【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件：第三章 第六节简单的三角恒等变换模板

【拓展提升】三角函数式化简的原则、要求及方法 (1)化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的则求值.
(2)化简要求：
①能求出值的应求出值；
②尽量使三角函数种数最少；
③尽量使项数最少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
(3)化简方法：主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角 .
(3)正确.由半角公式推导过程可知正确.
(4)错误.由cos φ= 与a,b的值有关. 答案:(1)× (2)×
a a b
2 2
,sin φ=
b a b
2 2
，可知φ的取值
(3)√
(4)×
1.已知cos α= 1 ,α∈(π,2π)，则sin 等于(
5 2
)
(A)- 10
5
(B) 10
5
【典例1】(1)若
【思路点拨】(1)先切化弦，再化简.
(2)利用诱导公式，切化弦，逆用倍角公式降幂可解.
【规范解答】(1)
1 1 sin 2α tan 2α cos 2α cos 2α cos 2α
2 (sin α cos α ) = cos 2 α sin 2 α = sin α cos α tan α 1 =2 012. cos α sin α 1 tan α
【解析】由已知得tan α= 1 .
3
1 sin 2 α cos 2 α 所以 2 2sin αcos α cos α 2sin αcos α cos 2 α
1 1 2 tan α 1 2 = 9 . 2tan α 1 2 1 1 3 3
【拓展提升】 1.三角函数式求值的类型和思路
第六节 简单的三角恒等变换
1.半角公式
2sin 2
2cos 2
2
1 2sin 2
2

2cos 1 2
2
1 cos 2

1 cos 2

1 cos 1 cos
2.辅助角公式 asin x+bcos x= a 2 b2 sin(x+ φ)， 其中sin φ=
)=cos( -θ) 4 4 4
=sin［ -( -θ)］=sin( 来自+θ)=a.2
4.函数f(x)= 3 sin x-cos x的值域是______.
1 【解析】由已知得f(x)=2( 3 sin x- cos x)
=2sin(x- ),
2
2
6 ∵sin(x- )∈［-1,1］,∴f(x)∈［-2,2］. 6
cos 2α cos 2 α sin 2 α
1 sin 2α 1 cos 2α cos 2α cos 2α
2 (sin α cos α ) cos α sin α 1 tan α . = 2 2 cos α sin α cos α sin α 1 tan α
【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用， 特别是“1”的代换经常用到.
【变式训练】化简 2 1 sin α 2(1 cos α) ,α∈(π, 3 ).
+cos2 + 2 2 2sin cos =(sin +cos )2， 2 2 2 2 2(1+cos α)=2(1+2cos2 -1)=4cos2 ， 2 2 ∴原式=2|sin +cos |+2|cos |. 2 2 2 ∵α∈(π, 3 ), 2 ∴ ∈( , 3 ). 2 4 2 2
b a b
2 2
,cos φ=
a a b
2 2
.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)当α是第一象限角时，sin = 1 cos .(
2 2 (2)对任意角α，tan2 = 1 cos α 都成立.( 2 1 cos α
)
)
(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来 的.( )
(4)公式asin x+bcos x= a 2 b2 sin(x+ φ)中φ的取值与a,b的
值无关.(
)
【解析】(1)错误.α在第一象限时， 在第一或第三象限.
2 当 在第一象限时，sin = 1 cos ,当 在第三象限时， 2 2 2 2 sin =- 1 cos . 2 2 (2)错误.此式子必须使tan 有意义且1+cos α≠0. 2 即 ≠kπ+ 且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). 2 2
手);
③将已知条件代入所求式子,化简求值.
2.三角函数式给值求角的注意点
一是找出已知角和未知角之间的关系，用已知角构造未知角，
二是涉及的角的范围要确定准.
【变式备选】已知α,β∈( , )，且tan α,
2 2
tan β是方程x2+3 3 x+4=0的两个根，求α+β的值.
【解析】由根与系数的关系得：
tan α+tan β=-3 3 ，tan αtan β=4,
∴tan α＜0,tan β＜0.
∵α,β∈( ,
)， 2 2
∴-π＜α+β＜0.
又tan(α+β)= = 3 3 3.
1 4
tan α tan β 1 tan αtan β
∴α+β=- 2 .
3
考向3 asin x+bcos x= a 2 b2 sin(x+ φ)的应用
【解析】∵1+sin α=sin2
+cos ＞0，cos ＜0. 2 2 2 故2|sin +cos |+2|cos | 2 2 2 =2sin +2cos -2cos =2sin . 2 2 2 2
∴sin
考向2 三角函数的求值与求角问题 【典例2】(1)(2013·威海模拟)若 1 tan α =2 012,则
答案:2 012
1 4cos 4 x 4cos 2 x 1 (2)原式= 2 sin( x) 4 2 cos 2 ( x) 4 cos( x) 4
2 2 (2cos x 1) = 4sin( x)cos( x) 4 4 2 cos 2x = 2sin( 2x) 2 2 = cos 2x 1 cos 2x . 2cos 2x 2
cos 2α cos 2α sin 2α 又 2 2 sin(α ) sin α cos α 4 2 2
=- 2 (sin α+cos α)=- 14 .
2
答案:- 14
2
(3)∵ 1 cos 2α =1,
sin αcos α
∴2tan α=1,即tan α=
1 . 2
∴tan(β-2α)=tan［(β-α)-α］
1 1 = tan(β α) tanα 3 2 =-1. 1 1 tan(β α) tan α 1 6
答案:-1
【互动探究】本题(1)中若将“ “ 1 tan α =2”，如何求解
1 tan α
1 tan α =2 012”改为 1 tan α
1 呢？ 2 2sin αcos α cos α
【典例3】设a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2( -x)
满足f(- )=f(0).
3 2
(1)求f(x)的解析式. (2)求函数f(x)在区间［ , 11π ］上的最大值和最小值.
4 24
【思路点拨】(1)将f(x)的关系式展开合并再利用f(- )=f(0)
解得a=2 3 . 因此f(x)= 3 sin 2x-cos 2x=2sin(2x- ).
6
3 11 (2)∵x∈［ , π ］,∴2x- ∈［ , π ］. 6 3 4 4 24 当x∈［ , ］时,2x- ∈［ , ］，f(x)为增函数； 6 4 3 3 2 当x∈［ , 11 ］时,2x- ∈［ , 3］,f(x)为减函数， 6 2 4 3 24 所以f(x)在［ , 11 ］上的最大值为f( )=2. 4 24 3 又因为f( )= 3 ,f( 11π )= 2 , 4 24
故f(x)在［ , 11 ］上的最小值为f( 11π )= 2 . 24 4 24
【拓展提升】asin x+bcos x= a 2 b2 sin(x+φ)在解决三角函 数性质问题中的应用 (1)三角函数性质的讨论，可通过变形为asin x+bcos x = a 2 b2 sin(x+φ)(其中tan φ= )的形式去讨论.这样的变 a 形，主要是φ角的确定. (2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简 洁的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意 是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化， 从而影响函数的值域和周期等性质 .
(C) 2 5
5
2
(D)- 2 5
5
,π). 2
【解析】选B.∵α∈(π,2π)，∴ ∈( ∴sin2 = 1 cos α 2 ,
2 2 5
∴sin = 10 .
2
5
2.已知tan α= 1 ,则 cos 2α sin 2α 1 等于(
2 cos α
2
)
(A)3
(B)6
3
可求a，并利用辅助角公式化为一个角的三角函数，从而得 f(x) 的解析式. (2)利用x的范围及函数单调性求最值.