福建省平和一中、南靖一中等四校2017-2018学年高二下学期第二次联考数学(理)试卷

“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考2017—2018学年第二学期第二次月考高二理科数学考试时间120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，则()201832i i z =-所对应的点位于复平面内的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知P 是曲线θρsin 2=上一点，则点P到直线cos()4ρθπ+= A ．123- B ．1223- C ．12- D ．221-3．下列四个散点图中，相关系数xy r 最大的是4．已知随机变量X ～2(3,)N σ，且(4)0.15P X >=，则()P X =≥2 A ．0.15B ．0.35C ．0.85D ．0.35．两个实习生每人加工一种零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12 B ．512 C ．14 D ．166．为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．已知240101=∑=i i x , 1700101=∑=i iy，5ˆ=b，若该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为D C BA23y y 3223y y 32A. 160B. 165C. 170D. 1757．已知X 的分布列如图：则32Y X =+的数学期望E (Y)等于点数是奇数”， 则=)(A B P A ．21 B ．61 C ． 365 D ．12110．若(12)nx -*()n ∈N 的展开式中4x 的系数为80，则(12)nx -的展开式中各项系数的绝对值之和为A ．32B ．81C ．243D ．25611．5名教师分配到3个学校支教，每个学校至少分配1名教师，甲、乙两个老师不能分配到同一个学校， 则不同的分配方案有A ．60 种B ．72种C ．96 种D ．114种 12．若对()0,x ∈+∞恒有ln e 2ax x x-+≥，则实数a 的取值范围为 A ．2(,]e -∞- B ．2(,)e-∞- C ．(,2e]-∞- D ．(,2e)-∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．=⎰．14．6(1x-的展开式中常数项为 ．15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为______．16.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()20f x f x '->，()12f =，则不等式()()212ex f x ->的解集为_____．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位：件)，随机抽取近5年50天的销售量，5年中： (1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示)；(2)已知每件该商品的利润为20元，用X 表示该商品某两天销售的利润和(单位：元)，求X 的分布列和数学期望．18．（12分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=在1=x 处取得极值． (1)求)(x f ，并求函数)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； (2) 求函数)(x f 的单调区间．19．（12分）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道测试题，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为32．假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立，互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答． (1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率；(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？20．（12分）某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：21．（12分）已知2()e xf x x ax =--．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++(1)若函数)(x f 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若1=a ，证明：当0>x 时，1()2f x >． 参考数据：e 2.71828≈，69.02ln ≈．22．[选修44-：坐标系与参数方程] (10分)在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=，曲线2C ：2sin 4cos ρθθ= .以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为12,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求1C ，2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）C 与1C ，2C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,P Q R S ，求PQ RS -的值．“平和、华安、长泰、南靖一中”四校联考2017-2018学年第二学期第二次月考高二理文科数学参考答案评分说明：1．本解答给只出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

3．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

1．B ２．B ３．C４．C ５．B６．D ７．A８．C９．A １0．C １1．D１2．A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

1３．π 1４．35- 1５．120 1６．(),1-∞三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．本小题满分12分．解：(1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率332523144()()55625p C =⋅=． ································································································ 5分(2) X 的可能取值为4000,5000,6000．339(4000)5525P X ==⨯=，123212(5000)5525P X C ==⨯⨯=，224(6000)5525P X ==⨯=． ···························································································· 8分 所以X 的分布列为数学期望124()4000500060004800252525E X =⨯+⨯+⨯=（元）． ······································ 12分 18．本小题满分12分．解：(1)因为2()1ln f x x ax x =-++-，所以1()2(0)f x x a x x'=-+->． ······································· 1分 因为()f x 在1=x 处取得极值，所以(1)0f '=，即210a -+-=，解得所以3a =． ·············································································································· 3分因为1()23(0)f x x x x '=-+->，2ln 3)2(-=f ，3(2)2f '=-， 所以函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程为36ln 22y x =-+-． ··········································· 6分 (2)由(1) 1()23(0)f x x x x'=-+->， 令()0f x '>，即1230x x -+->，解得121<<x ， 所以()f x 的单调递增区间为1(,1)2． ·················································································· 9分 令()0f x '<，即1230x x -+-<，解得210<<x 或1>x ， 所以()f x 的单调递减区间为)21,0(，),1(+∞．综上，()f x 的单调递减区间为1(0,)2和(1,)+∞，单调递增区间为1(,1)2． ······························· 12分 19．本小题满分12分．解：(1)依题设记甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率为P ，则21221120142423333661211133315C C C C P C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ······················································· 4分 (2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1,2,3．1242361(1)5C C P X C ===， 2142363(2)5C C P X C ===， 34361(3)5C P X C ===． ································ 6分 X 的分布列为：所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=， ()()()2221312()1222325555D X =-+-+-=． ·································································· 8分 设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3． 则)32,3(~B Y ． 所以2()323E Y =⨯=，222()31333D Y ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． ························································· 10分 因为)()(YE X E =，()()D X D Y <，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． ··············································································· 12分 20．本小题满分12分．解：（1）根据图1和表1得到22⨯列联表：································································· 3分 将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.21≈. ······························· 5分 因为12.21 6.635>，所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. ···························· 6分 （2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为19296200100=，设备改造前产品为合格品的概率约为17286200100=；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. ··················································································································· 9分 （3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，18096010040168800⨯-⨯=，所以该企业大约获利168800元． ····································· 12分 21．本小题满分12分．解：（1）依题意()e 2xf x x a '=--． ························································································· 1分因为函数)(x f 在R 上单调递增，所以()e 20xf x x a '=--≥在R 上恒成立，因此e 2xa x -≤． ··········································································································· 2分令()e 2x g x x =-，则()e 2xg x '=-， 令()0g x '=，解得2ln =x ，所以)(x g 在)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 所以当2ln =x 时，)(x g 取得最小值22ln 2-，故22ln 2a -≤，即a 的取值范围为(],22ln2-∞-． ····························································· 4分(2)证明：若1=a ，则2()e x f x x x =--，得()e 21x f x x '=--，由(1)知()f x '在)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增． ············································· 5分 又(0)0f '=，(1)e 30f '=-<，11ln 2211(1ln 2)e 2(1ln 2)13ln 2022f +'+=-+-=-->．所以存在0l 1,1ln 22x ⎛⎫∈+⎪⎝⎭，使得()00f x '=． ···································································· 7分 所以当),0(0x x ∈时，()0f x '<，当),(0+∞∈x x 时，()0f x '>， 则函数)(x f 在),0(0x 单调递减，在),(0+∞x 单调递增．则当0x x =时，函数)(x f 在()0,+∞上有最小值02000()e x f x x x =--． ···································· 8分 由00e 210x x --=得00e 21x x =+，所以02000()e x f x x x =--=120+x 020x x --=1020++-x x =45)21(20+--x ． ······················ 10分 由于)2ln 211,1(0+∈x ， 所以=)(0x f >+--45)21(20x 2112⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212⎛⎫>-++=>⎪⎝⎭．所以当0>x 时，1()2f x >． ··························································································· 12分 22．本小题满分10分．解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ·························································································· 1分由2cos ρθ=得22cos ρρθ=， ···························································································· 2分 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=． ······································································ 3分 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=， ·············································································· 4分 所以曲线2C 的直角坐标方程为: 24y x =． ············································································· 5分 （Ⅱ）不妨设四个交点自下而上依次为,,,P Q R S ，它们对应的参数分别为1234,,,t t t t ． 把 12,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，得234242t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即238320t t --=, (6)则()()21843324480∆=--⨯⨯-=＞，1483t t +=． ····································· 7分把12,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()2211x y -+=，得2212112t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即20t t +=, ·············································································· 8分 则2=10∆＞，231t t +=-． ··································································································· 9分 所以21432314811|||||||()()||()||1|33PQ RS t t t t t t t t -=---=+-+=+=． ··········································· 10分。