函数复习试卷2
实变函数复习题2
实变函数复习题2一、判断题1、R n 中全体子集构成一个σ代数。
（）2、存在闭集使其余集仍为闭集。
（）3、若E 是可测集，F 是E 的可测子集，则()mF mE F E m -=-。
（）4、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。
（）5、可数个可数集的并集是可数集。
（）6、可数个δG 集的交集不一定是δG 集。
（）7、若E 是可测集，f(x)是E 上的实函数，则f(x)在E 上可测的充要条件是：存在实数a ，使得E [x |f>a ]是可测集。
（）8、若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是：存在实数a ，使[]a f x E >是可测集。
（）9、若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负可测函数，则)(x f 在E 上一定可积。
（）10、若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负简单函数，则⎰Edx x f )(一定存在。
（）二、选择题。
（没到题只有一个答案正确，多选或者不选均为零分，每道题1.5分，共15分）1、下列集合关系成立的是（）A. () B A =B B \AB. ()A =B B \AC. ()A A A \B ⊆D. ()A A \B ⊆2、若E ⊂R n 是开集，则（）A. E ’ ⊂EB. E 的内部=EC. E E =D. E ’ = E3、设Q 是有理数，则下列正确的是（） A . ;]1,0[>Q B. ;]1,0[<Q C. ;]1,0[=Q D. 以上都不正确。
4、设E 是R n 中的可测集，)(x f 为E 上的可测函数，若⎰=Edx x f 0)(则（）A. 在E 上，f(z)不一定恒为零B. 在E 上，f(z)≥0C. 在E 上，f(z)≡0D. 在E 上，f(z)≠05、设E 是R 1中的可测集，在)(x ϕ是E 上的简单函数，则（）A. )(x ϕ是E 上的连续函数B. )(x ϕ是E 上的单调函数C. )(x ϕ是E 上一定不L 可积D. )(x ϕ是E 上的可测函数6、设)(x f 是],[b a 的有界单调函数，则（）A. )(x f 不是],[b a 的有界变差函数B. )(x f 不是],[b a 的绝对连续函数C. )(x f 在],[b a 上几乎处处连续D. )(x f 不在],[b a 上几乎处处可导7、若E ⊂R 1至少有一个内点，则（）A. m*E 可以等于零B. E 是可测集C. E 可能是可数集D. m*E >08、设E 是[0,1]中的全部无理点全体，则（）A. E 是可测集B. E 是闭集C. E 中的每一点都是聚点D. m*E<09、设)(x f 在可测集E 上L 可积，则（）A. )(x f +和)(-x f 有且仅有一个在E 上L 可积B. )(x f +和)(-x f 不都在E 上L 可积C. )(x f 在E 上不一定L 可积D. )(x f 在E 上一定L 可积10、设E ⊂],[b a 是可测集，则E 的特征函数)(x χ是（）A. 在],[b a 上不是简单函数B. 在],[b a 上的可测函数C. 在E 上不是连续函数D. ],[b a 上的连续函数三、填空题（将正确的答案填在横线上，每道题1分，共10分）1.设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则A\B = c B A ⋂。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题2(函 数)
阶段性测试题二(函 数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．(－13，13)D ．(－∞，－13)[答案] B[解析] 为使f (x )＝3x 21－x＋lg(3x ＋1)有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1，故选B.(理)(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )的定义域为(0,1)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－12，0)C ．(－1,0)D ．(12，1)[答案] B[解析] 要有f (2x ＋1)有意义，应有0<2x ＋1<1， ∴－12<x <0，故选B.2．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)[答案] C[解析] ∵f (0)·f (1)＝(e 0－2)·(e －1)<0，∴选C.3．(文)(2014·枣庄市期中)函数y ＝16－3x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] 要使函数有意义，应有16－3x ≥0，∴3x ≤16， 又3x >0，∴0<3x ≤16，∴0≤16－3x <16，∴0≤y <4，故选C.(理)(2014·北京海淀期中)下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝ln x C ．f (x )＝2x D ．f (x )＝tan x[答案] C[解析] ∵x ≥0，ln x ∈R,2x >0，tan x ∈R ，∴选C.4．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 0.34，则( ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．c <a <b[答案] D[解析] ∵0<0.32<1,20.3>20＝1，log 0.34<log 0.31＝0，∴c <a <b . (理)(2014·北京朝阳区期中)若0<m <1，则( ) A ．log m (1＋m )>log m (1－m ) B ．log m (1＋m )>0 C ．1－m >(1＋m )2 D ．(1－m )13>(1－m )12[答案] D[解析] ∵0<m <1，∴1<m ＋1<2,0<1－m <1，∴y ＝log m x 为减函数，y ＝(1－m )x 为减函数，∴log m (1＋m )<log m 1<log m (1－m )，A 、B 错；(1＋m )2>1>1－m ，C 错；(1－m )13>(1－m )12，故正确答案为D.5．(2014·山东省菏泽市期中)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝3，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] ∵f (1)＝1，f (2)＝3，f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－1，f (－2)＝－3，∵f (x )周期为5， ∴f (8)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－2.6．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0，则f [f (116)]＝( )A ．9B ．－19C.19D ．－9[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >03x ，x ≤0∴f (116)＝log 4116＝－2，f [f (116)]＝f (－2)＝3－2＝19，故选C.(理)(2014·江西临川十中期中)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，则f (－4)等于( )A ．2 B.12 C ．32 D.132[答案] D[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x(x ≥3)，f (x ＋3) (x <3)，∴f (－4)＝f (－1)＝f (2)＝f (5)＝2－5＝132.7．(文)(2014·河南省实验中学期中)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝e x －e －x 2D ．y ＝x 3＋1[答案] B[解析] y ＝x 3＋1是非奇非偶函数；y ＝e x －e －x2为奇函数；y ＝cos2x 在(1,2)内不是单调增函数，故选B.(理)(2014·广东梅县东山中学期中)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是单调递增的是( )A ．y ＝2|x ＋1|B ．y ＝x 2＋2|x |＋3C ．y ＝cos xD ．y ＝log 0.5|x |[答案] B[解析] y ＝2|x ＋1|是非奇非偶函数；y ＝cos x 在(0，＋∞)上不是单调增函数，y ＝log 0.5|x |在(0，＋∞)上单调递减，故选B.8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝( )A ．338B ．337C ．1678D ．2013[答案] B[解析] ∵定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋3)＝－f (x )，∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数．又当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0,2013＝6×335＋3，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2013)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，选B.9．(文)(2014·枣庄市期中)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y 与行走时间x 之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )[答案] D[解析] 由图象知，张大爷散步时，离家的距离y 随散步行走时间x 的变化规律是，先均速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小，故选D.(理)(2014·泸州市一诊)函数f (x )＝(1－1x2)sin x 的图象大致为( )[答案] A[解析] 首先y ＝1－1x 2为偶函数，y ＝sin x 为奇函数，从而f (x )为奇函数，故排除C 、D ；其次，当x ＝0时，f (x )无意义，故排除B ，选A.10．(2014·安徽程集中学期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －a (x <1)，log a x (x ≥1).是(－∞，＋∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[32，3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，3－2a ≤0，∴32≤a <3，故选C. 11．(文)(2014·银川九中一模)如果不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么函数y＝f (－x )的大致图象是( )[答案] C[解析] 由于不等式ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，∴a <0，且－2和1是方程ax 2－x －c ＝0的两根，∴a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2，∴y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，故选C.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )[答案] C[解析] f (x )＝(1－cos x )sin x ＝4sin 3x 2cos x 2，∵f (π2)＝1，∴排除D ；∵f (x )为奇函数，∴排除B ；∵0<x <π时，f (x )>0，排除A ，故选C. 12.(2014·山西曲沃中学期中)如图，直角坐标平面内的正六边形ABCDEF ，中心在原点，边长为a ，AB 平行于x 轴，直线l ：y ＝kx ＋t (k 为常数)与正六边形交于M 、N 两点，记△OMN 的面积为S ，则关于函数S ＝f (t )的奇偶性的判断正确的是( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．既不是奇函数，也不是偶函数D ．奇偶性与k 有关 [答案] B[解析] 设直线OM 、ON 与正六边形的另一个交点分别为M ′、N ′，由于正六边形关于点O 成中心对称，∴OM ′＝OM ，ON ′＝ON ，从而△OM ′N ′与△OMN 成中心对称，设直线l 交y 轴于T ，直线M ′N ′交y 轴于T ′，则|OT |＝|OT ′|，且S △OM ′N ′＝S △OMN ，即当t <0时，有S ＝f (t )＝f (－t )，∴S ＝f (t )为偶函数．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·营口三中期中)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (1－x )．若当0≤x ＜1时，f (x )＝2x ，则f (log 26)＝________.[答案] 32[解析] ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的周期函数，∴f (log 26)＝f (log 26－2)＝f (log 232)，∵0<log 232<1，14．(文)(2014·河南省实验中学期中)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．[答案] x ＝log 23[解析] 令2x ＝t ，则t >0，∴原方程化为t 2－2t －3＝0，∴t ＝3. 即2x ＝3，∴x ＝log 23.(理)(2014·长安一中质检)方程33x－1＋13＝3x －1的实数解为________． [答案] x ＝log 34[解析] 令3x ＝t ，则t >0，∴原方程化为3t －1＋13＝t3，∴t ＝4，即3x ＝4，∴x ＝log 34.15．(2014·北京海淀期中)已知a ＝log 25,2b ＝3，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________． [答案] a >b >c[解析] 因为，a ＝log 25>log 24＝2，c ＝log 32<log 33＝1，由2b ＝3得，b ＝log 23,1＝log 22<log 23<log 24＝2，所以a >b >c .16．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ， x ≥0，x 2－2x ， x <0.若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．[答案] －3<a <1[解析] 根据所给分段函数，画图象如下：可知函数f (x )在整个定义域上是单调递减的， 由f (3－a 2)<f (2a )可知，3－a 2>2a ，解得－3<a <1. (理)(2014·湖南省五市十校联考)下列命题： ①函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数；②点A (1,1)，B (2,7)在直线3x －y ＝0两侧；③数列{a n }为递减的等差数列，a 1＋a 5＝0，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则当n ＝4时，S n 取得最大值；④定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2b 1b 2＝a 1b 2－a 2b 1，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x 1x 13x 的图象在点(1，13)处的切线方程是6x －3y －5＝0.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都写上)．[答案] ②④[解析] y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，∴①错；∵(3×1－1)(3×2－7)<0，∴②正确；∵{a n }为递减等差数列，∴d <0，∵a 1＋a 5＝0，∴a 1>0，a 5<0，且a 3＝0，∴当n ＝2或3时，S n 取得最大值，故③错；由新定义知f (x )＝13x 3＋x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2＋2x －1，∴f ′(1)＝2，故f (x )在(1，13)处的切线方程为y －13＝2(x －1)，即6x －3y －5＝0，∴④正确，故填②④.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2ax 2＋4x －3－a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值；(2)如果函数f (x )在R 上有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x 2＋4x －4 ＝2(x 2＋2x )－4＝2(x ＋1)2－6.因为x ∈[－1,1]，所以x ＝1时，f (x )取最大值f (1)＝2.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a ＋2>0，a ≠0，∴a <－2或－1<a <0或a >0，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．(理)(2014·北京朝阳区期中)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R . (1)若函数y ＝f (x )的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[－1,1]上存在零点，求a 的取值范围；(3)设函数g (x )＝bx ＋5－2b ，b ∈R .当a ＝0时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，求b 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )的图象与x 轴无交点，∴Δ＝16－4(a ＋3)<0，∴a >1.(2)∵f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (x )在[－1,1]上单调递减，欲使f (x )在[－1,1]上存在零点，应有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (－1)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，8＋a ≥0，∴－8≤a ≤0. (3)若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)＝g (x 2)，只需函数y ＝f (x )的值域为函数y ＝g (x )值域的子集即可．∵函数y ＝f (x )在区间[1,4]上的值域是[－1,3]，当b >0时，g (x )在[1,4]上的值域为[5－b,2b ＋5]，只需⎩⎪⎨⎪⎧5－b ≤－1，2b ＋5≥3，∴b ≥6；当b ＝0时，g (x )＝5不合题意，当b <0时，g (x )在[1,4]上的值域为[2b ＋5,5－b ]，只需⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋5≤－1，5－b ≥3，∴b ≤－3.综上知b 的取值范围是b ≥6或b ≤－3.18．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)已知二次函数f (x )满足条件：①在x ＝1处导数为0；②图象过点P (0，－3)；③在点P 处的切线与直线2x ＋y ＝0平行． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求在点Q (2，f (2))处的切线方程．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (0)＝－3，f ′(0)＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c ＝－3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴f (x )＝x 2－2x －3.(2)由(1)知f (x )＝x 2－2x －3，f ′(x )＝2x －2，∴切点Q (2，－3)，在Q 点处切线斜率k ＝f ′(2)＝2， 因此切线方程为y ＋3＝2(x －2)，即2x －y －7＝0.(理)(2014·河南淇县一中模拟)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)证明当m ≤2时，f (x )>0. [解析] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m，由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此，当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 故只需要证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，所以ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)>0， 综上，当m ≤2时，f (x )>0.19．(本小题满分12分)(文)(2014·枣庄市期中)已知函数f (x )＝a －22x －1(a ∈R )．(1)用单调函数的定义探索函数f (x )的单调性； (2)求实数a 使函数f (x )为奇函数．[解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．任取非零实数x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在(－∞，0)上单调递增． 同理可证，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)解法一：对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝a －22x －1＋a －22－x －1＝2a －22x －1－2·2x1－2x ＝2a ＋2·2x －22x －1＝2a ＋2.若函数f (x )为奇函数，则有2a ＋2＝0，解得a ＝－1， 此时f (－x )＝－f (x )． 所以a ＝－1为所求．解法二：若函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)，即a －22－1－1＝－(a －221－1)．解得a ＝－1.当a ＝－1时，对∀x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有－x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． f (x )＋f (－x )＝－1－22x －1－1－22－x －1＝－2－22x －1－2·2x1－2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数． 所以a ＝－1为所求．(理)(2014·泉州实验中学期中)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)已知f (x )是减函数，若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，定义域为R ， ∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2x a ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知，1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，∵f (x )为减函数，∴t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，∴判别式Δ＝4＋12k <0，∴k <－13.20．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)函数f (x )＝2ax －x 2＋ln x ，a 为常数． (1)当a ＝12时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝12时，f (x )＝x －x 2＋ln x ，则f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1－2x ＋1x ＝－(2x ＋1)(x －1)x .由f ′(x )>0，得0<x <1；由f ′(x )<0，得x >1； ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴f (x )的最大值为f (1)＝0. (2)∵f ′(x )＝2a －2x ＋1x.若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，则f ′(x )≥0，或f ′(x )≤0在区间[1,2]上恒成立． ∴2a －2x ＋1x ≥0，或2a －2x ＋1x ≤0在区间[1,2]上恒成立．即2a ≥2x －1x ，或2a ≤2x －1x 在区间[1,2]上恒成立．设h (x )＝2x －1x ，∵h ′(x )＝2＋1x 2>0，∴h (x )＝2x －1x 在区间[1,2]上为增函数．∴h (x )max ＝h (2)＝72，h (x )min ＝h (1)＝1，∴只需2a ≥72，或2a ≤1，∴a ≥74，或a ≤12.(理)(2014·韶关市曲江一中月考)如图是函数f (x )＝a3x 3－2x 2＋3a 2x 的导函数y ＝f ′(x )的简图，它与x轴的交点是(1,0)和(3,0)．(1)求函数f (x )的极小值点和单调递减区间； (2)求实数a 的值．[解析] (1)由图象可知：当x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，1)上为增函数； 当1<x <3时，f ′(x )<0，f (x )在(1,3)上为减函数； 当x >3时，f ′(x )>0，f (x )在(3，＋∞)为增函数；∴x ＝3是函数f (x )的极小值点，函数f (x )的单调减区间是(1,3)．(2)f ′(x )＝ax 2－4x ＋3a 2，由图知a >0且⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f ′(3)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －4＋3a 2＝0，9a －12＋3a 2＝0.∴a ＝1. 21．(本小题满分12分)(文)(2014·湖南省五市十校联考)已知A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，记y ＝f (x )．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．[解析] (1)∵OA →＝(32x 2＋1)OB →＋(ln x －y )OC →，且A ，B ，C 是直线l 上的不同三点，∴(32x 2＋1)＋(ln x －y )＝1，∴y ＝32x 2＋ln x . (2)∵f (x )＝32x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝3x ＋1x ＝3x 2＋1x，∵f (x )＝32x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝3x 2＋1x 在(0，＋∞)上恒正，∴y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 即y ＝f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(理)(2014·河北冀州中学期中)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2(a ＞0)的单调递减区间是(1,2)且满足f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)对任意m ∈(0,2]，关于x 的不等式f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，求实数t的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝a 2＝1，且a ＞0，可得a ＝1. 由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3x 2＋2bx ＋c ， ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋a 2的单调递减区是(1,2)， ∴f ′(x )＜0的解是1＜x ＜2.所以方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根分别是1和2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，12＋4b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－92，c ＝6.∴f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋1.(2)由(1)，得f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，∵当x ＞2时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，x ∈[2，＋∞)时，f (x )min ＝f (2)＝3， 要使f (x )<12m 3－m ln m －mt ＋3在x ∈[2，＋∞)上有解，应有12m 3－m ln m －mt ＋3>f (x )min ，∴12m 3－m ln m －mt ＋3>3， mt <12m 3－m ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立，即t <12m 2－ln m 对任意m ∈(0,2]恒成立．设h (m )＝12m 2－ln m ，m ∈(0,2]，则t ＜h (m )min ，h ′(m )＝m －1m ＝m 2－1m ＝(m －1)(m ＋1)m，令h ′(m )＝0得m ＝1或m ＝－1， 由m ∈(0,2]，列表如下：∴当m ＝1时，h (m )min ＝h (m )极小值＝12，∴t <12.22．(本小题满分14分)(文)(2013·泗阳县模拟)某生产旅游纪念品的工厂，拟在2013年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2013年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2013年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2013年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ [解析] (1)设比例系数为k (k ≠0)．由题意知，3－x ＝kt ＋1.又t ＝0时，x ＝1.∴3－1＝k 0＋1.∴k ＝2，∴x 与t 的关系是x ＝3－2t ＋1(t ≥0)．(2)依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3＋32x )万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(3＋32x x ·150%＋t2x)元/件．于是，y ＝x ·(3＋32x x ·150%＋t2x )－(3＋32x )－t ，化简得，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)．因此，工厂2013年的年利润y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)万元．(3)由(2)知，y ＝992－32t ＋1－t2(t ≥0)＝50－(32t ＋1＋t ＋12)≤50－232t ＋1·t ＋12＝42(当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立)．所以，当2013年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元． (理)(2014·安徽屯溪一中质检)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p .(以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)；(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]．其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，…，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．[分析] (1)利用价格呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f (x )＝x (x －q )2－p 为其模拟函数；(2)由题中条件：f (0)＝4，f (2)＝6，得方程组，求出p ，q 即可得到f (x )的解析式；(3)确定函数解析式，利用导数小于0，即可预测该海鲜产品在哪几个月份内价格下跌．[解析] (1)根据题意，应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)∵f (0)＝4，f (2)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4，(2－q )2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )<0得，1<x <3，又∵x ∈[0,5]，∴f (x )在(0,1)，(3,5)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌．。
2022-2023高一上期末复习重难点函数的应用(二)(解析版)
2022-2023高一上期末复习重难点函数的应用（二）一、单选题1．关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（ ）A ．用二分法求方程的近似解一定可以得到()0f x =在[],a b 内的所有根B ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的重根C ．用二分法求方程的近似解有可能得出()0f x =在[],a b 内没有根D ．用二分法求方程的近似解有可能得到()0f x =在[],a b 内的精确解 【答案】D【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.【解析】利用二分法求方程()0f x =在[],a b 内的近似解，即在区间[],a b 内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是[],a b 内的精确解． 故选：D.2．函数f （x ）＝x 2﹣4x +4的零点是（ ） A ．（0，2） B ．（2，0）C ．2D ．4【答案】C【分析】由函数零点的定义列出方程x 2﹣4x +4＝0，求出方程的根是函数的零点． 【解析】由f （x ）＝x 2﹣4x +4＝0得，x ＝2， 所以函数f （x ）＝x 2﹣4x +4的零点是2， 故选：C ．3．若函数()f x 在区间[]1,1-上的图像是连续不断的曲线，且()f x 在()1,1-内有一个零点，则()()11f f -⋅的值（ ） A ．大于零 B ．小于零C ．等于零D ．不能确定【答案】D【分析】由题意，分类讨论()()1,1f f -不同情况下的正负，从而得出不同的结论.【解析】因为()f x 在区间[]1,1-上的图像是连续不断的曲线，且()f x 在()1,1-内有一个零点，若()()10,10-<>f f （或()()10,10-><f f ），此时()()110f f -⋅<；若()10f -=（或()10f =），此时()()110-⋅=f f ；若()()10,10->>f f （或()()10,10-<<f f ），此时()()110f f -⋅>，所以()()11f f -⋅的值不能确定. 故选：D4．函数()()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定．【解析】()()21ln 11ln 2201f =+-=-<，()()2ln 21ln 31022f =+-=->由()21201f x x x'=+>+，则()f x 在()0,∞+上单调递增. 所以函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是()1,2故选：B5．函数()22xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．0,1B ．1,0C ．1,2D ．()2,3【答案】B【分析】根据函数解析式，判断()1f -、()0f 等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.【解析】()3102f -=-<，()010f =>，且函数为增函数，由函数零点存在定理，()f x 的零点所在的区间是1,0．故选：B.6．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围( )A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．(0，1)D ．[]0,1【答案】C【分析】作出f (x )图像，判断y ＝m 与y ＝f (x )图像有3个交点时m 的范围即可.【解析】∵()()g x f x m =-有3个零点， ∴()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与()y f x =的图像有三个交点. 作出()y f x =图像，由图可知，实数m 的取值范围是(0，1). 故选：C.R (2,2)-内的零点个数至少为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据奇函数()f x 的定义域为R 可得(0)0f =，由(2)(1)0f f -=≠和奇函数的性质可得(2)(1)0f f <、(2)(1)0f f --<，利用零点的存在性定理即可得出结果.【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，其图象为一条连续不断的曲线， 得(0)0f =，由(2)(1)0f f -=≠得(2)(1)0f f -=≠， 所以(2)(1)0f f <，故函数在(12)，之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在(21)--，之间至少存在一个零点， 所以函数在(22)-，之间至少存在3个零点. 故选：C8．已知定义在R 上的函数()f x 的图像连续不断，若存在常数R λ∈，使得()()0f x f x λλ++=对于任意的实数x 恒成立，则称()f x 是“回旋函数”．若函数()f x 是“回旋函数”，且2λ=，则()f x 在[]0,2022上（ ） A ．至多有2022个零点 B ．至多有1011个零点 C ．至少有2022个零点 D ．至少有1011个零点 【答案】D【分析】根据已知可得：()()2200f f +=，当()00f ≠时利用零点存在定理，可以判定区间()0,2内至少有一个零点，进而判定()2,4，()4,6，…，()2020,2022上均至少有一个零点，得到()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点．可以构造“回旋函数”，使之恰好有1011个零点；当()00f =时，可以得到()()()0220220f f f ==⋅⋅⋅==，此时()f x 在[]0,2022上至少有1012个零点．从而排除BC,判定D 正确；举特例函数()0f x =，或者构造函数()(1),022(2),222()x x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，可以排除A .【解析】因为()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，令0x =，得()()2200f f +=．若()00f ≠，则()2f 与()0f 异号，即()()200f f ⋅<，由零点存在定理得()f x 在()0,2上至少存在一个零点．由于()()220f k f k ++=，得到()20()f k k Z ≠∈，进而()()()220f k f k f k +=-<⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在区间()2,4，()4,6，…，()2020,2022内均至少有一个零点，所以()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点．构造函数()1,022(2),222()x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，满足()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，是“回旋函数”，在[]0,2022上恰好有1011个零点.若()00f =，则()()()()()024620220f f f f f ====⋅⋅⋅==，此时()f x 在[]0,2022上至少有1012个零点． 综上所述，()f x 在[]0,2022上至少有1011个零点，且可能有1011个零点，故C 错误，D 正确； 可能零点各数个数至少1012，大于1011，故B 错误；对于A,[解法一]取函数()0f x =，满足()()220f x f x ++=，但()f x 在[]0,2022上处处是零点，故A 错误.[解法二] 构造函数()(1),022(2),222()x x x f x f x k x k k Z -≤<⎧=⎨--≤<+∈⎩，满足()()220f x f x ++=对任意的实数x 恒成立，是“回旋函数”，在[]0,2022上恰好有2023个零点，故A 错误. 故选：D ．9．对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若()()00f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数()()2R f x x a a =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．34∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， C ．3144⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】D【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以()f x x =有解，但方程组()()()121221f x x x x f x x ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩无解，然后利用判别式即得. 【解析】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以()f x x =有解，但方程组()()()121221f x x x x f x x ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩无解， 由()f x x =，得20x x a -+=有解，所以140a -≥，解得14a ≤． 由()()1221f x x f x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，得212221x a x x a x ⎧+=⎨+=⎩，，两式相减，得()()121221x x x x x x -+=-，因为12x x ≠，所以211x x =--，消去2x ，得21110x x a +++=，因为方程21110x x a +++=无解或仅有两个相等的实根，所以()1410a -+≤，解得34a ≥-，故a 的取值范围是3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：D.10．已知()313log f x x x =-时，当0a b c <<<时，满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，则关于以下两个结论正确的判断是（ ）①函数()y f x =只有一个零点；②函数()y f x =的零点必定在区间（a ，b ）内． A ．①②均对 B ．①对，②错 C ．①错，②对 D ．①②均错 【答案】B【分析】由题可得函数在()0,∞+上为增函数，且()10f >，103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，再结合零点存在定理及符号法则即可判断.【解析】因为13y x =和13log y x=-均为区间()0,∞+上的严格增函数，因此函数1313log y x x =-也是区间()0,∞+上的严格增函数，且()10f >，103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．所以()y f x =只有一个零点，①对．因为()()()0f a f b f c ⋅⋅<， 所以()()(),,f a f b f c 的符号为两正一负或者全负，又因为0a b c <<<， 所以必有()0f a <，()0f b <，()0f c <或者()0f a <，()0f b >，()0f c >．当()0f a <，()0f b <，()0f c <时，零点在区间(),c +∞内；当()0f a <，()0f b >，()0f c >时，零点在区间（a ，b ）内，所以②错． 故选：B ．11．函数()21,25,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()()()g x f x t t R =-∈有3个不同的零点a ，b ，c ，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．[)16,32 B ．[)16,34C ．(]18,32D ．()18,34【答案】D【分析】作出函数()y f x =的图象和直线y t =，它们的交点的横坐标即为()g x 的零点，利用图象得出,,a b c 的性质、范围，从而可求得结论．【解析】作出函数()y f x =的图象和直线y t =，它们的交点的横坐标即为()g x 的零点，如图，则1221a b -=-，45c <<，222a b +=，2(16,32)c∈，所以1822234a b c <++<． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围．12．已知函数()2log ,01,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩若()()()()1234f x f x f x f x ===(1234,,,x x x x 互不相等)，则1234x x x x +++的取值范围是（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】先画函数图象，再进行数形结合得到122x x +=-和2324log log x x =，结合对勾函数单调性解得441x x +的范围，即得结果. 【解析】作出函数()y f x =的图象，如图所示:设1234x x x x <<<，则()12212x x +=⨯-=-.因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=， 所以()2324234log log log 0x x x x +==，所以341x x =，即341x x=.当2log 1x =时，解得12x =或2x =，所以412x <≤.设34441t x x x x =+=+， 因为函数1y x x =+在()1,+∞上单调递增，所以441111212x x +<+≤+，即34522x x <+≤， 所以1234102x x x x <+++≤. 故选：D.二、多选题13．用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确到0.01时，所需二分区间的次数可以为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】CD【分析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n，由10.012n ≤即可求解. 【解析】由题意，知区间[]0,1的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n 此操作后，区间长度变为12n， 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解，要求精确到0.01， ∴10.012n≤，解得7n ≥， 故选：CD ．A ．已知方程8x e x =-的解在()(),1k k k Z +∈内，则1k =B ．函数()223f x x x =--的零点是()1,0-，()3,0C ．函数3x y =，3log y x =的图像关于y x =对称D ．用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内的近似解的过程中得到()10f <，()1.50f >，()1.250f <，则方程的根落在区间()1.25,1.5上 【答案】ACD【解析】由函数零点的概念判断选项B ，由函数零点存在性定理判断选项AD ，由函数3x y =与函数3log y x =互为反函数判断选项C.【解析】对于选项A ，令()=8xf x e x +-，因为()f x 在R 上是增函数，且()()2170,260f e f e =-<=->，所以方程8x e x =-的解在()1,2，所以1k =，故A 正确；对于选项B ，令2230x x --=得=1x -或3x =，故函数()f x 的零点为1-和3，故B 错误； 对于选项C ，函数3x y =与函数3log y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称，故C 正确； 对于选项D ，由于()()()()1.2550,1 1.250f f f f ⋅<⋅>，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间()1.25,1.5上，故D 正确.故选：ACD15．（多选）已知函数f x 在区间[],a b 上的图象是一条连续不断的曲线，若0f a f b ⋅<，则在区间[],a b 上（ ）A ．方程()0f x =没有实数根B ．方程()0f x =至多有一个实数根C ．若函数()f x 单调，则()0f x =必有唯一的实数根D ．若函数()f x 不单调，则()0f x =至少有一个实数根【答案】CD【分析】根据零点存在定理可得答案.【解析】由函数零点存在定理，知函数()f x 在区间[],a b 上至少有一个零点， 所以若函数()f x 不单调，则()0f x =至少有一个实数根，若函数()f x 单调，则函数()f x 有唯一的零点，即()0f x =必有唯一的实数根， 故选：CD ．16．已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩，令()()h x f x k =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞B ．当(]43k ,∈--时，()h x 有3个零点C ．当2k =-时，()h x 的所有零点之和为-1D ．当(),4k ∈-∞-时，()h x 有1个零点 【答案】BD【分析】画出()f x 的图象，然后逐一判断即可. 【解析】()f x 的图象如下：由图象可知，()f x 的增区间为()()1,0,0,-+∞，故A 错误当(]43k ,∈--时，()y f x =与y k =有3个交点，即()h x 有3个零点，故B 正确； 当2k =-时，由2232x x +-=-可得12x =-±，由2ln 2x -+=-可得1x = 所以()h x 的所有零点之和为1212--+=-，故C 错误；当(),4k ∈-∞-时，()y f x =与y k =有1个交点，即()h x 有1个零点，故D 正确； 故选：BD三、填空题17．函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，则其另一个零点为______． 【答案】3-【分析】由函数零点解出a 的值后再计算另一个零点，或利用韦达定理计算即可. 【解析】解法一：因为函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1， 将(1,0)代入得230a a ++=，解得1a =-． 所以223y x x =--+．令2x 2x 30--+=，解得11x =，23x =-， 所以函数的另一个零点为3-．解法二：由函数223,(0)y ax ax a =++≠的一个零点为1，可得方程2230,(0)ax ax a ++=≠的一个根为1，根据根与系数的关系可得1222ax x a+=-=-，所以另一个根为3-．故函数的另一个零点为3-． 故答案为：3-.R ③当12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-；④()f x 恰有两个零点，请写出函数()f x 的一个解析式________【答案】2()1f x x =- （答案不唯一）【分析】由题意可得函数()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，函数图象与x 轴只有2个交点，由此可得函数解析式【解析】因为x ∀∈R ，()()f x f x =-，所以()f x 是偶函数，因为当12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-， 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数， 因为()f x 恰有两个零点，所以()f x 图象与x 轴只有2个交点，所以函数()f x 的一个解析式可以为2()1f x x =-， 故答案为：2()1f x x =- （答案不唯一） 19．已知()f x 是定义域为()(),00,∞-+∞的奇函数，函数()()g x f x x=+，()11f =-，当210x x >>时，()()12111222x x f x x x x f x x ->-恒成立．现有下列四个结论：①()g x 在()0,∞+上单调递增；②()g x 的图象与x 轴有2个交点；③()()1326f f +-<；④不等式()0g x >的解集为()()1,00,1-．___________【答案】②③【分析】根据给定条件，探讨函数()g x 的性质，再逐一分析各个命题即可判断作答. 【解析】因当210x x >>时，()()12111222x x f x x x x f x x ->-恒成立，则()()122111f x f x x x ->-恒成立， 即()()121211f x f x x x +>+恒成立，因此()()12g x g x >恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递减， 而()f x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数，1y x=是()(),00,∞-+∞上的奇函数，则()g x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数，因此函数()g x 是()(),00,∞-+∞上的奇函数，且在()0,∞+上单调递减，命题①不正确；因()11f =-，即()()11101g f =+=，()10g -=，显然()g x 在(),0∞-上单调递减，于是得()g x 的图象与x 轴有2个交点，命题②正确；显然()()32g g <，即()()113232f f +<+，则()()1326f f -<，因此()()1326f f +-<，命题③正确；因奇函数()g x 在(),0∞-，()0,∞+上单调递减，且()1(1)0g g -==，则当()0,1x ∈时，()0g x >，当(),1x ∈-∞-时，()0g x >，不等式()0g x >的解集为()(),10,1-∞-⋃，命题④不正确． 故答案为：②③20．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧(法号：一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法(又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年)：对于函数()y f x =在()123123,,x x x x x x <<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =，则在区间[]13,x x 上()f x 可以用二次函数()()()()111212f x y k x x k x x x x =+-+--来近似代替，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin 5π的近似值是_______． 【答案】2425##0.96【分析】根据题意先求出123,,y y y ，进而求出12,,k k k ，然后求得()f x ，最后求得2sin 5π的近似值. 【解析】函数()sin y f x x ==在10x =，22x π=，3x π=处的函数值分别为()100y f ==，212y f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()30y f π==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--， 故()22224442f x x x x x x πππππ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 即2244sin x x x ππ≈-+，所以2224242sin 555πππππ⎛⎫≈-⨯+⨯= ⎪⎝⎭2425． 故答案为：2425.四、解答题21．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-.(1)证明：函数()f x 是偶函数；(2)求函数()f x 的零点. 【答案】(1)证明见解析； (2)22-和22【分析】（1）先证明函数()f x 的定义域关于原点对称，再证明()()f x f x -=即可；（2）利用对数运算对函数()f x 的解析式进行化简，求解方程()0f x =即可得到函数()f x 的零点. （1）证明：由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<，∴函数的定义域为{}33x x -<<，且定义域关于原点对称， 又∵()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=，∴()f x 是偶函数. （2）解：()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-，令()()2ln 90f x x =-=，∴291x -=，解得22x =±. ∴函数()f x 的零点为22-和22.22．已知函数3f x a =-（0a >且1a ≠），若函数y f x =的图象过点（2，24）．(1)求a 的值及函数()y f x =的零点；(2)求()6f x ≥的解集． 【答案】(1)3，零点是0(2)[1，+∞）【分析】（1）代值求出函数的表达式，再根据零点的定义求解即可； （2）解不等式即可求出解集.【解析】（1）因为函数f （x ）＝ax +1﹣3（a ＞0且a ≠1），图象过点（2，24）， 所以24＝a 2+1﹣3，a 3＝27，a ＝3．函数f （x ）＝3x +1﹣3＝0，得x +1＝1，x ＝0． 所以函数的零点是0．（2）由f （x ）≥6得3x +1﹣3≥6，即3x +1≥32， 所以x ≥1．则f （x ）≥6的解集为[1，+∞）．23．由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系是()()20025,,452530,,t t t N P t t N ⎧+<<∈⎪=⎨≤≤∈⎪⎩日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是()40030,Q t t t =-+<≤∈N ． (1)设该商品的日销售额为y 元，请写出y 与t 的函数关系式（商品的日销售额＝该商品每件的销售价格×日销售量）；(2)求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大．【答案】(1)()()220800025,,1800452530,.t t t t N y t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩(2)日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．【分析】（1）根据题目条件中给出的公式，直接计算，可得答案； （2）根据二次函数的性质，结合取值范围，可得答案. （1）由题意知()()()()()2040025,,45402530,,t t t t N y P Q t t t N ⎧+-<<∈⎪=⋅=⎨⨯-≤≤∈⎪⎩即()()220800025,,1800452530,.t t t t N y t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩（2）当025t <<，t ∈N 时，()222080010900y t t t =-++=--+， 所以当10t =时，max 900y =；当2530t ≤≤，t ∈N 时，180045y t =-，所以当25t =时，max 675y =． 因为900675>，所以日销售额的最大值为900元，且11月10日销售额最大．24．已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，f x x mx =+，函数f x 在轴左侧的图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程()0f x a -=有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩ (2)()1,0-【分析】（1）利用()20f -=可求0x ≤时()f x 的解析式，当0x >时，利用奇偶性()()=f x f x -可求得0x >时的()f x 的解析式，由此可得结果；（2）作出()f x 图象，将问题转化为()f x 与y a =有4个交点，数形结合可得结果. （1）由图象知：()20f -=，即420m -=，解得：2m =，∴当0x ≤时，()22f x x x =+；当0x >时，0x -<，()()2222f x x x x x ∴-=--=-，()f x 为R 上的偶函数，∴当0x >时，()()22f x f x x x =-=-；综上所述：()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩；（2）()f x 为偶函数，f x 图象关于y 轴对称，可得()f x 图象如下图所示，()0f x a -=有4个不相等的实数根，等价于()f x 与y a =有4个不同的交点， 由图象可知：10a -<<，即实数a 的取值范围为()1,0-. 25．已知函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12a f =-．(1)求证：函数()f x 有两个不同的零点；(2)设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求12x x -的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2))2,⎡+∞⎣【分析】（1）根据()12a f =-可得32ac b =--，再代入证明判别式大于0即可；（2）根据韦达定理化简可得21222b x x a ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，进而求得范围即可.（1）∵()12a f abc =++=-，∴32ac b =--．∴()232a f x ax bx b =+--．对于方程()0f x =，()222223464222a b a b b a ab a b a ⎛⎫∆=---=++=++ ⎪⎝⎭，∴0∆>恒成立．又0a >，∴函数()f x 有两个不同的零点． （2）由1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的零点，得1x ，2x 是方程()0f x =的两个根．∴12b x x a+=-，1232b x x a =--．∴()2221212123442222b b b x x x x x x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=----=++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴12x x -的取值范围是)2,⎡+∞⎣．26．已知函数33f x a =+⋅为偶函数．(1)求实数a 的值；(2)设函数()()33x g x f x x -=+--的零点为0x ，求证：()0529210f x <<．【答案】(1)1a = (2)证明见解析【分析】（1）由()()f x f x -=可得答案；（2）求出()g x ，利用函数()g x 在R 上单调性得3030log 2log 2.51x <<<<． 再利用单调性定义判断出()f x 在()0,+∞上单调递增，利用单调性可得答案. （1）由()()f x f x -=，得3333x x x x a a --+⋅=+⋅，()223131-=⋅-x xa ，所以1a =，此时()33-=+x x f x ，x R ∈时，()()33--=+=x xf x f x ，()f x 为偶函数，所以1a =； （2） 由（1）得()33x x f x -=+，所以()333333xx x x g x x x --=++--=+-，因为函数()g x 在R 上单调递增，且()3log 2g 32log 230=+-<，()3log 2.5g 332.5log 2.53log 30.50=+->-=，所以3030log 2log 2.51x <<<<，又对任意120x x <<，()()1211221212123333333333x x x x x x x x x x f x f x ----=+--=--⋅()12121331033x x x x⎛⎫=--< ⎪⋅⎝⎭，所以()()12f x f x <，即()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以()()()303log 2log 2.5f f x f <<， 即()0529210f x <<． 27．给出下面两个条件：①函数()的图象与直线只有一个交点；②函数()的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定.已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-，且______.(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()32log 0f x m +≤恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()()213232x xg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.【答案】(1)选①()22f x x x =-，选②()22f x x x =-(2)(],16-∞-(3)311,22⎧⎫+⎪⎪⎛⎫-+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭【分析】（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出()22f x x x c =-+.选①，由题意可得出()11f =-，可得出c 的值，即可得出函数()f x 的解析式； 选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）3log h x =，[]2,3h ∈-，由参变量分离法可得出()min 2m f h ≤-⎡⎤⎣⎦，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令30x n =>，所以关于n 的方程()()21220t f n n ---=有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围. （1）解：因为二次函数()2f x ax bx c =++满足()()121f x f x x +-=-，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以()22f x x x c =-+.选①，因为函数()f x 的图象与直线1y =-只有一个交点，所以()1121f c =-+=-，解得0c ，所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.选②，设1x 、2x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，且440c ∆=->，可得1c <， 由根与系数的关系可知122x x +=，12x x c =， 所以()21212124442x x x x x x c -=+-=-=，解得0c ，所以()f x 的解析式为()22f x x x =-.（2）解：由()32log 0f x m +≤，得()32log m f x ≤-，当1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]3log 2,3x ∈-，令3log h x =，则[]2,3h ∈-，所以对任意1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()32log 0f x m +≤恒成立，等价于()2m f h ≤-在[]2,3h ∈-上恒成立，所以()()min 22216m f h f ≤-=--=-⎡⎤⎣⎦，所以实数m 的取值范围为(],16-∞-. （3）解：因为函数()()()213232x xg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x n =>，所以关于n 的方程()()21220t f n n ---=有且仅有一个正实根，因为()22f x x x =-，所以()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根，当210t -=，即12t =时，方程可化为220n --=，解得1n =-，不符合题意； 当210t ->，即12t >时，函数()22142y t x tx =---的图象是开口向上的抛物线，且恒过点()0,2-，所以方程()221420t n tn ---=恒有一个正实根；当210t -<，即12t时，要使得()221420t n tn ---=有且仅有一个正实根， ()21682102021t t tt ⎧=+-=⎪⎨>⎪-⎩，解得312t +=-. 综上，实数t 的取值范围为311,22⎧⎫+⎪⎪⎛⎫-+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.28．已知函数10f x ax bx a =++≠的图象关于直线x ＝1对称，且函数2y f x x =+为偶函数，函数()12x g x =-.(1)求函数()f x 的表达式；(2)求证：方程()()0f x g x +=在区间[]0,1上有唯一实数根； (3)若存在实数m ，使得()()f m g n =，求实数n 的取值范围. 【答案】(1)()()21f x x =- (2)证明见解析 (3)(],0-∞【分析】（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解,a b ，进而可求解析式， （2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断， （3）将条件转化为函数值域，即可求解. （1）∵()21f x ax bx =++的图象关于直线x ＝1对称，∴122bb a a-=⇒=-. 又()()2221y f x x ax b x =+=+++为偶函数，∴=2b -，=1a .∴()()22211f x x x x =-+=-. （2）设()()()()2112x h x f x g x x =+=-+-，∵()010h =>，()110h =-<，∴()()0?10h h <. 又()()21f x x =-，()12xg x =-在区间[]0,1上均单调递减，∴()h x 在区间[]0,1上单调递减，∴()h x 在区间[]0,1上存在唯一零点. ∴方程()()0f x g x +=在区间[]0,1上有唯一实数根. （3）由题可知()()210f x x =-≥，()121xg x =-<，若存在实数m ，使得()()f m g n =，则()[)0,1g n ∈， 即120n -≥，解得0n ≤.∴n 的取值范围是(],0-∞. 29．若函数()y f x =同时满足：①函数在整个定义域是严格增函数或严格减函数；②存在区间[],a b ，使得函数在区间[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则称函数()f x 是该定义域上的“闭函数”.（1）判断()2f x x =-是不是R 上的“闭函数”？若是，求出区间[],a b ；若不是，说明理由； （2）若()()211f x x t x =-≥是“闭函数”，求实数t 的取值范围；（3）若()()2222f x x kx k =-+≤在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值()g k 是“闭函数”，求a 、b 满足的条件.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦；（3）222a b +=且11733a b ≤<≤. 【分析】（1）利用“闭函数”的定义判断函数()2f x x =-是否满足①②，由此可得出结论；（2）分析可知函数()21h m m m t =-+-在[)0,m ∈+∞有两个零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围；（3）利用二次函数的基本性质求得()21921,93312,23kk g k k k ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，然后分13a b <≤、123a b <≤≤、123a b ≤<≤三种情况讨论，分析函数()g k 的单调性，结合“闭函数”的定义可得出关于a 、b 的等式，由此可得出a 、b 满足的条件.【解析】（1）函数()2f x x =-为R 上的增函数，若函数()2f x x =-为“闭函数”，则存在a 、()b a b <，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则()()2222f a a a f b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则关于x 的方程220x x -+=至少有两个不等的实根， 因为180∆=-<，故方程220x x -+=无实根，因此，函数()f x 不是“闭函数”； （2）因为函数()21f x x t =-+为[)1,+∞上的增函数， 若函数()21f x x t =-+为[)1,+∞上的“闭函数”，则存在a 、[)()1,b a b ∈+∞<，使得函数()f x 在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，则()()222211f a a t a f b b t b⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，所以，关于x 的方程221x t x -+=在[)1,+∞上有两个不等的实根，令210m x =-≥，设()21h m m m t =-+-，则函数()h m 在[)0,m ∈+∞有两个零点，所以，()()1410010t h t ⎧∆=-->⎪⎨=-≥⎪⎩，解得314t <≤，因此，实数t 的取值范围是3,14⎛⎤⎥⎝⎦；（3）因为()()222f x x k k =-+-.当13k <时，函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()1192393k g k f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当123k ≤≤时，()()22g k f k k ==-.综上所述，()21921,93312,23kk g k k k ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩. 所以，函数()g k 在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上也为减函数.①当13a b <≤时，则()()221929319293a g a b b g b a⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，上述两式作差得()()()23a b a b a b -=-+，因为a b <，故23a b +=，因为13a b <<，则23a b +<，矛盾；②当123a b <≤≤时，则有222192932ab b a⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，消去2b 可得29610a a -+=，解得13a =，不合乎题意；③当123a b ≤<≤时，则()()222222g a a b g b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，可得222a b +=.因此，a 、b 满足的条件为222a b +=且11733a b ≤<≤. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案
教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数 学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ） （B ）1i -1i -+（C ） （D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4） 已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ） （B ）1 C ） （D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。
九年级二次函数复习 (2)
二次函数面积、线段问题1、某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元，经市场调查发现：目前销量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时，y=80，x=50时，y=100，在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式． （3）当销售单位为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元．知识点一 二次函数的易错题一、铅垂高求面积图1：S △ABC ＝ S △ACD ＋S △BCD ＝B x x －A 21×CD ； 图2： S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ＝c y y －A 21×BD 二、平行线转换法求面积S△ABC＝ S△BDA（过 C 点作 AB 的平行线 CD ，则两三角形同底等高）【例题精讲一】二次函数的面积问题1、抛物线y=-x2+（1-3k）x+3k与x轴交于A，B两点（A左B右），与y轴正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线经过某个定点的坐标；（2）若k=1，点P是第二象限抛物线上的一点，连接PB交AC于D，设△PAD的面积为S1，△CBD的面积为S2，求S1-S2的最大值；2、如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；3、如图，抛物线21344y x x ＝－＋与x 轴交于A 、B 两点，直线l ：y ＝kx －3k ＋4与抛物线交于E 、F 两点。
（1）直线l 过定点： ； （2）求BEF S △的最小值。
【课堂练习】1、如图，抛物线经过A (1，0)、B (4，0)、C (0，－4)三点，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连接DC 、DB ，则△BCD 的面积的最大值是___________2、已知二次函数 y ＝（m 2－2）x 2－4m x ＋n 的图象关于直线 x ＝2 对称，且最高点在直线 y ＝ 21x ＋1 上。
高三数学函数专题经典复习题 (2)
x2－ 1 f 2＝________.1．已知函数 f(x)＝x2＋1，则 1f 22．已知 f 知足 f(ab) ＝f(a)＋ f(b)，且 f(2) ＝p， f(3)＝ q，则 f(72)=------------ ．一、选择题3x21．函数 f(x)＝＋lg(3 x＋1)的定义域是()1－ xA. －1，＋∞ B. －1，1 3 3C. －1，1D.－∞，－1 3 3 322．已知 f 1－ x ＝1－x2，则 f( x)的分析式可取为 ()1＋ x 1＋xx 2xA. 1＋x2 B．－1＋x2C. 2x 2 D．－x 21＋ x 1＋ x3．汽车经过启动、加快行驶、匀速行驶、减速行驶以后泊车，若把这一过程中汽车的行驶行程s 看作时间 t 的函数，其图象可能是()1－ x2，x≤ 1， 1)4．设函数 f(x)＝则 f 的值为 (x2＋ x－ 2， x>1， f 215 27A. 16 B．－168C.9 D． 181， x＜0x则不等式 |f(x)|≥1的解集为 ( )5．若函数 f(x)＝1 x 33， x≥ 0A ．(－ 3,1)B ． [－ 1,3]C．(－1,3] D ． [－ 3,1]二、填空题6．已知函数f(x)＝x2－ 2ax＋ a2－ 1的定义域为A,2?A，则 a 的取值范围是____________．7．假如f[f(x)] ＝ 2x －1， 一次函数f(x) ＝_____________.三、解答9．如右 所示，在4 的正方形 ABCD 上有一点 P ，沿着折BCDA 由B 点(起点 )向A点 ( 点 )移 ，P 点移 的行程x ，△ ABP 的面y ＝ f(x)．(1)求△ ABP 的面 与P 移 的行程 的函数关系式；(2)作出函数的 象，并依据 象求y 的最大 ．2不等式 f(x)>－ 2x 的解集 (1,3) ． 10．已知二次函数 f(x)＝ ax ＋bx ＋ c ， (a<0) (1) 若方程 f(x)＋ 6a ＝ 0 有两个相等的 根，求f(x)的分析式；(2) 若 f(x)的最大 正数，求 数 a 的取 范 ．第三部分函数的值域与最值一、1．函数 y ＝ x 2－ 2x 的定 域 {0,1,2,3} ，那么其 域 ( )A ．{ － 1,0,3}B ． {0,1,2,3}C ．{ y|－ 1≤ y ≤ 3}D ． { y|0≤ y ≤ 3}2．函数 y ＝ log 2x ＋ log x (2x)的 域是 ( )A ．(－∞，－ 1]B ． [3，＋∞ )C ．[－1,3]D ． (－∞，－ 1]∪ [3，＋∞ )x 2， |x |≥ 1， g(x)是二次函数，若f(g(x))的 域是 [0，＋∞ )， g(x)的 域是 () 3． f(x)＝x x ，| |<1A. (－∞，－ 1 ]∪ [1，＋∞ ) B.(]∪ [ 0，＋∞ )－∞，－ 1C ．[0，＋∞ )D.[1，＋∞ )－ 1， x>0－a －b f a － b(a ≠ b)的 是 (4． 函数 f(x)＝， a ＋b)1， x<02A ．aB ． bC ． a ，b 中 小的数D ． a ，b 中 大的数5．函数 y ＝ a x 在 [0,1] 上的最大 与最小 的和3， a ＝ ________.1＋ x＋ f 1－x＝ 2 随意的非 数x 建立， 123 2009＝6．若 f 2 2f2010＋ f2010＋f2010＋⋯＋ f2010 ________.7． a ，b ∈ R ， max{ a ，b} ＝a ， a ≥ b，函数 f(x)＝ max{| x ＋ 1|，|x － 2|}( x ∈ R )的最小 是 ________.b ， a ＜ b12的定 域、 域都是 区[2,2 b]，求 b 的 ．8．若函数 y ＝ f(x) ＝ x－ 2x ＋ 42函数的单一性一、选择题3－ a x－ 4a， x＜ 1，1．已知 f(x)＝log a x，x≥ 1，是 (－∞，＋∞ )上的增函数，那么 a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞ ) B． (－∞， 3) C. 3， 3D． (1,3) 53．设 f(x)是连续的偶函数，且当x＋ 3 的全部 x 之和为 ( ) x>0 时 f(x)是单一函数，则知足 f(x) ＝f x＋4A．－3 B． 3 C．－ 8 D ．84．若不等式 x2＋ ax＋1≥ 0 对于全部 x∈0，1建立，则 a 的取值范围是 ( ) 2A ．(0，＋∞ ) B．[－2，＋∞ ) C. －5，＋∞D． (－ 3，＋∞ ) 25．若函数 f(x)＝x 2＋a(a∈R )，则以下结论正确的选项是 ( ) xA ．? a∈R， f(x)在(0 ，＋∞ )上是增函数B． ? a∈R， f(x)在 (0，＋∞ )上是减函数C．? a∈R， f(x)是偶函数D． ? a∈R， f(x)是奇函数二、填空题6．函数 y＝ x2＋ 2x－ 3的递减区间是 ________．1， f 2，f(1) 从小7．假如函数 f(x)在R上为奇函数，在 (－ 1,0)上是增函数，且 f(x＋ 2)＝－ f( x)，则 f 3 3 到大的摆列是 ________．3－ ax8．已知函数 f(x)＝a－1 (a≠ 1)．(1)若 a＞ 0，则 f(x)的定义域是 ________；(2)若 f(x)在区间( 0， 1a 的取值范围是 ________．]上是减函数，则实数三、解答题9．已知函数f(x)在 ( －1,1)上有定义，当且仅当0<x<1 时 f(x)<0 ，且对随意x、 y∈ (－ 1,1)都有 f(x)＋ f(y)＝f x＋y，试证明：1＋xy(1)f(x)为奇函数； (2) f(x)在 (－ 1,1)上单一递减．一、选择题1． f(x)， g(x)是定义在R 上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的 ()A ．充要条件B ．充足而不用要的条件C．必需而不充足的条件D ．既不充足也不用要的条件2．若函数 f(x)，g(x)分是R上的奇函数、偶函数，且足f( x)－ g(x)＝ e x，有 ( )A ．f(2)< f(3)< g(0) B． g(0)< f(3)< f(2)C．f(2)< g(0)< f(3) D． g(0)< f(2)< f(3)x2＋ 4x， x≥0，若 f(2－a2)＞ f(a)，数 a 的取范是 ( ) 4．已知函数 f(x)＝4x－x2，x＜ 0A ．(－∞，－ 1)∪(2，＋∞ )B ．(－ 1,2)C．(－2,1) D ． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞ )二、填空5．函数 f(x)＝ x3＋ sin x＋ 1(x∈R)，若 f(a)＝ 2， f(－ a)的 ________．6 奇函数 f( x)的定域 [ － 5,5] ．若当 x∈[0,5] ， f(x)的象如右所示，不等式f(x)<0 的解是________．17．若 f(x)＝2x－1＋ a 是奇函数，a＝ ____________.三、解答8．已知函数 f(x)和 g(x)的象对于原点称，且f(x)＝ x2＋2x.求函数 g(x)的分析式；10． f(x)是定在R 上的奇函数，且随意数x 恒足 f(x＋2)＝－ f( x)，当 x∈ [0,2] ， f(x)＝ 2x－x2 .(1)求： f(x)是周期函数．(2)当 x∈ [2,4] ，求 f(x)的分析式．(3)算 f(0) ＋ f(1)＋ f(2) ＋⋯＋ f(2013) ．函数的图象一、1．函数 y＝ f(x) 的象与函数g(x) ＝log 2x(x＞ 0)的象对于原点称，f( x)的表达式 ()1A．f(x)＝log2x(x＞ 0) C．f(x)＝－ log2x(x＞ 0) B． f(x)＝ log2 (－ x)(x＜ 0) D ． f(x)＝－ log2(－x)( x＜ 0)|ln x|2．函数 y＝ e－|x－1|的图象大概是()3．四位好朋友在一次聚会上，他们依据各自的喜好选择了形状不一样、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，以以下图所示．盛满酒后他们商定：先各自饮杯中酒的一半．设节余酒的高度从左到右挨次为h1，h2，h3， h4，则它们的大小关系正确的选项是()A ．h2＞ h1＞ h4 B． h1＞ h2＞ h3C．h3＞ h2＞ h4 D． h2＞ h4＞ h14．函数 f(x)＝ 2|log2x|－x－1 的图象为 ()x二、填空题6 ． f( x)是定义域为R的偶函数，其图象对于直线x＝ 2 对称，当 x∈ (－ 2,2)时，f(x)＝－ x2＋1，则 x∈ (－4，－2)时， f(x)的表达式为 ________．7.已知定义在区间[0,1] 上的函数y＝ f(x)的图象如右图所示，对于知足0<x1<x2<1 的随意 x1、x2，给出下列结论：①f(x2 )－ f(x1)> x2－ x1；②x2f( x1)>x1f(x2)；③f x1＋ f x2<fx1＋ x2.2 2此中正确结论的序号是________． ( 把全部正确结论的序号都填上 )8．定义在 R 上的函数 f(x)知足 f x ＋5＋ f(x)＝ 0，且函数 f x ＋ 5 为奇函数，给出以下结论：2 4①函数 f(x)的最小正周期是 5；2②函数 f(x)的图象对于点5， 0 对称；4③函数 f(x)的图象对于直线 x ＝ 5对称；2④函数 f(x)的最大值为 f 52 .此中正确结论的序号是________．( 写出全部你以为正确的结论的符号)第九部分 一次函数与二次函数一、选择题1．一元二次方程 ax 2＋ 2x ＋ 1＝0(a ≠ 0)有一个正根和一个负根的充足不用要条件是( )A ．a<0B ．a>0C ． a<－ 1D ． a>12．设 b>0，二次函数22的图象为以下之一，则 a 的值为 ()y ＝ ax ＋bx ＋ a － 1A ．1B ．－ 1 C.－1－ 5D.－1＋ 5223．已知函数 f(x)＝ ax 2－ 2ax ＋ 1(a>1) ，若 x 1<x 2，且 x 1＋ x 2＝ 1＋ a ，则 ( )A ．f(x 1)>f(x 2)B ．f(x 1)<f(x 2)C ．f(x 1)＝ f(x 2)D ．f(x 1)与 f(x 2)的大小不可以确立4. 右图所示为二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 的图象，则 |OA| |OB|·等于 ()c cA. aB ．－ a c D ．没法确立C ．±a5．对于 x 的方程 (x 2－ 1)2－ |x 2－ 1|＋k ＝ 0，给出以下四个命题：①存在实数 k，使得方程恰有2 个不一样的实根；②存在实数 k，使得方程恰有4 个不一样的实根；③存在实数 k，使得方程恰有5 个不一样的实根；④存在实数 k，使得方程恰有8 个不一样的实根．此中假命题的个数是( )A ．0 B． 1 C． 2 D． 3二、填空题6．若方程4(2－3x)＋ k－ 3＝ 0， x∈[ 0， 1]没有实数根，求 k 的取值范围 ________．x7．假如方程 x2＋ 2ax＋ a＋ 1＝ 0 的两个根中，一个比 2 大，另一个比 2 小，则实数 a 的取值范围是________．8．已知 f(x)＝ x 2, g(x)是一次函数且为增函数，若 f[g(x)] ＝ 4x2－ 20x＋25, 则 g(x)＝ ____________.三、解答题9．设二次函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ a，方程 f(x) －x＝ 0 的两根 x1和 x2知足 0<x1<x2<1.(1)务实数 a 的取值范围；(2)试比较 f(0) f(1)· － f(0) 与1 的大小，并说明原因．1610．设函数f(x) ＝x2＋|x－ 2|－ 1，x∈R .(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数 f(x)的最小值．单元测试一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．设会合 A 和会合 B 都是实数集R，映照 f： A→ B 是把会合 A 中的元素 x 对应到会合 B 中的元素3 x－ x＋ 1，则在映照 f 下象 1 的原象所构成的会合是( )A ．{1} B． {0}C．{0 ，－ 1,1} D． {0,1,2}2．若不等式 x2－ x≤0 的解集为M，函数 f(x)＝ ln(1 － |x|)的定义域为 N，则 M∩N 为 ()A ．[0,1) B． (0,1)C．[0,1] D． (－ 1,0]3．函数 y＝ log a(|x|＋ 1)( a＞1) 的大概图象是( )－ 1 － 114 ．已知函数 f(x)＝ log a x ，其反函数为 f (x)，若 f (2)＝ 9，则 f(2)＋ f(6) 的值为()A ．2B ． 11 1 C.2D.35 ．函数 f(x)＝ ( 1)x 与函数 g(x)＝ log 1|x|在区间 (－∞， 0)上的单一性为22( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f(x)是增函数， g(x)是减函数D ．f(x)是减函数， g(x)是增函数log 2x ， x>0，6．已知函数 f(x)＝若 f(a)＝1，则 a ＝2x ， x ≤ 0.2()A ．－1B. 2C ．－1 或 2D ．1 或－ 27．设函数 f(x)＝－ x 2＋4x 在 [m ， n]上的值域是 [－ 5,4] ，则 m ＋ n 的取值所构成的会合为A ．[0,6]B ． [－ 1,1]()C ．[1,5]D ． [1,7]8．方程 (1)|x|－ m ＝ 0 有解，则 m 的取值范围为2()A ．0＜ m ≤ 1B ． m ≥ 1C ．m ≤－ 1D ． 0≤m ＜19．定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如右图所示，则在 (－ 2,0)上，以下函数中与f(x)的单一性不一样的是( )A ．y ＝ x 2＋ 1B ． y ＝ |x|＋12x＋1， x≥ 0，e x， x≥0，C．y＝D． y＝－x， x<0x3＋ 1，x<0， e，那么10．设 a＝ log ， b＝log ， c＝( )A ．a<b<c B． a<c<bC．b<a<c D． c<a<b11．中国政府正式加入世贸组织后，从2000 年开始，汽车入口关税将大幅度降落．若入口一辆汽车2001 年售价为 30 万元，五年后 (2006 年 )售价为 y 万元，每年下调率均匀为x%，那么 y 和 x 的函数关系式为A ．y＝ 30(1－ x%) 6 B． y＝ 30(1＋ x%) 6( )5D． y＝5C．y＝ 30(1－ x%) 30(1＋ x%)12．定义在R上的偶函数f(x)知足：对随意的 x1， x2∈ (－∞， 0]( x1≠ x2)，有 (x2－x1 )(f(x2)－ f(x1))>0 ，则当 n∈N*时，有( ) A．f(－ n)< f(n－ 1)<f(n＋ 1)B．f(n－ 1)< f(－ n)<f(n＋1)C．f(n＋ 1)< f(－ n)<f(n－1)D．f(n＋1)< f(n－ 1)< f(－ n)第Ⅱ卷(非选择题共 90分)题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分17 18 19 20 21二22得分二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )1的定义域是 ________．13．函数 f( x)＝1－ e x14．若 x≥ 0，则函数 y＝ x 2＋ 2x＋3 的值域是 ________．15．设函数 y＝ f(x)是最小正周期为 2 的偶函数，它在区间[0,1] 上的图象为以下图的线段AB，则在区间 [1,2] 上 f(x)＝ ______.1， x>016．设函数 f(x) ＝ 0， x＝ 0 ，g(x)＝ x2f(x－ 1)，－ 1， x<0则函数 g(x) 的递减区间是 ________．三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)a·2x－ 117． (本小题满分10 分 )设 f(x) ＝2x＋1是R上的奇函数．(1)求 a 的值；－ 1(2)求 f(x)的反函数 f (x)．18． (本小题满分2 m 7 12 分 )已知函数 f(x)＝－x ，且 f(4)＝－ .x 2(1)求 m 的值；(2)判断 f( x)在 (0，＋∞ )上的单一性，并赐予证明．19.(本小题满分12 分 )已知函数f(x)＝ 3x，且 f( a＋ 2)＝ 18， g(x)＝ 3ax－ 4x的定义域为区间[ － 1,1] ．(1)求 g(x) 的分析式；(2)判断 g(x)的单一性．2 121.(本小题满分 12 分 )设函数 f(x)＝ x ＋x－4.(1) 若函数的定义域为 [0,3] ，求 f(x)的值域；1， 1(2) 若定义域为 [a， a＋ 1]时， f(x)的值域是 [ －]，求 a 的值．2 161 x22． (本小题满分12 分 )已知函数 f(x)＝ (3)，－1函数 y＝ f(x) 是函数 y＝ f(x)的反函数．－ 1 2(1)若函数 y＝ f (mx ＋ mx＋ 1)的定义域为R，务实数m 的取值范围；(2)当 x∈ [ － 1,1] 时，求函数y＝ [f( x)] 2－ 2af(x)＋ 3 的最小值g(a)．。
函数综合复习题(二).doc
7. 8. 定义两种运算：a ①b =』a ，— b ，,a 区b =』(a -2® x 曰 (x®2)-2正 9. 6. 函数综合复习题(二)1. 已知函数v = /(%)是定义在R 上的奇函数，且/(2) = 0 ,对任意xeR ,都有 f(x + 4) = f(x) + f(4)成立，则 /(2006)的值为A. 4012B. 2006C. 2008D. 02. 设函数f(x)(nR)为奇函数/⑴= |,/(.r+ 2) = /(%) + /⑵，则/'(5)= () 5 A. 0 B. 1 C. -D. 5 23. 给出下列四个命题：①函数)=f(x)的图象与函数y = f(x-2) + 3的图象一定不会重合; ②若 f(x) = *一1 则y (4) > 7X3)；③ y = 10g“(2 + a x\a > 0且E)在 R 上是增函数; x-vlO④函数y niogj-r 2 + 2X + 3)的单调区间为(1, +8)；则正确的命题个数是2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个|QP % X > 0 14. 已知函数/*(、) = <2》之’<0,则满足f(a) < -的。
的取值范围是( ) A. (-8,—1)B. (―oo, — 1) U (0, V2) c. (0,V2)D. (-OO , -1) U (0,2) 5. 已知xc(-8,l]时,不等式l + 2A +(fl-fl 2)4A >0恒成立，则“的取值范围是( )A ・B. (一1,「)C. (一8,：] D. (-oo ?6] 已知函数 y = /(X )(XG R)满足 /(x + 3) = /(x + 1)且工£ [一1,1]时,f 3) =| 工 |,贝!J y = /(%) 与=log 5 x 的图象的交点个数是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6a x …x>l 如果/(x)= Q是R 上的单调递增函数，则实数。
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高一数学必修1复习试卷（二）
班级 姓名 座号
一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知集合{}{}M=1,1,N=21x x --<<,则M N = （ ）A ．{}1,1-
B ．{}0
C ．{}1-
D ．{}1,0-
2．函数y =的定义域是 （ ）A ．()3,+∞
B ．[)3,+∞
C ．()4,+∞
D ．[)4,+∞
3．下列等式一定成立的是（ ）A ．2
33
1a a ⋅=a
B ．2
12
1a a
⋅-
=0
C ．（a 3）2=a
9
D ．6
13121
a a a =÷
4．设()f x 是R 上的偶函数,且当()0,x ∈+∞时,()(1f x x =,则当(),0x ∈-∞时,()f x 等于（ ）
A ．(1x
B ． (1x -
C ． (1x -
D ． (1x
5．设()()()5
3
8210,2f x x ax bx f f =++--=且则等于（ ）A ．10
B ．10-
C ．18-
D ．26-6．设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为（ ）A ．2{|1}a a <≤
B ．{|}2a a ≥
C ．3|}2{a a ≤≤
D ．{2,3}
7．三个数0.760.76,0.7,log 6的大小关系为 （ ） A ． 60.70.70.7log 66<<
B ． 60.70.70.76log 6<<
C ． 0.760.7log 660.7<<
D ．60.70.7log 60.76<<
8．在区间(,)-∞0上为增函数的是 （ ）
A ．()12
log y x =-- B ．1x y x =- C ．()21y x =-+
D ．21y x =+
9．设函数()24x f x x =+-，则方程()0f x =一定存在根的区间是 （ ） A ． ()1,1-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,3
10．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时,每天可卖出100个,若这种商品的销售单
价每涨1元,日销售量就减少10个,为了获得最大利润,销售单价应定为 （ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．若103,104x y ==,，则210x y -= ．
12．设{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5,4,7,8U A B ===,则()()U U C A C B = ． 13．函数222()(1)(2)(23)f x x x x x =-+--的零点个数是 ． 14．函数y x
=-32
的定义域是 ．
15．()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15,f =-()()5f f = ．
三、解答题（每小题10分，共40分）
16．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪
==⎨⎪<⎩
，求()()()
3f f f -．
17．求函数11142x
x
y ⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在[]3,2x ∈-上的值域
18．已知函数()31
1221x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭。
（1）求()f x 的定义域；
（2）判断()f x 的奇偶性； （3）证明 ()0f x >
19．已知()()1log 3,2log 2x x f x g x =+=，试比较()f x 与()g x 的大小．
附加题．（每小题10分，共20分） 20．已知函数()2f x x ax b =++．
（1）若对任意的实数x 都有()()11f x f x +=-成立，求实数a 的值； （2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值；
（3）若()f x 在[)1,+∞内递增，求实数a 的范围．
21．已知函数()x f x a =满足条件：当(),0x ∈-∞时，()1f x >；当()0,1x ∈时，不等式()()()23112f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围。
答案：CDDCD BDBCC
11 9 4
12 {}
1,2,6
13 4
14 {}0
x x>。