2019-2020年新培优同步人教A版高中数学必修五练习：第一章 1.2 第2课时 高度问题+Wor
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第2章 3 解三角形的实际应用举例 第1课时
第1课时 距离问题与高度问题课时过关·能力提升1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.a kmB.3a kmC.2a kmD.2a km,由题意可知∠ACB=120°,AC=BC=a km.在△ABC中,由余弦定理,得AB=AC2+CB2-2AC·CBcos∠ACB=3a(km).2.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3 ℎ,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.221 kmD.8 km,由题意∠AOB=120°,∴A=60°,知|OA|=23,|OB|=43,·cos 30°=6(km).故经h,该船的航程为6 km.|OC|=|OB|过 33.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高是( )A .4003m B.40033mC.2003 m D .200 m,设塔AB 的高为h ,在Rt △CDB 中,CD=200 m,∠BCD=90°-60°=30°,∴BC =200cos30°=40033(m).在△ABC 中, ∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°,∴∠BAC=120°.在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin120°=ABsin30°,∴AB (m).=BC ·sin30°sin120°=4003 即塔高hm .=40034.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=519 m,起吊的货物与岸的距离AD 为( )A.30 m B .1523 mC.153 mD.45 m△ABC 中,由余弦定理,得cos ∠ACB=AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC =152+102-(519)22×15×10=‒12,∴∠ACB=120°,∴∠ACD=180°-120°=60°.∴AD=AC ·sin 60°=153(m).5.如图,从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD 是60 m,则河流的宽度BC 是( )A.240(3‒1)m B .180(2‒1)mC.120(3‒1)m D .30(3+1)m,在Rt △ADC 中,C=30°,AD=60 m,∴AC=120 m .在△ABC 中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC =ACsin∠BAC sin∠ABC =120×26+24=120(3‒1)(m).6.已知A 船在灯塔C 北偏东80°方向,且A 到C 的距离为2 km,B 船在灯塔C 北偏西40°方向,A ,B 两船的距离为3 km,则B 到C 的距离为 km .(6‒1)★7.如图所示,在观礼台上某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面,∠BAD=15°,在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°,且座位A ,B 的距离为106 m,则旗杆的高度为______________m .∠BAN=105°,∠BNA=30°.由正弦定理,得AN sin45°=106sin30°,解得AN=203(m),在Rt △AMN 中,MN=260°=30(m).03sin 故旗杆的高度为30 m .8.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向,汽车向南行驶1 km 后,又测得小岛在南偏西75°方向,则小岛到公路的距离是 km .,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1 km .由正弦定理BC sin∠CAB =AB sin∠ACB ,得BC =sin15°sin60°=6-223(km).设点C 到直线AB 的距离为d ,则d=BC sin 75°=6-223×6+24=36(km).★9.在海岛A (可视岛A 为一点)上有一座海拔1 km 的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角为30°的B 处匀速直线行驶,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C 处.(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛正西方向的D 处,此时船距岛A 有多远?由题意得,在Rt △PAB 中,∠APB=60°,∠PAB=90°,PA=1 km,∴AB km .= 3在Rt △PAC 中,∠APC=30°,∠PAC=90°,∴AC km .=33 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°,∴BC =AC 2+AB 2=(33)2+(3)2=303(km).故船的航行速度是303÷16=230(km/ℎ).(2)∠DAC=90°-60°=30°,sin ∠DCA=sin(180°-∠ACB )=sin ∠ACB =AB BC =3330=310,sin ∠CDA=sin(∠ACB-30°)=sin ∠ACB cos 30°-cos ∠ACB sin 30°=31010×32‒12×1-(31010)2=(33-1)1020.在△ACD 中,由正弦定理,得AD sin∠DCA =AC sin∠CDA,∴AD=AC ·sin∠DCA sin∠CDA =3×310(33-1)1020=9+313(km),即此时船距岛A km .有9+313。
1-2-2高度问题
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[分析]
如图，在△ABD 中，已知 AB、∠BAD 和∠ABD，
故△ABD 可解，由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45° ，所以 CD ＝AD.因此，只需在△ABD 中求出 AD 即可．
第一章
1.2
第2课时
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[解析]
第一章 1.2 第2课时
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思路方法技巧
第一章
1.2
第2课时
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命题方向
[例 1]
正、余弦定理在高度测量上的应用
在地面上某处，测得塔顶的仰角为 θ，由此处向
塔走 30 米，测得塔顶的仰角为 2θ，再向塔走 10 3米，测得 塔顶的仰角为 4θ，试求角 θ 的度数． [分析] 如图所示，求角 θ，必须把角 θ、2θ、4θ 和边长
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6 ∵∠ACB＝120° ，∴∠ABC 为锐角，∴cos∠ABC＝ . 3 由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC× cos∠ABC， ∴4＝9＋BC2－2 6bc，∴bc2－2 6BC＋5＝0. ∴BC＝ 6± 1. 当 BC＝ 6＋1 时，BC>AB，又∠ACB＝120° ，故 AB 为最 大边， ∴BC≠ 6＋1，即 B 到 C 的距离为( 6－1)km.
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[例 3]
已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 距离灯塔 C 2km， 处，
B 船在灯塔 C 北偏西 40° ，A、B 两船的距离为 3km，求 B 到 C 的距离．
第一章
2021_2022学年高中数学第1章解三角形1.2第2课时角度问题课件新人教A版必修5
灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，
则灯塔 A 在灯塔 B 的( )
A．北偏东 5°
B．北偏西 10°
C．南偏东 5°
D．南偏西 10°
B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°.]
A [结合题图可知∠DAC＝β－α.
在△ACD中，由正弦定理得
sin D∠CDAC＝sAinCα，
∴AC＝sina
∠sinDαAC＝sin
a sin α （β－α）.
在Rt△ABC中，
AB＝AC
sin
β＝sian
sin αsin β （β－α）.]
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思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t，
在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2×( 3－ 1)×2×cos 120°＝6，
即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船．
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际 问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦 定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求 角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不 是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、 余弦定理皆可．
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.2 1.2.2 第二课时
第一章1.2 1.2.2第二课时 分段函数及映射课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( ) ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ； ②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ； ③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.2．若A 为含三个元素的数集，B ＝{－1,3,5}，使得f ：x →2x －1是从A 到B 的映射，则A 等于( )A ．{－1,2,3}B ．{－1,0,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2}解析：选C 由映射的概念，A 中的元素在关系x →2x －1下，成为－1,3,5，则A ＝{0,2,3}．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f [f (3)]＝( )A.15B ．3C.23 D ．139解析：选D f (3)＝23，f [f (3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2.若f (x )＝3，则x ＝( )A ．1B ．±3 C.32D ． 3解析：选D 若⎩⎨⎧ x ＋2＝3，x ≤－1，即⎩⎨⎧x ＝1，x ≤－1无解；若⎩⎨⎧ x 2＝3，－1＜x ＜2，⎩⎨⎧x ＝±3，－1＜x ＜2，所以x ＝ 3. 若⎩⎨⎧2x ＝3，x ≥2，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，x ≥2无解．综上可知，x ＝ 3.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选B 由题图可知，函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎨⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b,5→5且7→11.若x →20，则x ＝________.解析：由题意知，⎩⎨⎧ 5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ⇒⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－10.所以y ＝3x －10.由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：107．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1＜x ＜2，x ＋1，x ≥2的值域是________．解析：当0≤x ≤1时，2x 2∈[0,2]；当x ≥2时，x ＋1≥3，所以函数f (x )的值域是[0,2]∪[3，＋∞)．答案：[0,2]∪[3，＋∞)8．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元．则该职工这个月实际用水量为________立方米．解析：该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x ＞10.由y ＝16m ，可知x ＞10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 答案：139．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．解：∵当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，∴f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ，f (0)＝c ，f (－1)＝(－1)2－b ＋c .∵f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，∴⎩⎨⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝－2.则f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1. 由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， ∴方程f (x )＝x 的解为－2,2.10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解：当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4＜x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8＜x ≤12时， y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4，8，4＜x ≤8，24－2x ，8＜x ≤12.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，分段画出，应选C.2．(2019·兰州高一检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π解析：选B g (π)＝0，f [g (π)]＝f (0)＝0.3．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x ＜0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x ＜0}解析：选A 当x ≥0时，f (x )＝1， xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1， 所以0≤x ≤1；当x ＜0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2，所以x ＜0，综上，x ≤1.∴解集为{x |x ≤1}，故选A. 4.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自点O 开始移动．设线段OE ＝x ，过点E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D解法一：当x∈[0,2]时，直线OA：y＝12x，此时S＝12·x·⎝⎛⎭⎪⎫x2＝x24；当x∈(2,3]时，直线AB：y＝3－x，S＝12·3·1－12·(3－x)·(3－x)＝－x22＋3x－3；当x>3时，S＝32.对比图形特征易得D符合．解法二：显然当x＝2时，面积为1，排除A，B，注意到x∈[0,2]时，面积增速越来越快，排除C.5．(2019·聊城高一检测)若定义运算a⊙b＝⎩⎨⎧b，a≥b，a，a＜b，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意知f(x)＝⎩⎨⎧2－x，x≥1，x，x＜1.画出图象为由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．答案：(－∞，1]6．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2，－1≤x＜0，－12x，0＜x＜2，3，x≥2，则f⎩⎨⎧⎭⎬⎫f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫－34＝________.解析：∵－1<－34<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋2＝12，而0<12<2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12×12＝－14. ∵－1<－14<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋2＝32. 因此f ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫－34＝32.答案：327．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－348．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ，所以0≤x 0＜12，且f (x 0)＝x 0＋12， 又12≤x 0＋12＜1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋12∈B ，所以f [f (x 0)]＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0，又f [f (x 0)]∈A ， 所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0＜12， 所以14＜x 0＜12.由Ruize收集整理。
2019-2020学年人教A版高中数学必修五限时规范训练：第1章 解三角形 1.1.2 Word版
姓名，年级：时间：第一章1。
1 1。
1。
2【基础练习】1．在△ABC中,a2等于（）A．a2＋b2－2ab cos C B．b2＋c2－2bc sin CC．a2＋c2－2ac cos B D．b2＋c2－2bc cos A【答案】D【解析】利用余弦定理的定义判断即可．2．在△ABC中，角A,B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8,则△ABC的面积等于( )A．2错误!B．4C．4错误!D．8【答案】A【解析】∵b2＋c2＝a2＋bc，可得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝错误!＝错误!＝错误!.∵A∈(0，π)，∴A＝错误!，∴S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×8×错误!＝2错误!.故选A．3．（2019年山西太原期末）如图，在△ABC中，点D在AC上,AB⊥BD，BC＝3错误!，BD＝5，sin∠ABC＝错误!，则CD的长度等于( )A．4 B．5C．4 2 D．5错误!【答案】A【解析】由题知sin∠ABC＝错误!＝sin错误!＝cos∠CBD，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·c os∠CBD＝27＋25－2×3错误!×5×错误!＝16.∴CD＝4。
4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.【答案】0【解析】∵b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac·cos120°＝a2＋c2＋ac,∴a2＋c2＋ac－b2＝0.5．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．【答案】57【解析】∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b,c。
又b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c)2－2bc－2bc cos A＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC＝57。
新课标2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度角度问题课件新人教A版必修5
『规律总结』
航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解
决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标
在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤．
〔跟踪练习 3〕 导学号 54742139 我缉私巡逻艇在一小岛 A 南偏西 50° 的方向，距小岛 A 12 n mile 的 B 处，发 现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西 10° 西方向行驶， 测得其速度为每 小时 10 n mile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后 截获该走私船？(参考数据：sin38° ≈0.62)
3．在点 A 处观察一物体的视角为 50° ，请画出示意图. 导学号 54742132
[解析] 如图所示．
4．(2016· 浙江诸暨第一中学期中)为了测量河对岸的塔 AB 的高度，先在河岸 上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，此时测得塔顶 A 的仰角为 60° .再由点 C 沿北偏东 15° 方向走了 20m 到达点 D，测得∠BDC＝45° ，则塔 AB 的高度为 导学号 54742133 ( A ) A．20 6m C．20 2m B．20 3m D．20m
10m 导学号 54742131 30° ，斜坡 AB 的长度是________. 坡角 α 等于________
3 [解析] 由题意知，坡比 i＝tanα＝ . 3 ∵0° <α<90° ，∴坡角 α＝30° . 又∵坡高 BC＝5m， BC 5 ∴斜坡长 AB＝ ＝ ＝10m. sinα sin30°
命题方向3 ⇨测量角度问题
如图所示，当甲船位于 A 处时，获悉在其正东方向相距 20n mile 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救． 甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏 西 30° ， 相距 10n mile 的 C 处的乙船， 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前 往 B 处救援(角度精确到 1° )？ 导学号 54742138
2019-2020学年新培优同步北师大版高中数学必修五练习：第1章 2.1 等差数列 第2课时
第2课时 等差数列的性质及应用课时过关·能力提升1.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于 ( )A.12B.16C.20D.24,a2+a10=a4+a8=16,故选B.2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )A.2B.3C.6D.9m+2n=8,2m+n=10,∴3(m+n)=18,∴m+n=6.∴m和n的等差中项是3.故选B.3.在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则插入的这7个数中的第4个数为( )A.18B.9C.12D.154.在等差数列{a n}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为( )A.6B.12C.24D.48a1+3a8+a15=a1+a15+3a8=5a8=120,∴a8=24.又3a9-a11=2a9+a9-a11=2a9-2d=2(a9-d)=2a8=2×24=48.5.已知中位数为1 011的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为 .a1+a n=2×1 011=a1+2 019,∴a1=2 022-2 019=3.6.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为 .a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=3a=9,即a=3.∵(a-d)2+a2+(a+d)2=35,∴d=±2.∴所求数列为1,3,5或5,3,1.或5,3,17.已知关于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根组成一个首项为14的等差数列,则|m‒n|等于__________.(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根分别为x1,x2,x3,x4,则由题意可知x1+x2=x3+x4=2.由等差数列的性质知,若x1为数列的第1项,则x2为第4项,由此可得数列为14,34,54,74.由根与系数的关系可知,m =716,n=1516.∴|m-n|=12.8.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则a2-a1b3-b2=__________.d1,d2,由已知得{y=x+4d1, y=x+5d2,即{4d1=y-x, 5d2=y-x,解得d1d2=54,即a2-a1b3-b2=d1d2=54.9.若有穷数列a 1,a 2,…,a m (m 为正整数)满足条件:a 1=a m ,a 2=a m-1,…,a m =a 1,则称其为“对称”数列.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{c n }中,c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c 2= .c 11,c 12,…,c 21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c 20=c 11+9d=1+9×2=19.因为数列{c n }为21项的“对称”数列,所以c 2=c 20=19.10.已知1a ,1b ,1c 成等差数列,并且a +c ,a ‒c ,a +c ‒2b 均为正数,求证:lg(a +c),lg(a ‒c),lg(a +c ‒2b )也成等差数列.2lg(a-c )=lg(a+c )+lg(a+c-2b ).,∵1a ,1b ,1c 成等差数列 ∴2b =1a +1c ,∴2ac=ab+bc.∴-2ac=2ac-2b (a+c ),∴-2ac+a 2+c 2=2ac-2b (a+c )+a 2+c 2,∴(a-c )2=(a+c )(a+c-2b ).∵a-c ,a+c ,a+c-2b 都是正数,∴2lg(a-c )=lg(a+c )+lg(a+c-2b ).∴lg(a+c ),lg(a-c ),lg(a+c-2b )也成等差数列.★11.已知函数f (x )≥2,n ∈N +)确定.=3x x +3,数列{xn }的通项公式由xn =f (xn ‒1)(n (1)求证:{1x n }是等差数列;(2)当x 1=12时,求x 100.n =f (x n-1)≥2,n ∈N +),=3x n -1x n -1+3(n ∴1x n =x n -1+33x n -1=13+1x n -1.≥2,n ∈N +).∴1x n ‒1x n -1=13(n.∴{1x n}是公差为13的等差数列x1=12,1x n=1x1+(n‒1)×13,∴1 x100=2+(100‒1)×13=35,∴x100=135.★12.甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图.甲调查表明:从第1年起平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:养鸡场个数由第1年30个减少到第6年10个.根据提供的信息说明.(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.(3)哪一年的规模最大?请说明理由.,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列,记为{a n},公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{b n},公差为d2,且b1=30,b6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n},则c n=a n b n.(1)由a1=1,a6=2,得{a1=1,a1+5d1=2,∴{a1=1,d1=0.2,∴a2=1.2.由b1=30,b6=10,得{b1=30,b1+5d2=10,∴{b1=30,d2=-4,∴b2=26.∴c2=a2b2=1.2×26=31.2.故第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数是31.2万.(2)缩小了.理由如下:c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30,故到第6年这个县的养鸡规模比第1年缩小了.(3)第2年的规模最大.理由如下:∵a n=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6,n∈N+), b n=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6,n∈N+),∴c n=a n b n=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6,n∈N+).∵其图像的对称轴为直线n =94,∴当n=2时,c n最大.故第2年的规模最大.。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
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第2课时高度问题课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC中,a=5,sin A=√55,则bsinB等于().A.5√5B.√525C.√5D.不确定解析:bsinB =asinA=√55=5√5.答案:A2从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是().A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°解析:如图,在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,根据水平线平行,得α=β.答案:B3如图,在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为()A.4003mB.400√3 mC.200√33mD.2003m解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=OAcos30°=√3又∠B=120°,在△ABC中,由正弦定理ACsin120°=BCsin30°,得BC=ACsin30°sin120°=4003×12√32=4003(m).答案:A4如图,线段AB,CD分别表示甲、乙两楼,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°,已知甲楼高AB=24 m,则乙楼高CD=.答案:32 m5如图所示,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B处测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为10√6 m,则旗杆的高度为_________________________m.解析:由题意知∠BAN=105°,∠BNA=30°.由正弦定理,得AN=10√6,解得AN=20√3(m).在Rt△AMN中,MN=20√3sin 60°=30(m).故旗杆的高度为30 m.答案:306在湖面上高h m处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中影子的俯角为β,则云距湖面的高度为.解析:如图,设湖面上高h m处为A,在A处测得云C的仰角为α,测得云在湖中影子D的俯角为β,CD 与湖面交于M,过A的水平线交CD于E.设云高CM=x m,则CE=(x-h) m,DE=(x+h) m,AE=CEtan∠CAE =x-ℎtanα(m).又AE=DE=x+ℎ(m),则x-ℎ=x+ℎ.整理,得x=tanβ+tanαtanβ-tanαℎ=sin(α+β)sin(β-α)ℎ.答案:sin(α+β)sin(β-α)ℎ m7如图,两点C,D与烟囱底部在同一水平直线上,利用高为1.5 m的侧角仪器,在点C1,D1处测得烟囱的仰角分别是α=45°和β=60°,C,D间的距离是12 m.计算烟囱的高AB.(结果精确到0.01 m)解如图,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,由正弦定理,得C1D1sin∠C1BD1=BC1sin∠BD1C1,BC1=C1D1sin∠BD1C1sin∠C1BD1=12sin120°sin15°=(18√2+6√6)(m),从而A1B=√2BC1=18+6√3≈28.392(m),因此AB=A1B+AA1≈28.392+1.5=29.892≈29.89(m).答:烟囱的高约为29.89 m.8某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,求塔高.解依题意画出图,某人在C处,AB为塔高,沿CD前进,CD=40米,此时∠DBF=45°,从C到D测塔的仰角,只有B到CD最短时,仰角才最大,这是因为tan∠AEB=ABBE,AB为定值,BE最短时,仰角最大.要求出塔高AB,必须先求BE,而要求BE,须先求BD(或BC).在△BDC中,CD=40米,∠BCD=30°,∠DBC=135°.由正弦定理,得CDsin∠DBC =BDsin∠DCB,∴BD=40sin30°sin135°=20√2(米).在Rt△BED中,∠BDE=180°-135°-30°=15°,∴BE=DB sin 15°=20√2×√6-√24=10(√3−1)(米).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,∴AB=BE tan 30°=103(3−√3)(米).故所求的塔高为103(3−√3)米.能力提升1有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长().A.5 mB.10 mC.10√2 mD.10√3 m解析:如图,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°,在△ABB'中,∠B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10 m.在△BAB'中,由正弦定理,得BB'=ABsin45°sin30°=10×√2212=10√2(m).故坡底延长10√2 m时,斜坡的倾斜角将变为30°.答案:C★2如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为().A.15√6 mB.20√6 mC.25√6 mD.30√6 m解析:设建筑物的高度为h m,由题图知,PA=2h m,PB=√2ℎ m,PC=2√33ℎ m,在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=222 2×60×√2ℎ,cos∠PBC=602+2ℎ2-43ℎ22×60×√2ℎ②∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=30√6或h=-30√6(舍去),即建筑物的高度为30√6 m.答案:D3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在点B测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是.答案:50 m4A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在点A测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在点B测得∠ABD=45°,其中点D是点C在海平面上的射影,则山高CD为.解析:如图,由于CD⊥AD,∠CAD=45°,∴CD=AD.因此,只需在△ABD中求出AD即可.在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由ABsin15°=ADsin45°,得AD=AB·sin45°sin15°=800×√226-24=800(√3+1)(m).∴CD=AD=800(√3+1) m.答案:800(√3+1) m5如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿坡角为30°的斜坡走1 000 m至点S,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为.解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°.又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.又AS=1 000,∴DC=ST=AS sin 30°=500.在△ASB中,ASsin∠ABS =BSsin∠SAB,即1000sin30°=BSsin15°,故BS=2 000sin 15°=500(√6−√2).=2 000×√6-√24在Rt△SDB中,BD=BS sin∠BSD=500.=BS sin 75°=500(√6−√2)×√6+√24故山高BC=BD+DC=500+500=1 000(m).答案:1 000 m★6如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔25 000 m,速度为3 000 m/min.飞行员先在点A看到山顶C的俯角为30°,经过8 min后到达点B,此时看到山顶C的俯角为60°,求山顶的海拔高度.(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449)解如图,过点C作AB的垂线,垂足为点D.依题意,AB=3 000×8=24 000(m).又∠BAC=30°,∠DBC=60°,则∠BCA=30°,故BC=AB=24 000(m).在Rt△CBD中,CD=BC·sin 60°≈24 000×0.866=20 784(m),故山顶的海拔高度约为25 000-20 784=4 216(m).。