2011年中考复习弧长和扇形面积公式知识精讲

初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲一. 本周教学内容：弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的1. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。

2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。

3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。

4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。

教学重点和难点：教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。

n °的圆心角所对的弧长是180Rn π 180Rn π=∴l P 120*这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。

3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。

4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l =π=扇形（n 也是1°的倍数，无单位）5. 圆锥的概念观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。

其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。

如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的顶点。

锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。

也就是说，把直角三角形SOA 绕直线SO 旋转一周得到的图形就是圆锥。

其中旋转轴SO 叫做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面。

另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段SA 、SA 1、SA 2、……都叫做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。

母线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

P 122 6. 圆锥的性质 由图可得（1）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心； （2）圆锥的母线长都相等7. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、弧长是圆锥底面圆的周长。

圆锥侧面积是扇形面积。

如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系：180n c lπ=同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是：l l r c 21S π==圆侧面圆锥的全面积为：2r r π+πl圆柱侧面积：rh 2π。

例：在⊙中，120°的圆心角所对的弧长为cm 80π，那么⊙O 的半径为___________cm 。

答案：120解：由弧长公式：180Rn π=l 得： cm 12012080180n 180R =ππ⨯=π=l 例：若扇形的圆心角为120°，弧长为cm 10π，则扇形半径为_____________，扇形面积为____________________。

答案：15；25π例：如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，且扇形的半径为圆半径的2倍，这个扇形的中心角为____________。

答案：90°例：已知扇形的周长为28cm ，面积为49cm 2，则它的半径为____________cm 。

答案：7例：两个同心圆被两条半径截得的π=⋂10AB ，π=⋂6CD ，又AC=12，求阴影部分面积。

解：设OC=r ，则OA=r+12，∠O=n °π=+π=∴⋂10180)12r (n AB lπ=π=⋂6180rn CD l⎩⎨⎧==∴18r 60n∴OC=18，OA=OC+AC=30 COD AOB S S S 扇扇阴-=∴OC 21OA 21CD AB ⋅-⋅=⋂⋂l l 18621301021⨯π⨯-⨯π⨯=π=96例：如图，已知正方形的边长为a ，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的总面积。

解：∵正方形边长为a ∴2a S =正，222a 81)2a (21R 21S π=π=π=半圆 两个空白处半圆正方形S S 2S =- 2222a 41a a 812a S π-=π⨯-=∴两个空白处 222a 21a 2S 2S π-==∴个空白四个空白处 22222a a 21)a 21a 2(a S S S -π=π--=-=∴四个空白处正阴∴叶的总面积为22a a 21-π *也可看作四个半圆面积减去正方形面积2222a a 21a )2a (214S S 4S -π=-π⨯=-=正半阴例：已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，如果AB=8，CD=6，⋂AB 的度数与⋂CD 的度数的和为180°，那么圆中的阴影部分的总面积为？解：将弓形CD 旋转至B ，使D 、B 重合 如图，C 点处于E 点⋂∴ABE 的度数为180°∴AE 是⊙O 的直径 ∴∠ABE=90°又∵AB=8，BE=CD=6由勾股定理1068AE 22=+=∴半径51021OA =⨯=242256821521S S S 2ABE -π=⨯⋅-⨯π=-=∴∆半圆阴例：在△AOB 中，∠O=90°，OA=OB=4cm ，以O 为圆心，OA 为半径画⋂AB ，以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积。

解：∵OA=4cm ，∠O=90°∴cm 4360490S 2AOB π=⨯π⨯=扇形cm 24AB = )cm (8S 2AOB =∆，)cm (42)22(S 22π=π=半圆)cm )(84(S S S 2AOB AOB AmB -π=-=∴∆扇形弓形 则阴影部分的面积为：)cm (8)84(4S S S 2AmB =-π-π=-=弓形半圆阴影例：①、②……○m 是边长均大于2的三角形，四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…… （1）图①中3条弧的弧长的和为_________________ 图②中4条弧的弧长的和为_________________ （2）求图○m 中n 条弧的弧长的和（用n 表示）解：（1）π，2π （2）解法1： ∵n 边形内角和为：（n －2）180°前n 条弧的弧长的和为：)2n (21360180)2n (-=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长∴n 条弧的弧长的和为：π-=-⨯⨯π)2n ()2n (2112解法2：设各个扇形的圆心角依次为n 21,,,ααα 则180)2n (n 21-=α+α+α ∴n 条弧长的和为：118011801180n 21⨯πα+⨯πα+⨯πα π-=⨯-π=α+α+απ=)2n (180)2n (180)(180n 21 例：如图，在Rt △ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AC=6m ，把△ABC 以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C'处，那么AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积为？分析：在Rt △ACB 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=6 60CBA ,3AB 21BC =∠==∴ 33BC AB AC 22=-=∴法一：23933321'C 'A 'BC 21S B 'C 'A =⨯⨯=⋅=∆ π=⨯π=π=∴123606120360r n S 22BA 'A 扇π=⨯π=33603120S 2BC 'C 扇形π=--+=∴∆∆9S S S S S ACB BC 'C B 'C 'A BA 'A 扇扇阴影 法二：以B 为圆心，BC 为半径画弧交A'B 于D ，AB 于D'有ACB B 'C 'A S S ∆∆=，'CBD BD 'C S S 扇扇=π=π-π=⨯π-⨯π=-=∴931236031203606120S S S 22BD'D 'ABA 扇扇阴例：如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=13cm ，一条直角边AC=5cm ，以直线AC 为轴旋转一周得一个圆锥。

求这个圆锥的表面积。

如果以直线AB 为轴旋转一周，能得到一个什么样的图形？解：)cm (12513BC 22=-=以直线AC 为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：)cm (300131212S S S 22π=⨯⨯π+⨯π=+=侧底表 以直线AB 为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。

1252113CD 21⨯⨯=⨯ 1360CD =AC CD BC CD S S S ⨯⨯π+⨯⨯π=+=下上π=⨯⨯π=⨯⨯π+⨯⨯π=13102017136051360121360例：一个圆锥的模型，这个模型的侧面是用一个半径为9cm ，圆心角为240°的扇形铁皮制作，再用一块圆形铁皮做底，则这块图形铁皮的半径为______________。

答案：6例：若圆锥的轴截面是一个边长为2cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是_______。

答案：2π例：已知圆锥的底面半径为40cm ，母线长为90cm ，则它的侧面展开图的圆心角为______。

答案：160°例：若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面展开图的圆心角是__________。

答案：180°例：如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm ，母线长50cm 。

（1）画出它的展开图；（2）计算这个展开图的圆心角及面积。

解：（1）烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面周长（如图）（2）设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为α，则l =50cm ，cm 80c π=lπ=α∴c180 180c l απ= ππ⨯=5080180=288（度） )cm (62805040r S 2≈⨯⨯π=π=l 扇形例：一个圆锥的高是10cm ，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥底面半径为r ，圆锥母线长为l ，扇形弧长（即半圆）为c ，则由题意得r 2c ,22c π=π=l即r 2,r 222=∴π=πl l在Rt △SOA 中，22210r +=l 由此求得)cm (3320),cm (3310r ==l 故所求圆锥的侧面积为l r S π=圆侧面)cm (3200332033102π=⨯⨯π=例：蒙古包可以近似地看作圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为2m 9π，高为3.5m ，外围高4m 的蒙古包，至少要多少平方米的毛毡？解：3r ,r 9,r S 22=∴π=π∴π= ∵h 1=4，∴5r h l 221=+= 柱锥S S S +=∴π=π+π=⨯⨯π+⨯⨯π=π+π=3621155.33253rh2r lπ=π⨯=7203620S 总答：至少要π720平方米的毛毡。