曲线积分与曲面积分习题与答案
第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LIxds ，其中L 是圆221xy中(0,1)A 到11(,)22B 之间的一段劣弧；解:1(1)2．（2）(1)Lx y ds，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)322Lxyds．（3）22Lxy ds，其中L 为圆周22x yx ；解:222Lxy ds．（4）2Lx yzds ，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ；解:2853Lx yzds ．2 求八分之一球面2221(0,0,0)xyzx y z 的边界曲线的重心，设曲线的密度1。
解故所求重心坐标为444,,333．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b （b 为常数），证明xyz(0,0,0)A (0,0,2)B (1,0,2)C (1,2,3)D xyoABC(,)0LQ x y dy 。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ，其中L 为抛物线2yx 上从点(1,1)A 到点(1,1)B 的一段弧。
解:45Lxydx 。
（2）Ldy y xdx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y11从对应于0x 时的点到2x 时的点的一段弧；解34)()(2222Ldyy xdxy x．（3）,Lydx xdy L 是从点(,0)A a 沿上半圆周222xya 到点(,0)B a 的一段弧；解0.Lydxxdy（4）22Lxy dyx ydx ，其中L 沿右半圆222xya 以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a 的路径；解22Lxy dyx ydx44a 。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz ，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解3223Lx dx zy dy x ydz3187874t dt。
第八章 曲线积分和曲面积分题目+简案
的封闭曲线， L 的方向为逆时针方向。
答案：（1）18
（2）16 （3） 2
五、证明： (2x sin y)dx x cos ydy 是某一函数的全微分，并求出一个原函数．
答案：所求原函数为 x2 x sin y C . ( C 为任意常数).
六、⑴在全平面上，证明:曲线积分 y2exdx 2 yexdy 与路径无关，并求 y2exdx 2yexdy L
L
L
P(
x,
y)
2x x2 Q(x, y)(1 x) ds .
十、证明：曲线积分有估计式 P(x, y)dx Q(x, y)dy LM ，其中L 为积分路径的长度， L
M max P2 Q2 . ( x, y)L
答案：证明略.
十一、计算下列曲面积分。
（1）计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的
z
顶部．
（2）计算曲面积分 (xz 36x2 9 y2 4z2 )dS, 其中 是 x2 y2 z2 1，其面积为 A.
49
（3）计算 I (x z2 )dydz zdxdy ，其中 是 z 1 (x2 y2 ) 介于平面 z 0 及 z 2
3. 设 为球面 x2 y2 z2 1，则 3x2ds 4 ．
1 4. 设 u ln x2 y2 z2 ，则 div(gradu) x2 y2 z2 ．
5. 设 是有向光滑曲面，则第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为第一型曲面积
(x2 y 2 z )2 3
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
南华大学第十一章 曲线积分与曲面积答案
的方向角. 二．选择题：
1．对坐标的曲线积分与曲线的方向（2） （1）无关， （2）有关； 2．若 P ( x, y ) ， Q( x, y ) 在有向光滑曲线 L 上连续，则（1） （1） （2）
∫ ∫
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy ，
2. 设光滑曲线 L 的弧长为 π ，则 6ds = （2）
L
∫
（1） π ， （2） 6π ， （3） 12π . 二.计算下列对弧长的曲线积分： 1． ( x + y ) ds ，其中 L 为
L
∫
(1) 以 O(0,0)，A(1,0), B(1,1) 为顶点的三角形的边界； (2) 上半圆周 x + y = R ；
L
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy =
2
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy .
L
2 2
三．计算下列对坐标的曲线积分： 1． ( x + y )dx ， 其中 L 为从点 A(0,0) 经上半圆周 ( x − 1) + y = 1 ( y > 0) 到点 B(1,1) 的
8 2 (1 − cos t ) 2 + 8 2 sin 2 t = 16 sin
设质心坐标为 ( x, y ) ，则
x=
1 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(t − sin t ) ⋅ 16 sin dt =
t 2
32 1 ，y= 3 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(1 − cos t ) ⋅ 16 sin dt =
第十章(第六部分)曲面积分习题解答
第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。
解 平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解 由对称性可知，0=⎰⎰∑xd S ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x .y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。
分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。
解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )(402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。
11曲线积分与曲面积分2答案
答案：
P y
x cos
y,
Q x
2x cos
y,
P y
Q x
,故不存在( x,
y)
2、验证 (2x yz)dx (2 y xz)dy xydz 与路径无关，并计算
I (1,1,1) (2x yz)dx (2y xz)dy xydz (0,0,0)
证明： P 2x yz,Q 2y xz, R xy
ds
L
x2ds
L
x x2 2
x1
1
( 1)2 dx x
1 3
[(x
2 2
3
1) 2
(x12
3
1) 2].
2、曲线的密度与它的弧长成正比，求曲线 y
2x x 3
的弧从点(0，0)到点(4，
16 3
)的质量。
答案：解： KS
d s 1 (y')2 d x 1 x d x
S
x
1 x dx
11 曲线积分与曲面积分练习题 2 答案
一、选择（10 小题）
1-5、答案：DBDBC 二、填空（5 小题）
6-10、答案：BBADD
1、答案： L (x, y)ds
2、答案：
x2y
xy 2
y3
C
3
3
3、答案： I 2 I 2
ò 4、答案： 1 5、答案： L (1+ x2 + y2 )ds.
1 x 2 的边界线。
答案： 解： (x3 ex2 y2 y2 )ds L
(x3 ex2 y2 ds y3ds 1 x3 ex2 dx cos3 tedt sin2 tdt 0 0
L
L
曲线积分与曲面积分习题答案.pdf
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr
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第十章 曲线积分与曲面积分(A)1．计算()⎰+Ldx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。
2．计算⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。
3．计算()⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，()π20≤≤t 。
4．计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。
5．计算⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+L ds y x 3434，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。
6．计算⎰+Lds yx z 222，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。
7．计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。
8．计算⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线段AB 。
9．计算()⎰-+++Ldz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直线。
10．计算()()⎰---Ldy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：11．计算()()⎰-++Ldy x y dx y x ，其中L 是：1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
12．把对坐标的曲线积分()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分，其中L 为：1）在xoy 平面内沿直线从点()0,0到()4,3； 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3）沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。
13．计算()()⎰-+-Lx xdy mx y e dx my y ecos sin 其中L 为()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=，π≤≤t 0，且t 从大的方向为积分路径的方向。
14．确定λ的值，使曲线积分()()⎰-++-βαλλdy y y x dx xy x4214564与积分路径无关，并求()0,0A ，()2,1B 时的积分值。
15．计算积分()()⎰++-Ldy y x dx x xy 222，其中L 是由抛物线2x y =和xy =2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。
16．利用曲线积分求星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =所围成的图形的面积。
17．证明曲线积分()()()()⎰-+-4,32,12232366dx xy y x dx y xy在整个xoy 平面内与路径无关，并计算积分值。
18．利用格林公式计算曲线积分()()⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x xy2sin sin 2cos 222，其中L 为正向星形线323232ay x =+()0>a 。
19．利用格林公式，计算曲线积分()()⎰-+++-Ldy x y dx y x 63542，其中L 为三顶点分别为()0,0、()0,3和()2,3的三角形正向边界。
20．验证下列()()dy y x Q dx y x P ,,+在整个xoy 平面内是某函数()y x u ,的全微分，并求这样的一个()y x u ,，()()dy ye y x x dx xy y x y 128832322++++。
21．计算曲面积分()⎰⎰∑+dx y x 22，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平面上方的部分。
22．计算面面积分()⎰⎰∑+--ds z x x xy 222，其中∑为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。
24．求抛物面壳()2221y x z +=()10≤≤z 的质量，壳的度为z t =。
25．求平面x z =介于平面1=+y x ，0=y 和0=x 之间部分的重心坐标。
26．当∑为xoy 平面内的一个闭区域时，曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,与二重积分有什么关系？27．计算曲面积分⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy 其中∑为柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截的在第一卦限部分的前侧。
28．计算⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222式中∑为球壳()()22b y a x -+-()22R c z =-+的外表面。
29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积()()()⎰⎰∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,化成对面积的曲面积分，其中∑是平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧。
30．利用高斯公式计算曲面积：1）⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =，a z =所围成的立体的表面和外侧。
2）()()⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x ，其中∑为柱面122=+y x 与平面0=z ，3=z 所围立体的外表面。
31．计算向理αρ穿过曲面∑流向指定侧的通量：1）()k xz j y x i z x ρρρρ222-+-=α，∑为立体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0，流向外侧；2）()()()k y x z j x z y i z y x ρρρρ-+-++-++-=α，∑为椭球面1222222=++c z b y a x ，流向外侧。
32．求向理场()()k xz j xy i a xyρρρρ2cos cos ++=α的散度。
33．利用斯托克斯公式计算曲经积分⎰Γ++xdz zdy ydx 其中Γ为圆周，2222a z y x =++，0=++z y x ，若从x 轴正向看去，这圆周取逆时针方向。
34．证明⎰Γ=++02xzdz xydy dx y ，其中Γ为圆柱面y y x 222=+与z y =的交线。
35．求向量场()()()k xy j yz x i y x a ρρρρ233-++-=，其中Γ为圆周222y x z +-=，0=z 。
36．求向量场()()j y x z i y z ρρρcos sin --+=α的旋度。
37．计算()()()⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y222222，其中Γ为用平面23=++z y x 切立方体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a x ≤≤0的表面所得切痕，若从ox 轴的下向看去与逆时针方向。
(B)1．计算⎰Lyds ，其中L 为抛物线px y 22=由()0,0到()00,y x 的一段。
2．计算⎰Lds y 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t r a y cos -=一拱()π20≤≤t 。
3．求半径为a ，中心角为24的均匀圆弧(线心度1=ρ)的重心。
4．计算⎰Lzds ，其中L 为螺线t t x cos =，t t y sin =，t z =()π20≤≤t 。
5．计算⎰++Lds zy x 2221，其中L 为空间曲线t x t cos ρ=，t y tsin ρ=，t z ρ=上相应于t 从0变到2的这段弧。
6．设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =()π20≤≤t ，它的线心度为()222,,z y x yz y x ++=ρ，求：1）它关于z 轴的转动惯量z I ； 2）它的垂心。
7．设L 为曲线t x =，2t y =，3t z =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分。
8．计算()()⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22，其中L 为圆周222a y x =+(按逆时针方向绕行)。
9．计算⎰++Lxdz zdy ydx ，其中L 为曲线t a x cos =，t a y sin =，bt z =，从0=t 到π2=t 的一段。
10．计算()()⎰-++Ldy y x dx y x 2222，其中L 为||1x y -=()20≤≤x 方向为x增大的方向。
11．验证曲线积分()()()()⎰-++-1,20,1222dy y x e x dx y xey y与路径无关并计算积分值。
12．证明当路径不过原点时，曲线积分()()⎰++2,21,122yx ydyxdx 与路径无并，并计算积分值。
13．利用曲线积分求椭圆12222=+by a x 的面积。
14．利用格林公式计算曲线积分()()⎰+--Ldy y x dx y x 22sin ，其中L 是圆周22x x y -=上由点()0,0到点()1,1的一段弧。
15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线axy y x 333=+()0>a 的面积。
16．计算曲线积分()⎰+-L y x xdy ydx 222，其中L 圆周()2122=+-y x ，L 的方向为逆时针方向。
17．计算曲面积分⎰⎰∑zds 3，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平面上的部分。
18．计算()⎰⎰∑++ds zx yz xy ，其中∑是锥面22y x z +=被柱面axy x 222=+所截得的有限部分。
19．求面心度为0ρ的均匀半球壳2222a z y x =++()0≥z 对于z 轴的转动惯量。
20．求均匀的曲面22y x z +=被曲面ax y x =+22所割下部分的重心的坐标。
21．计算曲面积分()⎰⎰=++=2222,,a z y x ds z y x f I ，其中()⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+=222222,0,,,yx z yx z y x z y x f 。
22．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy ，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。
23．计算dxdy z dxdz y dydz x 111++⎰⎰∑，其中∑为椭球面1222222=++c z b y a x 。
24．计算()()()⎰⎰∑-+-+-dxdyy x dxdy x z dydz z y ，式中∑为圆锥面2=+z y x 22()h z ≤≤0的外表面。