(新教材)【人教A版】必修一4.2.1(数学)

角度2 衰减型指数函数模型 【典例】调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原 因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精
含量不得超过0.2 mg/ml.如果某人喝了少量酒后,血液 中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/ml,在停止喝酒后,血
液中酒精含量就以每小时50%的速度减少,则他至少要 经过________小时后才可以驾驶机动车. ( ) A.1 B.2 C.3 D.4
()
A.
B.1
C. 3
D.0
a
6
22
【解析】选A.点(a,27)在函数y=(
所以27=( )a,即33= ,
所以 =3,
a
解得a=6,所3以
32
a
2
)x的图象上,
3
a 6．
2.若指数函数y=f(x)的图象经过点 ______.
(2,
1
,则
)
16
f ( 3) 2
【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为f(x)过点 所以 =a-2,所以a=4,所以f(x)=4x,
【素养·探】 在指数函数模型的应用性问题中,常常用到核心素养
中的数学运算和数据分析,利用指数幂的运算性质进行 运算. 本例中,哪一年年底该地区的农民人均年收入超过5 000元?
【解析】设经过x年后,年底该地区的农民人均年收入 超过5 000元,则3 000×1.06x≥5 000, 经验证,因为3 000×1.069≈5 068>5 000, 故到2 023年年底该地区的农民人均年收入超过5 000 元.
A.3 000×1.06×7元 B.3 000×1.067元 C.3 000×1.06×8元 D.3 000×1.068元
【思维·引】利用指数增长模型y=N(1+p)x(x∈N)列式 .
【解析】选B.设经过x年,该地区的农民人均年收入为y 元,依题意有y=3 000×1.06x, 因为2 014年年底到2 021年年底经过了7年, 故把x=7代入,即可求得y=3 000×1.067.
24
无意义.
③如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
(2)指数函数的解析式有什么特征? 提示:①a>0,且a≠1;②ax的系数为1;③自变量x的系数 为1.
2.指数型函数模型 形如y=kax(k∈R,且k≠0;a>0且a≠1)的函数是指数型 函数模型.
2
2
2
类型一 指数函数的概念
【典例】1.以x为自变量的四个函数中,是指数函数的
为( )
A.y=(π -1)x
B.y=(1-π )x
C.y=3x+1
D.y=x2
2.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a的值为 ________.
【思维·引】1.根据指数函数解析式的特征判断. 2.根据指数函数的定义式列出方程求解.
【解析】1.选A.由指数函数的定义可知选A. 2.由题意得a2-3a+3=1,即(a-2)(a-1)=0,解得a=2或 a=1(舍). 答案:2
【内化·悟】 从自变量所在位置看,指数函数与幂函数有什么区别
? 提示:指数函数y=ax(a>0且a≠1)中自变量x在指数位置 . 幂函数y=xα中自变量x在底数位置.
(1)x 2
类型二 指数函数的解析式
【典例】1.指数函数y=f(x)的图象经过点
,则
f(-π )=________. 2.指数函数y=f(x)的图象经过点
那(么，f2() 4)·
f(2)=________.世纪金榜导学号
(2，1 )， 4
【思维·引】1.设出指数函数的解析式,代入(π ,
),再求f(-π ).
A.8
B.
C.4
D.2
3 2
【解析】选D.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数, 所以2a-3=1,解得a=2, 所以f(x)=2x,所以f(1)=2.
2.已知函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,则实数a的取值 范围是__________.
【解析】由题意可知 2a－1 0，解得a> 1 ,且a≠1.
(2,
1 16
)
,
所以 1
答案:16
f (
3)

3
42

1.
2
8
1
8
类型三 指数型函数的实际应用 角度1 增长型指数函数模型 【典例】随着我国经济的不断发展,2014年年底某偏远 地区农民人均年收入为3 000元,预计该地区今后农民 的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长,那么2021 年年底该地区的农民人均年收入为 ( ) 世纪金榜导学号
【思考】 设原有量为N,每次的增长量为p,经过x次增长,该量
增长到y,则x,y之间满足的关系式是什么? 提示:y=N(1+p)x(x∈N).
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=x5是指数函数. ( )
(2)y=2ax(a>0,且a≠1)是指数函数.
()
(3)y= 是刻画指数增长变化规律的函数模型.
4.2 指 数 函 数 4.2.1 指数函数的概念
1.指数函数 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自 变量,定义域是R.
【思考】 (1)为什么指数函数的底数a>0,且a≠1?
提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;
当x≤0时,ax无意义. ②如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x= 1 , 1 ,…,该函数
B.2(1+0.03)5万元
C.2(1+0.3)4万元
D.2(1+0.03)4万元
【解析】选B.由题意可得,5年后本利和为人民币 2(1+0.03)5万元.
3.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)=________. 【解析】由题意,设f(x)=ax(a>0且a≠1),则由f(2)=a2 =2,得a= ,所以f(x)=( )x. 答案:( )x
【习练·破】 已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品
2017年底的生产成本为6 400元/件,那么2020年底的生 产成本为________元/件.
【解析】由题意得,2020年底的生产成本为:6 400×(125%)3=6 400× =2 700(元/件). 答案:2 700 (3)3
4
2a 1 1,
2
所以实数a的取值范围是
答案:
∪(1,+∞)
(1，1) (1，＋)． 2
( 1，1) 2
【加练·固】 下列一定是指数函数的是 ( )
A.y=ax B.y=xa(a>0且a≠1)
D.y=(a-2)ax
C．y＝( 1 ) x 2
Hale Waihona Puke 【解析】选C.A中a的范围没有限制,故不一定是指数函 数; B中y=xa(a>0且a≠1)中变量是底数,故也不是指数函数; C中y= 显然是指数函数;D中只有a-2=1即a=3时为指 数函数.
【内化·悟】 怎样设指数函数的解析式?
提示:设指数函数为f(x)=ax(a>0,且a≠1).
【类题·通】 求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1). (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式.
【习练·破】
1.若点(a,27)在函数y=( )x的图象上,则 的值为
【类题·通】 判断一个函数是指数函数的方法
(1)把握指数函数解析式的特征:①底数a>0且a≠1; ②ax的系数为1;③自变量x的系数为1. (2)有些函数需要对解析式变形后判断,如
是指数函数.
y
1 3x
(1)x 3
【习练·破】
1.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= ( )
()
3( 1 )x 2
提示:(1)×.y=x5不是指数函数,指数函数的底数是常 数. (2)×.指数函数的系数为1. (3)×.y= 3(1)x是刻画指数衰减变化规律的函数模型.
2
2.按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年息
3%,5年后支取,本利和为人民币 ( )
A.2(1+0.3)5万元
2
2.先求出指数函数的解析式,再计算乘积式.
【解析】1.设指数函数的解析式为y=ax(a>0,且a≠1),
则 =aπ ,所以f(-π )=a-π =(aπ )-1=
.
答案:
2
( 2)1＝ 2 2
2 2
2.设指数函数的解析式为y=ax(a>0,且a≠1),因为函数 的图象经过点 所所以以指数=a函-2数,所的(以解2，a14析=)，2式, 为y=2x, 所以f(14)·f(2)=24·22=26=64. 答案:644
【思维·引】列出血液中酒精含量随时间变化的关系 式,列出方程后求时间.
【解析】选B.设n个小时后才可以驾车, 由题意得方程0.8(1-50%)n=0.2, 0.5n= ,解得n=2, 即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车.
1
4
【类题·通】 关于指数型函数模型
设原有量为N,每次的增长(衰减)率为p,经过x次增长( 衰减),该量增长到y,则y=N(1±p)x(x∈N).