>0， 1－a>0， 1－a≠1，
解得－2<a<0 或 0<a<1.所以实数 a 的取值范围
是(－2,0)∪(0,1)．
1．正确理解对数的概念： (1)底数大于 0 且不等于 1，真数大于 0. (2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的 相互转化． 2 ．求对数式中有关参数的范围时，根据对数中对底数 和真数的要求列出不等式组解出即可．
1x 3．若 2 ＝0，(3) ＝－1，则这样的 x 存在吗？
x
【提示】 不存在．
1．一般地，如果 ab＝N(a>0 且 a≠1)，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 b＝logaN ，其中 a 叫作对数的 底数 ， N 叫作 真数
2．几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 以 a(a>0 且 a≠1)为底的对数 logaN 自然对数 常用对数 以___ e 为底的对数 ln N lg N
ห้องสมุดไป่ตู้
●教学建议 根据教材及学情特点，本课以探究式教学法为主，辅之 以讨论法和自学辅导法．以问题为主线，力求创设有效的教 学情境，引导学生在观察中思考，在思考中探索，在探索中 发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华．通过 具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思 维的聚敛性和发散性．同时注重信息技术与数学课程的整 合，借助多媒体设备进行辅助教学．
2020-2021学年北师大版必修1 第三章 4.1 对数及其运算 课件(31张)
部分的对应位置．
式子
名称 a bN
指数式 ab＝N 底数 指数 幂
对数式 logaN＝b 底数 对数 真数
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数学 必修1 配北师大版
第三章 指数函数和对数函数
(1)26＝64； (2)10－3＝0.001； (3)log515＝－1； (4)log1216＝－4.
完成以下指数式、对数式的互化．
第三章 指数函数和对数函数
【解】 (1)log3811＝x；(2)log116＝x； 4
(3)log2515＝－12；(4)( 2)4＝4； (5)10－3＝0.001；(6)( 2－1)－1＝ 2＋1.
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数学 必修1 配北师大版
第三章 指数函数和对数函数
【方法总结】 利用指、对数关系式互相转化时，要注意各
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第三章 指数函数和对数函数
§4 对 数 4．1 对数及其运算
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第三章 指数函数和对数函数
1 课前基础梳理
自主学习 梳理知识
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第三章 指数函数和对数函数
|学 习 目 标| 1．理解对数的概念． 2．掌握对数的基本性质． 3．掌握对数式与指数式的互化.
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第三章 指数函数和对数函数
ห้องสมุดไป่ตู้
3 基础知识达标
即学即练 稳操胜券
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第三章 指数函数和对数函数
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．e0＝1 与 ln 1＝0
B．8－13＝12与 log812＝－13
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.2函数模型及其应用第1课时函数模型
12/9/2021
第二十一页，共三十九页。
数据如下表
2.四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 的变化的
x 1 5 10 15
20
25
y1 2 y2 2
26 101 226 401 1.05×
32 1 024 32 768 106
626 3.36×
107
y3 2 10 20 30
40
50
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644
第十六页，共三十九页。
解：(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 0<x<x1 时，g(x)>f(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)>g(x)；当 x>x2 时，g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x＝x2 时，f(x)＝g(x)．
1
x2，曲线 C3 对应的函数是 g(x)＝ln x＋1. 由题图知，当 0<x<1 时，f(x)>h(x)>g(x)； 当 1<x<e 时，f(x)>g(x)>h(x)； 当 e<x<a 时，g(x)>f(x)>h(x)； 当 a<x<b 时，g(x)>h(x)>f(x)； 当 b<x<c 时，h(x)>g(x)>f(x)； 当 c<x<d 时，h(x)>f(x)>g(x)； 当 x>d 时，f(x)>h(x)>g(x)．
12/9/2021
第十八页，共三十九页。
【解】 建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1， 8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，
2018版 第3章 3.2.2 第1课时 对数函数的概念、图象与性质
对数函数的概念、图象与性质1．理解对数函数的概念．2．掌握对数函数的图象和性质．(重点) 3．能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点) 4．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)[基础·初探]教材整理1 对数函数的概念 对数函数的概念一般地，函数y ＝log a x(a >0，a ≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1．函数y ＝(a 2－4a ＋4)log a x 是对数函数，则a ＝________. 2．对数函数f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)＝________. 教材整理2 对数函数的图象与性质 1．对数函数的图象和性质a >1 0<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数2.反函数对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于y ＝x 对称．一般地，如果函数y ＝f (x )存在反函数，那么它的反函数记作y ＝f －1(x )．(1)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的定义域是________． (2)若对数函数y ＝log (1－2a )x ，x ∈(0，＋∞)是增函数，则a 的取值范围为________．(3)若g (x )与f (x )＝2x 互为反函数，则g (2)＝________.[小组合作型]类型一对数函数的概念判断下列函数是否是对数函数？并说明理由． ①y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)； ②y ＝log 2x －1； ③y ＝2log 8x ；④y ＝log x a (x ＞0，且x ≠1)．【精彩点拨】 依据对数函数的定义来判断．【自主解答】 ①中真数不是自变量x ，∴不是对数函数； ②中对数式后减1，∴不是对数函数；③中log 8x 前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数； ④中底数是自变量x ，而不是常数a ，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x.[再练一题]1．对数函数f (x )满足f (2)＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.类型二对数函数的定义域问题求下列函数的定义域．(1)f (x )＝log x －1(x ＋2)；(2)f (x )＝－lg (1－x )； (3)f (x )＝1log 2(x －1)；(4)f (x )＝11－log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)．【精彩点拨】 根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．【自主解答】(1)由题知⎩⎨⎧x －1>0，x －1≠1，x ＋2>0，解得x >1且x ≠2，∴f (x )的定义域为{x |x >1且x ≠2}．(2)由⎩⎨⎧ －lg (1－x )≥0，1－x >0，得⎩⎨⎧ lg (1－x )≤0，x <1⇒⎩⎨⎧1－x ≤1，x <1⇒0≤x <1.∴函数的定义域为[0,1)．(3)由题知⎩⎨⎧ log 2(x －1)≠0，x －1>0⇒⎩⎨⎧x －1≠1，x >1，∴x >1且x ≠2.故f (x )的定义域为{x |x >1且x ≠2}． (4)⎩⎨⎧ 1－log a (x ＋a )>0，x ＋a >0⇒⎩⎨⎧ log a (x ＋a )<log a a ，x >－a ，①②当a >1时，－a <－1.由①得x ＋a <a .∴x <0.∴f (x )的定义域为－a <x <0. 当0<a <1时，－1<－a <0.由①得x ＋a >a .∴x >0.∴f (x )的定义域为{x |x >0}．故所求f (x)的定义域是：当0<a<1时，x∈(0，＋∞)；当a>1时，x∈(－a,0)．求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．[再练一题]2．(1)函数y＝x ln (1－2x)的定义域为________．(2)函数y＝lg (x＋1)2x－1的定义域为________．[探究共研型]探究点比较对数式的大小探究1在同一坐标系中做出y＝log2x，log12x，y＝lg x，y＝log0.1x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．【提示】图象如图．结论：对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x轴．探究2函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x的图象如图3-2-1所示，那么a，b，c的大小关系如何？图3-2-1【提示】由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝log b x的图象在(1，＋∞)上比y ＝log c x 的图象靠近x 轴，所以b <c ，因此a ，b ，c 的大小关系为0<b <c <1<a .探究3 从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．【提示】 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底依次变大．(1)比较下列各组数的大小：①log 3 23与log 5 65；②log 1.1 0.7与log 1.2 0.7.(2)已知log 12b <log 12a <log 12c ，比较2b,2a,2c 的大小关系．【精彩点拨】 (1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系． (2)中可先比较a ，b ，c 的大小关系，再借助指数函数的单调性．【自主解答】 (1)①∵log 3 23<log 3 1＝0，而log 5 65>log 5 1＝0，∴log 3 23<log 5 65. ②法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log 0.7 1.1>log 0.7 1.2.∴1log 0.7 1.1<1log 0.7 1.2，由换底公式可得log 1.1 0.7<log 1.2 0.7.法二：作出y ＝log 1.1 x 与y ＝log 1.2 x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.1 0.7<log 1.2 0.7.(2)∵y ＝log 12 x 为减函数，且log 12 b <log 12 a <log 12c ，∴b >a >c . 而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c .比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．[再练一题]3．比较下列各组数的大小.(1)log3 3.4，log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；(3)log4 5与log6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．1．下列函数是对数函数的有________．(填序号)①y＝log a(2x)；②y＝log2 2x；③y＝log2x＋1；④y＝lg x.2．函数y＝ln x的单调增区间是________，反函数是________．3．函数y＝log a(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．4．(1)设a＝log3 2，b＝log5 2，c＝log2 3，则a，b，c的大小关系为________．(2)已知a＝log2 3.6，b＝log4 3.2，c＝log4 3.6，则a，b，c的大小关系为________．5．求下列函数的定义域：(1)y＝1log3(3x＋2)；(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)；(3)y＝log12(x－2).。
2018版高中数学北师大版必修一学案：第三章 4 第1课时 对数
第1课时对数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？梳理(1)对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作________________________，记作__________________．其中a叫作__________________，N叫作________．(2)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫作______________，N的常用对数log10N简记作____________．以e为底的对数称为____________，N的自然对数log e N简记作ln N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于多少？梳理 一般地，对数与指数的关系如下：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝________.对数恒等式：a log a N ＝________；log a a x ＝________(a >0，且a ≠1)．对数的性质：(1)1的对数为________．(2)底的对数为________．(3)零和负数____________．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A ．b <2或b >5B ．2<b <5C ．4<b <5D ．2<b <5且b ≠4反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0.跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域．类型二 应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x 的值．。
人教2018版第3章§55.1对数函数的概念5.2对数函数y=log2x的图像和性质
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)【解析】 由题意得⎩⎨⎧log 2 x －2≥0，x >0，解得x ≥4. 【答案】 D 2. 设集合M ＝，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)【解析】 M ＝(0,1]，N ＝(－∞，0]， 因此M ∪N ＝(－∞，1]． 【答案】 C3. 已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图像是下图中的( )【解析】 由y ＝a x 得x ＝log a y ， ∴g (x )＝log a x .又g (2)<0，∴0<a <1，∴g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的．【答案】 A4. 已知函数f (x )＝log a (2x －1)(a >0，a ≠1)的图像恒过定点P ，则P 点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D ．(1,1)【解析】 由对数函数的图像知，当2x －1＝1即x ＝1时，不论a 取何值，y ＝0，即过定点(1,0)．【答案】 B5. 函数y ＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4的值域为( )A ．[2,4]B ．[－1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]【解析】 因为14≤x ≤4，故log 214≤log 2x ≤log 24，故－2≤log 2x ≤2.【答案】 C二、填空题6. 若函数y ＝log a x 的反函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则a ＝________.【解析】 函数y ＝log a x 的反函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则函数y ＝log a x 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，2，则log a 14＝2，即a 2＝14，a ＝12.【答案】 127. 函数y ＝log (x ＋1)(16－4x )的定义域为________．【解析】由⎩⎨⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，得⎩⎨⎧x <2，x >－1，x ≠0，∴所求函数定义域为{x |－1<x <0或0<x <2}． 【答案】 {x |－1<x <0或0<x <2}8. 函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上最大值与最小值之差为________．【解析】 ∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数， ∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝ log 2(2a )－log 2a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9. 求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3(1－x )； (2)y ＝1log 2x； (3)y ＝log 711－3x. 【解】 (1)∵当1－x >0，即x <1时，函数y ＝log 3(1－x )有意义，∴函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1)．(2)由log2x≠0，得x>0且x≠1.∴函数y＝1log2x的定义域为{x|x>0，且x≠1}．(3)由11－3x>0，得x<13，∴函数y＝log711－3x的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13.10. 已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图像；(2)若f(a)<f(2)，利用图像求a的取值范围．【解】(1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．(2)由图像知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．∴所求a的取值范围为(0,2)．[能力提升]1. 函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)【解析】因为x≥1，故log2x≥log21＝0，故2＋log2x≥2，故函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．【答案】 C2. 已知a >0，且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图像只能是( )【解析】 若0<a <1，则函数y ＝a x 的图像下降且过点(0,1)，函数y ＝log a (－x )的图像上升且过点(－1,0)，以上图像均不符合，若a >1，y ＝a x 图像上升且过(0,1)，y ＝log a (－x )的图像下降且过(－1,0)．【答案】 B3 .设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是________． 【导学号：04100062】【解析】 当x ≤1时，由21－x ≤2，得1－x ≤1，解得x ≥0，故0≤x ≤1； 当x >1时，由1－log 2x ≤2，得log 2x ≥－1，解得x ≥12，故x >1.综上x ≥0.【答案】 [0，＋∞)4. 已知函数y ＝log 2x 的图像，如何得到y ＝log 2(x ＋1)的图像，y ＝log 2(x ＋1)的定义域与值域是多少？与x 轴的交点是什么？【解】 y ＝log 2x ――→左移1个单位y ＝log 2(x ＋1)，如图．定义域为(－1，＋∞)，值域为R，与x轴的交点是(0,0)．初中数学试卷。
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修1 名师讲学稿：第三章 4 对 数
§4对__数4．1对数及其运算预习课本P78～82，思考并完成以下问题1．对数的定义是什么？2．自然对数和常用对数的定义是什么？3．对数的运算性质有哪些？[新知初探]1．对数的定义如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么数b叫作以a为底N的对数．记作log a N＝b.其中，a的取值范围是a>0且a≠1，N的取值范围是N>0，b的取值范围是b∈R.2．几种常见对数对数形式特点记法一般对数以a(a＞0且a≠1)为底的对数log a N自然对数以_e为底的对数ln_N常用对数以10为底的对数lg_N[a1)的解；也可以看作一种运算，即已知底数为a(a>0，a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N ＝b又可看作幂运算的逆运算．3．对数的性质指数式与对数式的互化a b＝N⇔b＝log a N4.如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．[点睛] 在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范围(M >0，N >0，a >0，a ≠1)，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．[小试身手]1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)任意式子a x ＝N 都可以直接化为对数式．( ) (2)若M ，N 同号，则式子log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(3)指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N (a ＞0，a ≠1)的本质是一样的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．3b ＝5化为对数式是( ) A ．log b 3＝5 B ．log 35＝b C ．log 5b ＝3 D ．log 53＝b答案：B3．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg 1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 39＝2与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案：C4．log 3181等于( )A ．4B ．－4 C.14 D ．－14答案：B5．log 31－2x9＝0，则x ＝________.答案：－4指数式与对数式的互化[典例] 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)14－2＝16； (3)log 1327＝－3；(4)log x 64＝－6.[解] (1)因为3－2＝19，所以log 319＝－2.(2)因为14－2＝16，所以log 1416＝－2. (3)因为log 1327＝－3，所以13－3＝27. (4)因为log x 64＝－6，所以(x )－6＝64.指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．[活学活用]将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625；(2)log 128＝－3；(3)3a ＝27；(4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4. (2)∵log 128＝－3，∴12－3＝8. (3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.对数求值[典例] 求下列各式的值． (1)log 1381；(2)lg 0.001；(3)log ()52 (5＋2)．[解] (1)设log 1381＝m ，则⎝⎛⎭⎫13m＝81，又∵81＝34＝⎝⎛⎭⎫13－4，∴⎝⎛⎭⎫13m ＝⎝⎛⎭⎫13－4. ∴m ＝－4，即log 1381＝－4.(2)设lg 0.001＝n ，则10n ＝0.001. 又∵0.001＝10－3，∴10n ＝10－3.∴n ＝－3，即lg 0.001＝－3.(3)设log (5－2)(5＋2)＝p ，则(5－2)p ＝5＋2. 又∵5＋2＝15－2＝(5－2)－1， ∴(5－2)p ＝(5－2)－1，∴p ＝－1. ∴log (5－2)(5＋2)＝－1.求对数式log a N 的值的步骤： (1)设log a N ＝m ；(2)将log a N ＝m 写成指数式a m ＝N ；(3)将N 写成以a 为底的指数幂N ＝a b ，则m ＝b ，即log a N ＝b . [活学活用] 求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.解：(1)设log 28＝x ，则2x ＝8＝23. ∴x ＝3.∴log 28＝3.(2)设log 919＝x ，则9x ＝19＝9－1，∴x ＝－1.∴log 919＝－1.(3)ln e ＝1. (4)lg 1＝0.对数的性质及对数恒等式[典例] 计算： (1)log 2(log 55)； (2)2212；(3)2+22log 52＋log 25.[解] (1)原式＝log 21＝0； (2)221log 52＝ 22log5＝5. (3)222+log5＝2+22log 4log 5＝22log 20＝20.(1)对数的基本性质常用来化简或求值，应用时注意底数的恰当选用．(2)对数恒等式注意事项：①两底相同，即幂底与对数底相同；②对数的系数必须是1. [活学活用](1)已知log 2()log 3(log 4x )＝log 3(log 4(log 2y ))＝0，求x ＋y 的值； (2)求3+31log 6－2+24log 3＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫193log 4. 解：(1)∵log 2(log 3(log 4x ))＝0， ∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3. ∴x ＝43＝64.同理可得y ＝24＝16. ∴x ＋y ＝80.(2)原式＝31·3log 36－24·2log 23＋(10lg 3)3＋3－2·log 34 ＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.对数的运算性质[典例] 计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[解] (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．[活学活用] 求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2·32)]÷log 64 ＝[(log 62)2＋log 62(log 62＋log 632)]÷2log 62 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2·log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2·3)＝1.对数方程的求解[典例] 解下列关于的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)； (3)(lg x )2＋lg x 3－10＝0.[解] (1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ，解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1＞0,3x ＞0.故x ＝1.(2)由log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)得2x ＋1＝x 2－2，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. 检验：当x ＝－1时，2x ＋1＜0，x 2－2＜0，不满足真数大于0，舍去； 当x ＝3时，2x ＋1＞0，x 2－2＞0.故x ＝3.(3)原方程整理得(lg x )2＋3lg x －10＝0，即(lg x ＋5)·(lg x －2)＝0，所以lg x ＝－5或lg x ＝2，解得x ＝10－5或x ＝102.经检验知：x ＝10－5，x ＝102都是原方程的解．对数方程的一般解法根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；(2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x )的一元二次方程，再由对数式与指数式的互化解得x . 因此解对数方程就是将其化成同底数的对数式来求解，或利用换元法转化成一元二次方程求解，注意解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．[活学活用]求方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解． 解：lg x ＋lg(x ＋3)＝lg x (x ＋3)＝1， ∴x (x ＋3)＝10，即x 2＋3x －10＝0，∴(x －2)(x ＋5)＝0，解得x ＝2或x ＝－5.又∵x ＞0，∴x ＝2.即方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解为x ＝2.层级一 学业水平达标1．已知a 23＝49(a ＞0)，则log 23a ＝( )A ．2B ．3 C.12D.13解析：选B 由a 23＝⎝⎛⎭⎫4932，得a ＝4932＝⎝⎛⎭⎫233，∴log 23a ＝log 23⎝⎛⎭⎫233＝3.2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析：选C lg(lg 10)＝lg 1＝0；ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故④错误．3．35－log 37等于( ) A ．35B.357C.735 D ．－7解析：选B 35－log 37＝35·3－log 37＝353log 37＝357.4．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝( ) A.1049 B.710 C.107D.4910解析：选C ∵a ＝log 310，b ＝log 37， ∴3a＝10,3b＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 5．若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( ) A ．a ＋2b －3c B.2ab3c C.ab 2c3 D ．ab 2－c 3 解析：选C lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ab 2c3，∴x ＝ab 2c3.6．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________. 解析：由题意得log x 9＝2，∴x ＝3. 答案：37．计算lg 14－lg 25÷100-12＝________.解析：lg 14－lg 25÷100-12＝lg 1100÷10－1＝－2×10＝－20.答案：－208．化简：log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132＝______________________________.解析：原式＝log 212×23×34×…×3132＝log 2132＝－5.答案：－59．求下列各式的值： (1)4lg 2＋3lg 5－lg 15；(2)1＋12lg 9－lg 2401－23lg 27＋lg 365；(3)lg 37＋lg 70－lg 3；(4)lg 22＋lg 5·lg 20－1.解：(1)原式＝4lg 2＋3lg 5－lg 1＋lg 5 ＝4lg 2＋4lg 5＝4(lg 2＋lg 5)＝4lg 10＝4. (2)原式＝1＋12lg 32－lg 24－lg 101－23lg 33＋lg 36－lg 5＝lg 3－lg 3－lg 81－2lg 3＋2lg 3＋lg 4－lg 5＝－lg 81－lg 5＋lg 4＝－lg 8lg 2＋lg 4＝－lg 8lg 8＝－1.(3)原式＝lg 3－lg 7＋lg 7＋lg 10－lg 3 ＝lg 10＝1.(4)原式＝lg 22＋lg 5(1＋lg 2)－1 ＝lg 22＋(1－lg 2)(1＋lg 2)－1＝lg 22＋1－lg 22－1＝0.10．(1)已知lg x ＋lg(2y )＝2lg(x －4y )，求log 2xy ； (2)设a ＝lg 2，b ＝lg 3，试用a ，b 表示lg 108. 解：(1)由已知得lg(2xy )＝lg(x －4y )2， ∴2xy ＝(x －4y )2，∴2xy ＝x 2－8xy ＋16y 2. ∴x 2－10xy ＋16y 2＝0，∴x ＝2y 或x ＝8y . ∵x ＞0，y ＞0，x －4y ＞0，∴x ＝2y (舍去)， ∴x ＝8y ，即x y ＝8，∴log 2xy ＝log 28＝3； (2)∵108＝4×27＝22×33， ∴lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33)＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3＝a ＋32b . 层级二 应试能力达标1．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝( ) A ．3a B.32a C ．aD.a 2解析：选A lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23 ＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2) ＝3(lg x －lg y )＝3a .2．方程(lg x )2＋(lg 2＋lg 3)lg x ＋lg 2lg 3＝0的两根的积x 1x 2等于( ) A ．lg 2＋lg 3 B ．lg 2lg 3 C.16D ．－6 解析：选C ∵lg x 1＋lg x 2＝－(lg 2＋lg 3)＝－lg 6， ∴lg(x 1x 2)＝－lg 6＝lg 6－1＝lg 16，∴x 1x 2＝16.3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a解析：选Clg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b1－a.4．已知2x ＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．6B ．8C ．4D ．log 48解析：选A 由2x ＝9，得log 29＝x ，∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283＝log 29＋log 2649＝log 264＝6.5．若log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0，则ab ＝________. 解析：由log 3[log 4(log 5a )]＝0知log 4(log 5a )＝1， ∴log 5a ＝4，即a ＝54，同理可得b ＝53，∴a b ＝5453＝5.答案：56. ⎝⎛⎭⎫12.051log 4－＋－1＋log 0.54的值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫12.051log 4－＋＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12.05log 4 ＝2×4＝8. 答案：87．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，求α·β的值． 解：方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根． 由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5) ＝－lg 35＝lg 135，∴lg(α·β)＝lg α＋lg β＝lg 135，即α·β＝135.8．已知f (x )＝x 2＋(lga ＋2)x ＋lgb ，f (－1)＝－2，当x ∈R 时，f (x )≥2x 恒成立，求实数a ，b 的值．解：由f (－1)＝－2得，1－(lg a ＋2)＋lg b ＝－2， ∴lg b a ＝－1＝lg 110，∴b a ＝110，即a ＝10b .又f (x )≥2x 恒成立，∴x 2＋(lg a )x ＋lg b ≥0对x ∈R 恒成立， ∴(lg a )2－4lg b ≤0，即[lg(10b )]2－4lg b ≤0，∴(1－lg b )2≤0， ∴lg b ＝1，b ＝10，从而a ＝100，故实数a ，b 的值分别为100,10.4．2 换底公式预习课本P83～85，思考并完成以下问题1．换底公式的内容是什么？2．如何证明换底公式？[新知初探]对数换底公式： log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)． [点睛] 换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为同底的对数，再运用运算性质进行运算．[小试身手]1．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选D (log 29)·(log 34) ＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92 解析：选Blog 49log 43＝log 39＝2. 3．log 23·log 34·log 42＝________. 解析：log 23·log 34·log 42 ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 2lg 4＝1. 答案：14．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________.解析：log 513·log 36·log 6x ＝lg13lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝－lg x lg 5＝log 51x ＝2，∴1x ＝25，即x ＝125.答案：125利用换底公式化简求值[典例] 计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． [解] (1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54.(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n 为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m ＝mn log a b . [活学活用]1．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：选C 原式＝log 3224·log 2334 ＝2log 32·43log 23＝83.2．计算log 225·log 322·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6. 利用换底公式解决条件求值问题[典例] 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. [解] 法一：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 又log 189＝a ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a.法二：因为lg 9lg 18＝log 189＝a ，所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18，所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a . 法三： ∵log 189＝a ，∴log 18182＝1－log 182＝a ， ∴log 182＝1－a .∵18b ＝5，∴log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b2－a.换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用．注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e 为底的常用对数或自然对数．[活学活用](1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 1456. (2)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值．解：(1)∵log 23＝a ，log 37＝b ，∴log 23·log 37＝ab ，即log 27＝ab ，∴log 1456＝log 256log 214＝log 2(7×23)log 2(7×2)＝log 27＋3log 27＋1＝ab ＋3ab ＋1. (2)∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.[典例]光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)[解] (1)依题意得y ＝a ⎝⎛⎭⎫1－110x ＝a ⎝⎛⎭⎫910x ， 其中x ≥1，x ∈N ；(2)依题意得a ⎝⎛⎭⎫910x ≤a ×12⇒⎝⎛⎭⎫910x ≤12 ⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.故通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．[类题通法]解对数应用题的一般步骤：[活学活用]测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级，1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是8.3级的几倍，7.1级的几倍．(lg 2＝0.3)解：由题意可设lg x ＝8.9，lg y ＝8.3，lg z ＝7.1，则lg x －lg y ＝8.9－8.3＝0.6＝2lg 2＝lg 4，从而lg x ＝lg 4＋lg y ＝lg(4y )．∴x ＝4y .lg x －lg z ＝8.9－7.1＝1.8＝6lg 2＝lg 26＝lg 64，从而lg x ＝lg z ＋lg 64＝lg(64z )．∴x ＝64z .故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．层级一 学业水平达标1．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋ba .a ＋b b C.a a ＋b.b a ＋b解析：选B log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋bb . 2．设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m 的值为( ) A.12 B ．9 C ．18D ．27解析：选B log 34·log 48·log 8m ＝lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 3m .又log 416＝2，∴log 3m ＝2，∴m ＝32＝9.3．已知a ＝log 32，则log 38－2log 36的值是( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 解析：选A log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 4.1log 4119＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3 C.1lg 3D ．－1lg 3解析：选C 原式＝log 1914＋log 1315＝log 94＋log 35＝log 32＋log 35＝log 310＝1lg 3.5．已知方程x 2＋x log 26＋log 23＝0的两根为α，β，则14α·14β＝( )A.136 B ．36 C ．－6D ．6解析：选B 由题意知：α＋β＝－log 26，14α·14β＝14α＋β＝14－log 26＝4log 26＝22log 26＝36.6．log 43＋log 83lg 2lg 3＝________.解析：原式＝lg 3lg 4＋lg 3lg 8lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56. 答案：567．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝__________.(用p ，q 表示) 解析：lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝q p ＋q .答案：qp ＋q8．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x ＋5＞0，(x －1)2＝x ＋5，解得x ＝4.答案：x ＝49．计算下列各式的值： (1)log 2125·log 318·log 519； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)． 解：(1)原式＝log 25－2·log 32－3·log 53－2 ＝－12log 25·log 32·log 53＝－12·lg 5lg 2·lg 2lg 3·lg 3lg 5＝－12.(2)原式＝(log 23＋log 3232)(log 322＋log 2323＋log 32)＝53log 23·92log 32＝152·1log 32·log 32＝152. 10．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z .证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y .层级二 应试能力达标1．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( ) A.a b －1.32(b －1)C.3a 2(b ＋1).3(a －1)2b解析：选C ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝2lg 33lg 2＝a ， ∴23log 23＝a ，∴log 23＝32a . lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1). 2．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则lg ab 2的值等于( )A ．2 .12 C ．4.14解析：选A 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝lg m lg 2，b ＝lg mlg 5，则1a ＋1b ＝lg 2lg m ＋lg 5lg m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m 2＝10.又m ＞0，∴m ＝10.4．已知log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 2＝( ) A ．p 2＋q 2 B.15(3p ＋2q ) C.13pq ＋1D ．pq解析：选C 因为p ＝log 83＝lg 3lg 8，q ＝log 35＝lg 5lg 3， 所以pq ＝lg 3lg 8·lg 5lg 3＝lg 5lg 23＝1－lg 23lg 2，则lg 2＝13pq ＋1. 5．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lgE －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．解析：设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000. 答案：1 0006．已知x 3＝3，则3log 3x －log x 23＝________. 解析：3log 3x ＝log 3x 3＝log 33＝1， 而log x 23＝log x 3332＝log 3332＝32，∴3log 3x －log x 23＝1－32＝－12.答案：－127．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小：把一很小的声压p 0＝2×10－5Pa 作为参考声压，把所要测量的声压p 与参考声压p 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压p 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002 Pa ，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良． 解：(1)由已知得y ＝20lg p p 0(其中p 0＝2×10－5)；(2)当p ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(dB)．由已知条件知40 dB 小于60 dB ， 所以此地为噪音无害区，环境优良．8．已知log a x ＋3log x a －log x y ＝3(a ＞1)． (1)若设x ＝a t ，试用a ，t 表示y ；(2)若当0＜t ≤2时，y 有最小值8，求a 和x 的值． 解：(1)由换底公式，得log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3(a ＞1)， 所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3.当x ＝a t 时，log a x ＝log a a t ＝t ，所以log a y ＝t 2－3t ＋3. 所以y ＝a t 2－3t ＋3(t ≠0)．(2)y ＝a ⎛⎫ ⎪⎝⎭233-+24t ，因为0＜t ≤2，a ＞1，所以当t ＝32时，y min ＝a 34＝8.所以a ＝16，此时x ＝a 32＝64.。