江苏省无锡市第一中学2017—2018学年度第二学期高二数学(理)期中试卷(无答案)

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2017-2018学年江苏省无锡市锡山高级中学高二(下)期中数学试卷(理科)

2017-2018学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）复数z满足z（1+i）=2i（i是虚数单位），则复数z的实部与虚部之和为．2．（5分）某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为．3．（5分）如图所示的流程图，若输入x的值为2，则输出x的值为．4．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞时，f（2k+1）﹣f（2k）等于．5．（5分）执行算法代码“For I From 1 To50 Step 2”，共执行的循环次数为．6．（5分）若，那么z100+z50+1的值是．7．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为．8．（5分）已知数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，又知数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27，则s=．9．（5分）已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为．10．（5分）直线和圆x2+y2=16交于A，B两点，则AB的中点坐标为．11．（5分）已知直线y=a与函数y=e x+1和的图象分别交于A，B两点，则AB的最小值为．12．（5分）如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE 边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是；（2）V B的体积是；﹣ACE（3）AB∥CD；（4）平面EAB⊥平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．其中正确的叙述有（写出所有正确结论的编号）．13．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式“分裂”：，，，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是273，则m=．14．（5分）已知各项均为正数且项数为4的数列{a n}（n=1，2，3，4）的首项为1，若存在a 3，使得对于任意的a4∈（7，8），均有＜a k＜+1（k=1，2）成立，则a2的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）在极坐标系中，设圆C：ρ=8cosθ与直线l：（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程和普通方程．16．（14分）（1）已知a，b，c均为实数，且a=，b=，c=，求证：a，b，c中至少有一个大于0；（2）已知a，b，c均为正数，且a+b+c=2，求证：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρcos（θ）=，直线l2的极坐标方程为，点M 是直线l1和直线l2的交点．（1）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l1的距离的最大值；（2）设曲线C与直线l1交于点A、B两点，求|MA|+|MB|的值．18．（16分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}滿足，证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）证明：．19．（16分）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1，n∈N*．（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有n∈N*，有：①a n≥n+2（用数学归纳法证明）；②++…+．20．（16分）已知函数f（x）=（x＞1）．（1）当a＞0时，讨论g（x）=（x﹣1）2f'（x）的单调性；（2）当a=1时，若f（x）＞n恒成立，求满足条件的正整数n的值；（3）求证：．2017-2018学年江苏省无锡市锡山高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．（5分）复数z满足z（1+i）=2i（i是虚数单位），则复数z的实部与虚部之和为2．【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z 的实部和虚部，则答案可求．【解答】解：由z（1+i）=2i，得，∴复数z的实部为1，虚部为1．∴复数z的实部与虚部之和为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为16．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，设分别为a﹣d，a，a+d，则a﹣d+a+a+d=3a=1200，解得a=400，若用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为，故答案为：16；【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．3．（5分）如图所示的流程图，若输入x的值为2，则输出x的值为127．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞7，计算输出x的值．【解答】解：由程序框图知：当输入x=2时，第一次循环x=22﹣3+2=3；第二次循环x=23﹣3+2=7；第三次循环x=27﹣3+2=127．满足条件x＞7，跳出循环体，输出x=127．故答案为：127．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），用数学归纳法证明f（2n）＞时，f（2k+1）﹣f（2k）等于．【分析】首先由题目假设n=k时，代入得到f（2k）=，当n=k+1时，f（2k+1）=由已知化简即可得到结果．【解答】解：因为假设n=k时，f（2k）=，当n=k+1时，f（2k+1）=∴f（2k+1）﹣f（2k）=故答案为：【点评】此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．5．（5分）执行算法代码“For I From 1 To50 Step 2”，共执行的循环次数为25．【分析】阅读算法代码可知：I的取值构成等差数列，等差d=2，a1=1，a n=50，根据等差数列的通项公式可解得执行次数．【解答】解：算法代码是“For I From 1 To 50 Step 2”，I的取值构成等差数列，等差d=2，a1=1，a n=50，根据等差数列的通项公式：a n=a1+（n﹣1）d，可得：50=1+（n﹣1）×2∴可解得：n=25.5，共执行25次．故答案为：25．【点评】本题主要考查了算法代码及等差数列的通项公式的应用问题，是基础题．6．（5分）若，那么z100+z50+1的值是﹣i．【分析】求出复数z2，然后代入z100+z50+1进行复数幂的运算，即可得到答案．【解答】解：∵，∴．又∵i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，∴z100+z50+1=i50﹣i25+1=﹣i．故答案为：﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的幂的运算，是基础题．7．（5分）如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为57.2．【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，求方差和即可．【解答】解：根据茎叶图知，甲的平均数是=×（87+89+90+91+93）=90，方差是=×[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；乙的平均数是=×（78+88+89+96+99）=90，方差是=×[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；∴甲与乙的方差和为4+53.2=57.2．故答案为：57.2．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题．8．（5分）已知数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，又知数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27，则s=．【分析】由平均数、方差的性质，结合题意得9s2=27，由此能求出s．【解答】解：∵数据x1，x2，…，x10的均值为2，标准差为s，数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27，∴9s2=27，解得s=．故答案为：．【点评】本题考查标准差的求法，考查均值、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（5分）已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为6．【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．【解答】解：复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），复数z表示，复平面上的点到（﹣1，﹣1）的距离为1的圆．|z﹣3+4i|的几何意义是圆上的点与（3，﹣4）的距离，所以最大值为：=6．故答案为：6．【点评】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力．10．（5分）直线和圆x2+y2=16交于A，B两点，则AB 的中点坐标为（3，﹣）．【分析】把直线的参数方程化为普通方程，代入圆的方程化简，利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2=6，故AB的中点的横坐标为3，再由直线方程求得AB的中点的纵坐标，从而求得AB的中点坐标．【解答】解：把直线的参数方程消去参数，化为普通方程为x﹣y﹣4=0，代入圆的方程化简可得x2﹣6x+8=0．故有x1+x2=6，故AB的中点的横坐标为3，代入直线方程可得AB的中点的纵坐标为﹣，故AB的中点的坐标为（3，﹣），故答案为（3，﹣）．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．11．（5分）已知直线y=a与函数y=e x+1和的图象分别交于A，B两点，则AB的最小值为．【分析】由题意得到B（a2+1，a），A（lna﹣1，a），其中lna﹣1＜a2+1，且a＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．【解答】解：∵直线y=a与函数y=e x+1和的图象分别交于A，B两点，∴B（a2+1，a），A（lna﹣1，a），其中lna﹣1＜a2+1，且a＞0，∴|AB|=a2﹣lna+2，设函数f（a）=a2﹣lna+2，f′（a）=2a﹣，a＞0，令f′（a）=0，解得a=，当f′（a）＞0，即a＞时，函数在（，+∞）单调递增，当f′（a）＜0，即0＜a＜时，函数在（0，）单调递减，故a=时，函数有最小值，最小值为f（）=，故线段AB的长度的最小值为，故答案为：，【点评】本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）如图正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE 边折起，A点在面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）AB与DE所成角的正切值是；（2）V B﹣ACE的体积是；（3）AB∥CD；（4）平面EAB⊥平面ADE；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为．其中正确的叙述有（1）（2）（4）（5）（写出所有正确结论的编号）．【分析】（1）由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；（2）V B﹣ACE 的体积是S△BCE×AD==；（3）根据CD∥BE，可知AB与CD不平行；（4）证明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE；（5）确定∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，即可求解．【解答】解：由题意，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a（1）由于BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角∵AB=，BC=a，AC=a，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=，故（1）正确；（2）V B﹣ACE 的体积是S△BCE×AD==，故（2）正确；（3）∵CD∥BE，∴AB与CD不平行，故（3）不正确；（4）∵AD⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴AD⊥BE，∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE∵BE⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故（4）正确；（5）∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=，∴sin∠BEA=，故（5）正确故答案为：（1）（2）（4）（5）【点评】本题考查图形的翻折，考查空间线面位置关系，搞清翻折前后的变与不变是关键．13．（5分）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式“分裂”：，，，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是273，则m=9．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是2015时，m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，273是从3开始的第136个奇数当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个，当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个，故m=9．故答案为：9．【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．14．（5分）已知各项均为正数且项数为4的数列{a n}（n=1，2，3，4）的首项为1，若存在a 3，使得对于任意的a4∈（7，8），均有＜a k＜+1（k=1，2）成立，则a2的取值范围为（2，3）．【分析】通过令k=1、2时得到两个不等式组，进而联立整理可知＜a 2＜，利用a4∈（7，8）即可得结论．【解答】解：依题意，当k=1时，有＜a 2＜，即＜a 2＜，当k=2时，＜a 3＜，联立以上二式可知：2a2﹣1＜a3＜，整理得：a2＜，同理可得：＜，即a 2＞，综上所述，＜a 2＜，∵a4∈（7，8），∴2＜a2＜3，故答案为：（2，3）．【点评】本题考查数列递推式，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）在极坐标系中，设圆C：ρ=8cosθ与直线l：（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程和普通方程．【分析】圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣8x=0，直线l的直角坐标方程为y=x，联立，得A（0，0），B（4，4），由此能求出以AB为直径的圆的普通方程和极坐标方程．【解答】解：∵圆C：ρ=8cosθ，∴ρ2=8ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣8x=0，∵直线l：（ρ∈R），∴直线l的直角坐标方程为y=x，联立，得A（0，0），B（4，4），∴以AB为直径的圆的圆心（2，2），半径r==2，∴以AB为直径的圆的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．即x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ=0，即．【点评】本题考查圆的极坐标方程和直角坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．（14分）（1）已知a，b，c均为实数，且a=，b=，c=，求证：a，b，c中至少有一个大于0；（2）已知a，b，c均为正数，且a+b+c=2，求证：．【分析】（1）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．（2）利用综合法，直接证明不等式即可．【解答】证明：（1）假设a，b，c都不大于0即a≤0，b≤0，c≤0根据同向不等式的可加性可得a+b+c≤0①又a+b+c=x2﹣2y++y2﹣2z++z2﹣2x+=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3＞0与①式矛盾．所以假设不成立，即原命题的结论a，b，c中至少有一个大于0．（2）证明：∵，，．∴+（a+b+c）≥2（a+b+c），≥a+b+c，∴，当且仅当a=b=c=1时取等号．【点评】本题的考点有综合法、反证法，考查逻辑推理能力，属于中档题．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρcos（θ）=，直线l2的极坐标方程为，点M 是直线l1和直线l2的交点．（1）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l1的距离的最大值；（2）设曲线C与直线l1交于点A、B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）设P（2cosα，sinα），直线l1的直角坐标方程为x+y﹣2=0，求出点P到直线l1的距离，由此能求出点P到直线l1的距离取最大值．（2）曲线C的直角坐标方程为=1．直线l2的直角坐标方程为y=x，联立，得M（1，1），由此能求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数）．点P为曲线C 上的动点，∴设P（2cosα，sinα），∵直线l1的极坐标方程为ρcos（θ）=，∴直线l1的极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ=，∴直线l1的直角坐标方程为x+y﹣2=0，∵点P到直线l1的距离d==，∴当sin（α+θ）=﹣1时，点P到直线l1的距离取最大值=．（2）∵曲线C的参数方程为（α为参数）．∴曲线C的直角坐标方程为=1．∵直线l2的极坐标方程为，∴直线l2的直角坐标方程为y=x，联立，得M （1，1），联立，得A （2，0），B （，），∴|MA |+|MB |=+=．【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（16分）已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n +1（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }滿足，证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：．【分析】（Ⅰ）整理题设递推式得a n +1+1=2（a n +1），推断出{a n +1}是等比数列，进而求得a n +1，则a n 可求．（Ⅱ）根据题设等式可推断出2[（b 1+b 2+…+b n ）﹣n ]=nb n 和2[（b 1+b 2+…+b n +b n +1）﹣（n +1）]=（n +1）b n +1．两式相减后整理求得b n +2﹣b n +1=b n +1﹣b n 进而推断出{b n }是等差数列．（Ⅲ）利用（Ⅰ）中数列{a n }的通项公式，利用不等式的传递性，推断出，进而推断出；同时利用不等式的性质推断出，进而代入证明原式．【解答】解：（Ⅰ）∵a n +1=2a n +1（n ∈N *），∴a n +1+1=2（a n +1）， ∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1=2n．即a n=2n﹣1∈N*）．（Ⅱ）证明：∵∴．∴2[（b1+b2+…+b n）﹣n]=nb n，①2[（b1+b2+…+b n+b n+1）﹣（n+1）]=（n+1）b n+1．②②﹣①，得2（b n+1﹣1）=（n+1）b n+1﹣nb n，即（n﹣1）b n+1﹣nb n+2=0，nb n+2﹣（n+1）b n+1+2=0．③﹣④，得nb n+2﹣2nb n+1+nb n=0，即b n+2﹣2b n+1+b n=0，∴b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n（n∈N*），∴{b n}是等差数列．（Ⅲ）证明：∵，k=1，2，n，∴．∵，k=1，2，…，n，∴，∴．【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．19．（16分）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1，n∈N*．（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有n∈N*，有：①a n≥n+2（用数学归纳法证明）；②++…+．【分析】（1）由a1=2，a n+1=a﹣na n+1，n=1，2，3…，可求得a2=3，继而可求得a3=4，a4=5，由此猜想a n的一个通项公式：a n=n+1；（2）利用数学归纳法证明：易证①当n=1时，不等式成立；②假设当n=k时结论成立，即a k≥k+2，去推证n=k+1时，结论也成立即可．=a n（a n﹣n）+1≥2a n+1，整理可得a n+1+1≥2（a n+1），于是（3）由（2）知，a n+1≤，反复放缩，可得≤（）n+1，利用等比数列的求和公式可证得结论成立．【解答】（1）解：由a1=2，得a2=a12﹣a1+1=3；由a2=3，得a3=a22﹣2a2+1=4；由a3=4，得a4=a32﹣3a3+1=5；由此猜想a n的一个通项公式：a n=n+1…4分（2）证明：①当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立…6分+1=a k（a k﹣k）+1≥（k+2）（k+2②假设当n=k时结论成立，即a k≥k+2，则a k+1﹣k）+1≥k+3=（k+1）+2，即n=k+1时，结论也成立．由①和②可知，a n≥n+2…10分=a n（a n﹣n）+1≥2a n+1，（3）证明：由（2）知，a n+1即a n+1≥2（a n+1），于是于是≤，+1反复放缩，可得≤≤…=（）n+1，∴++…+）2+（）3+…+（）n+1=．【点评】本题考查数列递推关系的应用，着重考查数学归纳法的应用，考查归纳猜想、放缩法的应用及推理论证的能力，属于中档题，．20．（16分）已知函数f（x）=（x＞1）．（1）当a＞0时，讨论g（x）=（x﹣1）2f'（x）的单调性；（2）当a=1时，若f（x）＞n恒成立，求满足条件的正整数n的值；（3）求证：．【分析】（1）求得g（x）的解析式，利用导数即可判断其单调性；（2）当a=1时，若f（x）＞n恒成立，等价于f（x）min＞n成立，利用导数求得f（x）min，即得n≤3，故正整数n的值为1、2或3．（3）由（2）知，当x＞1时，f（x）＞3恒成立，即＞3，令x=1+n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2﹣利用累加法化简整理即得结论成立．【解答】解：（1）f′（x）=，g（x）=ax﹣alnx﹣a﹣1，a＞0时g′（x）=a﹣=＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）a=1时g（x）=x﹣lnx﹣2，g（3）=3﹣ln3﹣2=ln＜0，g（4）=4﹣ln4﹣2=ln＞0，设g（b）=0，则b∈（3，4）．因为此时g（x）在（1，+∞）上单调递增可知当x∈（1，b）时，g（x）＜0；当x∈（b，+∞）时，g（x）＜0，当x∈（1，b）时，f′（x）＜0；当x∈（b，+∞）时，f′（x）＞0，当x=b时，f（x）min=f（b）=，∵g（b）=0，∴b﹣lnb﹣2=0，即lnb=b﹣2，所以f（b）=b，∵b∈（3，4），∴f（b）∈（3，4），∴n≤3，故正整数n的值为1、2或3．（3）由（2）知，当x＞1时，f（x）＞3恒成立，即＞3，1+lnx＞，lnx＞﹣1==2﹣（x＞1），令x=1+n（n+1），得ln[1+n（n+1）]＞2﹣＞2﹣=2﹣3（﹣）则ln（1+1×2）=ln3（n=1暂时不放缩）ln（1+2×3）＞2﹣3（﹣），…，ln[1+n（n+1）]＞2﹣3（﹣）．以上n个式子相加得：ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞ln3+2（n﹣1）﹣3（﹣）＞lne+2n﹣+=2n﹣+＞2n﹣所以ln{（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n（n+1）]}＞2n﹣，即（1+1×2）•（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣．【点评】本题主要考查利用导数研究函数单调性等性质，考查分类讨论思想的运用及不等式恒成立问题的解题策略，综合性强，属难题．。

2018-2019学年江苏省无锡市第一中学高二第二学期期中数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年江苏省无锡市第一中学高二第二学期期中数学（理）试题一、填空题1．复数的模为______．【答案】【解析】直接利用复数模的计算公式求解．【详解】解：∵z=1-2i，∴故答案为：．【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题．2．=______．【答案】195【解析】根据排列数和组合数公式进行计算即可．【详解】解：=7×6×5-=210-=210-15=195.故答案为：195【点睛】本题主要考查排列组合数公式的计算，结合排列组合数公式是解决本题的关键．3．复数的实部为______．【答案】【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．【详解】解：，∴复数的实部为，故答案为：．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．若正整数x满足方程，则x=______．【答案】2【解析】根据组合数公式建立方程进行求解即可．【详解】解：由，得或，得x=-3（舍），或x=2，故答案为：2【点睛】本题主要考查组合数公式的应用，结合组合数的性质建立方程是解决本题的关键．5．如果用反证法证明命题“设a，b∈R，则方程x2+ax+a-1=0至少有一个实根”，那么首先假设______【答案】方程x2+ax+a-1=0没有实数根【解析】直接利用命题的否定写出假设即可．【详解】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b∈R，则方程x2+ax+a-1=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+a-1=0没有实数根．故答案为：方程x2+ax+a-1=0没有实数根【点睛】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．6．从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中，共有______中不同的方案．（用数字作答）【答案】4【解析】甲、乙两人中恰有1人，则从甲乙两人中选1人，再从丙、丁两人中选1人，问题得以解决．【详解】解：甲、乙两人中恰有1人，则从甲乙两人中选1人，再从丙、丁两人中选1人，故有C21C21=4种.故答案为：4．本题考查了组合问题，属于基础题．7．的展开式中第四项的二项系数为______．（用数字作答）【答案】10【解析】根据二项式系数的定义进行求解即可．【详解】解：第四项的二项式系数为,故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合二项式系数的定义是解决本题的关键．比较基础．注意要区分二项式系数和项的系数的区别．8．甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有______种．（用数字作答）【答案】12【解析】由排列、组合及简单计数问题得：甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有，得解．【详解】解：甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有，故答案为：12．【点睛】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．9．已知复数z满足，则的最大值为______．【答案】3【解析】设z=a+bi，（a，b∈R），由|z-2i|≤1，可得，即x2+（y-2）2≤1．根据圆的标准方程可得|z|=的最大值．【详解】解：设z=a+bi，（a，b∈R），∵|z-2i|≤1，∴，即x2+（y-2）2≤1．则|z|=的最大值为2+1=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了圆的标准方程及其性质、复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．观察下列算式，猜想第行的表达式为______．【答案】．【解析】先求出则第n行的最后一个数字为2+（-1）×2=n（n+1），和第n行的第一个数字为n2-n+2=n（n-1）+2，即可归纳得到结论．【详解】解：由2=2，4+6=10，8+10+12=30，14+16+18+20=68，可得第n行的数字个数为1+2+3+4+…+n=，则第n行的最后一个数字为2+（-1）×2=n（n+1），则第n行的第一个数字为n2-n+2=n（n-1）+2，∴猜想第n（n∈N）行的表达式为（n2-n+2）+（n2-n+4）+…（n2+n）=n3+n，故答案为：（n2-n+2）+（n2-n+4）+…（n2+n）=n3+n．【点睛】本题考查归纳推理的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意总结规律．11．二项式展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”的值为C，若，则展开式中含的项为______．【答案】56x-2【解析】先利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求出A、B、C的值，以及n、r得子，可得展开式中含x-2的项．【详解】解：由题意可得A=2n，B=（a+b）n，∵通项公式为T r+1=•a n-r•b r•x n-2r，令n=2r，可得C=•a r•b r．∵A=B=256，C=70，∴2n=（a+b）n=256，•a r•b r=70．∴n=8=2r，∴r=4，∴a+b=2，a4•b4=1，∴a=b=1，故通项公式为T r+1=•x8-2r，令8-2r=-2，求得r=5，故展开式中含x-2的项为•x-2=56x-2，故答案为：56x-2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12．如果有关三位正整数形如“a1a2a3”，满足a1＞a2且a2＜a3，则称这样的三位数为凹数（102，312，989等），那么在三位正整数中，所有的凹数个数为______．（用数字作答）【答案】285【解析】十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，则当十位数字是0时有9×9种结果，当十位数字是1时有8×8种结果，以此类推当十位数字是8时有1种结果，把这些数字相加得到结论．【详解】解：∵a1＞a2且a2＜a3，则十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，∴当十位数字是0时有9×9种结果，当十位数字是1时有8×8种结果，当十位数字是2时有7×7种结果，当十位数字是3时有6×6种结果，当十位数字是4时有5×5种结果，当十位数字是5时有4×4种结果，当十位数字是6时有3×3种结果，当十位数字是7时有2×2种结果，当十位数字是8时有1种结果，把这些数字相加得到81+64+49+36+25+16+9+4+1=285，故答案为：285．【点睛】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．设椭圆的两个焦点为为椭圆上异于长轴端点的任意一点，在中，记，则有______．【答案】【解析】设|PF1|=m，|PF2|=n．由正弦定理可得：，m+n=2a，即可得出．【详解】解：设|PF1|=m，|PF2|=n．由正弦定理可得：，可得：，又m+n=2a，故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理、比例的性质、椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k-a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求的值为______．【答案】31【解析】当n=k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），当n=k+1时，f（t+1）=f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即k≥，故对n=t分奇偶讨论，利用集合M具有性质P即可得出．【详解】解：当n=2时，M={0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P，对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）=5．n=k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），则当n=k+1时，f（t+1）=f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，下面计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即k≥，故对n=t分奇偶讨论，①当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有k≥，则对每一个k，t+1和2k-t-1必然属于集合M，且t和2k-t，…，k和k共有t+1-k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为=2t+1-k，所以g（t+1）=．②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有k≥，同理，∴f（t+1）=由累加法得：f（n）∴f（9）-f（8）=4×25-9-5-（6×24-8-5）=31．故答案为：31．【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、组合数的计算公式、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题15．设复数z1=1-ai（a∈R），复数z2=3+4i．（1）若，求实数a的值；（2）若是纯虚数，求|z1|．【答案】（1）a=4（2）【解析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简,由实部为0且虚部不为0求得a值，再由复数模的计算公式求|z1|.【详解】解：（1）∵z1=1-ai（a∈R），z2=3+4i，∴z1+z2=4+（4-a）i，由，得4-a=0，即a=4；（2）由=是纯虚数，得，即，∴|z1|=||=．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．16．（1）设a，b是两个不相等的正数，且2a+b=1，试用分析法证明：；（2）若a，b都是有理数，且，求a，b的值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）利用1的代换，结合基本不等式证明即可．（2）利用已知条件，化简利用数值相等，列出方程组，然后求解即可．【详解】（1）证明：=（得证）（2）解：，，若-2-b≠0，则为无理数，a-3为有理数，∴等式不成立，∴，∴【点睛】本题考查不等式的证明，函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．17．二项式．（1）当a=b=1，n=6时，求①a1+a2+a3+…+a n的值；②a1+2a2+3a3+…+na n的值；（2）当时，求的值．【答案】（1）①63②192（2）256【解析】（1）当a=b=1，n=6时，令x=1，可得a1+a2+a3+…+a n的值，求出函数的导数，令x=1进行求解即可．（2）根据平方差公式，分别令x=1和x=-1即可．【详解】解：（1）若a=b=1，n=6时，二项式为（1+x）6．①令x=0，则a0=1，令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a n=26=64．即a1+a2+a3+…+a n=64-1=63．②（1+x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，对x求导数得6（1+x）5=a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5，令x=1得6×25=a1+2a2+3a3+…+6a6=192．（2）当时，（x-）8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，令x=1得，（1-）8=a0+a1+a2+a3+…+a8，令x=-1得，（-1-）8=a0-a1+a2-a3+…+a8，则=（a0+a1+a2+a3+…+a8）（a0-a1+a2-a3+…+a8）=（1-）8（1+）8=[（1-）（1+）]8=（-2）8=256【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，分别令x=1和x=-1利用赋值法是解决本题的关键．18．现有4个不同的球，和4个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种不同的方法？（2）若没个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）若恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？（4）若恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】（1）256 （2）24 （3）144 （4）84【解析】由排列、组合及简单计数原理可得.【详解】解：（1）将4个不同的球放入4个不同的盒子，则共有44=256种不同的放法，（2）将4个不同的球放入4个不同的盒子，若没个盒子不空，则共有=24种不同的放法，（3）将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有一个盒子不放球，则共有=144种不同的放法，（4）将4个不同的球放入4个不同的盒子，恰有两个盒子不放球，则共有（）=84种不同的放法，【点睛】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题19．在杨辉三角形中，从第3行考试，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．（1）证明：；（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）45，120，210【解析】（1）化成阶乘处理即可．（2）将这列数表示出来，利用（1）的结论即可得到．（3）假设存在第n行的第r-1，r，r+1个数满足这三个数之比为3：8：14，列方程求r，若n，r为不小于2的正整数，即为所求．【详解】解：（1）=+=+===．所以原式成立．（2）由（1）得左边===…===右边∴原命题成立（3）设在第n行的第r-1，r，r+1个数满足3：8：14即解的∴三个数依次为45，120，210【点睛】本题考查了二项式定理的性质，组合数的性质的证明，主要考查组合数的计算，考查观察、归纳、总结的能力．属于中档题．20．正项数列{a n}的前n项和为S n，且对于任意的n∈N均为成立．（1）求a1，a2，a3；（2）猜想数列{a n}的通项公式并证明；（3）比较与的大小并给出证明．【答案】（1）a1=1，a2=2，a3=3．（2）a n=n，（3）见解析【解析】（1）利用数列递推关系，进行递推即可，（2）利用数学归纳法进行归纳并证明，（3）构造函数f（x）=，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，进行证明不等式即可．【详解】解：（1）当n=1时，2a1=a12+1，得（a1-1）2=0，得a1=1，当n=2时，2（a1+a2）=a22+2=2+2a2，得a22=2a2，得a2=2，当n=3时，2（a1+a2+a3）=a32+3=6+2a3，即a32-2a3-3=0得（a3+1）（a3-3）=0，得a3=-1（舍）或a3=3．即a1=1，a2=2，a3=3．（2）猜想：a n=n，①当n=1时，a1=1，成立，②假设当n=k时，成立即a k=k，此时2S k=a k2+k，则当n=k+1时，由2S k+1=a k+12+（k+1），即2（S k+a k+1）=a k+12+（k+1），即2S k+2a k+1=a k+12+（k+1），则a k2+k+2a k+1=a k+12+（k+1），即k2+k+2a k+1=a k+12+（k+1），得a k+12-2a k+1+1-k2=0，得[a k+1-（1-k）][a k+1-（1+k）]=0，得a k+1=1-k，（舍）或a k+1=1+k，由①②知，对任意的n≥1，a n=n出成立）（3）由（2）知a n=n，则=n n+1，=（n+1）n，猜想：n=1，2时，n n+1＜（n+1）nn≥3时，n n+1＞（n+1）n，证明当n≥3时，不等式两边取对数得（n+1）l n n＞n ln（n+1），即＞成立，构造函数f（x）=，则不等式等价为当x≥3时，f（x）＞f（x+1），即可，函数的导数f′（x）==，则当x≥3时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，则当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即n n+1＞（n+1）n，成立．【点睛】本题主要考查递推数列的应用，结合数列的递推关系，进行递推以及利用数学归纳法以及构造函数，利用导数法证明不等式是解决本题的关键．。

2017—2018学年第二学期高二年级期中考试数学(理)试卷解析版

2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0．其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得（1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点位于复平面的第二象限．解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ，即当1+=k n 时猜想也成立．综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望．解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程；（2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围．解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意．（或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减，故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=，所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围（3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数，所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ，转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ，则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设；若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ，则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设；当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。

2017-2018学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷及答案(理科)

率均为．
（1）某人花 20 元参与游戏甲两次，用 X 表示该人参加游戏甲的收益（收益＝参与游戏获得钱数﹣付费钱数），求 X 的概率分布及期望；（2）用 ξ 表示某人参加 n 次游戏乙的收益，n 为任意正整数，求证：ξ 的期望为 0． 20．（16 分）已知函数 fn（x）＝（1+λx）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中 λ∈R，n∈N．（1）若 λ＝﹣2，n＝2018，求 a0+a2+a4+…+a2018 的值；（2）若 n＝8，a7＝1024，求 ai（i＝0，1，2，3，…，8）的最大值；
．
13．（5 分）湖面上有 5 个相邻的小岛 A、B、C、D、E，现要建 4 座桥梁，将这 5 个小岛连
第 1 页（共 12 页）
接起来，共有
不同方案（用数字作答）．
14．（5 分）一个袋中有形状、大小完全相同的 100 个小球，其中 n（2≤n≤92）个红球其余
为白球，从中一次性任取 10 个小球，将“恰好含有 2 个红球“的概率记为 f（n），则当
n＝
时，f（n）取得最大值．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤．）
15．（14 分）已知复数 ω 在复平面内对应的点位于第二象限，且满足 ω2+2ω+4＝0．
（1）求复数 ω；
（2）设复数 z＝x+yi（x，y∈R）满足：ω•z 为纯虚数，|z|＝2，求 x•y 的值．
【解答】解：∵z＝
＝
，
∴
．
故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．

江苏省无锡一中高二(下)数学理科期中考试卷

无锡市第一中学2009－2010学年第二学期期中试卷高二数学(理科班)命题：倪乾峰审核：冯一成请将本试卷的答案写在答卷纸上. 一. 填空题(每题5分共70分)1. 函数x x e x f x sin )(2++=的导函数=')(x f ▲2. 在平面内圆具有性质“经过切点且垂直于切线的直线必过圆心”，将这一性质类比到空间中球的性质为“经过切点且 ▲ ” 3．“,14710563==则边长分别为7,5,3和14,10,6的两个三角形相似” 这个推理的大前提是 ▲4. 在(1+x )5－(1+x )6的展开式中，含x 3的项的系数是 ▲5．已知函数2)(x x f =，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ▲ . 6．关于x 的不等式200252≥⋅C C x (2≥x )成立的最小正整数为 ▲7．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有 ▲ 种 (用数字作答) 8．若z 为复数，且（3＋z ）i ＝1（i 为虚数单位），则z ＝ ▲ 9. 若函数xa x x f 3)(3-=在1x =处取极值，则实数a = ▲10．若()4234012341+=++++x a a x a x a x a x ，则31a a +的值为 ▲11．设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是 ▲ 12．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边．．应添加的式子．．是 ▲ 13. 设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为 ▲14. 观察下列等式：n n i ni 212121+=∑=,n n n ini 6121312312++=∑=,23413412141nn n i ni ++=∑=,nn n n i ni 30131215134514-++=∑=, ………………………………012211111a n a na na n a na ik k k k kk k k ni k++++++=----++=∑可以推测，当k ≥2（k ∈N*）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ ▲ ,2-k a = ▲二. 解答题(共90分)15.(本题满分14分)已知z 、w 、x 为复数,且=x z i ⋅+)31(, w ＝iz +2且 |w |＝52．（1）若w 为大于0的实数,求复数x. （2）若x 为纯虚数，求复数w ．16.(本题满分14分)在二项式nxx )21(33-的展开式中，前三项系数．．的绝对值．．．成等差数列（1）求展开式的常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中各项的系数和。

(解析版)江苏省无锡市2017-2018学年高二下学期期末数学(理)试题

无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高二数学（理）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．【答案】【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。

详解：，所以。

点睛：复数的除法运算公式。

2. 设离散型随机变量的概率分布如下：则的值为__________．【答案】【解析】分析：离散型随机变量的概率之和为 1详解：解得：。

点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。

3. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．【答案】【解析】分析：用相关点法求解，设直线上的点为直线上的点为，所以，，代入直线的方程详解：设直线上的点为直线上的点为，直线在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为。

点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。

4. 直线与圆相交的弦长为__________．【答案】【解析】试题分析：将直线化为普通方程为：，∵，∴，化为普通方程为：，即，联立得，解得，∴直线与圆相交的弦长为故答案为．将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法．考点：简单曲线的极坐标方程．5. 若，，则，的大小关系是__________．【答案】【解析】分析：作差法，用，判断其符号。

详解：，所以，。

点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键6. 求值：__________．【答案】1【解析】分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致。

详解：通项展开式中的，故=点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上。

7. 有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）【答案】60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。

无锡市第一中学2018—2019学年度高二第二学期期中试卷数学(理科)试题【含答案】

等 )，那么在三位正整数中，所有的凹数个数为
▲ . （用数字作答）
x2 13. 设椭圆 a2
y2 b2 1（ a b 0 ）的两个焦点为 F1, F2, P 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，
在 PF1F2
中，记 F1PF2
, PF1F2
, F1F2P
sin
，则有 e=
，将它类比到双曲线的情形应该
sin sin
▲.
C92x
3
，则
x=
▲.
5. 如果用反证法证明命题“设
a, b R ，则方程 x2 ax a 1 0 至少有一个实根” ，那么首先假设
▲.
6.从甲、乙、丙、丁这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中，则共有
▲
种不同的方案 . （用数字作答）
7. (x 2 y)5的展开式中第四项的二项系数为
14+16+18+20=68
….（第 10 题）
11.二项式 (ax b )n (a 0, b 0, n N * ) 展开式中，设“所有二项式系数和”为 x
A ，“所有项的系数和”
为 B ，“常数项”的值为 C ，若 A B 256, C 70 ，则展开式中含 x 2 的项为
▲.
12.如果一个三位正整数形如“ a1a2a3 ”，满足 a1 a2 且 a2 a3 ，则称这样的三位数为凹数 (102,312,989
时，均有 2k a M ，则称集合 M 具有性质 P ．设具有性质 P 的集合 M 的个数为 f (n) ，求 f (9) (8f)
的值为
▲
.
二、解答题（共 6 大题，共 90 分）
15．（本题满分 14 分）

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无锡市第一中学2017—2018学年度第二学期期中试卷
高二数学（理）
2018．5
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
．） 1．若复数31i z i
-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是． 2．用反证法证明命题“若实数a ，b 满足220a b +=，则a ＝0且b ＝0”时，反设的内容应
为“假设 ”．
3．用数字0，1，2，3，7可以组成个没有重复数字的四位奇数（用数字作答）．
4．若x n C ＝21x n C -，则x ＝．
5．若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k a (k ＝1，2，3，4)，则P (32＜X ＜72
)＝． 6．若复数z 满足34z i +-＝1，则z 的最大值为．
7．某一批花生种子，如果每1粒种子发芽的概率均为
23，那么播下4粒种子，恰有2粒发芽的概率是（用数字作答）．
8．22)n x
的二项展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（用数字作答）．
9．已知数列{n a }是首项为3，公比为2的等比数列，则012217273787a C a C a C a C -+--的
值为（用数字作答）．
10．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，他把4枚硬币叠成
一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率
是．第10题
11．若6260126(3)(1)(1)(1)
x a a x a x a x +=+++++++，则202461()(a a a a a +++-235)a a ++＝（用数字作答）．
12．“求21(01)q q q +++<<的值时，采用了如下的方式：令21q q x +++=，则有
21(1)1x q q q q x =++++=+⋅，解得x 的值为11q -，即2111q q q +++=-”．用
的值为． 13．化简10101020172016102018201711C C C +++的结果为．
14．一位游戏爱好者设计了一个滚弹珠游戏，在一条直线上依次有2n ＋1个红色圆圈标记，
从左到右分别记为T 1，T 2，…，T 2n ＋1（n 为给定的正整数），设每两个相邻红色圆圈标记的间距为1个单位长度，一个弹珠从中间位置的红色圆圈标记T n ＋1处开始，按以下规律在这些红色圆圈标记之间随机滚动n 分钟：每分钟滚动两次，每次沿直线随机向左或向右滚动0.5个单位，且向左或向右滚动的可能性相等，则该弹珠第n 分钟未处在红色圆圈标记T i （1≤i ≤2n ＋1）位置的概率为（用含有n ，i 式子表示）．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
已知复数221(6)z m m i =++，253z m mi =+(m R ∈)．
（1）若12z z z =-为纯虚数，求实数m 的值；
（2）当m ＝1时，若12
z z z =
，求z ．
16．（本题满分14分）
已知在()n
n N *∈的展开式中，第6项为常数项．（1）求n 的值；
（2）求展开式的所有项的系数之和；
（3）求展开式中所有的有理项．
17．（本题满分14分）
（1；
（2）已知实数a，b，c成等比数列，且公比q≠1，试用反证法证明：1﹣a，1﹣b，1﹣c不可能成为等比数列．
18．（本题满分16分）
在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．
（1）求概率P(X＝600)；
（2）求X的概率分布及数学期望E(X)．
19．（本题满分16分）
从集合M ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}中任取三个不同的元素a ，b ，c 构成集合{a ，b ，c }．
（1）求a ，b ，c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；
（2）记a ，b ，c 三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ=2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．
20．（本题满分16分）
已知数列{n a }满足211n n n a a na +=-++且1a ＝0．
（1）计算2a ，3a ，4a 的值；
（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）求证：111(1)(1)()32
n n n n n a n n N *++<≤
+∈．。