2012考前金题巧练(8)参答SB

.||2||AC BC =2012考前金题巧练（8）参答1.（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B (1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得111113y y x x -+⋅=-+- 化简得 2234(1)x y x +=≠±. 故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±（II ）若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则1sin 2PA PB APB ⋅∠=1sin 2PM PN MPN ⋅∠ 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB = 所以000|1||3||3||1|x x x x +-=-- 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53= 因为220034x y +=，所以09y =±故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，且P的坐标为5(,39±2.解：（I ）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2m y x =+直线22A N 的方程为：(2)2ny x =--,设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得22(4)4mn y x =-- 由3mn = 整理得22143x y +=∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上∴轨迹M 的方程为22143x y +=（2x ≠±） （II ）由（I ）知，点G (1,0)和'(1,0)G -为椭圆22143x y +=的两焦点， 由椭圆的定义得|'|||4PG PG +=,即|'|4||PG PG =-∴以'G 为圆心，以4为半径的圆与P 内切，即存在定圆'G ，该定圆与P 恒内切，其方程为：22(1)16x y ++=3．（I ）∵点A 的坐标为（，，032）∴32=a ，椭圆方程为112222=+b y x ①,又∵，且BC 过椭圆M 的中心O （0，0），∴.||||=又∵,0=⋅∴△AOC 是以∠C 为直角的等腰三角形，易得C 点坐标为（3，3）将（3，3）代入①式得42=b ,∴椭圆M 的方程为141222=+y x （II ）当直线l 的斜率0=k ，直线l 的方程为t y =则满足题意的t 的取值范围为22<<-t ,当直线l 的斜率k ≠0时，设直线l 的方程为t kx y +=,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=141222y x t kx y 得01236)13(222=-+++t ktx x k ,∵直线l 与椭圆M 交于两点P 、Q ，∴△=0)123)(13(4)6(222>-+-t k kt即22124k t +< ② 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ中点),(00y x H ，则 H 的横坐标13322210+-=+=k kt x x x ，纵坐标13200+=+=k t t kx y ，D 点的坐标为（0，-2）,由||||DQ DP =，得DH ⊥PQ ，1-=⋅PQ D H k k ，即,113321322-=⋅+-++k k kt k t即231k t +=．③,∴,02>k ∴1>t ．④,由②③得40<<t ，结合④得到.41<<t ,综上所述，42<<-t4．解：（I）依题意设切线长||PT =，∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-，（2分）)a c -，102b c a c -∴<-≤，从而解得35e <≤ 故离心率e的取值范围是352e <≤； （II ）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，联立方程组 222(1)1y k x x y a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得，22222222(1)20a k x a k x a k a +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，22212221a k a x x a k -=+，代入直线方程得2121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)1k a a k -=+，221212221k a x x y y a k -⋅+⋅=+，又OA OB ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴⋅=∴+=∴=，k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l的距离d =知2d s a =====∴352e <≤，351,21342c c ∴<+<≤≤，∴(0,41s ∈，所以max 41s =． 5.解：（Ⅰ）把x =2代入212y x =，得y =2， ∴点坐P 标为（2，2）.由 212y x =，得y x '=， ∴过点P 的切线的斜率切k =2，直线l 的斜率1k =切k 1-=,21-∴直线l 的方程为2y -=1(2)2x --， 即260x y +-=（Ⅱ）设00(,),P x y 11(,)Q x y 则2001.2y x =∵ 过点P 的切线斜率切k 0x =，因为00.x ≠∴ 直线l 的斜率1k =22010*********x x y y x x x x --=--=012x x +，01102x x k k x +⋅=⋅200112x x x +==- ① 设(,)M x y 为PQ 的中点，因为0OP OQ ⋅=，所以过点,,P Q O 的圆的圆心为(,)M x y 半径为r PM =，且22010********x x y y x x x x +=+=,所以010x x =（舍去）或014x x =-,② 联立①②得202x =，又因为00x >，所以0x =01y =；所以1x =-14y =∵M 是PQ的中点，∴,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220027()()4r x x y y =-+-=所以过点,,P Q O 的圆的方程的方程为22527(()24x y +-=6.解：（I）由e =22=b ，解得2,2===a b c ，故椭圆的标准方程为22142x y +=. （II ）设()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON =+，得()()()001122,,2,x y x y x y =+，即0120122,2x x x y y y =+=+，∵点M ，N 在椭圆22142x y +=上，∴2222112224,24x y x y +=+= 设,OM ON k k 分别为直线,OM ON 的斜率，由题意知，212121-==⋅x x y y k k ON OM ，∴12122=0x x y y +， 故()()2222220012121212244244x y x x x x y y y y +=+++++()()()2222112212122424220x y x y x x y y =+++++=，即2200220x y +=（定值）（III ）由（II ）知点P 是椭圆2212010x y +=上的点，∵c ==∴该椭圆的左右焦点())A B、满足PA PB +=因此存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值。

7．(Ⅰ)解；因为曲线1C 与2C 关于原点对称，又1C 的方程24x y =，所以2C 方程为24x y =-．(Ⅱ)解：设200(,)4x P x -，11(,)A x y ，22(,)B x y ,12x x ≠．214y x =的导数为12y x '=，则切线PA 的方程1111()2y y x x x -=-，又21114y x =，得1112y x x y =-，因点P 在切线PA 上,故201011142x x x y -=-．同理, 202021142x x x y -=-．所以直线2001142x x x y -=-经过,A B 两点，即直线AB 方程为2001142x x x y -=-,即2001124y x x x =+，代入24x y =得220020x x x x --=，则1202x x x +=,2120x x x =-， 所以||AB ==1||1FA y =+，2||1FB y =+．所以212012011||||()2()222FA FB y y x x x x +=++=+++， 由题设知，||||2||FA FB AB +=，即22220003(2)4(82)2x x x +=+，解得205223x =，从而20014y x =-=．综上，存在点P 满足题意，点P 的坐标为1323- 或13(23-．8．解：（I）椭圆的顶点为，即b12c e a ==，解得2a =，∴椭圆的标准方程为22143x y += （II ）由题可知，直线l 与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)M x y ，22(,)N x y .由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 2122834k x x k +=+，212241234k x x k-⋅=+，21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++ =2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k----+-+==-++++所以k =l的方程为1)y x =-或1)y x =-（III ）设1122(,),(,)M x y N x y ,3344(,),(,)A x y B x y由（II ）可得： |MN12|x x -=2212(1)34k k +=+． 由22143x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y ，并整理得：221234x k =+ ， |AB34|x x -=2222248(1)||34412(1)||34k AB k k MN k ++==++为定值 9． 解：（I ）设椭圆的方程为()012222>>=+b a by a x ，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(-1,0），F 2(1,0)42325)23()11()23()11(22222=+=+-+++=∴a2=∴a ,又c=1, b 2=4-l=3, 故椭圆的方程为13422=+y x ．（II ）：设直线l 的方程为x=ty-1，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ty x ，消去x 得096)34(22=--+ty y t ，△>O 恒成立，设),(),,(2211y x B y x A ,则221221349,346ty y t t y y +-=⋅+=+ 所以=⋅-+=-21221214)(||y y y y y y ()2222223411234363436t t t t t ++=+++又圆F 2的半径为22121|101|ttt r +=++⨯-=所以||||||212121212y y y y F F S BAF -=-⋅⋅=∆72123411222=++=t t ，解得t 2=1， 所以2122=+=t r ．故圆F 2的方程为：2)1(22=+-y x10．（I）由题设知，2A ⎛⎫⎪⎭，)1F ，由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．（II ）：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅()()N F N P N F N P =--⋅-2221N P N F N P =-=-．从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，所以1262020=+yx ，即202036y x -=．因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP ．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2NP 取得最大值12．所以⋅的最大值为11222121222212164(4)(1)2()4(1)2()40141414k k k x x k x x k k k k k -∴++++=++-+=>+++．24,k ∴<又234k >，2344k ∴<<，3(2,(,2)k ∴∈-． 11．（I ）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，1=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=． （II ）证：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理，得()22224240k x k x k +++-=， 解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．同理可得，21244k x k +=-．所以121x x ⋅=．（III ）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．由（II ）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t -=--．设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min 40S S f -==．当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．所以2212S S -的取值范围为[]0,1．。