第1章微弱信号检测与随机噪声

特点：消除变换环节噪声，改善线性 例如：力平衡式压力变送器
13
1．3
随机噪声及其统计特征
噪声的概率密度函数（PDF） 随机噪声的均值、方差和均方值 随机噪声的相关函数
自相关函数 互相关函数与互协方差函数 归一化相关函数
随机噪声的功率谱密度函数
功率谱密度函数 互谱密度函数
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1.3.1
噪声的概率密度函数（PDF）
2
1 对于离散随机噪声： σ = N
[x (i ) − µ x ]2 ∑
i =1Βιβλιοθήκη N方差反映的是随机噪声的起伏程度。
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3． 均方值
x = E[ x (t )] = ∫
2 2
2
∞
−∞
x2 (t ) p( x)dx
用时间平均来计算：
1 x = Lim T →∞ 2T
1 2 x = N
∫
T
−T
x 2 (t )dt
特点：∵微弱，∴淹没在噪声中，WSD是抑制噪声的技术； 发展：近40年迅速发展，能测<1nV的信号，SNR 提高106 ； 推动了物理、化学、天文、地学、生物医学等学科的发展。
4
微电流、低电压
2．WSD方法
物理学方法（检测原理与方法，传感器）； 电子学方法（模拟与数字信号处理）； 信息论方法（DSP，模式识别、人工智能、 ANN、小波变换、混沌检测、传感器融合等）。
µ x = E [ x ( t )] =
=
∫ x ( t ) p ( x )d x
2π 0
∫
A sin (ω 0 + ϕ ) p (ϕ )d ϕ
A = 2π
∫
2π 0
sin (ω 0 t + ϕ )d ϕ = 0
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（2）x(t)的方差σx2
2 x 2 2
（3）x(t)的自相关函数 Rx(τ)
A2 σ = E[ x (t )] = E[ A sin (ω0t + ϕ )] = E[1− cos(2ω0t + 2ϕ)] 2 A2 A2 1 2π A2 = − ∫0 cos(2ω0t + 2ϕ)dϕ = 2 2 2 2π
Chapter 1
★ ★ ★ ★ ★ ★
微弱信号检测与随机噪声
微弱信号检测介绍 (WSD) 小信号检测常规方法 随机噪声及其统计特性 常见随机噪声 随机噪声通过电路系统响应 等效噪声带宽
3
1. 1 Introduction to Weak signal Detection(WSD)
1. Weak Signal: 弱光，弱磁、弱声、小位移、小电容、微流量、微 振动、微温差、微压差 传感器
均值µx 表示的是随机噪声的直流分量。
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2. 方差
σ = E [ x (t ) − µ x ] = ∫
2 x 2
∞
−∞
[ x (t ) − µ x ] p ( x )dx
2
对于各态遍历的平稳随机噪声 ，其统计平均可以用时 间平均来计算：
1 σ = Lim T →∞ 2T
2 x
∫
2
T
−T
[ x(t ) − µ x ] dt
对于各态遍历的平稳随机噪声， R x (τ ) = E [ x (t ) x (t − τ )] 用时间平均来计算上式的统计平均，
1 Rx (τ ) = Lim T →∞ 2T
自相关函数特点：
∫
T
−T
[ x(t ) x(t − τ )]dt
（1）对实信号, 自相关函数是τ 的偶函数，即
Rx(τ) = Rx(-τ)
微弱信号检测
1
Contents
Chapter 1 微弱信号检测与随机噪声 Chapter 2 放大器的噪声源和噪声特性 Chapter 3 干扰噪声及其抑制 Chapter 4 Chapter 5 Chapter 6 Chapter 7 锁定放大器 取样积分和数字式平均 相关检测 自适应噪声抵消
2
2）Rxy(τ) ≤√Rx(0) Ry(0) 3） Rxy(∞) = µx µy 4）对于平稳的随机噪声，Rxy(τ)仅与时间差τ 有关， 而与计算时间的起点无关。
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(2) 互协方差函数 Cxy (t1, t2)：
对于各态遍历的平稳随机噪声 Cxy(τ) = E{[x(t-τ)-µx][ y(t)-µy]} = Rxy(τ) - µxµy 对于零均值的平稳随机噪声x(t)与y(t)，则有 µx=µy =0 Cxy(τ)=Rxy(τ) 相互独立：当x与y相互独立时，则 p(x, y)= p(x) p(y) 当上式成立时，x与y必定相互独立，而且 E[xy]= E[x] E[y] 相互独立的两路随机噪声一定互不相关，但互不相关 的两路随机噪声不一定相互独立。
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3．归一化相关函数 （1）归一化自相关函数
R x (τ ) ρ x (τ ) = R x (0)
根据 Rx(0)≥Rx(τ) 可知： –1 ≤ ρx(τ) ≤ +1
（2）归一化互相关函数
ρ xy (τ ) =
R xy (τ ) R x (0) R y (0) –1 ≤ ρxy(τ) ≤ +1
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Rx (0) = E[ x (t )] = x
2
2
22
（4）如果 x(t)包含某种周期性分量，Rx(τ) 将包含 同样的周期性分量。 （5）如果 z(t)=x(t)+y(t)，则 Rz(τ)=Rx(τ) +Ry(τ)。 （6）对于平稳噪声，Rx(τ)仅与时间差τ 有关，而与 计算时间的起点无关。 （7）Rx(∞) = µx2，为直流分量的功率。
证明：Rx(τ)=E[x(t) x(t-τ)]
= E[x(t)x(t+τ)]= Rx(-τ)
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（2）τ=0时，Rx(τ)具有最大值，即 Rx(0)≥Rx(τ) 证明： [x(t)±x(t-τ)]2≥0 x2(t)+x2(t-τ)]≥2 x(t) x(t-τ)
两边取数学期望值，得
Rx(0)≥Rx(τ) （3）Rx(0)反映随机噪声的功率
1. 概率密度函数 p(x) ：噪声电压 x(t) 取值为 x 的概率。 对于所有 x 都有 p(x) ≥ 0。 2. 噪声波形x(t) 与p(x)之间的关系
3. 噪声电压取值为a与b之间的概率为
P (a < x ≤ b) =
∫
b a
p ( x )d x
15
∫
∞
−∞
p ( x )d x = 1
正态分布，又称为高斯分布
由 Rxy(τ) ≤√Rx(0) Ry(0) 可知：
例：
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1.3.4 随机噪声的功率谱密度函数 1.功率谱密度函数
p ( x) = 1
σx
⎡ ( x − µ x )2 ⎤ exp ⎢ − ⎥ 2 2σ x ⎦ 2π ⎣
µx 为 x 的均值，σx 2 为 x 的方差， σx 为 x 的均方根（rms）值或有效值
当x=µx 时，p(x) 取得最大值：
p(µ x ) =
1
σ x 2π
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满足|x-µx|>x0 的概率为
检测、恢复及处理被噪声覆盖的信号。
5
3．检测质量表征：
（1）信噪改善比（ SNIR ）
信噪比SNR：有效值之比或功率之比，须说明。 S SNRO SNR = SNIR = N SNR
i
（2）检测分辨率（最小可测信号）
电压 常规检测方法 1 µV 电流 0.1 nA 温度 10-4 K 5*10-7 K 10-6 K 6 电容 0.1 pF 微量分析 SNIR 10-5 克分子 10
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二、调制放大
1.系统组成
被测低频信号：Vs(t)=cosωst 载波： Vc(t)= cosωct （要求：ωc /ωs > 20） 调制输出：Vm(t)= Vc(t) × Vs(t)＝cosωst cos ωct
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2.调制放大解调原理
（1）调制过程： Vm(t)=Vs(t)×Vc(t)= cosωst cos ωct = 0.5cos(ωc+ωs)t +0.5cos(ωc-ωs)t 和频分量 差频分量
对于离散随机噪声：
∑
i =1
N
x 2 (i )
均方值反映的是随机噪声的归一化功率。 （单位 V2 或 A2） 4. 均值、方差和均方值关系：
x = µ +σ
2 2 x
2 x
对零均值噪声，µx = 0, x2 = σx2, σx为其有效 值，即均方根（RMS）值。
20
1.3.3
随机噪声的相关函数
1.自相关函数：
微弱信号检测 0.1 nV 10-5 nA 方法 10-3 nV 10-8 nA 吉时利公司 （Keithley）
10-5 pF 10-8 克分子 105
1．2 常规小信号检测方法
一、 滤波
功能： 压缩频带，以提高信噪比； 适用范围：信号与噪声频谱不重叠； 常用滤波器：低通、带通、带阻； 开关电容滤波器。
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AH 1 H 2 H 1H 2 H2 y= x+ n1 + n2 1 + AH 1 H 2 K F 1 + AH 1 H 2 K F 1 + AH 1 H 2 K F
当AH1H2KF>>1时，简化为
1 1 1 y= x+ n1 + n2 KF AK F AH1K F
只要A足够大，
1 y= x KF
P (| x − µ x |> x0 ) = 1 −
1
σ x 2π
∫
x0
− x0
( x − µ x )2 exp[ − ]dx 2 2σ