高中数学复习全套
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
高中数学复习题集及答案
高中数学复习题集及答案近几年来，高中数学的学习逐渐变得日益重要。
数学不仅是高考的一大重要科目，同时也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的关键学科之一。
为了帮助广大高中学生更好地复习数学知识，我们准备了一份高中数学复习题集及答案，希望能为同学们的学习提供一点帮助。
题目一：求解二次方程1. 解方程$x^2+5x+6=0$。
解答：首先，观察方程可知，二次方程的通常形式为$ax^2+bx+c=0$。
将给定方程与通常形式进行比较，可以得到$a=1$，$b=5$，$c=6$。
根据韦达定理可得：\[\Delta = b^2-4ac = 5^2-4\times1\times6 = 1\]因为$\Delta > 0$，所以方程有两个不相等的实根。
根据二次方程的求根公式可得：\[x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5\pm\sqrt{1}}{2} = -3, -2\]所以方程$x^2+5x+6=0$的解是$x=-3, -2$。
题目二：等差数列求和2. 求等差数列$3, 6, 9, 12, \ldots, 99$的前20项和。
解答：根据题意可知，该等差数列的首项$a=3$，公差$d=6-3=9-6=12-9=\ldots=3$。
为了求出该等差数列的前20项和，我们需要先求出其第20项$A_{20}$。
根据等差数列的通项公式可得：\[A_n = a + (n-1)d\]带入$a=3$和$d=3$可得：\[A_{20} = 3 + (20-1)\times3 = 3 + 19\times3 = 3 + 57 = 60\]所以等差数列的第20项为$A_{20} = 60$。
接下来，利用等差数列的求和公式可得前20项和$S_{20}$：\[S_{20} = \frac{n}{2}(a+A_n) = \frac{20}{2}(3+60) = 10\times63 = 630\]所以等差数列$3, 6, 9, 12, \ldots, 99$的前20项和为630。
高考数学一轮复习目录
高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。
高中数学复习资料
高中数学复习资料
为了帮助高中学生复数学知识，本文提供了一些复资料，希望
能够对同学们有所帮助。
一、代数
代数是数学的重要分支，对于高中数学复至关重要。
在代数的
复中，同学们可以重点关注以下内容：
- 一元二次方程：复一元二次方程的解的求法，理解韦达定理
的应用以及图像的性质。
- 不等式：复不等式的性质与解法，涉及绝对值不等式和二次
不等式。
- 函数：复各类函数的性质与图像，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
- 等比数列与等差数列：复数列的概念和性质，熟练掌握等差
数列与等比数列的求和公式。
二、几何
几何是数学中的另一个重要领域，对于高中数学复也非常重要。
在几何的复中，建议同学们关注以下内容：
- 三角函数：复三角函数的定义、性质和图像，重点掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的特点与应用。
- 平面几何：复平面上的图形性质和相关定理，包括三角形的性质、特殊四边形的性质、圆的性质等。
- 空间几何：复空间中的图形性质和相关定理，包括直线与平面的关系、直线与直线的关系等。
三、数学思维
除了具体的知识点，数学思维也是高中数学复的重点。
在数学思维的复中，同学们可以关注以下内容：
- 推理证明：复数学证明的方法和技巧，包括直接证明、间接证明、反证法等。
- 问题解决：复解决实际问题的思路和方法，培养数学建模和问题解决的能力。
以上是一些高中数学复习的主要内容，希望同学们能够认真复习，并加强练习，为考试做好充分准备。
普通高中学业水平测试(数学复习提纲)
普通高中学业水平测试(数学复习提纲)普通高中学业水平测试（数学复习提纲）为了帮助同学们更好地复习普通高中学业水平测试的数学内容，我们特制定了一份详细的复习提纲，涵盖高中数学的主要知识点。
以下是本次复习的主要内容：一、代数部分1.1 实数- 实数的分类及性质- 实数的运算规则1.2 函数- 函数的定义及性质- 常见函数的图像与性质（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）1.3 方程与不等式- 线性方程组的解法- 一元二次方程的解法- 不等式的性质与解法1.4 幂函数与二次函数- 幂函数的定义与性质- 二次函数的定义与性质1.5 指数函数与对数函数- 指数函数的定义与性质- 对数函数的定义与性质1.6 三角函数- 三角函数的定义与性质（正弦、余弦、正切等）二、几何部分2.1 平面几何- 点、线、面的基本性质- 直线方程与曲线方程- 几何图形的面积与体积计算2.2 立体几何- 空间几何体的性质与结构- 空间向量及其运算- 立体几何中的面积与体积计算2.3 解析几何- 坐标系与坐标变换- 直线、圆的方程及其应用- 解析几何中的图形分析与计算三、概率与统计3.1 随机事件- 随机事件的定义与性质- 事件的运算（并、交、补等）3.2 概率分布- 离散型随机变量的概率分布- 连续型随机变量的概率分布3.3 统计量与推断- 描述性统计量（如均值、方差、标准差等）- 概率推断（如假设检验、置信区间等）四、数学应用4.1 数学建模- 数学建模的基本方法与技巧- 数学模型在实际问题中的应用4.2 数学竞赛- 数学竞赛题型及解题策略- 数学竞赛中的常用技巧与方法五、数学思想与方法5.1 函数与方程思想- 利用函数与方程解决实际问题- 函数与方程在高中数学中的应用5.2 数形结合思想- 数形结合在高中数学中的应用- 利用数形结合解决实际问题5.3 分类与整合思想- 分类与整合在高中数学中的应用- 利用分类与整合解决实际问题5.4 归纳与猜想- 数学归纳法的基本原理与应用- 利用归纳与猜想解决实际问题附录- 常见数学符号与公式- 解题策略与技巧- 模拟试题与解答希望这份复习提纲能帮助同学们系统地复习高中数学知识，为普通高中学业水平测试做好充分准备。
高三数学复习专题目录.docx
高三数学复习专题目录专题一、数列与不等式数列（1）数列（2）专题二、三角函数三角函数（1）三角函数（2）专题三、立体几何立体几何（1）立体几何（2）专题一、数列与不等式一.基础知识梳理数列：1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.了解递推公式是给出数列的一种方法，能据递推公式写出前几项，同时求出通项公式.4,理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项公式，并能解决简单实际问题.5.体会等差数列、等比数列与一次函数，指数函数，二次函数的关系.不等式：（必修部分）1.一元二次不等式^2+^ + c>0（cz>0）与相应的函数y = ax2+bx+c（a>0\相应的方程ax2+bx +c = 0（«〉。
）之间的关系2.一元二次不等式恒成立情况小结：J G >0 [a<0 ax2 + bx + c>0（a/0）恒成立 o。
，ax2 +bx + c <0（a/0）恒成立o。
3.二元一次不等式表示的平面区域：直线I: ax + by + c = 0把直角坐标平面分成了三个部分：（1）直线/上的点（x, y）的坐标满足ax +by+ c = 0（2）直线Z一侧的平面区域内的点（x, y）^^ax + by + oO（3）直线Z另一侧的平面区域内的点（x,y）满足ox + /<y + c<0所以，只需要在直线Z的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（将，光），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域。
4.线性规划：如果两个变量x,y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题.其中，满足约束条件的解（x,y）称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域，使目标函数取得最大值和最小值的可行解称为这个问题的最优解.5.基本不等式：⑴如果"eR,那么/+〃 2 2沥，（当且仅当“=。
数学高三一轮复习用书全套(1000页)
课堂过关第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素.④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P 7第1题改编)集合{x ∈N |x<5}可以用列举法表示为________． 答案：{0，1，2，3，4}解析：∵ x<5且x ∈N ，∴ x ＝0，1，2，3，4，特别注意0∈N .2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，0≤y<2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：用集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y<2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A ⊆ B ，则a ∈________． 答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (必修1P 7第4题改编)由x 2，x 组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则实数x 的取值不可以是________．答案：0和1解析：由x 2＝x 可解得．5. (必修1P 17第8题改编)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________个．答案：10解析：x ＝5，y ＝1，2，3，4，x ＝4，y ＝1，2，3，x ＝3，y ＝1，2，x ＝2，y ＝1，共10个．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N 或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． (2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆ B 或B ⊇ A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”．② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 集合的基本概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时，这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.变式训练下列三个集合：① {x|y ＝x 2＋1}；② {y|y ＝x 2＋1}；③ {(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1) 它们是不是相同的集合？ (2) 它们的各自含义是什么？ 解：(1) 它们是不相同的集合．(2) 集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许的值组成的集合．因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R .集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 组成的集合．由二次函数图象知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}．集合③是函数y ＝x 2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．备选变式（教师专享）已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解：∵ －3∈A ，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.题型2 集合间的基本关系例2 若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆ A ，求由m 的可取值组成的集合．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅ ，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴ 2≤m ≤3.故m<2或2≤m ≤3，即所求集合为{m|m ≤3}． 变式训练已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 014＋b 2 015的值．解：由于a ≠0，由ba＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 014＋b 2 015＝1.备选变式（教师专享）若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合． 解：P ＝{－3，2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求a 的取值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.题型3 根据集合的关系求参数的取值范围例3 (2015·南通期末)已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤2.若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a<0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a>2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a>－12， ∴ －12<a<0；当a>0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2，∴ 0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.备选变式（教师专享）已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}．若B ⊆A ，求实数a ，b 的值． 解：∵ B ⊆A ＝{－1，1}，∴ B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}． 若B ＝∅，则方程x 2－ax ＋b ＝0无实数根， 即Δ＝(－a)2－4×1×b<0，此时a 2<4b.若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，此时a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}时，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1， 即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a ×1＋b ＝0，若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，12－a ×1＋b ＝0，此时a ＝0，b ＝－1.综上所述，当a 2<4b 时，不论a ，b 取何值，A ⊆B ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A. 1. (2015·南京、盐城一模)设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N ⊆M ，则实数x 的值为________．答案：1解析：由N ⊆M 知1∈M ，则x ＝1. 2. (2015·南师附中模拟)若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A ⊆B ，则A ＝________． 答案：{1}解析：若a ＝0，则a 2＝0，B 中元素不满足互异性；若a ＝a 2，则a ＝0(舍)或a ＝1(满足互异性)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个． 答案：6解析：当M 中奇数只有3时：{3}，{2，3}；当M 中奇数只有5时：{5}，{2，5}；当M 中奇数有3，5时：{3，5}，{2，3，5}，∴ 共有6个这样的集合．5. (2015·昌平期中)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，求b －a 的值．解： 由{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴ b －a ＝2.1. (2015·浙江)已知集合A{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则A 与B 的关系是________． 答案：B A解析：A ＝{x|－1<x<2}，∴ B 真属于A. 2. (2015·佛山期中)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A ，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]解析：因为2∈A ，所以2a －12－a＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A ，则3a －13－a＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]．4. 若集合A 中有且仅有三个数1、0、a ，若a 2∈A ，求a 的值． 解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0. 若a 2＝1，则a ＝±1，∵ 由元素的互异性知a ≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求． 综上可知a ＝－1.1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅ 和A ≠∅两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1. (必修1P13第3题改编)已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________．答案：(－2，1]解析：本题考查集合概念及基本运算．2. (必修1P13习题2题改编)已知集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－x－12＝0}，则A∪B ＝________．答案：{－4，－3，4}解析：∵ A＝{－4，4}，B＝{－3，4}，∴A∪B＝{－4，－3，4}．3. (必修1P14习题10改编)已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案：{1，2}解析：由题意，阴影部分表示A∩(∁U B)．因为∁U B＝{x|x<3}，所以A∩(∁U B)＝{1，2}．4. (必修1P13习题2题改编)设集合I＝{x||x|<3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(∁I B)＝________．答案：{0，1，2}解析：I＝{－2，－1，0，1，2}，∁I B＝{0，1}，∴A∪(∁I B)＝{0，1，2}．5. (必修1P10习题4题改编)设集合A、B都是全集U＝{1，2，3，4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，A∩B＝ ，则A＝________．答案：{3，4}解析：画出韦恩图，知A＝{3，4}．1. 集合的运算(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集)，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x ∈S ，但x ∉ A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A ∩A ＝A ，A ∩∅ ＝∅，A ∩B ＝B ∩A ； (2) A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ； (3) A ∩(∁U A)＝∅，A ∪(∁U A)＝U ；(4) A ∩B ＝A ⇔ A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ；(5) ∁U (A ∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U (A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)． [备课札记]题型1 集合的运算 例1 全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，且(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，则m ＋n 的值为________．答案：－1解析：∵ U ＝{1，2，3，4，5}，(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 2∈A.又A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，∴ 2是关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，得m ＝6且A ＝{2，3}，∴ ∁U A ＝{1，4，5}．而(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 3∈B.又B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，∴ 3一定是方程x 2＋nx ＋12＝0的一个根，∴ n ＝－7且B ＝{3，4}，∴ m ＋n ＝－1.变式训练设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B. 解：由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}．题型2 根据集合的运算求参数的取值范围例2 设A ＝{x|a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A ∩B ≠∅ ； (2) A ∩B ＝A ； (3) A ∪(∁R B)＝∁R B.解：(1) A ∩B ≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3， ∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2， ∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅．(2) ∵ A ∩B ＝A ，∴ A ⊆ B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x ≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.变式训练已知A ＝{x|ax －1>0}，B ＝{x|x 2－3x ＋2>0}． (1) 若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围； (2) 若A ∩∁R B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1) 由于A ∩B ＝A 得A ⊆B ，由题意知B ＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>1a≥2，得0＜a ≤12；若a ＝0，则A ＝∅，成立；若a ＜0，则x ＜1a ＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a ≤12.(2) ∁R B ＝{x|1≤x ≤2}，若a ＝0，则A ＝∅，不成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，不成立；若a ＞0，则x ＞1a ，由1a ＜2得a ＞12.综上所述，a ＞12.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0≤ax ＋1≤3}．若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值组成的集合．解：∵ A ∪B ＝B ，∴ A ∅B ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＋1≤3，0≤2a ＋1≤3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，－12≤a ≤1.∴ －12≤a ≤1.∴ 实数a 的取值组成的集合为⎣⎡⎦⎤－12，1. 题型3 集合的综合应用例3 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A)∩B ＝，求m 的值．解：A ＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B ＝∅，得B ⊆A ， 当m ＝1时，B ＝{－1}，符合B ⊆A ； 当m ≠1时，B ＝{－1，－m}，而B ⊆A ， ∴ －m ＝－2，即m ＝2. ∴ m ＝1或2.备选变式（教师专享）50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数有___________人．答案：25解析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x 人；仅跳远及格的人数为40－x 人；仅铅球及格的人数为31－x 人；两项测验成绩都不及格的人数为4人 .∴ 40－x ＋31－x ＋x ＋4＝50，∴ x ＝25.题型4 集合运算有关的新定义问题例4 定义集合A 、B 的运算A*B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B ，但x A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A *B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A *B)A ＝{1，2，5，6，7}． 备选变式（教师专享）(必修1P 14习题13改编)对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉ N}，M*N ＝(M －N)∪(N －M)，设M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }，则M*N ＝________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵ M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y ≥0}，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }＝{y|－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y|y>3}，N －M ＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N ＝(M －N)∪(N －M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．1. (2015·安徽)已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵ ∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴ U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B ＝{－1，0，2}，∴ B ＝{1，4，6，－3，3}．2. (2015·泰州调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x<－1或2≤x<3}，B ＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B ＝________．答案：{x|x ≥－2}解析：由图1数轴得∁U A ＝{x|－1≤x<2或x ≥3}，再由图2数轴得(∁U A)∪B ＝{x|x ≥－2}．图1图23. (2015·射阳中学期末)已知函数f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2，集合D ＝[－1，a](a>－1)，集合A ＝{y|y ＝f(x)，x ∈D}与集合B ＝{y|y ＝g(x)，x ∈D}相等，则实数a 的值等于________．答案：0或1＋52解析：一次函数f(x)＝x ＋1，x ∈[－1，a](a>－1)是单调递增函数，∴ A ＝[0，a ＋1]．而B 集合是指定了定义域的二次函数的值域，分如下三类情况讨论：① 若a ∈(－1，0)，则g(x)单调递减，B ＝[a 2，1]，不可能与集合A 相等；② 若a ∈[0，1]，则B ＝[0，1]，要与A 相等，须a ＋1＝1，∴ a ＝0；③ 若a ∈(1，＋∞)，则B ＝[0，a 2]，要与A 相等，须a ＋1＝a 2，∴ a＝1±52，但1－52＜1，舍去．综上得a ＝0或1＋52.4. (2015·淮阴中学期末)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 答案：0或3 解析：因为A ∪B ＝A ，所以B A ，所以m ＝3或m ＝m.若m ＝3，则A ＝{1，3，3}，B ＝{1，3}，满足A ∪B ＝A.若m ＝m ，解得m ＝0或m ＝1.若m ＝0，则A ＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，满足A ∪B ＝A.若m ＝1，A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，显然不成立．综上m ＝0或m ＝3.5. (2015·宿迁中学期中)设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1) 若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为________；(2) 若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________． 答案：(1)－1或－3 (2)a ≤－3解析：(1) ∵ A ＝{1，2}，A ∩B ＝{2}，∴ 2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x|x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x|x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a 的值为－1或－3.(2) 对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝4(2a ＋6)， ∵ A ∪B ＝A ，∴ B ⊆A.① 当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅ ，满足条件； ② 当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ② 当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}．由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2（a ＋1），1×2＝a 2－5⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－ 3.1. 已知A 、B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B)∩A ＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，4}，则B ∩(∁U A)＝________．答案：{5，6}解析：依题意及韦恩图可得，B ∩(∁U A)＝{5，6}．2. (2015·山东)已知集合A ＝{x||x －1|<2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0.若A ∩B ≠∅ ，则实数b 的取值范围是________．答案：(－1，＋∞)解析：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|(x －b)(x ＋2)<0}．因为A ∩B ≠∅，所以b>－1. 3. (2015·无锡期中)已知A ＝{x||x －a|<4}，B ＝{x||x －2|>3}． (1) 若a ＝1，求A ∩B ；(2) 若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，A ＝{x|－3<x<5}，B ＝{x|x<－1或x>5}． ∴ A ∩B ＝{x|－3<x<－1}．(2) ∵ A ＝{x|a －4<x<a ＋4}，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A ∪B ＝R ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1，a ＋4>51<a<3. ∴ 实数a 的取值范围是(1，3)．4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞费，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：(1) 勿忘对空集情形的讨论；(2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；(4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判断必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. (课本习题改编)命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________.答案：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5解析：将原命题的条件和结论互换，可得逆命题．2. (课本习题改编)命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．答案：2解析：当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．3. (课本习题改编)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的________条件.答案：必要而不充分解析：由a－c>b－d变形为a－b>c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，所以a－c>b－d a>b.而a>b并不能推出a－c>b－d，所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．4. (课本习题改编)若命题p：2是偶数；命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真.答案：②解析：命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．5. (课本习题改编)命题p：∀x>1，log2x>0，则⌝p是________．答案：x>1，log2x≤0解析：全称命题的否定是存在性命题．1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇒q.(3) 如果p⇒q，q⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q⇒p，p⇒/q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 一个命题p的否定记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) ∃x∈M，⌝p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，⌝p(x)题型1四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1) 如果两圆外切，那么两圆的圆心距等于两圆半径之和；(2) 奇数不能被2整除．解：(1) 逆命题：如果两圆的圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．变式训练判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则判断a≥1”的逆否命题的真假.解：原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．备选变式（教师专享）设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．解：逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．题型2充分条件和必要条件例2 证明：“方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上，命题得证．备选变式1（教师专享）不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：令f(x)＝x 2－2mx －1.要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，只需f(x)＝x 2－2mx －1在[1，3]上的最小值大于0即可． 当m ≤1时，f(x)在[1，3]上是增函数， f(x)min ＝f(1)＝－2m>0，解得m<0， 又m ≤1，∴ m<0；当m ≥3时，f(x)在[1，3]上是减函数，f(x)min ＝f(3)＝8－6m>0，解得m<43，又m ≥3，∴ 此时不成立； 当1<m<3时，f(x)min ＝f(m)＝－m 2－1＝－(m 2＋1)>0不成立． 综上所述，m 的取值范围为m<0. 备选变式2（教师专享）下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p ：x ＝1；q ：x －1＝x －1.(2) p ：－1≤x ≤5；q ：x ≥－1且x ≤5.(3) p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形． 解：(1) 充分不必要条件．当x ＝1时，x －1＝x －1成立； 当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2.(2) 充要条件．－1≤x ≤5x ≥－1且x ≤5.(3) 充分不必要条件．等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．题型3 逻辑联结词例3 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：设g(x)＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，∴ 函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴ －2<a<2.∵ 函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数， ∴ 3－2a>1， ∴ a<1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a<2，a ≥1，∴ 1≤a<2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a<1，∴ a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a<2，或a ≤－2. 备选变式1（教师专享）已知p ：⎝⎛⎭⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，若“⌝ p ⇒ ⌝q ”为假命题，“⌝q ⇒⌝p ”为真命题，求m 的取值范围．解：设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x|－2≤x ≤10}，Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}， 由⌝q ⇒⌝p 为真，⌝p ⇒⌝q 为假，得P ⊆ Q ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，m>0，解得m ≥9. 备选变式2（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“⌝q ”都是假命题，求x 的值． 解：非q 假．∴ q 真． 又p 且q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|<6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6<x 2－x<6，x ∈Z ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1、0、1、2.题型4 全称命题与存在命题例4 已知命题p ：“x ∈R ，m ∈R 使4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题⌝p 是假命题，则实数m 的取值范围为________．答案：m ≤1解析：命题⌝p 是假命题，即命题p 是真命题，也就是关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，即m ＝－(4x －2x ＋1)，令f(x)＝－(4x －2x ＋1)，由于f(x)＝－(2x －1)2＋1，所以当x ∈R 时f(x)≤1，因此实数m 的取值范围是m ≤1.备选变式1（教师专享） 写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0； (4) 有些质数是奇数．解：(1) 有些自然数的平方不是正数． (2) 存在实数x 不是方程5x －12＝0的根． (3) 存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y ≤0. (4) 所有的质数都不是奇数． 备选变式2（教师专享）若命题“∃ x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案：－4≤m ≤0解析：“∃x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则“∀ x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴ －4≤m ≤0.1. (2015·徐州期中)命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”及其逆否命题的真假情况是________．答案：真解析：因为原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a 、b 都小于1，则a ＋b<2”，显然为真，所以原命题为真．2. (2015·盐城三模)若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由k ＝2，得f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；反之，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，得k 2＝4，则k ＝±2，而不是k ＝2.故k ＝2是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．3. (2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－3]解析：由A ＝(－3，2)，B ＝(a ，＋∞)，AB ，则a ∈(－∞，－3]．4. (2015·芜湖调研)命题p ：ax ＋b>0的解集为x>－ba；命题q ：(x －a)(x －b)<0的解为a<x<b.则p ∧q 是________(填“真”或“假”)命题．答案：假解析：命题p 与q 都是假命题．5. (2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案：1解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则m 大于或等于函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值．因为函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即实数m 的最小值为1.1. (2015·南通二调)命题“x ∈R ，2x ＞0”的否定是“________”．答案： ∀x ∈R ，2x ≤0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p. 2. (2015·象山中学调研)“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点”的________条件．答案：充分不必要解析：若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点；若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0.3. 已知命题p ：x 2－5x ＋6≥0；命题q ：0<x<4.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2. ∵ 命题q 为假， ∴ x ≤0或x ≥4.则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}． ∴ 满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 4. (2015·无锡期中)已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列说法：① M 的元素都不是P 的元素； ② M 中有不属于P 的元素； ③ M 中有P 的元素；④ M 中元素不都是P 的元素． 其中正确的个数为________个． 答案：2解析：结合韦恩图可知②④正确．1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．2. 充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2) 要注意区间端点值的检验．4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。
苏教版高一数学期中复习题
苏教版高一数学期中复习题苏教版高一数学期中复习题涵盖了高中数学的基础知识和核心概念，以下是一些针对期中考试的复习要点和练习题，帮助学生巩固知识点。
# 第一部分：代数1. 集合与函数- 复习要点：- 集合的概念、表示法、运算（并集、交集、补集）- 函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性）- 函数的图像和变换（平移、伸缩、对称）- 练习题：- 给定集合A={1, 2, 3}和B={2, 3, 4}，求A∪B，A∩B，以及A的补集。
- 判断函数f(x)=x^2是否具有奇偶性，并说明理由。
- 已知函数y=f(x)=3x-2，求其图像在y轴上的平移。
2. 指数与对数- 复习要点：- 指数函数的定义、性质、图像- 对数函数的定义、性质、图像- 指数与对数的运算法则- 练习题：- 计算2^8和log_2(256)的值。
- 解指数方程3^x = 27。
- 利用对数的换底公式计算log_5(125)。
3. 幂函数与多项式- 复习要点：- 幂函数的定义和性质- 多项式的定义、运算法则（加法、减法、乘法）- 多项式的因式分解- 练习题：- 判断函数f(x)=x^3是幂函数，并说明其性质。
- 将多项式x^3 - 3x^2 + 2x - 6进行因式分解。
# 第二部分：几何1. 平面几何- 复习要点：- 点、线、面的基本性质- 平行线的性质和判定- 相似三角形和全等三角形的判定- 练习题：- 证明如果两条直线平行，那么它们与第三条直线的交角相等。
- 给定两个相似三角形，求它们的边长比。
2. 空间几何- 复习要点：- 空间直线和平面的位置关系- 空间几何体的体积和表面积计算- 练习题：- 判断两条直线是否相交，并给出理由。
- 计算正方体的表面积和体积。
# 第三部分：解析几何1. 直线与圆- 复习要点：- 直线的斜率、方程（点斜式、斜截式、一般式）- 圆的标准方程和一般方程- 直线与圆的位置关系- 练习题：- 给定直线y=2x+3，求其斜率和截距。
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集合一 定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。
某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。
组成集合的对象叫做元素。
二 集合的抽象表示形式用大写字母A ，B ，C……表示集合；用小写字母a ，b ，c……表示元素。
三 元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。
元素a 属于集合A ，记作a A ∈；元素a 不属于集合A ，记作a A ∉。
四 几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示； 自然数集：N ；正整数集：N *或N +；整数集：Z ； 有理数集：Q ；实数集：R 。
五 集合的表示方法(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如：{a,b,c}。
注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
(二) 描述法：有以下两种描述方式 1．代号描述：【例】方程2x 3x+2=0-的所有解组成的集合，可表示为{x|x 2-3x+2=0}。
x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。
2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。
【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。
(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。
1．子集：如果属于A 的所有元素都属于B ，那么A 就叫做B的子集，记作：A B ⊆，如图1-1所示。
图1-1子集有两种极限情况：(1)当A 成为空集时，A 仍为B 的子集； (2)当A 和B 相等时，A 仍为B 的子集。
真子集：如果所有属于A 的元素都属于B ，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A ，那么A 叫做B 的真子集，记作AB 或A B ⊂。
真子集也是子集，和子集的区别之处在于A B ≠。
对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。
(1)求子集或真子集的个数，由n 各元素组成的集合， 有2n 个子集，有2n -1个真子集；(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A B ⊆的等价形式主要有：B B A A B A == ，。
2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交集，记作B A ，读作A 交B ，如图1-2所示。
图1-2 图1-3 图1-43．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作B A ，读作A 并B ，如图1-3所示。
4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的补集，记作U C A ，读作A 补，如图1-4所示。
德摩根公式 ：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．第二章 函数一 映射与函数的基本概念(一) 映 射A 集合中的每个元素按照某种对应法则在B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。
A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。
在A 到B 的映射中，从A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。
图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m 个元素的集合到n 个元素的集合的映射的个数是n m 。
(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。
(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。
如图2-4。
高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图像两种具体的表示形式。
偶尔也用表格表示函数。
函数三要素：定义域A ：x 取值范围组成的集合。
值域B ：y 取值范围组成的集合。
对应法则f ：y 与x 的对应关系。
有解析式和图像和映射三种表示形式函数与普通映射的区别在于： (1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。
图2-4二 定义域题型(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式直接考查：主要考解不等式。
利用：在()f x 中()0f x ≥；在()()g x f x 中，()0f x ≠；在log ()a f x 中，()0f x >；在tan ()f x 中，()2f x k ππ≠+；在0()f x 中， ()0f x ≠；在x a 与log a x 中0a >且1a ≠，列不等式求解。
(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。
三 值域题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。
解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型(1)cx d y ax b +=+(0)a ≠ ：则cy a≠且y R ∈。
(2)(2)cx dy x ax b+=≥+：利用反表示法求值域。
先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围。
(3)2223261x x y x x +-=--： (21)(2)21()(21)(31)312x x x y x x x x -++==≠-++ ， 则1y 13y ≠≠且且y R ∈。
(4)求2211x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。
2211x y x x -=++⇒2(2)10yx y x y +-++=， 2(2)4(1)0y y y ∆=--+≥⇒值域 (四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。
详情见单调性部分知识讲解。
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。
四 函数运算法则（一） 指数运算法则①mn m n aa a +⋅= ②m n m n a a a -÷= ③()m n mn a a = ④()m m ma b ab =运用指数运算法则，一般从右往左变形。
（二） 对数运算法则 同底公式：①log a bab =②log log log ()a a a M N MN +=③log log log a a a M M N N-=④log log n aa M n M =运用对数运算法则，同底的情况，一般从右往左变形。
不同底公式：①log log log m a m NN a =②log log m na a nb b m =③1log log a b b a=运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。
五 函数解析式(一) 换元法：如f(2x + 3)=x 2 + 3x + 5，求f(3-7x)，。
(二221xx +=，求f(x)。
(三y=Asin(ωx +ϕ) + C 中系数(四 (五x 、y 互换。
六 常规函数的图像常规函数图像主要有：指数函数：逆时针旋转， 对数函数：逆时针旋转， 底数越来越大 底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
其他象限图象看函数奇偶性确定。
七 函数的单调性(一) 定义：在给定区间范围内，如果x 越大y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越大y 越小，那么原函数为减函数。
(二) 单调性题型：1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。
复合函数法：211x-- ：当0 < x <1时，x ↑，x 2↑，- x 2↓，↓，1↑，1-↓2.判断单调性(1).求导函数：()0f x '≥为增函数，()0f x '≤为减函数(2).利用定义：设x 1<x<x 2，比较f(x 1)与f(x 2)大小，把12()()f x f x -因式分解，看正负。
(3).原反函数：具有相同的单调性，一个函数具有反函数的前提条件是它具有严格的单调性。
3.利用函数单调性：(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。
(2).比较函数值的大小：画图看(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。
增函数1212()()x x f x f x >⇒>或1212()()f x f x x x >⇒> 减函数1212()()x x f x f x >⇒<或1212()()f x f x x x >⇒<(4).求系数：利用常规函数单调性结论，根据单调性求系数。
八 函数的奇偶性(一)定义：如果()()f x f x -=,则()f x 为偶函数；如果()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数。
这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。
(二)奇偶性题型： 1.判断奇偶性 ：(1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负 (2).看图像对称性：关于y 轴对称为偶，关于原点对称为奇(3).原、反函数：奇函数的反函数是奇函数，偶函数没有反函数。
2.利用奇偶性：(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式 (2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。
3.奇偶函数图像的对称性偶函数：关于y 轴对称⇒若()()f a x f b x +=-，则f(x)关于2ba x +=对称 奇函数：关于原点对称⇒若()()2f a x f b x m ++-=，则f(x)关于点)2ba +，m) 对称九 函数的周期性(一) 定义：若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数，T 为()f x 周期 (二) 周期性考点：1.求周期：(1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C 标准形式，直接读出周期ωπ2=T2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)(1).求解析式 (2).求函数值十 函数图像的对称性(一) 一个图关于点对称：(Ⅰ)奇函数关于原点对称(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m ，则f(x)关于)2ba +，m)对称 (二) 一个图关于直线对称：(Ⅰ)偶函数关于y 轴对称(Ⅱ) ()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2ba x +=对称 (三) 两个图关于点对称(Ⅰ)()y f x=关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，即-y=f(-x)(Ⅱ)()y f x=关于(,)a b对称的函数：2,2x a x y b y→-→-即2(2)b y f a x-=-(四) 两个图关于线对称(Ⅰ)原函数与反函数：关于y=x对称(Ⅱ)y= f(x)关于y=x + c对称的函数:x→y-c，y→x+c，即x+c= f(y-c((Ⅲ)y= f(x)关于y=-x+c对称的函数: x→-y+c,y→-x+c，即-x+c= f(-y+c()Ⅳ)f(x)与f(-x(关于y轴对⇒f(a+x)与f(b-x(关于2abx-=对称)Ⅴ)f(x)与-f(x(关于x轴对称十一原函数与反函数反函数反映了两个函数之间的关系有两方面考点：求反函数，利用原函数与反函数关系解题。