2021年中考数学重难点专项突破专题50 圆中的翻折综合问题(解析版)
2021年九年级数学中考复习专题之圆的综合(考察切线证明、长度、面积、动点问题等)(含答案)
2021年九年级数学中考复习专题之圆的综合（考察切线证明、长度、面积、动点问题等）1．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．（1）求证：∠ADC＝∠ABD；（2）求证：AD2＝AM•AB；（3）若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．2．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．3．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若＝，且OC＝4，求PA的长和tan D的值．4．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC＝∠ODC．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．8．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状： ；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，∠B＝30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）10．如图，△ABC中，∠C＝90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cos A＝，AB＝8，AG＝2，求BE的长；（3）若cos A＝，AB＝8，直接写出线段BE的取值范围．答案1．（1）证明：连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵OB＝OD，∴∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ABD；（2）证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝∠ADB＝90°，∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴，∴AD2＝AM•AB；（3）解：∵sin∠ABD＝，∴sin∠1＝，∵AM＝，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝＝8，∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN+∠BDN＝∠1+∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin∠NBD＝，∴DN＝，∴BN＝＝．2．解：（1）∵⊙M经过O、A、B三点，且∠AOB＝90°，∴AB为直径∵点A为（，0），点B为（0，﹣），∴OA＝，OB＝，∴AB＝＝2，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA 于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝∠ABO＝30°，∴OC＝OB•tan30°＝×＝，∴AC＝OA﹣OC＝，∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，∴∠EAC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝，∴AF＝AE＝，EF＝AE＝，∴OF＝OA﹣AF＝，∴点E的坐标为：（，）．3．（1）证明：连接OB，则OA＝OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO＝90°，∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵＝，且OC＝4，∴AC＝6，∴AB＝12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO＝＝2，∴AE＝2OA＝4，OB＝OA＝2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2＝OC•PC，解得：PC＝9，∴OP＝PC+OC＝13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP＝＝3，∴PB＝PA＝3，∵AC＝BC，OA＝OE，∴OC＝BE，OC∥BE，∴BE＝2OC＝8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴，即，解得：BD＝，在Rt△OBD中，tan∠D＝＝＝．（补充方法：可以证明△DBE∽△DAB，可得＝＝＝，由此解决问题，可以简单一些）4．（1）证明：连接OC，∵∠CEA＝∠CBA，∠AEC＝∠ODC，∴∠CBA＝∠ODC，又∵∠CFD＝∠BFO，∴∠DCB＝∠BOF，∵CO＝BO，∴∠OCF＝∠B，∵∠B+∠BOF＝90°，∴∠OCF+∠DCB＝90°，∴直线CD为⊙O的切线；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCO＝∠ACB，又∵∠D＝∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝3，∴＝，即＝，解得；DC＝．5．（1）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BDC，又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC；（2）连结DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．6．（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，∵AE是⊙O的切线，由切割线定理得，AE2＝EC•DE，∵AE＝6，CD＝5，∴62＝CE（CE+5），解得：CE＝4，（已舍去负数），∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴＝，∴AC＝BD，∴AB＝AC＝BD＝CE＝4，又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，设OF＝x，OH＝Y，FH＝z，∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，∴BF＝BC﹣FH＝3﹣z，DF＝CF＝BC+FH＝3+z，易得△OFH∽△DFM∽△BFN，∴，，即，①②，①+②得：，①÷②得：，解得，∵x2＝y2+z2，∴，∴x＝，∴OF＝．7．（1）证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8 ，∴S阴影＝4π﹣8．8．证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD＝AP，如图1，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．9．解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2．（3）在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°．∴．∵∠B＝30°，OD⊥BC，∴OB＝2OD，∴AB＝3OD，∵AB＝2AC＝6，∴OD＝2，BD＝2S △BOD＝×OD•BD＝2，∴所求图形面积为．10．（1）证明：连接OD，如图，∵△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵直线EF垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠B＝∠EDB，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠ODA+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接GD，∵AG为直径，∴∠ADG＝90°，∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠AGD＝30°，∴AD＝AG＝，∵AB＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣＝7，∵直线EF垂直平分BD，∴BF＝BD＝，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF＝，∴BE＝2EF＝7；（3）解：∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AC＝AB＝4，由（2）得AD＝AG，BF ＝（AB﹣AD）＝4﹣AG，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF，∴BE＝2EF＝BF＝（4﹣AG）＝8﹣AG，∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4，∴6＜BE＜8．。
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合(二)及答案
2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．2．已知AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，过⊙O上的点C作CD∥AB交AD于点D，连接BC、AC．（1）如图①，若DC为⊙O的切线，切点为C，求∠ACD和∠DAC的大小．（2）如图②，当CD为⊙O的割线且与⊙O交于点E时，连接AE，若∠EAD＝30°，求∠ACD和∠DAC的大小．3．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC．（Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小；（Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC 的大小．4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠CAB＝2∠BCP；（2）若⊙O的直径为5，sin∠BCP＝，求△ABC内切圆的半径；（3）在（2）的条件下，求△ACP的周长．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，延长BC到点D，使BD＝BA，P是BC边上一点．点Q在射线BA上，PQ＝BP，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，交AC 于点E，连接PQ，设PC＝x．（1）AB＝，CD＝，当点Q在⊙P上时，求x的值；（2）x为何值时，⊙P与AB相切？（3）当PC＝CD时，求阴影部分的面积；（4）若⊙P与△ABC的三边有两个公共点，直接写出x的取值范围．6．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若＝，求y的值．7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，＝，CO的延长线交⊙O于点E，交BD的延长线于点F，连接FA，且恰好FA∥CD，连接BE交CD于点P，延长BE交FA于点G，连接DE．（1）求证：FA是⊙O的切线；（2）求证：点G是FA的中点；（3）当⊙O的半径为6时，求tan∠FBE的值．8．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．9．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点（不与点A、B重合），D是的中点，DE⊥AB于点E，过点C作半圆O的切线，交ED的延长线于点F．（1）求证：∠FCD＝∠ADE；（2）填空：①当∠FCD的度数为时，四边形OADC是菱形；②若AB＝2，当CF∥AB时，DF的长为．10．如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A 点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．（1）判断△AEF的形状为，并判断AD与⊙O的位置关系为；（2）求t为何值时，EN与⊙O相切？求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为．（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）参考答案1．（1）证明：∵OQ∥AP，∴∠EOC＝∠OAP，∠POQ＝∠APO，又∵OP＝OA，∴∠APO＝∠OAP，又∵∠BOQ＝∠EOA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ与△POQ中，，∴△POQ≌△BOQ（SAS），∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，∵点P在⊙O上，∴PQ是⊙O的切线；（2）解：①∵△POQ≌△BOQ，∴∠OBQ＝∠OPQ＝90°，当∠BOP＝90°，四边形OPQB为矩形，而OB＝OP，则四边形OPQB为正方形，此时点C、点E与点O重合，PE＝PO＝AB ＝2；②∵PE⊥AB，∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，∵OC＝OA＝1，∴PC＝＝＝，∴PE＝2PC＝2．故答案为：2；2．2．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵DC为⊙O的切线，切点为C，∴DC＝DA，∵CD∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，∴∠D＝90°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°；（2）∵AB是⊙O的直径，DA为⊙O的切线，切点为A，∴DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∠DEA＝∠EAB，∴∠ADC＝90°，∵∠EAD＝30°，∴∠DEA＝60°，∴∠EAB＝60°，∴∠BCE＝120°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACD＝30°，∴∠DAC＝60°．3．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DC与⊙O相切，∴∠OCD＝90°，∵OB＝BD，∴BC＝OD＝OB＝BD，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°，∴∠BCD＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠A＝30°；（Ⅱ）如图②，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角，∴∠ACF＝∠ABE，∴∠FAC＝∠EAB＝18°，答：∠FAC的大小为18°．4．解：（1）如图，连接AN，∵AC为直径，∴AN⊥BC，∵AB＝AC，∴AN平分∠BAC，∵PC是圆的切线，∴∠ACP＝90°，∵∠NAC+∠ACB＝∠PCB+∠ACB＝90°，∴∠NAC＝∠BCP，即∠BAC＝2∠BCP；（2）由（1）知，AN平分∠BAC，则∠NAC＝∠BCP，故sin∠NAC＝sin∠BCP＝，则tan∠NAC＝，在Rt△NAC中，AC＝5，NC＝AC•sin∠NAC＝5×＝，同理AN＝2，则BC＝2NC＝2；S＝×BC•AN＝2×2＝10，△ABC设△ABC内切圆的半径为r，则S＝（AB+AC+BC）•r＝×（5+5+2）•r＝10，△ABC解得：r＝；故△ABC内切圆的半径为；（3）在△ABC中，设AC边长的高为h，则S＝AC•h＝×5×h＝10，解得：h＝4，△ABCsin∠BAC＝＝，在Rt△ACP中，∵sin∠BAC＝＝，设PC＝4m，则AP＝5m，则AC＝3m＝5，解得m＝，△ACP的周长＝3m+4m+5m＝12m＝20．5．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∵BD＝BA，∴BD＝5，∴CD＝1．故答案为：5，1；当点Q在⊙P上时，如图1，PQ＝PD．∴BP＝PD，即4﹣x＝x+1．解得x＝．（2）作PF⊥AB于点F，当PF＝PD时，⊙P与AB相切，如图2，则PF＝PD＝x+1，sin B＝＝，∴＝．解得x＝．经检验，x＝是分式方程的解，且满足题意．∴x＝时，⊙P与AB相切．（3）如图3，连接PE，∵Rt△PEC中，PC＝CD＝1，PE＝PD＝1+1＝2，∴∠EPC＝60°，EC＝．∴S阴影＝S扇形PDE﹣S△PCE＝﹣×1×＝﹣．（4）由图2可知，当0≤x＜时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点；由图1可知，当＜x＜4时，⊙P与△ABC的三边有两个公共点．∴x的取值范围为：0≤x＜或＜x＜4．6．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠E，∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠E；（2）解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE，又∠ADC＝∠E，∴△ADC∽△DEC，∴，即CD2＝CA•CE，又∵⊙O的半径为5，∴CA•CE＝CD2≤102＝100．即CA•CE的最大值为100．（3）解：①连接AD，∵△ADC∽△DEC，，∴y＝tan∠AEC＝，过点D作DF⊥CE，不妨设EF＝a，∵∠CED＝∠CBA，∠DCE＝45°，∴CF＝DF＝ax，∴CD＝ax，∴y＝＝．②∵，∴，∴＝9：4，即x：y＝9：4，将y＝x代入y＝得，，解得，x1＝2，x2＝，当x＝2时，y＝，当x＝时，y＝，∴y＝或．7．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，＝，∴AB⊥CD，又∵FA∥CD，∴FA⊥AB，∵OA过O，∴FA是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴AE⊥BG，又∵FA⊥AB，∴∠GEA＝∠BAG，又∵∠BGA＝∠EGA，∴△GAB∽△GEA，∴＝，∴GA2＝GB×EG，∵FA∥CD，∴∠C＝∠EFG，又∵∠C＝∠FBE，∴∠EFG＝∠FBE，又∵∠FGE＝∠BGF，∴△FEG∽△BFG，∴＝，∴GF2＝GB×GE，∴GF＝GA，∴G为AF的中点；（3）解：∵FA∥CD，∴＝＝，又∵GF＝GA，∴DP＝HP，又∵CE是⊙O的直径，D在圆上，∴CD⊥DE，又∵AB⊥CD于点H，EO＝OC，∴点H是CD的中点，AB∥DE，又∵DP＝HP，∴DE＝BH，又∵点O是CE中点，点H是CD的中点，∴OH＝DE＝BH，又∵⊙O的半径为6，∴OH＝2，CH＝＝＝4，∴tan∠FBE＝tan C＝＝＝．8．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，∴AC＝＝＝3，∵BP为⊙O的直径，∴∠BEP＝90°，∴BE⊥AC，∵S＝×AB×AC，△ABC∴BE＝；（2）∵BP平分∠ABC，∴∠DBP＝∠ABC＝45°，连接DP，如图1，∵BP为⊙O的直径，∴∠DBP＝∠DPB＝45°，∴可设DP＝BD＝x，∵∠CDP＝∠ABC＝90°∴PD∥AB，∴△CPD∽△CAB，∴＝2，∴CD＝2x，∴CB＝3x＝6，∴x＝2，∴DP＝BD＝2，CD＝4，∴CP＝＝＝2，∴CE＝＝＝，∴tan∠BDE＝tan∠BPE＝＝＝3．（3）解：存在这样的点P．由△DCP∽△BCA，得，，∴CP＝CD，若△BDE是等腰三角形，可分三种情况：①当BD＝BE时，BD＝BE＝，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣，∴CP＝＝3﹣3．②当BD＝DE时，此时点D是Rt△CBE斜边的中点，∴CD＝BC＝3，∴CP＝；③当DE＝BE时，作EH⊥BC于点H，则H是BD的中点，∵∠ABC＝∠EHC＝90°，∴EH∥AB，∴，又∵AE＝AC﹣CE＝3﹣＝，∴BH＝DH＝＝，∴CD＝6﹣＝，∴CP＝．综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为3﹣3或或．9．（1）证明：连接OC、AC．如图1所示：∵D是的中点，∴＝，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠DAC+∠OAC＝∠DCA+∠OCA，即∠OAD＝∠OCD．∵CF是半圆O的切线，∴CF⊥OC，∴∠FCD+∠OCD＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE+∠OAD＝90°，∴∠FCD＝∠ADE．（2）解：①当∠FCD的度数为30°时，四边形OADC是菱形；理由如下：连接OD，如图2所示：∵∠FCD＝30°，∴∠ADE＝30°，∵DE⊥AB，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝OA，∠AOD＝60°，∵D是的中点，∴＝，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OD＝OC，∴OA＝AD＝CD＝OC，∴四边形OADC是菱形；故答案为：30°；②连接OD，如图3所示：∵AB＝2，∴OA＝OD＝，∵CF∥AB，DE⊥AB，∴CF⊥EF，∴∠CFD＝90°＝∠DEA，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，DE＝CF，∵CF半圆O的切线，∴CF⊥OC，∴四边形OCFE是矩形，∴CF＝OE，∴DE＝OE，∴△ODE是等腰直角三角形，∴OE＝OD＝1，∴DF＝AE＝OA﹣OE＝﹣1；故答案为：﹣1．10．解：（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，∴△EAH∽△BAC，∴＝，即：＝，∴AH＝4t，∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，∴AH＝FH，∵EH⊥AF，∴△AEF是等腰三角形，∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，∵AH＝FH，∴OH⊥AC，∴E、H、O三点共线，∴∠OAF+∠AOE＝90°，∵AB平分∠DAM，∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，∵∠AOE＝2∠EFA，∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，∵OA为⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；故答案为：等腰三角形，相切；（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：由（1）知：EH⊥AC，∵EN与⊙O相切，∴∠OEN＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形EHCN为矩形，∴EH＝NC，在Rt△AHE中，EH＝＝＝3t，∴NC＝3t，∵点N为BC的中点，∴BC＝2NC＝6t，∵BC＝6，∴6t＝6，∴t＝1，∴AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∴OH＝，∴tan∠AOH＝＝，∴∠AOH＝74°，∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，∴AE＞OA，∴劣弧长度的大于半径；（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，∴AF ＝2×8＝16，AE ＝EF ＝AB ＝10， 此时△AEF 的内心记为G ，当A 、E 、F 重合时，内心为A 点，∴△AEF 的内心运动的路径长为AG ，作GP ⊥AE 于P ，GQ ⊥EF 于Q ，连接AG 、GF ，则CG ＝PG ＝NQ ，如图3所示： S △AEF ＝AF •BC ＝×16×6＝48，设CG ＝PG ＝NQ ＝a ，则S △AEF ＝S △AGF +S △AEB +S △FEG ＝AF •CG +AE •PG +EF •GQ ＝×（16+10+10）a ＝48，解得：a ＝，在Rt △AGC 中，AC 2+CG 2＝AG 2，即82+（）2＝AG ， ∴AG ＝， 故答案为：；（4）分别讨论两种极限位置，①当EN 与⊙O 相切时，由（2）知，t ＝1；②当N 在⊙O 上，即ON 为⊙O 的半径，连接OA 、ON 、OE ，OE 交AC 于H ，过点O 作OK ⊥BC 于K ，如图4所示： 则四边形OKCH 为矩形，OA ＝OE ＝ON ，∴OH ＝CK ，AH ＝4t ，EH ＝3t ，设⊙O 的半径为x ，则在Rt △AOH 中，AH 2+OH 2＝OA 2，即（4t ）2+（x ﹣3t ）2＝x 2，解得：x ＝t ， ∴OH ＝CK ＝t ﹣3t ＝t ，在Rt △OKN 中，OK 2+KN 2＝ON 2，即（8﹣4t ）2+（3+t ）2＝（t ）2， 解得：t ＝，∴线段EN 与⊙O 有两个公共点时，t 的取值范围为：1＜t ≤，故答案为：1＜t≤．。
专题50 圆中的翻折综合问题(解析版)
专题50 圆中的翻折综合问题1、如图，将半径为12的⊙O 沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB 长为（ ）A ．42B ．82C ．6D ．62【分析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB 的长【解答】解：延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，⊙CE⊙AB ，⊙E 为AB 的中点，⊙OC=6，CD=2OD ，⊙CD=4，OD=2，OB=6，⊙DE=12（2OC -CD ）=12（6×2-4）=12×8=4，⊙OE=DE -OD=4-2=2，在Rt⊙OEB 中，⊙OE 2+BE 2=OB 2， ⊙BE=22OE OB -=2246-42 ⊙AB=2BE=82．故选：B ．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．2、已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm【分析】连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．【解答】解：连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，⊙OC′=8cm ，⊙OF′=6cm ，⊙C′F′=CF=2268 =27cm ，F ⊙CD=2CD=47cm ．故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握．3、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作OE⊙AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，根据折叠的性质得到OE=12OF ，求出⊙ACB 的度数即可解决问题．【解答】解：作OE⊙AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ．连接OB ，BC ．由折叠的性质可知，EF=OE=12OF ， ⊙OE=12OA ，在Rt⊙AOE 中，OE=12OA ， ⊙⊙CAB=30°，⊙AB 是直径，⊙⊙ACB=90°，⊙BOC=2⊙BAC=60°，⊙AB=4，⊙BC=12AB=2，AC=3BC=23， ⊙线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S=12•AC•BC+S 扇形OBC -S ⊙OBC =12×23×2+60π•22360-43×22=3+23π≈3.8，故选：C ．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4、如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵ADB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到⊙ADB=⊙BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，⊙ADB 所对的弧是劣弧︵ AB ，⊙CAB 所对的弧是劣弧︵ BC ，⊙CBA 所对的弧是劣弧︵ AC ，⊙⊙ADB=⊙CAB+⊙CBA ，由三角形的外角的性质可知，⊙BCD=⊙CAB+⊙CBA ，⊙⊙ADB=⊙BCD ，⊙BD=BC=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作MN 关于直线AN 的对称线段M′N ，交半圆于B'，连接AM 、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN 关于直线AN 的对称线段M′N ，交半圆于B'，连接AM 、AM′，可得M 、A 、M′三点共线，MA=M′A ，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．连接AB'，⊙四边形AMNB'是圆内接四边形，⊙⊙M'AB'=⊙M'NM ，⊙⊙M'=⊙M'，⊙⊙M'AB'⊙⊙M'NM ，⊙M′A M′N ＝M′B′M′M⊙M′A•M′M=M′B′•M′N ，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A 2=20，又⊙M′A 2=M′N 2-AN 2，⊙20=100-AN 2， ⊙AN=45．故选：B ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．6、如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm ，点P 在半径AO 上运动，点Q 在弧AB 上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O ，则OP 的最大距离为 ．【分析】作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，于是得到OP=12R cos⊙POE，推出⊙OO′Q 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R ，当cos⊙POE 最小时，⊙POE 最大，当⊙QOB=0°时，⊙POE=30°于是得到结论．【解答】解：作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，⊙OP=12R cos⊙POE， ⊙⊙OO′Q 为等边三角形，⊙OQ=O′Q=OO′=R ，⊙POE+⊙QOB=30°，当cos⊙POE 最小时，⊙POE 最大，当⊙QOB=0°时，⊙POE=30°，⊙OP=1cos30°=332．故答案为：332．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．7、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（）A．22B．5 C．3 D．11【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB所在的圆和⊙O全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：根据题意画出图形如下所示：BD=4，OB=5，点O′为翻转过后的弧AB所在圆的圆心，则有O′D=OD=2245-=3．又O′C=5，O′O=6， ⊙OC=22C ′O O ′O -=2256-=11．故选：D ．【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB 所在圆的圆心是解题关键．8、如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ）A ．91B ．37C ．134D ．130【分析】连接CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧CD 所对的圆周角是⊙CBD ，再根据AC 弧所得的圆周角也是⊙CBA ，然后求出AC=CD ，过点C 作CE⊙AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD ，根据直径所对的圆周角是直角可得⊙ACB=90°，然后求出⊙ACE 和⊙CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE 2，再求出BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．【解答】解：如图，连接CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧CD 所对的圆周角是⊙CBD ， ⊙弧AC 所对的圆周角是⊙CBA ，⊙CBA=⊙CBD ，⊙AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），过点C 作CE⊙AB 于E ， 则AE=ED=12AD=12×6=3， ⊙BE=BD+DE=7+3=10， ⊙AB 是直径，⊙⊙ACB=90°， ⊙CE⊙AB ，⊙⊙ACB=⊙AEC=90°，⊙⊙A+⊙ACE=⊙ACE+⊙BCE=90°，⊙⊙A=⊙BCE ，⊙⊙ACE⊙⊙CBE ，⊙AE CE = CE BE， 即CE 2=AE•BE=3×10=30， 在Rt⊙BCE 中，BC=22CE BE + =30102+= 130，故选：D ．【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．9、如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD⊙ABD ．CD 平分⊙ACB【分析】A 、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD ；B 、相等两弧相加可作判断；C 、根据垂径定理可作判断；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断．【解答】解：A 、过D 作DD'⊙BC ，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD=CD'，⊙ABC=⊙CBD'，⊙AC=CD'=CD ，故⊙正确；B 、⊙AC=CD'，⊙︵ AC ＝︵ CD′ ，由折叠得：︵ BD ＝︵ BD ′，⊙︵ AC +︵ BD =︵ BC ，故⊙正确；C 、⊙D 为AB 的中点，⊙OD⊙AB ，故⊙正确；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，⊙OD⊙AB ，⊙⊙ACE=⊙BCE ，⊙CD 不平分⊙ACB ，故⊙错误；故选：D ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．11、如图，⊙ABC 内接于⊙O ，BC=22，⊙BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵ AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则⊙MST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．8【分析】作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，根据折叠的性质得到点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则⊙MST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，根据圆周角定理得到M′M″是⊙O的直径，即可得到结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，⊙将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M，⊙点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则⊙MST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，则⊙M′AM″=2⊙BAC，⊙⊙BAC=45°，⊙⊙M′AM″=⊙BOC=90°，⊙BC=22，⊙OB=2，⊙M′M″=2OB=4，⊙⊙MST的周长的最小值为4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．12、如图，在⊙O 中，点C 在优弧⊙ACB 上，将弧沿⊙BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊙AB 于E ，OF⊙CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD⊙AB ，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到︵ AC =︵ CD ，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊙AB 于E ，OF⊙CE 于F ，如图，⊙D 为AB 的中点，⊙OD⊙AB ，⊙AD=BD=12AB=2， 在Rt⊙OBD 中，OD=22BD OB -=222)5(-=1，⊙将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．⊙︵ AC 和︵ CD 所在的圆为等圆，⊙︵ AC =︵ CD ，⊙AC=DC ，⊙AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形，⊙OF=EF=1，在Rt⊙OCF 中，CF=22OF CO -=221)5(-=2，⊙CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3， ⊙BC=32．故答案为32．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．14、如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵ AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：⊙⊙ACB=120°，⊙⊙ACD 是等边三角形，⊙EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断⊙⊙是否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．【解答】解：如图1，连接OA 和OB ，作OF⊙AB ．由题知：︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O⊙OF=OA=12OB ⊙⊙AOF=⊙BOF=60°⊙⊙AOB=120°⊙⊙ACB=120°（同弧所对圆周角相等）⊙D=12⊙AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半） ⊙⊙ACD=180°-⊙ACB=60°⊙⊙ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，⊙⊙正确下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE和EF⊙⊙ACD是等边三角形，E是CD中点⊙AE⊙BD（三线合一）又⊙OF⊙AB⊙F是AB中点即，EF是⊙ABE斜边中线⊙AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动．所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF，AE⊙EF⊙⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1⊙AF=3（勾股定理）⊙OE=EF-OF=AF-OF=3-1所以，⊙不正确综上所述：⊙⊙正确，⊙不正确．故答案为⊙⊙．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．14、如图，将︵ AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC=BD ；（2）若AC=1，CD=4，︵ AB =120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM⊙AB 于M ，AH⊙BC 交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．由翻折不变性可知：BC=BC′，⊙CAB=⊙BAC′，⊙︵ BD =︵BC ′，⊙BD=BC′，⊙BC=BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM⊙AB 于M ，AH⊙BC 交BC 的延长线于H ．⊙︵AB =120°，⊙⊙D=12×120°=60°，⊙⊙AOB=⊙ACB=2⊙D=120°，⊙BC=BD ，⊙⊙BCD 是等边三角形，⊙BC=DC=4，在Rt⊙ACH 中，⊙⊙H=90°，⊙ACH=60°，AC=1，⊙CH=12，AH=23， ⊙AB=22BH AH +=22)29()23(+=21，⊙OM⊙AB ， ⊙AM=BM=221，在Rt⊙AOM 中，⊙⊙OAM=30°，⊙AMO=90°， ⊙OA=AMcos30°=7【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．15、如图，已知⊙O 的半径为2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与CD 交于点M ，将︵ CD 沿CD 翻折后，点A与圆心O 重合，延长OA 至P ，使AP=OA ，连接PC（1）求CD 的长；（2）求证：PC 是⊙O 的切线；（3）点G 为︵ADB 的中点，在PC 延长线上有一动点Q ，连接QG 交AB 于点E ．交︵ BC 于点F （F 与B 、C 不重合）．问GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）连接OC ，根据翻折的性质求出OM ，CD⊙OA ，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC ，然后利用勾股定理逆定理求出⊙PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA 、AF 、GB ，根据等弧所对的圆周角相等可得⊙BAG=⊙AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出⊙AGE 和⊙FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得AG GE =FG AG，从而得到GE•GF=AG 2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）解：如图，连接OC ，⊙︵CD 沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合， ⊙OM=12OA=12×2=1，CD⊙OA ，⊙OC=2， ⊙CD=2CM=222OM OC -=22212-=23；（2）证明：⊙PA=OA=2，AM=OM=1，CM=12CD=3，⊙CMP=⊙OMC=90°，⊙PC=22PM MC +=223)3(+=23， ⊙OC=2，PO=2+2=4，⊙PC 2+OC 2=（23）2+22=16=PO 2， ⊙⊙PCO=90°，⊙PC 是⊙O 的切线；21（3）解：GE•GF 是定值，证明如下，连接GO 并延长，交⊙O 于点H ，连接HF⊙点G 为︵ADB 的中点⊙⊙GOE=90°，⊙⊙HFG=90°，且⊙OGE=⊙FGH⊙⊙OGE⊙⊙FGH⊙OG GF = GE GH⊙GE•GF=OG•GH=2×4=8．【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．。
2021年中考数学高频考点：《圆的综合》解答题专题练习(二)含答案
2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（二）1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan A＝，AC＝5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图，当MC＝AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM＝x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．2．如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，点C为半圆弧的中点，连AC交PO于E 点．（1）求证：PB＝PE；（2）若tan∠CPO＝，求sin∠PAC的值．3．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cos C＝（如图）．M是边BC 上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F．（1）设CE＝，求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．4．已知如图，⊙O的直径BC＝4，＝＝，点P是射线BD上的一个动点．（1）如图1，求BD的长；（2）如图1，若PB＝8，连接PC，求证PC为⊙O的切线；（3）如图2，连接AP，点P在运动过程中，求AP+PB的最小值．5．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PB＝PA，射线PO交⊙O于C、D两点．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：AC平分∠PAB；（3）若⊙O的直径是6，AB＝2，则点D与△PAB的内切圆上各点之间距离的最大值为．6．国庆假期，小明做数学题时遇到了如下问题：如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，直线l经过点A，∠ABD ＝∠DAE＝30°．试说明直线l与⊙O相切．小明添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．（1）请你根据小明的思考，写出解决这一问题的过程；（2）图2中，若AD＝，AB＝4，求DC的长．7．如图，直线l1⊥l2，O为垂足，以O圆心，的半径作圆，交l1于点M，N，交l2于点P，Q．在⊙O上任取一点A，作△ABC，使∠A＝90°，∠ACB＝30°，顶点A，B，C按顺时针方向分布，点C落在射线ON上，且不在⊙O内．若△ABC的某一边所在直线与⊙O相切，我们称该边为⊙O的“相伴切边”．（1）如图1，CA为⊙O的“相伴切边”，CA平分∠OCB，求OC的长；（2）是否存在△ABC三边中两边都是⊙O的“相伴切边”的情形？若存在，请求出AC的长；若不存在，请说明理由．8．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC 与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE＝CF．（1）求证：BE是半圆O所在圆的切线；（2）若BC＝AD＝6，求⊙O的半径．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE，且CB＝CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．10．如图，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求点O到弦BD的距离．（3）求CD的长．11．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若，求弦AB的长；12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE ⊥AB于点E，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，连接DG．求证：（1）BG＝CG；（2）DG是⊙O的切线．13．如图，直线AF与⊙O相切于点A，弦BC∥AF，连接BO并延长，交⊙O于点E，连接CE并延长，交AF于点D．（1）求证：CE∥OA；（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求DE的长．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于E，过点B作∠CBD ＝∠A，过点C作CD⊥BD于D．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若CD＝2，BC＝2，求⊙O的直径．15．如图，AB是⊙O的直径．四边形ABCD内接于⊙O，AD＝CD，对角线AC与BD交于点E，在BD的延长线上取一点F，使DF＝DE，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线．（2）若AD＝5，AC＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：在Rt△ABC中，tan A＝，AC＝5，设∠A＝α，则BC＝3，AB＝4＝BM，sin A＝＝sinα，cos A＝＝cosα，（1）如图1，∵MC＝MA＝5，过点M作MN⊥CD于点N，∵MC＝MD，则CN＝CD，在Rt△AMN中，MN＝AM sin A＝（4+4）×＝，则CD＝2CN＝2＝2＝；（2）如图1，设CD＝2m，则CM2＝BC2+MB2＝9+x2，则MN2＝CM2﹣m2＝x2+9﹣m2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），则MN＝＝（x+4）；则S＝CD•MN+×AM•BC＝（8x2+39x﹣72）；∵m＝（4x﹣9）＞0，∴x＞；（3）如图2，过点M作MN⊥CD于点N，过点P作PD⊥CM于点P，设圆的半径为r，∵△ECD与△EMC相似，则∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，在Rt△DPM中，DP＝DM sin∠EMC＝r sinα＝r，MP＝r cosα＝r，则CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，∴MN＝＝r，∵tan A＝＝，解得r＝3，则BM＝＝＝6．2．（1）证明：连接OA，OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵点C为半圆弧的中点，∴∠COE＝90°，∴∠OCA+∠OEC＝90°，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠OAC+∠PAE＝90°，∴∠PAE＝∠OEC，∵∠OEC＝∠AEP，∴∠PAE＝∠AEP，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PA＝PE＝PB；（2）解：∵tan∠CPO＝＝，设OC＝3k，OP＝5k，∴OA＝OC＝3k，∴PA＝PE＝4k，过A作AH⊥PO于H，∴OP•AH＝PA•OA，∴AH＝＝k，∴OH＝＝k，∵∠AHE＝∠COE＝90°，∠AEH＝∠CEO，∴△AHE∽△COE，∴，∴OE＝k，∴CE＝＝k，∴sin∠PAC＝sin∠CEO＝＝＝．3．（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝，在Rt△CGM中，CM＝＝＝3，∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四边形AMCD是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．∵ME＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cos C＝＝，设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝CE＝k，CH＝EC＝k，∴MH＝CM﹣CH＝k，∴tan∠EMH＝，∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB＝＝＝，∴BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝＝5k，∴CE＝6k＝．（3）如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cos C＝＝，∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，设CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝，∴⊙M的半径为．如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝，综上所述，满足条件的⊙M的半径为或．4．解：（1）∵BC是直径，＝＝，则、、均为60°的弧，则∠DBC＝30°，连接OA交BD于点H，∵BC＝4，则BO＝CO＝2，在Rt△BOH中，BH＝BO cos∠DBC＝2×＝3，则BD＝2BH＝6；（2）在Rt△BCD中，BC＝4，∠DBC＝30°，则CD＝CB＝2，PD＝PB﹣BD＝8﹣6＝2，在Rt△CDP中，PC2＝CD2+PD2＝4+（2）2＝16，在△BCP中，BC2＝（4）2＝48，BP2＝64，则PB2＝CB2+PC2，故△BPC为直角三角形，故PC⊥CB，故PC为⊙O的切线；（3）过点A作AH⊥BC交BD于点P，在Rt△PBH中，∠DBC＝30°，则PH＝PB，即AP+PB＝AP+PH＝AH为最小，∵、均为60°的弧，则∠ABO＝60°，而AO＝BO，故△ABO为边长为2的等边三角形，则AH＝AB sin60°＝2×＝3，即AP+PB的最小值为3．5．（1）证明：如图1中，连接OA，OB．∵PA是切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，在△PAO和△PBO中，，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠PBO＝∠PAO＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．（2）证明：如图1中，设∠PAC＝α．∵∠PAO＝90°，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α，∵PA＝PB，OA＝OB，∴PO垂直平分线段AB，∴∠CAB＝90°∠ACO＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠PAC＝∠CAB，∴AC平分∠PAB．（3）解：如图2中，设AB交OP于点M．∵PA，PB是⊙O的切线，∴OP平分∠APB，∵AC平分∠PAB，∴点C是△PAB的内心，设△PAB的内切圆⊙C交PC于H，∵⊙O的直径为6，∴OA＝3，∵OP垂直平分线AB，AB＝2，∴AM＝BM＝，∴OM＝＝＝2，∵OC＝3，∴CH＝CM＝3﹣2＝1，∵点D到⊙C上各点的最大距离为DH，∴最大距离DH＝CD+CH＝6+1＝7．故答案为7．6．（1）证明：过A作直径AF，连接DF，如图2所示：∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠FAD＝90°，∵∠ABD＝∠AFD，∠ABD＝∠DAE，∴∠AFD＝∠DAE，∴∠DAE+∠DAF＝90°，即∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，∵点A是半径OA的外端，∴直线l与⊙O相切；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G，∴∠AGB＝∠AGD＝90°，∵∠ABD＝30°，∴∠AFD＝30°，∴直径AF＝2AD＝＝BC，∵∠ABD＝30°，AB＝4，∴AG＝＝2，BG＝AG＝2，∴DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴．7．解：（1）如图1，连接OA，则OA＝，∵CA为⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠ACB＝30°，CA平分∠OCB，∴∠OCA＝∠ACB＝30°，则在Rt△AOC中，OC＝2OA＝2；（2）存在．由题意可分三种情况，①当边AB，BC都是⊙O的“相伴切边”时，即OA⊥AB，∵∠BAC＝90°，即AC⊥AB，∴O，A，C三点共线，又∵点C落在射线ON上，且不在⊙O内，∴点A只能在点M或点N处，如图2，当点A在点N处时，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC﹣AO＝，当点A在点M处时，如图3，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，∵∠ACB＝30°，∴OC＝2OD＝2，∴AC＝OC+AO＝3，②当边AC，BC都是⊙O的“相伴切边”时，则OA⊥AC，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，如图4，设BC与⊙O相切于点D，连接OD，则OD⊥CD，设AB＝x，则BC＝2x，AC＝＝x，∴OB＝OA+AB＝+x，∵∠BAC＝∠BDO＝90°，∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBO，∴，即，解得，x＝2﹣或x＝0（舍去），经检验，x＝2﹣是所列方程的解．∴AC＝x＝2﹣3．③当边AC，AB都是⊙O的“相伴切边”时，∵AC是⊙O的“相伴切边”，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB＝180°，即O，A，B三点共线，∴AB不可能是⊙O的“相伴切边”，则AC，AB不能同时是⊙O的“相伴切边”；综上可得，AC的长是或3或2﹣3．8．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝BF，∴∠E＝∠BFE，∵AC平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF，∵∠DAF+∠AFD＝90°，∴∠BAF+∠E＝90°，∴BE是半圆O所在圆的切线；（2）解：∵∠DAF＝∠BAF，∴＝，∵BC＝AD，∴＝，∴＝＝，∴∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴⊙O的半径为6．9．（1）证明：如图，连接OE，DE，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠DEC+∠CEB＝90°，∵CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，∴∠A＝∠DEC，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵∠A+∠ADE＝90°，∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，AB＝4，BC＝CE，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，∴AC2+BC2＝AB2，∴（2r+2）2+BC2＝（4）2，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴OE2+CE2＝OC2，∴r2+BC2＝（r+2）2，∴BC2＝（r+2）2﹣r2，∴（2r+2）2+（r+2）2﹣r2＝（4）2，解得r＝3，或r＝﹣6（舍去）．∴⊙O的半径为3．10．解：（1）△ABD是等腰直角三角形，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）过O作OE⊥DB于E，如图所示：则∠OEB＝90°，∵AB＝10cm，∴OB＝AB＝5（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝OB＝（cm），即点O到弦BD的距离为cm；（3）过B作BF⊥CD于F，如图所示：则∠BFC＝∠BFD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝8（cm），∵∠BCD＝45°，∴△BCF是等腰直角三角形，∴CF＝BF＝BC＝4（cm），由（1）得：△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝5（cm），∴DF＝＝＝3，∴CD＝CF+DF＝4+3＝7（cm）．11．（1）证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO，∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴PA＝OA；（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH＝BH，在Rt△OPH中，tan∠OPH＝＝，设OH＝x，则PH＝2x，由（1）可知PA＝OA＝10，∴AH＝PH﹣PA＝2x﹣10，∵AH2+OH2＝OA2，∴（2x﹣10）2+x2＝102解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝8，∴AH＝6，∴AB＝2AH＝12．12．证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ABC＝90°，∴DE∥BC，∴△AEF∽△ABG，△ADF∽△ACG，∴，＝，∴，∵F为DE中点，∴EF＝DF，∴BG＝CG；（2）连接OD，BD，OG，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BD，∵AO＝BO，BG＝CG，∴OG∥AC，∴OG⊥BD，∴BF＝DF，∴DG＝BG，在△ODG与△OBG中，，∴△ODG≌△OBG（SSS），∴∠ODG＝∠OBG＝90°，∴DG是⊙O的切线．13．（1）证明：∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∵BC∥AF，∴∠CDF＝∠ACE＝90°，∵AF与⊙O相切于点A，∴∠OAF＝90°，∴∠OAF＝∠CDF，∴CE∥OA；（2）解：如图，作OH⊥CE于点H，由垂径定理知：CH＝EH，∵OB＝OE，∴OH是△ECB的中位线，∴OH＝BC＝24＝12，在Rt△OEH中，根据勾股定理，得EH＝＝＝5，∵OH⊥CE，∴∠OHD＝90°，由（1）知：∠CDA＝∠OAD＝90°，∴四边形OADH是矩形，∴DH＝OA＝13，∴DE＝DH﹣EH＝13﹣5＝8．14．解：（1）如图，连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∴∠BAE＝BAC，∵∠CBD＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD是⊙O的切线；（2）由（1）知：△ABC是等腰三角形，AE⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝∠AEB＝90°，∵∠CBD＝∠BAE，∴△CBD∽△BAE，∴＝，∴＝，∴AB＝3．∴⊙O的直径为3．15．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥EF，∠BAD+∠ABD＝90°，又∵DF＝DE，∴AF＝AE，∴∠FAD＝∠EAD．∴∠FAD＝∠EAD＝∠ACD＝∠ABD，∴∠FAB＝∠FAD+∠BAD＝∠BAD+∠ABD＝90°，∴AF是⊙O的切线．（2）如图，连接OD交AC于M，∵AD＝CD，∴，∴OD⊥AC，AM＝CM＝AC＝4，∴AD＝CD＝5，在Rt△DMC中，DM＝＝3．设⊙O的半径为x，则OM＝x﹣3，∵OM2+AM2＝OA2，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝．⊙O的半径即OA＝．。
2020-2021中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题含答案解析
2020-2021中考数学专题复习分类练习圆的综合综合解答题含答案解析一、圆的综合1．图1和图2，半圆O的直径AB=2，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．（1）当α=15°时，过点A′作A′C∥AB，如图1，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．（2）如图2，当α= °时，BA′与半圆O相切．当α= °时，点O′落在上．（3）当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．【答案】（1）A′C与半圆O相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】试题分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB=OA，可判定A′C与半圆相切；（2）当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°，当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°；（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．试题解析：（1）相切，理由如下：如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，∵α=15°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=30°，∴DE=A′E ，OE=BE ，∴DO=DE+OE=（A′E+BE ）=AB=OA ，∴A′C 与半圆O 相切；（2）当BA′与半圆O 相切时，则OB ⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°，当O′在上时，如图2，连接AO′，则可知BO′=AB ，∴∠O′AB=30°，∴∠AB O′=60°，∴α=30°，（3）∵点P ，A 不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B ；当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B ．当α继续增大时，点P 逐渐靠近点B ，但是点P ，B 不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B ．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．考点：圆的综合题．2．已知O e 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______o ；()2如图②，若m 6=．①求C ∠的正切值；②若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB V 是等边三角形，即可得出结论；()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】()1如图1，连接OB ，OA ，OB OC 5∴==，AB m 5==Q ，OB OC AB ∴==，AOB ∴V 是等边三角形，AOB 60∠∴=o ，1ACB AOB 302∠∠∴==o ， 故答案为30；()2①如图2，连接AO 并延长交O e 于D ，连接BD ，AD Q 为O e 的直径，AD 10∴=，ABD 90∠=o ，在Rt ABD V 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=， AB 3tan ADB BD 4∠∴==， C ADB ∠∠=Q ，C ∠∴的正切值为34； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，AC BC =Q ，AO BO =，CE ∴为AB 的垂直平分线，AE BE 3∴==，在Rt AEO V 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=，CE OE OC 9∴=+=，ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，连接OA 交BC 于F ，AC AB =Q ，OC OB =，AO ∴是BC 的垂直平分线，过点O 作OG AB ⊥于G ， 1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=Q ，ACF AOG ∠∠∴=，在Rt AOG V 中，AG 3sin AOG AC 5∠==， 3sin ACF 5∠∴=， 在Rt ACF V 中，3sin ACF 5∠=， 318AF AC 55∴==， 24CF 5∴=， ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25=V ．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．3．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C 点，连接AC 、BC ．（Ⅰ）求∠ACB 的大小；（Ⅱ）若⊙O 半径为1，求四边形ACBP 的面积．【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）33【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OP平分∠APB，∴∠APO=12∠APB=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACO=12AOP=30°，同理可得∠BCP=30°，∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴33，OP=2OA=2，∴OP=2OC，而S△OPA=123∴S△AOC=12S△PAO=34，∴S△ACP=33，4∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．5．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
2021年中考数学第三轮：圆的综合 解答题专题复习(含答案)
2021年中考数学第三轮：圆的综合解答题专题复习1、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若CD的长．2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）当OE=10时，求BC的长．3、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．5、如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．6、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF ⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．7、如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．8、如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．（1）求证：CA=CP；（2）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．9、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC 的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．10、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．11、如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O 是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．12、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接AD、BM．（1）等式OD2=OC•OP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（2）若AD=6，tan∠M=，求sin∠D的值．13、如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O 的半径和BF的长．14、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l ∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．15、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF ⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO=2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．参考答案2021年中考数学第三轮：圆的综合解答题专题复习1、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB=，CD的长．5解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；（2）∵∠1=∠F，∴在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，∴，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，∵222+=，AC CD AD即222+=-，∴x=3，即CD=3．x x4(8)2、如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）当OE=10时，求BC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；（2）解：如图，∵OE=10．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，∴∠AEO=∠DEO，又∵AE=DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BC，∴=，∴BC=2OE=20，即BC的长是20．3、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC．∵OA=OC．∴∠OAC=∠OCA，∵∠MAC=∠OAC，∴∠MAC=∠OCA，∴OC∥AM，∵CD⊥AM，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，∴AC=2AD=8，CD=AD=4，∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴S阴=S△ACD﹣（S扇形OAC﹣S△AOC）=×4×4﹣（﹣×82）=24﹣π．4、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若BF=2，DF=，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，∴∠BOD=∠A，∵∠AED=∠ABC，∴∠BOD+∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE与⊙O相切；（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，∵DE与⊙O相切，∴∠BDE=∠BCD，∵∠AED=∠ABC，∴∠AFC=∠DBF，∵∠AFC=∠DFB，∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，∴FH=BH=BF=1，则FH=1，∴HD==3，在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD﹣1）2+32=OD2，∴OD=5，∴⊙O的半径是5．5、如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC=，DF=，求EF的长．【解答】解：（1）连接OP，BF，PF，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OP∥CD，∴∠PFD=∠OPF，∵OP=OF，∴∠OPF=∠OFP，∴∠OFP=∠PFD，∴PF平分∠BFD；（2）连接EF，∵∠C=90°，∴BF是⊙O的直径，∴∠BEF=90°，∴四边形BCFE是矩形，∴EF=BC，∵AB∥OP∥CD，BO=FO，∴OP=AD=CD，∵PD2=DF•CD，即（）2=•CD，∴CD=4，∴EF=BC=4．6、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF ⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图所示．∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AC=AB，∴点D为线段BC的中点．∵点O为AB的中点，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=，∴tan∠C==，CD=2，∴∠C=60°，∵AC=AB，∴△ABC为等边三角形，∴AB=4．∵OD∥AC，∴∠DOG=∠BAC=60°，∴DG=OD•tan∠DOG=2，∴S阴影=S△ODG﹣S扇形OBD=DG•OD﹣πOB2=2﹣π．7、如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵DF是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°，∴的长===π．8、如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．（1）求证：CA=CP；（2）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，∴∠OEG+∠OGE=90°，∵AF⊥CE，∴∠AFG=90°，∴∠FAG+∠AGF=90°，∵∠AGF=∠OGE，∴∠OEG=∠BAP，∵∠AEC=∠ABC，∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠APC=45°=∠APC，∴CA=CP；（2）如图2，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠DCO=90°，∵∠D=30°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴∠BAC=60°在Rt△ABC中，AC=，∴BC=ACtan∠BAC=ACtan60°=×=3，由（1）知，CP=AC=，∴BP=BC﹣CP=3﹣，由（1）知AC=CP，∵AF⊥CE，∴AF=PF，∵OA=OB，∴OF=BP=（3﹣）．9、如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC 的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：∠FBC=∠FCB；（2）已知FA•FD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．【解答】（1）证明：∵四边形AFBC内接于圆，∴∠FBC+∠FAC=180°，∵∠CAD+∠FAC=180°，∴∠FBC=∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∵∠EAD=∠FAB，∴∠FAB=∠CAD，又∵∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB；（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，又∵∠FCB=∠FAB，∴∠FAB=∠FBC，∵∠BFA=∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴，∴BF2=FA•FD=12，∴BF=2，∵FA=2，∴FD=6，AD=4，∵AB为圆的直径，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴tan∠FBA===，∴∠FBA=30°，又∵∠FDB=∠FBA=30°，∴CD=AD•cos30°=4×=2．10、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴=，∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，∴4a2=a（a+5），∴a=，∴PC=2a=．11、如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O 是△ABD的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∴∠ABC=∠CAD，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°﹣∠AED，∵∠AED=∠ABD，∴∠AED=∠ABC=∠CAD，∴∠EAD=90°﹣∠CAD，即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°．12、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，连接AD、BM．（1）等式OD2=OC•OP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（2）若AD=6，tan∠M=，求sin∠D的值．【解答】解：（1）等式OD2=OC•OP成立；理由如下连接OA，如图1所示：∵PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，∴∠OAP=∠ACO=90°，∵∠AOC=∠POA，∴△OAC∽△OPA，∴=，即OA2=OC•OP∵OD=OA，∴OD2=OC•OP；（2）连接BN，如图2所示：则∠MBN=90°．∵tan∠M=，∴=，∴设BN=x，BM=2x，则由勾股定理，得MN==x，∵BM•BN=MN•BC，∴BC=x，又∵AB⊥MN，∴AB=2BC=x，∴Rt△ABD中，BD=MN=x，AD2+AB2=BD2，∴62+（x）2=（x）2，解得：x=2，∴BD=×2=10，AB=8，∴sin∠D===．13、如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O 的半径和BF的长．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：如图1，连接OE，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1=∠C，∵OB=OE，∴∠1=∠B，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形；（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，∴DG=0E=2x，根据AC=AB得：4x=x+2x+2﹣，x=1，∴0E=OB=2，在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，cos30=，OF==2÷=，∴BF=﹣2，⊙O的半径为2．14、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l ∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．【解答】解：（1）直线l与⊙O相切．理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直线l与⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴，即，解得；AE=．∴AF=AE﹣EF=﹣7=．15、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF ⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO=2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．【详细解答】（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°．∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD=12∠ABC=30°．∴OB=2OP．∵OP=OM，∴OP=2OM．（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴BD=2BQ=2AB•cos∠ABQ=．设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．∵EF＞HE，∴点E，F，G，H均在菱形的边上．①如图2所示，当点E在AB上时．在Rt△BEM中，EM=BM•tan∠EBM=．由对称性得：EF=2EM=2，ND=BM=3r．∴MN=18﹣6r．∴S矩形E F G H=EF•MN=2（18﹣6r）=24解得：1r=1，2r=2．当r=1时，EF＜HE，∴r=1时，不合题意舍,当r=2时，EF＞HE，∴⊙O的半径为2．∴BM=3r=6．如图3所示：当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18﹣3r．由对称性可知：NB=MD=6．∴MB=3r=18﹣6=12．解得：r=4．综上所述，⊙O的半径为2或4．（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO=2r．当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．①如图4所示，点E在AD上时．∵HE与⊙O相切，∴ME=r，DM=．∴3r+．解得：r=9﹣3∴OB=18﹣6②如图5所示；由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM．∴OB=12BD=9．③如图6所示．∵HG与⊙O相切时，MN=2r．∵BN+MN=BM=3r．∴BN=r．∴DM=．∴D与O重合．∴BO=BD=18．④如图7所示：∵HE与⊙O相切，∴EM=r，DM=．∴3r﹣．∴r=9+3∴OB=2r=18+6综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18﹣6或9或18或18+6．。
2021年中考专题--翻折圆特训(含详细解析)
翻折圆专题一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．72．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB ⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．33．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34 C ．2+3 D ．1+24．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．45．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235 D ．265 二．填空题6．如图，等腰⌒ABC 中，AC ＝BC ＝32．⌒ACB ＝120°，以AB 为直径在⌒ABC 另一侧作半圆，圆心为O ，点D 为半圆上的动点，将半圆沿AD 所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB 交点为F ，当弧AD 与BC 边相切时，AF 的长为 ．7．如图，AB是⌒O的弦，点C在AB⌒上，点D是AB的中点．将AC⌒沿AC折叠后恰好经2，AB＝8．则AC的长是．过点D，若⌒O的半径为58．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为．⌒上一点，连接AD，交AB⌒于点C，9．如图，将⌒O的劣弧AB⌒沿AB翻折，D为优弧ADB连接BC、BD；若BC＝5，则BD＝．10．如图，将BC⌒沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝8，则BC的长是．11．已知：如图，在半径为8的⌒O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将AC⌒折叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC 的长为 ．12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ＝ ．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O 的半径为 ．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B ＝21，且AD ＝4，则AB ＝ ．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF 的长 ．16．如图，扇形OAB的半径为4，⌒AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．（1）当P是OB中点，且PQ⌒OA时（如图1），弧AQ的长为；（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP＝3，则O到折痕PQ的距离为．三．解答题17．如图，将弧AB⌒沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D，连接BC．（1）求证：BC＝BD；⌒＝120°，求弦AB的长和圆的半径．（2）若AC＝1，CD＝4，弧AB18．如图1和图2，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将BC⌒沿弦BC翻折，交AB于点D．（1）若点D与圆心O重合，直接写出⌒B的度数；（2）设CD交⌒O于点E，若CE平分⌒ACB，⌒求证：⌒BDE是等腰三角形；⌒求⌒BDE的面积；⌒沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的BD⌒的中点，（3）将图1中的BD直接写出⌒B的度数．19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O的距离是．⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．（4）如图2，设BDC20．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB⌒，P是⌒上的一动点，连接PQ．半径OB上一动点，Q是AB（1）当⌒POQ＝度时，PQ有最大值，最大值为．⌒的长；（2）如图2，若P是OB中点，且QP⌒OB于点P，求BQ（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．21．如图，AB为⌒O的直径，点C为⌒O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作⌒MPB＝⌒ADC．（1）判断PM与⌒O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝3，求四边形OCDB的面积．22．如图，AB为⌒O的直径，点C是⌒O上一点，CD是⌒O的切线，⌒CDB＝90°，BD交⌒O于点E．⌒＝CE⌒．（1）求证：AC（2）若AE＝12，BC＝10．⌒求AB的长；⌒如图2，将BC⌒沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为23．已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，求折痕EF的长；（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．24．如图，⌒O的半径为2，弧AB等于120°，E是劣弧AB的中点．（1）如图⌒，试说明：点O、E关于AB对称（即AB垂直平分OE．）；（2）把劣弧AB沿直线AB折叠（如图⌒）⌒O的动弦CD始终与折叠后的弧AB相切，求CD的长度的变化范围．25．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝2时，⌒求BF的长；⌒如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．翻折圆小专题 参考答案与试题解析一．选择题1．如图，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折过圆心O 点，交弦AC 于D ，AD ＝1，CD ＝2，则AB 长为（ ）A ．25 B ．223 C ．5 D ．7【分析】求出⌒CDB 为等边三角形，求出BE 和DE 的长，求出AE ，再根据勾股定理求出AB 即可．【解答】解：过点O 作OF ⌒AB 于F ，过点B 作BE ⌒AC 于E ，连接OA 、OB 、BD 、BC ， ⌒OF ＝21OA ， ⌒⌒AOF ＝⌒BOF ＝60°， ⌒⌒ADB ＝⌒AOB ＝120°，⌒ACB ＝21⌒AOB ＝60°， ⌒⌒CDB ＝⌒ACB ＝60°， ⌒⌒CDB 为等边三角形，⌒CD ＝2，⌒DE ＝1，BE ＝3，⌒AB ＝22BE AE +＝()()22311++＝7， 故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质和判定，圆周角定理和垂径定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．2．已知⌒O 的半径为5，弦AB 的长为8，将AB⌒ 沿直线AB 翻折得到ACB ⌒ ，如图所示，则点O 到ACB⌒ 所在圆的切线长OC 为（ ）A ．11B ．22C ．5D ．3【分析】首先作出ACB⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接，O ′C ，OB ，由垂径定理，可求得OE 的长，即可求得OO ′的长，由切线的性质，利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：作出ACB⌒ 所在圆，圆心为O ′，连接OO ′交AB 于点E ，连接O ′C ，OB ， ⌒OC 是⌒O ′的切线， ⌒O ′C ⌒OC ，⌒BE ＝21AB ＝21×8＝4， ⌒OE ＝22BE OB -＝3，⌒OO ′＝2OE ＝6，⌒OC ＝22C O O O '+'＝115622=-．故选：A ．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．3．如图，在⌒O 中，将AB ⌒ 沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⌒O 于点C ，AC 切ADB⌒ 所在的圆于点A ，则tan⌒C 的值是（ ）A ．3B ．34C ．2+3D ．1+2【分析】作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．首先证明CH 是⌒O 的直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形，再证明⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5即可解决问题；【解答】解：作点D 关于AB 的对称点H ，连接AH ，BH ，CH ．⌒所在圆的圆心在直线AH上，根据对称性可知，ADB⌒所在的圆于点A，⌒AC切ADB⌒AC⌒AH，⌒⌒CAH＝90°，⌒CH是⌒O的直径，⌒⌒CBH＝90°，⌒⌒ABD＝⌒ABH＝45°，⌒⌒AHC＝⌒ABC＝45°，⌒⌒ACH＝⌒AHC＝45°，⌒AC＝AH，⌒OC＝OH，⌒AD垂直平分线段CH，⌒DC＝DH，⌒⌒DCH＝⌒DHC，⌒BD＝BH，⌒⌒BDH＝⌒BHD＝45°，⌒⌒BDH＝⌒DCH+⌒DHC，⌒⌒DCH ＝22.5°，⌒⌒ACD ＝⌒CHB ＝67.5°，设BD ＝BH ＝a ，则CD ＝DH ＝2a ，⌒tan⌒ACB ＝tan⌒CHB ＝212+=+=aa a BH BC 故选：D ．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、翻折变换、等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CH 是直径，⌒ACH ，⌒BDH 都是等腰直角三角形．4．以半圆中的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB ＝10，则CB 的长为（ ）A ．54B ．34C ．24D ．4【分析】作AB 关于直线CB 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，若32=DB AD ，且AB ＝10， ⌒AD ＝4，BD ＝6，作AB 关于直线BC 的对称线段A ′B ，交半圆于D ′，连接AC 、CA ′，可得A 、C 、A ′三点共线，⌒线段A ′B 与线段AB 关于直线BC 对称，⌒AB ＝A ′B ，⌒AC ＝A ′C ，AD ＝A ′D ′＝4，A ′B ＝AB ＝10．而A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，即A ′C •2A ′C ＝4×10＝40．则A ′C 2＝20，又⌒A ′C 2＝A ′B 2﹣CB 2，⌒20＝100﹣CB 2，⌒CB ＝45．故选：A ．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．5．如图，在⌒O 中，点C 在优弧AB⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⌒O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．32B ．23C ．235D ．265 【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⌒AB ，则AD ＝BD ＝21AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC⌒ ＝CD ⌒ ，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，⌒AD ＝BD ＝21AB ＝2， 在Rt⌒OBD 中，OD ＝()2225-＝1，⌒将弧BC⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OCF 中，CF ＝()2225-＝2，⌒CE ＝CF +EF ＝2+1＝3，而BE ＝BD +DE ＝2+1＝3，⌒BC ＝32．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．二．填空题2．⌒ACB＝120°，以AB为直径在⌒ABC另一侧作6．如图，等腰⌒ABC中，AC＝BC＝3半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⌒O于点E，设⌒O′与BC 相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′⌒BE，即⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M，在Rt⌒O′AM中，O′A＝3，⌒O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，⌒AC＝BC＝23．⌒ACB＝120°，⌒AB＝6，⌒O′A＝OA＝3，延长BC交⌒O于点E，⌒AB是⌒O的直径，⌒⌒E＝90°，设⌒O′与BC相切于点G，则⌒O′GB＝90°，⌒⌒E＝⌒O′GB，⌒AE⌒O′G，⌒⌒ABC＝30°，AB＝6，⌒AE＝O′G＝3，⌒四边形O′AEG为平行四边形，⌒AO′⌒BE，⌒⌒O′AB＝⌒ABC＝30°，作O′M⌒AF于M⌒O′A＝3，⌒O′AB＝30°，⌒AM＝MF＝233，⌒AF＝2AM＝33．故答案为：33．【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．7．如图，AB 是⌒O 的弦，点C 在AB⌒ 上，点D 是AB 的中点．将AC ⌒ 沿AC 折叠后恰好经过点D ，若⌒O 的半径为52，AB ＝8．则AC【分析】如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．首先证明⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，推出⌒BOC ＝90°，推出BC ＝210，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ，在Rt⌒BCH 中，根据CH 2+BH 2＝BC 2，构建方程求出x 即可解决问题；【解答】解：如图，延长BO 交⌒O 于E ，连接AE ，OA ，OD ，OC ，BC ，作CH ⌒AB 于H ．⌒AD ＝DB ，⌒OD ⌒AB ， ⌒⌒ADO ＝90°，⌒OA ＝25，AD ＝DB ＝4，⌒OD ＝22AD OA ＝2，⌒BE 是直径，⌒⌒BAE ＝90°，⌒AD ＝DB ，EO ＝OB ， ⌒OD ⌒AE ，AE ＝2OD ＝4，⌒AE ＝AD ，⌒AD⌒ ＝AE ⌒ ， ⌒EC⌒ ＝CD ⌒ ， ⌒⌒CAE ＝⌒CAH ＝45°，⌒⌒BOC ＝2⌒CAB ＝90°，⌒BC ＝2OC ＝210，⌒CH ⌒AB ，⌒⌒CAH ＝⌒ACH ＝45°，⌒AH ＝CH ，设AH ＝CH ＝x ，则BH ＝8﹣x ， 在Rt⌒BCH 中，⌒CH 2+BH 2＝BC 2， ⌒x 2+（8﹣x ）2＝（210）2，⌒x ＝6或2（舍弃），在Rt⌒ACH 中，⌒AC ＝22CH AH ， ⌒AC ＝62．故答案为62．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性比较强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．属于中考填空题中的压轴题．8．一张半径为R 的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O 为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2【分析】如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心，连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，先利用ED ：DF ＝3：2计算出DF ＝52•2R ＝54R ，则OD ＝51R ，再在Rt⌒O ′OD 中利用勾股定理计算出O ′＝526R ，则OC ＝21O ′O ＝1026R ，然后在Rt⌒AOC 中根据勾股定理可计算出AC ＝1074R ，再利用垂径定理可得AB ＝2AC ＝574R ． 【解答】解：如图，作O 点关于AB 的对称点O ′，则点O ′为弧ADB 所在圆的圆心， 连结O ′D ，则O ′D ⌒EF ，O ′D ＝R ，⌒ED ：DF ＝3：2， ⌒DF ＝52•2R ＝54R ， ⌒OD ＝51R ， 在Rt⌒O ′OD 中，OO ′＝2251R R +⎪⎭⎫ ⎝⎛＝526R ，⌒OC ＝21O ′O ＝1026R ， 在Rt⌒AOC ，AC ＝22526⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ＝1074R ， ⌒OC ⌒AB ，⌒AC ＝BC ，⌒AB ＝2AC ＝574R ． 即折痕长为574R ． 故答案为574R ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．9．如图，将⌒O 的劣弧AB⌒ 沿AB 翻折，D 为优弧ADB ⌒ 上一点，连接AD ，交AB ⌒ 于点C ，连接BC 、BD ；若BC ＝5，则BD ＝ 5 ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到⌒ADB ＝⌒BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，⌒ADB 所对的弧是劣弧AB⌒ ， ⌒CAB 所对的弧是劣弧BC⌒ ，⌒CBA 所对的弧是劣弧AC ⌒ ， ⌒⌒ADB ＝⌒CAB +⌒CBA ，由三角形的外角的性质可知，⌒BCD ＝⌒CAB +⌒CBA ，⌒⌒ADB ＝⌒BCD ，⌒BD ＝BC ＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10．如图，将BC⌒ 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝8，则BC 的长是【分析】根据折叠的性质可得BC⌒ ＝BDC ⌒ ，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等可得⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，从而得到⌒BAC ＝⌒ADC ，根据等角对等边可得AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE ＝DE ＝21AD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：⌒弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，⌒BC⌒ ＝BDC ⌒ ， ⌒⌒BAC ＝⌒BCD +⌒CBD ，在⌒BCD 中，⌒ADC ＝⌒BCD +⌒CBD ，⌒⌒BAC ＝⌒ADC ，⌒AC ＝CD ，过点C 作CE ⌒AD 于E ，则AE ＝DE ＝21AD ＝21×4＝2， ⌒BE ＝BD +DE ＝8+2＝10，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAE ＝180°﹣90°＝90°，⌒⌒CAE ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°，⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BECE CE AE ，⌒CE ＝52102=⨯=•BE AE在Rt⌒BCE 中，BC ＝()30210522222=+=+BE CE 故答案为：2302．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于求出AC ＝CD ．11．已知：如图，在半径为8的⌒O 中，AB 为直径，以弦AC （非直径）为对称轴将AC⌒ 折叠后与AB 相交于点D ，如果AD ＝3DB ，那么AC【分析】根据翻折变换的性质和圆周角定理可得⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，根据三角形的外角的性质可得⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，从而得到⌒ABC ＝⌒BDC ，根据等角对等边可得BC ＝CD ，过点C 作CE ⌒BD 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE ＝DE ＝21BD ，然后利用⌒ACE 和⌒CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CE ，在Rt⌒BCE 中，利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接CD 、CB ，作CE ⌒AB 于E ，⌒弧AC 沿弦AC 折叠交直径AB 于点D ，⌒⌒ABC ＝⌒ACD +⌒CAD ，在⌒BCD 中，⌒BDC ＝⌒ACD +⌒CAD ，⌒⌒ABC ＝⌒BDC ，⌒BC ＝CD ，又CE ⌒AB ，⌒BE ＝DE ＝21BD ， ⌒AD ＝3DB ，AD +BD ＝16，⌒BD ＝4，AD ＝12，⌒AE ＝AD +DE ＝12+2＝14，⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒CAD ＝⌒ACB ＝90°，⌒⌒ACE +⌒BCE ＝90°，⌒⌒CAD ＝⌒BCE ，又⌒⌒AEC ＝⌒BEC ＝90°，⌒⌒ACE ⌒⌒CBE ， ⌒BECE CE AE = ⌒CE ＝27，⌒AC ＝14422=+CE AE 故答案为：144．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．12．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆沿弦BC 折叠，折叠后的圆弧与AB 交于点D ，再将弧BD 沿AB 对折后交弦BC 于E ，若E 恰好是BC 的中点，则BC ：AB ．【分析】过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交AB⌒ 于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，由圆周角定理得出AC ⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ，得出AC ＝CD ＝DE ，证出CM ＝EM ，延长CM ＝41BC ，证出DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ，设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，得出AD ＝2AF ，由三角函数得出AD ＝2AB •sin 2α，因此41AB ＝2AB •sin 2α，求出sinα＝42，由勾股定理和三角函数得出cosα＝AB BC ＝414，即可得出结果． 【解答】解：过D 点作BC 的垂线，垂足为M ，延长DM 交于D ′，连接CD 、DE 、BD ′，过点C 作CF ⌒AB 于点F ，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：AC⌒ =CD'⌒ =CD ⌒ =DE ⌒ ， ⌒AC ＝CD ＝DE ，⌒CM ＝EM ，⌒E 是BC 的中点，⌒CM ＝41BC ， ⌒AB 是半圆O 的直径，⌒AC ⌒BC ，⌒DM ⌒BC ，⌒DM ⌒AC ，⌒AD ＝41AB ， 设⌒ABC ＝α，则⌒ACF ＝α，⌒AC ＝CD ，⌒AD ＝2AF ，⌒AF ＝AC •sinα，AC ＝AB •sinα，⌒AD ＝2AB •sin 2α， ⌒41AB ＝2AB •sin 2α， ⌒sinα＝42，即AB AC ＝42， ⌒AB ＝22AC ，BC ＝22AC AB ＝7AC ，⌒cosα＝AB BC ＝414， ⌒BC ：AB ＝414；故答案为：414．【点评】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，求出cosα是解决问题的关键．13．如图，已知⌒O 中，点C 在优弧AB 上，将弧BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若BC ＝23，AB ＝4，则⌒O【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，首先证明AC ＝CD ，推出AE ＝DE ＝1，再证明四边形OFED 是正方形即可解决问题．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⌒AB 于E ，OF ⌒CE 于F ，如图， ⌒D 为AB 的中点，⌒OD ⌒AB ，⌒AD ＝BD ＝21AB ＝2， 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．⌒弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，⌒AC⌒ =CD ⌒ ， ⌒AC ＝DC ，⌒AE ＝DE ＝1，⌒BE ＝3，EC ＝22BE BC -＝3，⌒EC ＝EB ，⌒⌒ECB ＝⌒EBC ＝45°，⌒OC ＝OB ，⌒⌒OCB ＝⌒OBC ，⌒⌒OCE ＝⌒OBD ，⌒⌒OFC ＝⌒ODB ＝90°，OC ＝OB ，⌒⌒OCF ⌒⌒OBD （AAS ），⌒OF ＝OD ，可得四边形ODEF 为正方形，⌒OF ＝EF ＝1，在Rt⌒OBD 中，OB ＝22BD OD +=5【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．14．以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若tan B＝21，且AD ＝4，则AB ＝ 10 ．【分析】作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ，由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，列出方程解决．【解答】解：作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，交⌒O 于D ′，连接AC 、CA ′． ⌒AB 是直径，⌒⌒ACB ＝⌒BCA ′＝90°，⌒A 、C 、A ′共线，根据对称性可知：AD ＝A ′D ＝4，⌒tan⌒ABC ＝21=BC AC ，设AC ＝a ，BC ＝2a ，则AB ＝5a ，由A ′C •A ′A ＝A ′D ′•A ′B ，⌒a •2a ＝45a ，⌒a ＝25．AB ＝525•＝10．故答案为10．【点评】本题考查翻折变换、相交弦定理，解题的关键是作线段AB 关于直线BC 的对称线段BA ′，转化为相交弦定理解决问题．15．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB 相切于点D ，且AD ：DB ＝3：1，则折痕EF【分析】设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ，根据相交圆的性质就可以得出O ′O 与EF 互相垂直平分，由勾股定理就可以求出OO ′和EM 的值，从而得出结论．【解答】解：设折叠后的圆弧所对圆心为O ′，连接O ′O 、O ′D 、OE ，O ′O 与EF 交于点M ， ⌒O ′O 与EF 互相垂直平分．⌒OM ＝21OO ′，EF ＝2EM ． ⌒AB ＝4，⌒OA ＝OB ＝OE ＝2．⌒AD ：DB ＝3：1，⌒DB ＝41AB ＝1， ⌒OD ＝1⌒O ′O ＝522='+D O OD ⌒OM ＝25 ⌒EM ＝21122=-OM OE ⌒EF ＝2EM ＝11，即折痕EF 的长为11． 故答案为：11．【点评】本题考查了翻折的性质的运用，相交圆的性质的运用，勾股定理的运用，垂直平分线的性质的运用，解答时求出根据相交圆的性质求解是关键．16．如图，扇形OAB 的半径为4，⌒AOB ＝90°，P 是半径OB 上一动点，Q 是弧AB 上的一动点．（1）当P 是OB 中点，且PQ ⌒OA 时（如图1），弧AQ 的长为 π3； （2）将扇形OAB 沿PQ 对折，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点（如图2）．若OP ＝3，则O 到折痕PQ ．【分析】（1）要想求弧长，就得求AQ⌒ 所对的圆心角的度数，所以要连接OQ ，构成圆心角，利用直角三角形直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°求出⌒1＝30°，再利用平行线截得内错角相等得出⌒2的度数，代入弧长公式计算即可．（2）先找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，证明四边形OCO ′B 是矩形，由勾股定理求O ′B ，从而求出OO ′的长，则OM ＝21OO ′＝6． 【解答】解：（1）如图1，连接OQ ，⌒扇形OAB 的半径为4且P 是OB 中点，⌒OP ＝2，OQ ＝4，⌒PQ ⌒OA ，⌒⌒BPQ ＝⌒AOB ＝90°，⌒⌒1＝30°，⌒⌒2＝⌒1＝30°，由弧AQ 的长＝180430⨯⨯π＝π32， 故答案为：π32； （2）如图2，找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，ON ，则OM ＝O ′M ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝3，点O ′是B'Q⌒ 所在圆的圆心， ⌒O ′C ＝OB ＝4，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点，⌒O ′C ⌒AO ，⌒O ′C ⌒OB ，⌒⌒POO '＝⌒CO 'M ＝⌒PO 'M ，⌒⌒PMO '＝⌒QMO '＝90°，⌒⌒O 'PM ＝⌒MNO '，⌒O 'P ＝O 'N ＝OP ＝3，⌒四边形OPO 'N 是平行四边形，⌒O 'P ＝ON ，⌒O 与O '对称，⌒ON ＝O 'N ＝3，⌒BP ＝CN ＝4﹣3＝1，⌒PN ⌒OO '，⌒⌒MNO '＝⌒MNO ，⌒⌒BPO '＝⌒CNO ，⌒⌒O 'BP ⌒⌒OCN （SAS ），⌒⌒O 'BP ＝⌒OCN ＝90°，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝2213-＝22，在Rt⌒OBO ′中，OO ′＝()22224-＝26， ⌒OM ＝21OO ′＝21×26＝6， 即O 到折痕PQ 的距离为6，故答案为：6．【点评】本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l ＝180n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．三．解答题17．如图，将弧AB⌒ 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC ＝BD ；（2）若AC ＝1，CD ＝4，弧AB⌒ ＝120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接AC ′，BC ′．由翻折不变性可知：BC ＝BC ′，⌒CAB ＝⌒BAC ′，⌒BD⌒ ＝BC'⌒ ， ⌒BD ＝BC ′，⌒BC ＝BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM ⌒AB 于M ，AH ⌒BC 交BC 的延长线于H ．⌒弧AB⌒ ＝120°， ⌒⌒D ＝21×120°＝60°， ⌒⌒AOB ＝⌒ACB ＝2⌒D ＝120°，⌒BC ＝BD ，⌒⌒BCD 是等边三角形，⌒BC ＝DC ＝4，在Rt⌒ACH 中，⌒⌒H ＝90°，⌒ACH ＝60°，AC ＝1，⌒CH ＝21，AH ＝23， ⌒AB ＝2129232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+BH AH⌒OM ⌒AB ，⌒AM ＝BM ＝221， 在Rt⌒AOM 中，⌒⌒OAM ＝30°，⌒AMO ＝90°，⌒OA ＝30cos AM ＝7 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．如图1和图2，AB 是⌒O 的直径，AB ＝10，C 是⌒O 上的一点，将BC⌒ 沿弦BC 翻折，交AB 于点D ．（1）若点D 与圆心O 重合，直接写出⌒B 的度数；（2）设CD 交⌒O 于点E ，若CE 平分⌒ACB ，⌒求证：⌒BDE 是等腰三角形；⌒求⌒BDE 的面积；（3）将图1中的BD⌒ 沿直径AB 翻折，得到图2，若点F 恰好是翻折后的BD ⌒ 的中点，直接写出⌒B 的度数．【分析】（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，然后证明AC⌒ ＝CD⌒ ＝BD ⌒ ，则可得到AC ⌒ 的弧度，从而可求得⌒B 的度数； （2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由等弧所对的圆周角相等可得到⌒CEB ＝⌒E ′，依据圆内接四边形的性质可得到E ′＝⌒BDE ，故此可证明⌒CEB ＝⌒BDE ；⌒连接OE ．先证明⌒BOE 为直角，依据勾股定理可求得BE 的长，从而得到BD 的长，最后依据⌒DBE 的面积＝21BD •OE 求解即可； （3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⌒B 的度数．【解答】解：（1）如图所示：将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆．⌒AC⌒ 与CD ⌒ 所对的角均为⌒CBA ，⌒O 与⌒O ′为等圆， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒CD ＝BC ，⌒CD⌒ ＝BD ⌒ ． 又⌒CDB⌒ ＝CO'B ⌒ ， ⌒AC ⌒ ＝31ACB ⌒ ， ⌒⌒ADC ＝31×180°＝60°．⌒⌒B ＝30°．（2）⌒将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，则⌒O 与⌒O ′为等圆，在⌒O ′上取点E ′，连接CE ′，BE ′．由翻折的性质可知：CFB⌒ ＝CDB ⌒ ， ⌒⌒CEB ＝⌒E ′．⌒四边形CDBE ′是圆内接四边形，⌒⌒E ′＝⌒BDE ．⌒⌒CEB ＝⌒BDE ．⌒BE ＝BD ．⌒⌒BDE 为等腰三角形．⌒如图2所示：连接OE ．⌒AB 是⌒O 的直径，⌒⌒ACB ＝90°．⌒CE 是⌒ACB 的角平分线，⌒⌒BCE ＝45°．⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝2522=+OB OE ．⌒BD ＝52．⌒⌒DBE 的面积＝21BD •OE ＝21×52×5＝2225．（3）将⌒O 沿BC 翻折得到⌒O ′，将⌒O ′沿BD 翻折得到⌒O ″，则⌒O 、⌒O ′、⌒O ″为等圆．⌒⌒O 与⌒O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⌒ABC ， ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ． 同理：DF⌒ ＝CD ⌒ ． 又⌒F 是劣弧BD 的中点， ⌒DF⌒ ＝BF ⌒ ． ⌒AC⌒ ＝CD ⌒ ＝DF ⌒ ＝FB ⌒ ． ⌒弧AC 的度数＝180°÷4＝45°． ⌒⌒B ＝21×45°＝22.5°． 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．19．如图1，AB是⌒O的直径，AB＝10，C是⌒O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB 于点D，连接CD并延长，交⌒O于点E，连接BE．（1）当AD＝2时，BE的长是8．（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设⌒ABC＝a，则a的取值范围是0＜a≤30°．（3）当⌒ABC＝15°时，点D和点O（4）如图2，设BCD⌒所在圆的圆心是O′，当BE与⌒O′相切时，求BE的长．【分析】（1）由折叠的性质以及圆周角定理的推理可知AC⌒＝CD⌒，从而可知AC＝DC，根据等腰三角形的性质可知：⌒CAD＝⌒CDA，然后再证明⌒BDE＝⌒BED，可推出BE＝BD，最后根据BE＝AB﹣AD求解即可；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°；当点D与点O重合时，可证得⌒AOC为等边三角形，从而可知⌒ABC＝30°，进而可确定出a的取值范围；（3）如图2所示：过点C作CF⌒AB，垂足为F，连接OC，先征得⌒COF＝30°，在Rt⌒CFO中，根据特殊锐角三角函数值，可求得OF＝235，然后根据等腰三角形三线合一可知AF＝DF，从而可求得AD的长，最后根据DO＝OA﹣AD求解即可．（4）如图3，作⌒O'的直径BF，连接FD、OE．由切线的性质可知⌒FBD+⌒DBE＝90°，根据直径所对的圆周角等于90度可知：⌒FDB＝90°，从而可证得⌒DBE＝⌒DFB，根据同弧所对的圆周角相等可知：⌒DFB＝⌒DCB，⌒DBE＝⌒ACE，从而可得到⌒DBE＝⌒DFB＝⌒DCB＝⌒ACE＝45°，进而可证明⌒OBE为等腰直角三角形，然后可求得BE的长．【解答】解：（1）⌒⌒ABC＝⌒DBC，⌒AC⌒＝CD⌒．⌒AC＝DC．⌒⌒CAD＝⌒CDA⌒⌒CAD＝⌒DEB，⌒CDA＝⌒BDE，⌒⌒BDE＝⌒BED．⌒BE＝BD．⌒BE＝AB﹣AD＝10﹣2＝8；（2）当点D与点A重合时，点C与点A重合，此时，⌒ABC＝a＝0°，如图1，当点D与点O重合时．则DC＝DA．由（1）可知：AC＝DC，又⌒DC＝AD，⌒AC＝DC＝AD．⌒⌒ADC＝60°．⌒⌒ABC＝30°．⌒0°＜α≤30°（3）如图2所示：过点C 作CF ⌒AB ，垂足为F ，连接OC ．⌒⌒ABC ＝15°， ⌒⌒COF ＝30°．在Rt⌒CFO 中，cos⌒COF ＝23OC OF ⌒OF ＝235． ⌒AC ＝DC ，CF ⌒AD ， ⌒AF ＝DF ．⌒AD ＝2AF ＝2（OA ﹣OF ）＝2（5﹣235）＝10﹣53． ⌒OD ＝OA ﹣AD ＝5﹣（10﹣53）＝53﹣5； （4）如图3，作⌒O '的直径BF ，连接FD 、OE ．⌒BE 与⌒O '相切， ⌒BE ⌒BF ．⌒⌒FBD +DBE ＝90°． ⌒BF 是⌒O '的直径， ⌒⌒FDB ＝90°． ⌒⌒FBD +⌒DFB ＝90°． ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ．⌒⌒DFB ＝⌒DCB ，⌒DBE ＝⌒ACE ， ⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ． ⌒⌒ACB ＝90°，⌒⌒DBE ＝⌒DFB ＝⌒DCB ＝⌒ACE ＝45°． ⌒OB ＝OE ，⌒ABE ＝45°， ⌒⌒OEB ＝45°． ⌒⌒BOE ＝90°．在Rt⌒OBE 中，BE ＝22OB OE ＝52．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理以及圆周角定理的推理、等腰三角形的性质和判断、特殊锐角三角函数，以及等边三角形的性质和判定，证得⌒ACD 为等腰三角形和⌒OBE 为等腰直角三角形是解答本题的关键． 20．如图1，将长为10的线段OA 绕点O 旋转90°得到OB ，点A 的运动轨迹为AB ⌒ ，P 是半径OB 上一动点，Q 是AB⌒ 上的一动点，连接PQ ．（1）当⌒POQ ＝ 90 度时，PQ（2）如图2，若P 是OB 中点，且QP ⌒OB 于点P ，求BQ⌒ 的长； （3）如图3，将扇形AOB 沿折痕AP 折叠，使点B 的对应点B ′恰好落在AO 的延长线上，求阴影部分面积．（4）如图4，将扇形OAB 沿PQ 折叠，使折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切，切点为C ，若OP ＝6，求点O 到折痕PQ 的距离．【分析】（1）先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；（2）先判断出⌒POQ ＝60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（3）先在Rt⌒B 'OP 中，OP 2+（102﹣10）2＝（10﹣OP ）2，解得OP ＝102﹣10，最后用面积的和差即可得出结论．（4）先找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，证明四边形OCO ′B 是矩形，由勾股定理求O ′B ，从而求出OO ′的长，进而得出OP ． 【解答】解：（1）⌒P 是半径OB 上一动点，Q 是AB ⌒ 上的一动点， ⌒当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，此时，⌒POQ ＝90°，PQ ＝22OB OA =102，故答案为：90，102；（2）如图2，连接OQ ， ⌒点P 是OB 的中点， ⌒OP ＝21OB ＝21OQ ． ⌒QP ⌒OB ， ⌒⌒OPQ ＝90°在Rt⌒OPQ 中，cos⌒QOP ＝21=OQ OP ， ⌒⌒QOP ＝60°，⌒l BQ ⌒ =ππ3101801060=⨯ ；（3）由折叠的性质可得，BP ＝B 'P ，AB '＝AB ＝102，在Rt⌒B 'OP 中，OP 2+（102﹣10）2＝（10﹣OP ）2解得OP ＝102， S 阴影＝S 扇形AOB ﹣2S ⌒AOP ＝()100210025102101021210360902+-=-⨯⨯-⨯ππ． （4）找点O 关于PQ 的对称点O ′，连接OO ′、O ′B 、O ′C 、O ′P ，如图4， 则OP ＝O ′P ，OO ′⌒PQ ，O ′P ＝OP ＝6，点O ′是B'Q⌒ 所在圆的圆心，⌒O ′C ＝OB ＝10，⌒折叠后的弧QB ′恰好与半径OA 相切于C 点， ⌒O ′C ⌒AO ， ⌒O ′C ⌒OB ，⌒四边形OCO ′B 是矩形，在Rt⌒O ′BP 中，O ′B ＝524622=-，在Rt⌒OBO ′，OO ′＝()302521022=+，⌒OP ＝21OO ′＝21×230＝30， 即O 到折痕PQ 的距离为30，【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，弧长公式，扇形的面积公式，熟记公式是解本题的关键．21．如图，AB 为⌒O 的直径，点C 为⌒O 上一点，将弧BC 沿直线BC 翻折，使弧BC 的中点D 恰好与圆心O 重合，连接OC ，CD ，BD ，过点C 的切线与线段BA 的延长线交于点P ，连接AD ，在PB 的另一侧作⌒MPB ＝⌒ADC ． （1）判断PM 与⌒O 的位置关系，并说明理由；（2）若PC ＝3，求四边形OCDB 的面积．。
2021年中考数学高频考点：《圆的综合》解答题专题练习(一)含答案
2021年中考数学复习高频考点精准练：《圆的综合》解答题专题练习（一）1．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．（1）求证：∠OEF＝∠ABC；（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求CD+BD 的最小值．2．在⊙O中，AB为直径，点P在BA的延长线上，PC为⊙O的切线，过点A作AH⊥PC于点H，交⊙O于点D，连接BC、BD、AC．（1）如图1，求证：∠CAH＝∠CAB；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：BD＝2CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在BC上，连接DF、EF，若BG＝2AE，∠CFE＝45°，OG＝1，求线段EF的长．3．如图，在⊙O中，弦BC⊥半径OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，点P为BC延长线上一点，PF＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若AD＝2，BC＝8，DF＝1，求PE的长．4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝6，求阴影部分的面积．5．在等边三角形ABC中，经过点B有一个圆与AC，AB，BC分别交于点D，E，F，连接BD，DE，DF．（1）如图（1），若BD是圆的直径，AE＝CF时，求证：DE＝DF；（2）如图（2），若＝，AD＝4时，求AB的长．6．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC 的延长线于点E，AC平分∠BAE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝6，求⊙O的直径．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为弦BC的中点，射线OD与圆周及切线BE 分别交于点M和点E，连接CE．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝4，填空：①连接CM，CO，当∠ABC＝°时，四边形ACMO是菱形；②当ME＝时，四边形OCEB是正方形．8．如图，AB是⊙O的弦，连接OA，过点O作OC⊥OA，OC交AB于点P，延长OP到C，连接BC，且CP＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠BAO＝25°，OA＝18，点Q是上的一点，求的长（结果用π表示）．9．（1）如图1，求证：∠AOD＝2∠ACD；（2）如图2，AC⊥BD，M是AB中点，求证：①EM⊥CD；②CD＝2OM．10．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝6，求DC的长．11．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．12．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于D，⊙O的弦BC∥l，连接AD、AC，过D 作DE⊥AB于E点．（1）求证：BC＝2DE；（2）过D作DG∥AB交AC于点G，GF⊥AB于点F．且BC＝BF，求tan∠DAB的值．13．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过A作⊙O的切线，过C作DA的平行线，两直线交于F，FC的延长线交AB的延长线于点G．（1）填空：∠D＝°；（2）求证：FG与⊙O相切；（3）连接EF，求tan∠EFC的值．14．如图．⊙O过长方形ABCD的顶点D和BC上一点E．且与BA相切于点F，⊙O分别交AD，CD于G，H两点，BF＝BE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接FE，ED．若AG＝1，BF＝5，CH＝2．求tan∠FED的值．15．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、E，AF⊥DE于点F．（1）求证：∠EDC＝2∠CAF；（2）若直线AF是⊙O的切线，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若＝，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，连接AF，OF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠EAF＝∠FAB，∵∠EOF＝2∠EAF，∠FOB＝2∠FAB，∴∠EOF＝∠FOB，∵OE＝OF＝OB，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OFB＝∠ABC，∴∠OEF＝∠ABC．（2）解：如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．∵四边形ABFE是圆内接四边形，∵∠CFE+∠EFB＝180°，∴∠CFE＝∠CAB，在Rt△AEB中，tan∠CAB＝，tan∠CFE＝2，∴＝2，设AE＝k，则BE＝2k，∵AE2+BE2＝AB2，∴k2+（2k）2＝52，解得k＝或﹣（舍弃），∴AE＝，BE＝2，∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，BE⊥AC，又∵S＝•AB•CM＝•AC•BE，△ABC∴CM＝BE＝2，∵∠DHB＝∠AEB＝90°，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∵CD+DH≥CM＝2，∴CD+BD＝（CD+DH）≥×＝10，∴CD+BD的最小值为10．2．（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∵AH⊥PC，∴OC∥AH，∴∠CAH＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAH＝∠CAB；（2）证明：连接OC，延长CO交BD于点M，∵∠CAH＝∠CAB，CH⊥AH，CE⊥AB，∴CE＝CH，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DHC＝∠HCM＝∠ADB＝90°，∴四边形HDMC为矩形，∴HC＝DM，∠CMD＝90°，CM⊥BD，∴BD＝2DM＝2CH＝2CE；（3）解：连接CD，过点E作ES⊥BC于点S，ET⊥DF于点T，在Rt△CAH和Rt△CAE中，AC＝AC，CH＝CE，∴Rt△CAH≌Rt△CAE（HL），∴AH＝AE，∵＝，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠CAH＝∠CEB＝90°，CH＝CE，∴△CHD≌△CEB（AAS），∴DH＝BE，∵BG＝2AE，设AE＝a，则AH＝AE＝a，∵OG＝1，∴OA＝OB＝2a+1，∴EO＝OA﹣AE＝a+1，EG＝EO+OG＝a+2，AG＝OA+OG＝2a+2，∴DH＝BE＝EG+BG＝3a+2，∴AD＝DH﹣AH＝2a+2，∴AD＝AG，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠HAE＝∠ADG+∠AGD，∠HAE＝∠HAC+∠EAC，由（1）知∠HAC＝∠EAC，∴∠HAC＝∠EAC＝∠ADG＝∠AGD，∴AC∥DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DFC＝∠DFB＝∠ACB＝90°，∵∠CFE＝45°，∴∠EFC＝∠EFD＝45°，∵ES⊥BC，ET⊥DF，∴ES＝ET，∠ESC＝∠ETG＝90°，∵∠CEG+∠CFG＝180°，∴∠ECF+∠FGE＝180°，∵∠EGT+∠EGF＝180°，∴∠EGT＝∠ECF．∴△ECS≌△EGT（AAS），∴CE＝EG＝a+2，在Rt△ADB中，AB＝2OA＝4a+2，BD＝2CE＝2a+4，AD＝2a+2，∵AD2+BD2＝AB2，∴（2a+2）2+（2a+4）2＝（4a+2）2，解得a＝2（a＝﹣1舍去），∴CE＝a+2＝4，BE＝3a+2＝8，∴tan∠EBC＝＝，∵BE＝8，设ES＝m，BS＝2m，∴m2+（2m）2＝82，解得m＝（负值舍去），∴ES＝，∵∠CFE＝45°，∴EF＝ES＝．3．（1）证明：如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵OA⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠A+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠PFE，∴∠A+∠PFE＝90°，∵PF＝PE，∴∠PFE＝∠PEF，∴∠A+∠PEF＝∠OEA+∠PEF＝90°，∴∠OEP＝90°，∴OE⊥PE，OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：连接OC，OP，设OC＝x，则OD＝OA﹣AD＝x﹣2，∵OA⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，在Rt△ODC中，根据勾股定理，得OC2＝OD2+CD2，∴x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5，∴OC＝5，OD＝3，∵PE＝PF，∴PD＝PF+DF＝PE+1，在Rt△OPD和Rt△OPE中，根据勾股定理，得OP2＝OD2+PD2＝OE2+PE2，∴9+（PE+1）2＝25+PE2，解得PE＝．4．（1）证明：连接OD交BC于H，连接OB、OC，如图，∵点E是△ABC的内心∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴∠BOD＝∠COD，∴＝，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；（2）解：∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝BC＝3，在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，∴∠BDH＝45°，∵OB＝OD，∴△OBD为等腰直角三角形，∴∠BOD＝90°，∵BD＝6，∴OB＝OD＝3，∵∠DOC＝∠BOD＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形DOC ﹣S△DOC＝﹣3×3＝π﹣9．5．（1）证明：如图1中，∵BD是直径，∴∠BED＝∠BFD＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵AE＝CF，∴BE＝BF，∵BD＝BD，∴Rt△BDE≌Rt△BDF（HL），∴DE＝DF．（2）解：如图2中，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．∵∠AED+∠BED＝180°，∠BED+∠BFD＝180°，∴∠AED＝∠DFB，∵∠DME＝∠DNF＝90°，∴△DME∽△DNF，∴＝＝，在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，∠A＝60°，AD＝4，∴DM＝AD•sin60°＝2，∴DN＝5，在Rt△DCN中，∠DNC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝＝10，∴AB＝AC＝AD+DC＝4+10＝14．6．（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠EAB，∴∠OAC＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∵AE⊥DC，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，由（1）知OC⊥CD，∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，∴∠OCB＝2∠BCD，而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，设OC＝x，则OD＝2x，由勾股定理得4x2﹣x2＝62，解得，所以．7．（1）证明：连接OC，∵BE为⊙O的切线，∴∠ABE＝90°，∵点O为BC的中点，∴依据垂径定理得OE垂直平分BC，∴EC＝EB，在△OEC和△OEB中，∵EC＝EB，EO＝EO，CO＝BO，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠ECO＝∠EBO＝90°，∵OC为半径，∴直线CE是⊙O的切线；（2）解：①30°；②，理由如下：①∵四边形ACMO为菱形，∴AC＝AO，∵OC＝OA，∴△CAO为等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°；②∵四边形OCEB为正方形，AB＝4，∴OC＝CE＝2，∴，∵CM＝2，∴ME＝2﹣2，故答案为①30°；②．8．（1）证明：连接OB，∵OA，OB是⊙O的半径，∴∠OBA＝∠OAB，∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB．∵∠CPB与∠APO是对顶角，∴∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠APO，∵OC⊥OA，交AB于点P，∴∠APO+∠PAO＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝90°．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）解：∵∠BAO＝25°，∴∠AOB＝130°．∴所对的圆心角为230°，∵OA＝18，∴．9．（1）证明：如图1中，连接CO，延长CO到T．∵∠TOD＝∠D+∠DCO，∠AOT＝∠A+∠AOC，∴∠AOD＝∠TOD+∠TOA＝∠D+∠DCO+∠ACO+∠A，∵OD＝OC＝OA，∴∠D＝∠OCD，∠A＝∠ACO，∴∠AOD＝2∠ACD．（2）①证明：如图2﹣1中，延长ME交CD于H．∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵AM＝BM，∴ME＝AM＝BM，∴∠A＝∠D＝∠AEM，∵∠AEM+∠MEB＝90°，∠MEB＝∠DEH，∴∠D+∠DEH＝90°，∴∠DHE＝90°，∴ME⊥CD．②证明：如图2﹣2中，延长BO交⊙O于P，连接PD，PA，AD．∵AM＝MB，OP＝OB，∴AP＝2OM，∵PB是直径，∴∠PDB＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AEB＝∠PDB＝90°，∴PD∥AC，∴∠ADP＝∠DAC，∴＝，∴CD＝AP，∴CD＝2OM．10．（1）证明：连接OC，∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB，∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O切线；（2）证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵∠AOB＝∠ODF+∠OFD＝∠AOC+∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC＝∠CDF；（3）解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝3，在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝3∴，∵∠OCM+∠CMN＝180°，∠OCM＝90°，∴∠OCM＝∠CMN＝∠MNO＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝4，MN＝OC＝5，在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝4，DM＝DN+MN＝9，∴．11．（1）证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°．在Rt△PAC中，∠PAC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，∴AP＝＝．在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，∴AD＝AC•tan∠ACD＝2．∴PD＝AD﹣AP＝．12．（1）证明：连接OD，交BC于M，∵l是⊙O的切线，∴OD⊥l，∵BC∥l，∴BC⊥OD，∵O为AB的中点，∴M为BC中点，∴BC＝2BM，在△OBM和△ODE中，，∴△OBM≌△ODE（ASA），∴DE＝BM，∴BC＝2DE；（2）解：连接BG，在Rt△BGC和Rt△BGF中，，∴Rt△BGC≌Rt△BGF（HL），∴BG平分∠CBF，CG＝GF，设CG＝GF＝DE＝a，则BC＝BF＝2a，∵∠GAF＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB，∴△AFG∽△ACB，∴，∴，∴2AF＝a+AG，又∵AG2＝AF2+GF2，解得AF＝a，AG＝a，由（1）知，AD平分∠BAC，∴AG＝GD＝a，∴AE＝a＝3a，∴tan∠DAB＝＝．13．解（1）∵AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，∴DE＝DC，∵DC＝AD，∴DE＝AD，∴∠DAE＝30°，∴∠D＝60°；故答案为：60°；（2）如答图：连接OD、OC，∵OA＝OD，∠DAE＝30°，∴∠ADO＝30°，∵∠ADC＝60°，AD∥FG，∴∠CDO＝30°，∠DCG＝60°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝30°，∴∠GCO＝∠DCG+∠DCO＝90°，∴OC⊥FG，∴FG与⊙O相切；（3）如答图2：连接EF、OF、OC，过E作EH⊥FG于H，设⊙O半径为R，∵AD∥FG，∠DAE＝30°，FG与⊙O相切，∴∠G＝30°，∠OCG＝90°，∴OG＝2R，CG＝R，∵CD⊥AB，∴∠GEC＝90°，GE＝CG＝R，∵EH⊥FG于H，∴EH＝GE＝R，∵∠DCG＝60°，EH⊥FG于H，∴CH＝＝R，∵CD⊥AB，AF是⊙O的切线，∴∠GEC＝∠GAF＝90°，∴CD∥AF，∴∠AFC＝∠DCG＝60°，∵FG、FA是是⊙O的切线，∴FA＝FC，∠OCF＝∠OAF，又OF＝OF，∴△AOF≌△COF（HL），∴∠OFC＝∠OFA＝30°，∴CF＝R，∴HF＝CF+CH＝R，在Rt△EHF中，tan∠EFC＝＝＝．14．（1）证明：连接OF，OE，EF，如图1所示：∵⊙O与BA相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OFB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵BF＝BE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠BEF＝45°，∴∠OFE＝90°45°＝45°，又∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠OEB＝45°+45°＝90°，∴BC⊥OE，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接OG、FG，连接EO并延长交AD于P，如图2所示：则EP⊥AD，AP＝BE＝BF＝5，∴GP＝AP﹣AG＝4，∵∠OFB＝∠B＝∠OEB＝90°，∴四边形OFBE是矩形，∴OE＝BF＝5，在Rt△GPO中，由勾股定理得：PO＝＝＝3，∴AF＝OP＝3，∵∠FGA＝∠FED，∴，tan∠FED＝tan∠FGA＝＝3．15．证明：（1）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝∠AEF，∵∠AEF+∠CAF＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CAF＝∠CAD，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠BAC+∠BDE＝180°，又∵∠BDE+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠BAC＝2∠CAD＝2∠CAF；（2）△ABC是等边三角形，理由如下：∵直线AF是⊙O的切线，∴∠BAF＝90°，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CAF，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CAF＝30°，∴∠BAC＝60°，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（3）∵＝，∴设AD＝25x，DF＝24x，∴AF＝＝＝7x，∵∠BAD＝∠CAF，∠AFE＝∠ADB＝90°，∴△ADB∽△AFE，∴，∴，∴BD＝x，∴BC＝x，∵AB＝＝＝x，∴．。
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专题50 圆中的翻折综合问题1、如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（）A．42 B．82 C．6 D．62【分析】延长CO交AB于E点，连接OB，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出AB的长【解答】解：延长CO交AB于E点，连接OB，∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，∵OC=6，CD=2OD，∴CD=4，OD=2，OB=6，∴DE=12（2OC-CD）=12（6×2-4）=12×8=4，∴OE=DE-OD=4-2=2，在Rt △OEB中，∵OE 2+BE 2=OB 2， ∴BE=22OE OB −=2246−42 ∴AB=2BE=82．故选：B ．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．2、已知如图：⊙O 的半径为8cm ，把弧AmB 沿AB 折叠使弧AmB 经过圆心O ，再把弧AOB 沿CD 折叠，使弧COD 经过AB 的中点E ，则折线CD 的长为（ ）A ．8cmB ．38cmC ．72cmD ．47cm【分析】连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，根据翻折的性质得出OF′=6，再由勾股定理得出．【解答】解：连接OE 并延长交CD 于点F ，交C′D′于点F′，交弧AmB 于点G ，∵OC′=8cm ，∴OF′=6cm ，∴C′F′=CF=2268−=27cm ，F ∴CD=2CD=47cm ．故选：D ．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握．3、如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=4，C 是⊙O 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.2【分析】作OE⊥AC 交⊙O 于F ，交AC 于E ，根据折叠的性质得到OE=12OF ，求出∠ACB 的度数即可解决问题．【解答】解：作OE ⊥AC交⊙O 于F ，交AC 于E ．连接OB ，BC ． 由折叠的性质可知，EF=OE=12， ∴OE=12OA ，在Rt △AOE 中，OE=12OA ， ∴∠CAB=30°，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∠BOC=2∠BAC=60°，∵AB=4，∴BC=12AB=2，AC=3BC=23， ∴线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S=12•AC•BC+S 扇形OBC -S △OBC =12×23×2+60π•22360-43×22=3+23π≈3.8，故选：C ．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4、如图，将⊙O 的劣弧︵ AB 沿AB 翻折，D 为优弧︵A DB 上一点，连接AD ，交︵ AB 于点C ，连接BC 、BD ；若BC=5，则BD= ．【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到∠ADB=∠BCD ，根据等腰三角形的判定定理解答．【解答】解：由翻转变换的性质可知，∠ADB所对的弧是劣弧︵AB，∠CAB所对的弧是劣弧︵BC，∠CBA所对的弧是劣弧︵AC，∴∠ADB=∠CAB+∠CBA，由三角形的外角的性质可知，∠BCD=∠CAB+∠CBA，∴∠ADB=∠BCD，∴BD=BC=5，故答案为：5．【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5、如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，π≈314，2≈1.41，3≈1.73，那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2【分析】作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．【解答】解：如图，作MN关于直线AN的对称线段M′N，交半圆于B'，连接AM、AM′，可得M、A、M′三点共线，MA=M′A，MB=M′B′=4，M′N=MN=10．连接AB'，∵四边形AMNB'是圆内接四边形，∴∠M'AB'=∠M'NM，∵∠M'=∠M'，∴△M'AB'∽△M'NM，∴M′AM′N＝M′B′M′M∴M′A•M′M=M′B′•M′N，即M′A•2M′A=4×10=40．则M′A2=20，又∵M′A2=M′N2-AN2，∴20=100-AN2，∴AN=45．故选：B．【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答．6、如图，是一个圆心角为90°的扇形，AO=2cm ，点P 在半径AO 上运动，点Q 在弧AB 上运动，沿PQ 将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O ，则OP 的最大距离为 ．【分析】作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，于是得到OP=12R cos ∠POE ，推出△OO′Q 为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O′Q=OO′=R ，当cos∠POE 最小时，∠POE 最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°于是得到结论．【解答】解：作O 关于PQ 的对称点O′，O′恰好落在⊙O 上，∴OP=12R c os ∠POE ， ∵△OO′Q 为等边三角形，∴OQ=O′Q=OO′=R ，∠POE+∠QOB=30°，当cos∠POE 最小时，∠POE 最大，当∠QOB=0°时，∠POE=30°，∴OP=1cos30°=332．故答案为：332．【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键．7、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则⊙O到所作的圆的切线OC的长为（）A．22 B．5 C．3 D．11【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB所在的圆和⊙O全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：根据题意画出图形如下所示：BD=4，OB=5，点O′为翻转过后的弧AB所在圆的圆心，则有O′D=OD=2245−=3．又O′C=5，O′O=6， ∴OC=22C ′O O ′O −=2256−=11．故选：D ．【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB 所在圆的圆心是解题关键．8、如图，将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD=6，DB=7，则BC 的长是（ ） A ．91 B ．37 C ．134 D ．130【分析】连接CA 、CD ，根据翻折的性质可得弧CD 所对的圆周角是∠CBD ，再根据AC 弧所得的圆周角也是∠CBA ，然后求出AC=CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=12AD ，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE 2，再求出BE ，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC ．【解答】解：如图，连接CA 、CD ， 根据折叠的性质，弧CD 所对的圆周角是∠CBD ， ∵弧AC 所对的圆周角是∠CBA ，∠CBA=∠CBD ，∴AC=CD （相等的圆周角所对的弦相等），过点C 作CE⊥AB 于E ， 则AE=ED=12AD=12×6=3， ∴BE=BD+DE=7+3=10， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∵CE⊥AB ，∴∠ACB=∠AEC=90°，∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，∴∠A=∠BCE ，∴△ACE∽△CBE ，∴AE CE = CE BE， 即CE 2=AE•BE=3×10=30， 在Rt △BCE 中，BC=22CE BE + = 30102+= 130，故选：D ．【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD 是解题的关键．9、如图，在⊙O 中，点C 在优弧 AB ︵ 上，将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是（ ）A ．AC=CDB ．︵ AC +︵ BD =︵ BCC ．OD⊥AB D ．CD 平分∠ACB【分析】A 、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD ；B 、相等两弧相加可作判断；C 、根据垂径定理可作判断；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，根据垂径定理可作判断．【解答】解：A 、过D 作DD'⊥BC，交⊙O 于D'，连接CD'、BD'， 由折叠得：CD=CD'，∠ABC=∠CBD'，∴AC=CD'=CD ，故①正确；B 、∵AC=CD'，∴︵ AC ＝︵ CD′ ，由折叠得：︵ BD ＝︵ BD ′，∴︵ AC +︵ BD =︵ BC ，故②正确；C 、∵D 为AB 的中点，∴OD⊥AB ，故③正确；D 、延长OD 交⊙O 于E ，连接CE ，∵OD⊥AB ，∴∠ACE=∠BCE ，∴CD 不平分∠ACB ，故④错误；故选：D ．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．11、如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=22，∠BAC=45°，将劣弧︵ AB 和︵ AC 分别沿直线AB 、AC 折叠后交于点M ，点S 、T 是弦AB 、AC 上的动点，则△M ST 的周长的最小值为（ ）A ．22B ．4C ．24D ．8【分析】作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，根据折叠的性质得到点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则△M ST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，根据圆周角定理得到M′M″是⊙O的直径，即可得到结论．【解答】解：作点M关于AB的对称点M′，关于AC的对称点M″，∵将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M，∴点M′，M″在圆周上，连接M′M″，交AB于S，交AC于T，则△M ST的周长最小，连接AM′，AM″，OB，OC，则∠M′AM″=2∠BAC，∵∠BAC=45°，∴∠M′AM″=∠BOC=90°，∵BC=22，∴OB=2，∴M′M″=2OB=4，∴△M ST的周长的最小值为4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．12、如图，在⊙O 中，点C 在优弧⌢ACB 上，将弧沿⌢BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，若⊙O 的半径为5，AB=4，则BC 的长是 ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到︵ AC=︵ CD ，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=32．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，∵D 为AB 的中点，∴OD⊥AB ，∴AD=BD=12AB=2， 在Rt △OBD中，OD=22BD OB −=222)5(−=1，∵将弧︵ BC 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴︵ AC 和︵ CD 所在的圆为等圆，∴︵ AC =︵ CD ，∴AC=DC ，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形，∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22OF CO −=221)5(−=2， ∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=32．故答案为32．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．14、如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的︵ AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是 ．（请将正确答案的序号填在横线上）【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO 的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E 在什么轨迹上运动，便可解决问题．【解答】解：如图1，连接OA 和OB ，作OF ⊥AB． 由题知：︵ AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O∴OF=OA=12OB ∴∠AOF=∠BOF=60°∴∠AOB=120°∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）∠D=12∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半） ∴∠ACD=180°-∠ACB=60°∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，①②正确下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE和EF∵△ACD是等边三角形，E是CD中点∴AE⊥BD（三线合一）又∵OF⊥AB∴F是AB中点即，EF是△ABE斜边中线∴AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动．所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF，AE⊥EF∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1∴AF=3（勾股定理）∴OE=EF-OF=AF-OF=3-1所以，③不正确综上所述：①②正确，③不正确．故答案为①②．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．14、如图，将︵ AB 沿着弦AB 翻折，C 为翻折后的弧上任意一点，延长AC 交圆于D ，连接BC ．（1）求证：BC=BD ；（2）若AC=1，CD=4，︵ AB=120°，求弦AB 的长和圆的半径．【分析】（1）作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．利用翻折不变性，以及圆周角定理即可解决问题；（2）连接OA ，OB ，作OM⊥AB 于M ，AH ⊥BC交BC 的延长线于H ．解直角三角形求出AB ，OA 即可；【解答】（1）证明：作点C 关于AB 的对称点C′，连接AC′，BC′．由翻折不变性可知：BC=BC′，∠CAB=∠BAC′，∴︵ BD =︵BC ′，∴BD=BC′，∴BC=BD ．（2）解：连接OA ，OB ，作OM ⊥AB 于M ，AH ⊥BC 交BC 的延长线于H ．∵︵AB =120°，∴∠D=12×120°=60°，∴∠AOB=∠ACB=2∠D=120°，∵BC=BD ，∴△BCD 是等边三角形，∴BC=DC=4，在Rt △ACH 中，∵∠H=90°，∠ACH=60°，AC=1，∴CH=12，AH=23， ∴AB=22BH AH +=22)29()23(+=21，∵OM ⊥AB ，∴AM =BM =221，在Rt △AOM 中，∵∠OAM =30°，∠AM O=90°，∴OA=AM cos30°=7【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．15、如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将︵CD沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC （1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为︵ADB 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交︵BC 于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得AGGE=FGAG，从而得到GE•GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）解：如图，连接OC ，∵︵CD 沿CD 翻折后，点A 与圆心O 重合， ∴OM =12O A=12×2=1，CD ⊥OA ，∵OC=2，∴CD=2CM =222OM OC −=22212−=23；（2）证明：∵P A=OA=2，AM=OM=1，CM=12CD=3，∠CM P=∠OM C=90°，∴PC=22PM MC +=223)3(+=23， ∵OC=2，PO=2+2=4，∴PC 2+OC 2=（23）2+22=16=PO 2， ∴∠PCO=90°，∴PC 是⊙O 的切线；（3）解：GE•GF是定值，证明如下，连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF∵点G为︵A DB的中点∴∠GOE=90°，∵∠HFG=90°，且∠OGE=∠FGH ∴△OGE∽△FGH∴OGGF=GEGH∴GE•GF=OG•GH=2×4=8．【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．21。