第5讲数论综合
小学奥数总复习教程
朗培教育小学数学奥数第1讲 计算（一）速算与巧算第2讲 计算（二）比较大小、估算、定义新运算第3讲 数字谜、数阵图、幻方第4讲 数论（一）整除、奇偶性、极值问题第5讲 数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数第6讲 数论（三）带余除法、同余性质、中国剩余定理第7讲 几何（一）平面图形第8讲 几何（二）曲线图形第9讲几何（三）立体图形第10讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题第11讲典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题第12讲牛吃草问题第13讲 行程（一）相遇追及、电车问题第14讲 行程（二）平均速度、变速度、流水、电梯第15讲 行程（三）行程中的比例 第16讲 分数与百分数经典透析例１大学图书馆内有一书架故事书，借出总数的７５％之后，又放上６０本，这时书架上的书是原来总数的３１，求现在书架上放着多少本书？例２一瓶可乐饮料，一次喝掉一半后，连瓶共重７００克；如果喝掉饮料的３１后，连瓶共重８００克，求瓶子的重量？例３在希望学校学生阅览室里，女生占全教室人数的９４，后来又进来两名女生，这时女生占全教室人数的１９９，问阅览室里原来有多少人？例４做一项工程，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的５１；如果三人合做只需８天就完成了，那么乙一人单独做需要多少天才能完成？例５Ａ、Ｂ、Ｃ三个桶里都有水，如果把Ａ桶内３１的水倒入Ｂ桶，再把Ｂ桶内４１的水倒入Ｃ桶，最后再把Ｃ桶内７１的水倒入Ａ桶，这时各桶内的水都是１２升，求每个桶内原有水多少升？例６三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的７０％，兔子的速度是松鼠的２倍，一分钟内松鼠比狐狸少跑１６米，那么半分钟内兔子比狐狸多跑多少米？例７《中华人民共和国个人所得税法》第１４条规定中附有下表。
个人所得税税率（工资、薪金所得适用）目前，上表中“全月应纳税所得额”是从工资、薪金收入中减去１６００元后的余额，它与相应税率的乘积就是应缴的税款数。
数论算法讲义5章(原根与指标)
第 5 章 原根与指标（一） 内容● 指数 ● 原根● 有原根的整数 ● 指标（对数）（二） 重点● 原根及其意义 ● 有原根的整数的条件 ● 指标及其性质5.1 指数及其基本性质准备知识：（1） 欧拉定理：m ＞1，(a,m)＝1，则()m a ϕ≡1（mod m ）（2） 问题：①()m ϕ是否是使得上式成立的最小正整数？ ②该最小正整数有何性质？ (一) 指数和原根概念【定义5.1.1】（定义1）设m ＞1，(a,m)＝1，则使得e a ≡1（mod m ）成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数（或阶），记作m ord (a)。
若a 的指数e ＝()m ϕ，则a 叫做模m 的原根。
(二) Diffie —Hellman 密钥交换算法全局公开量q 素数α q 的原根（α<q ）交换公开密钥 A →B ： A Y B →A ： B Y例如：● 素数q ＝353，原根α＝3● A 选 A X ＝97， 计算A Y ≡973≡40 mod 353 ● B 选 B X ＝233， 计算B Y ≡2333≡248 mod 353 ● A 与B 交换● A 计算密钥 K ≡97248≡160 mod 353 ● B 计算密钥 K ≡23340≡160 mod 353(三) 用定义求指数和原根【例1】（按定义求指数和原根）（例1）m ＝7，则ϕ(7)＝6。
且11≡1，32≡1，63≡1，34≡1，65≡1，26≡1（mod 7）故对模数7而言，1，2，3，4，5，6的指数分别为1，3，6，3，6，2。
列表表示为因此，3，【例2】（快速求指数）（例2）m ＝14＝2·7， ϕ(14)＝6，则11≡1，33≡－1，35≡－1，39≡1，311≡1，213≡1（mod7）列表故3，5【例3】（无原根的整数）（例3）m ＝15＝3·5， ϕ(15)＝8，则同理，可知模数m ＝9时，其原根为2，5；而整数8则没有原根。
数论(五)、数论(六)(讲义)
, m k数论五、六（同余定理）严文兰知识点：1 费马小定理：(1)若 p 为素数，则对任意的a ，有a p≡ a (mod p ) ，即 p | a p- a 。
(2)若 p 为素数，则对任意的 p /| a ，有ap -1≡ 1(mod p ) ，即 p | a p -1 - 1 。
2.欧拉定理：若(a , m ) = 1 ，则a ϕ( m )≡ 1(mod m ) 。
其中ϕ (m ) 为欧拉函数，表示1, 2,, m 这m 个数中与m 互质的数的个数。
公式：若质因数分解m = p α1p αk ，则ϕ (m ) = m (1 - 1 ) (1 - 1) 。
1k p p1 k3.威尔逊定理：若 p 为素数，则( p - 1)! ≡ -1(mod p ) 。
4.拉格朗日定理：若素数 p /| a ，则a + a x + + a x n ≡ 0(mod p ) 在模 p 下最多n 个解。
n1n5.中国剩余定理：若m , 两两互质，则 ⎧x ≡ b 1(mod m 1 )有公共解 x ，且在模m 1⎨x ≡ b (mod m )1下唯一。
⎩ k k一、费马小定理与欧拉定理1. 求最小正整数200320022001的末三位数。
2. 设 p 为素数，求满足条件的正整数 n ，使得对于所有的正整数 x ，若 p | x n- 1 ，则p 2 | x n - 1 。
3. 求2561- 2, 3561 - 3, ,561561 - 561的最大公因数。
4. 已知整数n > 1，证明n /| 2n- 1 。
5. 已知数列{a }满足a = 1, a= 3a + 2 n1 n +1n(1) 证明{a n }是正整数数列； (2)是否存在正整数m ，使得2015 | a m 。
6. 是否存在整数a , b ，使得a + b , ab - 1都是完全平方数？7. 求方程 x 2 + 5 = y 3的整数解。
第5讲 数论(数的整除)
第5讲数论（数的整除）1、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
2、整除的基本性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（可加性）（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（可乘性）（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则a也能被c整除；（传递性）（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
3、15以内数的整除特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
（2）能被5整除的数的特征：个位是0或5。
（3）能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
（4）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
（5）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
（6）能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
（7）能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
（对于数位较多的数，可用“奇三位”和减去“偶三位”和。
）例1：（1）判断13574是否是11的倍数；（2）判断1059282是否是7的倍数；（3）判断3546725能否被13整除。
练习：126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有____________________________________________；8的倍数有____________________________。
数论算法讲义5章原根与指标
数论算法讲义5章原根与指标在数论中，原根和指标是两个重要的概念。
原根是指与一个模n互素的整数a，使得对于任意正整数k，a^k(mod n)都不会等于1、指标是一种特殊的数论函数，可以用来判断一个数与模n是否互素。
5.1原根首先，我们需要了解模运算的概念。
在数学中，当我们求一个整数除以另一个整数的余数时，称为模运算。
例如，5 mod 3 = 2，表示5除以3的余数是2定义：设n>1为正整数，a是n的一个原根，是指a与n互素，并且对于任意正整数k，有a^k(mod n)≠1原根的存在性定理：对于每一个正整数n>1，都存在一个原根。
即对于任意正整数n>1，存在一个与n互素的正整数a，使得a是n的原根。
原根的性质：若a是n的原根，则a+kn也是n的原根，其中k为任意整数。
5.2指标指标是一种特殊的数论函数，用来判断一个数与模n是否互素。
指标的值只有0、1或-1三种可能。
定义：设a为整数，n为正整数。
a关于n的指标（或称勒让德符号）定义为1a与n互素0a能被n整除-1a不能被n整除，且与n互素指标的性质：（1）对于互素的整数a、b和正整数n，有以下三个基本性质：a) (ab/n) = (a/n)(b/n)b)(a^k/n)=(a/n)^kc)(1/n)=1（2）若a≡b(mod n)，则(a/n) = (b/n)（3）若a与n互素，则(a/n) ≡ a^(φ(n)/2) (mod n)，其中φ(n)为欧拉函数。
5.3应用原根和指标在密码学和计算机科学中有广泛的应用。
在密码学中，原根和指标被用于构造公钥密码系统，如Diffie-Hellman密钥交换协议和RSA加密算法。
原根可以用来生成随机数，从而提高密码的安全性。
指标则可以用来判断一个数是否为素数，从而加密和解密数据。
在计算机科学中，原根和指标被用于构造伪随机数生成器。
伪随机数生成器是根据确定性算法生成的一系列数字，看起来是随机的。
原根和指标可以用于生成伪随机数序列，从而模拟真正的随机数据。
五年级寒假第5讲-数论一(教师版)
设这个十全数为 4876abcd20．由于它能被 11 整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之 和的差能被 11 整除，即 8+6+b+d+0−(4+7+a+c+2)=b+d+1−(a+c)被 11 整除，可能是 b+d+1=a+c+11、 b+d+1=a+c、b+d+1+11=a+c．由于 a、b、c、d 四个数分别为 1、3、5、9 中的一个，只能是 b+d+1=a+c+11， 即 b+d=a+c+10．所以 b、d 是 9 和 5；a、c 是 3 和 1，这个十全数只能是 4876391520，4876351920， 4876193520，4876153920 中的一个． 由于它能被 7、13、17 整除，经检验，只有 4876391520 符合条件．
部编版数学六年级上册第5讲.神奇的九
2.
在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□ 32 □是 9 的倍数. 请随便填出一种，
并检查自己填的是否正确.
【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □3 2 □是 9 的倍数，
而 4 3 2 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为
将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的
数称为“好数”，那么不超过 2012 的“好数”的个数为
，这些“好数”的最大公因数是
．
【分析】一个数与其各位数字之和模 9 同余，显然这个数除以 9 余 6，这是一个同余类，其内部的
数 从 小 到 大 排 成 一 个 等 差 数 列 ， 公 差 为 9 首 项 为 6 ， 末 项 为 2004 ， 其 个 数 为
n个6
(n-1)个 2 (n-1)个7
法 2：原式 9999999 2222222 (10000000 1) 2222222
22222220000000 2222222
22222217777778 所以，各位数字之和为 7 9 63 法 3：原式 9999999 2222222
(10000000 1) 2222222
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。 例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是 错误的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式两端一定 满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的数字谜问题。
例5
（2010 年第 15 届华杯赛决赛第 5 题）
第 １１ 级下 超常体系 教师版 ５
数论--奇数偶数 奇偶分析-第5讲奇数和偶数竞赛班教师
第五讲奇数和偶数一、基础知识整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1. （★★）一个奇数的完全平方数先减去1再除以4，得到的是一个奇数还是一个偶数，请说明理由.【解】设这个奇数是2n+1,那么它的平方减1再除以4以后得n(n+1),连续2个整数必然是1个奇数1个偶数，那么乘积一定是偶数.例2（★★第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.【解】因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例3 (★★第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数【解】由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x 也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例4.(★★)在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.【解】因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.例5. (★★)黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（【解】开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数*偶数+奇数+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用2个奇数进行运算，则新添的数是奇数*奇数+奇数+奇数，仍然是奇数。
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1.把一个两位数质数写在另一个两位数质数右边，得到一个四位数，它能被这两个质数之
和的一半整除，那么这样的两个质数乘积最大是______；
2.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1。
那么这两个
数分别是____、____；
3.两个不同的数，它们的最小公倍数是90，那么这样的两个数共有______组；
4.有三条圆形跑道，甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿相同方向跑步。
里圈
跑道长0.35千米，中圈长0.5千米，外圈长0.75千米。
甲每小时跑6千米，乙每小
A 时跑7.5千米，丙每小时跑10千米。
他们同时从A点出发，那么______分钟后三人
第一次同时位于图中水平线上；
5.三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大公约
数为4，b、c的最大公约数为3，那么a+b+c的最小值为_______；
6.用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的
最大公约数最大可能是______；
7.已知三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍
数共有18个约数，那么这三个数可以为____、____、____；
8.一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是_______；
9.甲、乙、丙三数分别为526、539、705。
某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的
2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2:3，那么A是______；
10.有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商（>1）与余数（>0）之和都相等，这样
的数最小可能是_________；
1.有两个两位数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相
同的三位数，那么这两个整数分别为____、____；
2.两个即不互质也不成倍数关系的自然数，它们的最小公倍数是1000，这样的两个数共有
______组；
3.一个n位数是几个连续质数的积，且这个n位数的后四位数字构成的数是这个数前三位
数字构成的数的10倍。
那么这个n位数最小是______；
4.有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位
数的和恰好是1111，那么原来的三位数是_______；
5.从1到2005的所有自然数中，有____个数乘以72后是完全平方数，____个数乘以72
后是完全立方数；
6.三个连续的两位数除以5的余数之和是7，除以7的余数之和是9，除以9的余数之和
是15。
则这三个数除以11的余数之和是_______；
7.从1至10这十个数中选出四个不同的数，使得其中有两个数的乘积和另两个数的乘积
是两个相邻的整数，一共有______种不同的选法；
8.用1、2、3、4、5、6这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、630这三个数的
最大公约数最大可能是______，最小公倍数最小可能是______；。