6二次函数与幂函数
高考数学一轮复习第二章函数6幂函数与二次函数课件新人教A版2
解析
关闭
答案
-25考点1
考点2
考点3
(2)(2020福建厦门一模)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(-x)
=2,且当x>0时,f(x)=-x2-2x+1.若f(2m-3)≤4,则实数m的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析:(2)设x<0,则-x>0,则f(-x)=-x2+2x+1.因为f(x)+f(-x)=2,所以
-
∴α=-2,∴f(x)= .
关闭
1
由 f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).
y= 2 (0,+∞)
解析
答案
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
幂函数的图象和性质
例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是
( C )
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·
双基自测
1
2
3
4
5
1
3.(2020福建漳州一模)当α∈ -1, ,1,3
时,幂函数y=xα的图象不可能
2
经过的象限是(
)D
A.第二象限 B.第三象限
C.第四象限 D.第二、四象限
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4.(2020四川成都模拟)某社团小组需要自制实验器材,要把一段
长为12 cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个
思考如何求二次函数在闭区间上的最值?
-27考点1
考点2
考点3
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质
二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。
本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。
一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。
幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。
它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。
通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。
二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。
二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。
幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
幂函数没有水平渐近线。
指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。
指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。
综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。
三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。
二次函数与幂函数的关系
二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。
这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。
首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。
二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。
幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。
幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。
接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。
对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。
根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。
当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。
我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。
例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。
而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。
当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。
与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。
然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。
实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。
具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。
这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。
当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。
第5讲二次函数与幂函数PPT课件
或1a≥4， f4＝16a－8＋2≥0，
∴aa≥≥10， 或14a＜＞a12＜1，
或aa≤≥1438，.
∴a≥1 或12＜a＜1 或∅，即 a＞12；
（2）当 a＜0 时， f1＝a－2＋2≥0， f4＝16a－8＋2≥0， 解得 a∈∅； （3）当 a＝0 时， f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意．
，
增
[0，＋∞)增
(0,0)，(1,1)
[0，＋∞) 非奇非偶
增
y＝x－1
{x|x∈R且 x≠0}
{y|y∈R 且y≠0}
奇 (－∞，0)减
， (0，＋∞)减
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
答案 f(x)＝ x
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1， x2，则x1＋x2＝________.
解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)，知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，
应有x1＋2 x2＝3⇒x1＋x2＝6.
答案 6
考点一 幂函数的图象与性质
【训练3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
(1)求g(t)的解析式； 请先暂停，完成题目后继续观看！
(2)求g(t)的最大值． 解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. ①当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
幂函数与二次函数讲义
幂函数与二次函数讲义一、知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝x α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域值域单调性对称性函数的图象关于x＝－b2a对称(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) (4)函数y ＝212x 是幂函数．( )(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (6)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) 题组二：教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点)22,21(，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3题组三：易错自纠 4．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )6．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为_____．三、典型例题1．幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数2．若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c3．若12(21)m >122(1)m m＋－，则实数m的取值范围是思维升华：(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二：二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.思维升华：求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.题型三：二次函数的图象和性质命题点1：二次函数的图象典例：对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()命题点2：二次函数的单调性典例 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 命题点3：二次函数的最值典例 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 命题点4：二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是____． (2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 思维升华：解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．四、反馈练习1．幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．23．若命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜34．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)>f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)6．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是____________． 7．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是__________． 8．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈]212[--，时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．11．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[2,3]D ．[1,2]12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 13．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值．。
二次函数与幂函数课件-2025届高三数学一轮复习
依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)， 由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3， 所以4a＋h＝3，即h＝3－4a， 所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a， 令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0， 所以ax2－4ax＋3＝0， 设方程的两根为x1，x2，
第二章
§2.6 二次函数与幂函数
课标要求
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象
方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得a－b＋c＝－1，
4ac4－a b2＝8，
a＝－4，
解得b＝4， c＝7.
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12，所以 m＝12. 又根据题意，函数有最大值8， 所以n＝8，
限内的交点坐标为(1,1)，
当
0<x<1
时，x
m n
>x，则mn <1；
m
又y＝x n 的图象关于y轴对称，
m
∴y＝x n 为偶函数，
m
m
∴ (x) n ＝n －xm＝x n ＝n xm，
二次函数与幂函数课件-2025届高三数学一轮复习
(2)二次函数的图象与性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域
(－∞，＋∞) __[_4a_c4_−a_b2_，__＋_∞__)_
(－∞，＋∞) _(_－__∞_，__4_ac4_−a_b_2]__
单调性 在_[_－__2ba_，__＋__∞_)__上单调递增； 在_(_－__∞_，__－__2b_a]_上单调递增； 在_(_－__∞_，__－__2b_a]__上单调递减 在_[_－__2ba_，__＋__∞_)_上单调递减
2．(教材改编)已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一
样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为( )
A．y＝2(x－1)2＋3
B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3
D．y＝－2(x＋1)2＋3
答案：D
解析：设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k(a≠0)，根据顶点为(－1，3)， 可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3.故选D.
解析：因为函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则m2＋m－1＝1，解得m＝－2或 m＝1，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m>0，所以m＝1.
题后师说
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一 个条件即可确定其解析式．
在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
图象 过定点
(1，1)
2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝_a_x_2＋__b_x＋__c_(_a≠__0_)_． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__(m__，_n_)__． 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的___零_点____．
二次函数和幂函数知识点
二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。
而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。
它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。
首先，我们来看二次函数。
二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。
当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。
图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。
当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。
当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。
这个直线与x轴平行，斜率为b。
接下来，我们来看幂函数。
幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。
当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。
当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。
当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。
斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。
当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。
根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。
当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。
当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。
当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。
当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。
根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。
总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。
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特征 性质
函数 y＝ x 奇 ___ y＝x2 偶 ____ y＝x3 奇 ___ 增 ____
y＝x
1 2
y＝x－1 奇 ____ (－∞，0) _________
奇偶性
非奇非偶 _________
单调性
增 ___
( －∞，0]减， ____________ (0 ，＋∞)增 ____________
D．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x2，④y＝x
－1
5．已知函数 f(x)＝(m2－m－1)x－5m－ 3， m 为何值时， f(x)是幂函数，且在 (0，＋∞)上是增函数？
解：∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x 减函数； 当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增 函数． ∴m＝－1.
－13
在(0，＋∞)上是
二次函数与幂函数
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ；
2＋n(a≠0) a ( x － m ) (2)顶点式：f(x)＝
；
(3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
3．二次函数的图像和性质
a>0 a<0
图像
定义域
x∈R
4ac－b2 ，＋∞ 4a
3. 如果二次函数 f(x) (x∈[a，2a-5])的图像关于 直线 x＝1 对称，则 a=________．
7 a (2a 5) 1 a 解析： 由题意知 得 3 2
4、如果函数 f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图像关于直线 x＝1 对称，则函数 f(x)的最小值为________．
• 7.(2013· 惠州模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立， 求实数m的取值范围．
【解】 (1)由 f(0)＝ 1，得 c＝ 1.因此 f(x)＝ ax2＋ bx＋ 1. 又 f(x＋ 1)－ f(x)＝ 2x.∴ 2ax＋ a＋ b＝ 2x.x∈ R. 2a＝ 2， a＝ 1， 因此 ∴ a＋ b＝ 0， b＝－ 1. 所以 f(x)＝ x2－ x＋ 1.
答案：D
1 2
3 2．已知点 M( ，3)在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表达式为 3 ( ) 【答案】 B 1 1 －2 2 A．f(x)＝x B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x－ 2
【解析】
设
f(x)＝xα，则有
3α 3＝( ) ，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2. 3
增 ____
和(0，＋ _________
∞)减 _______
公共点
(1,1) ______
1． 研究函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的性质， 易忽视 a 的取 值情况而盲目认为 f(x)为二次函数．
2．形如 y＝xα(α∈R)才是幂函数，如 y＝3x 不是幂 函数． [试一试]
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是( A．f(x)＝x2－1 C．f(x)＝－x2 B．f(x)＝5x2 D．f(x) 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 则函数在[－4，2)上为减函数，在(2，6]上为增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. 2a (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋3 的对称轴为 x＝－ ＝－a， 2 ∴要使 f(x)在[－4，6]上为单调函数， 只需－a≤ －4 或－a≥ 6，解得 a≥ 4 或 a≤ －6.
(2)由题意，x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立． 则m＜x2－3x＋1在[－1，1]上恒成立， 令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]，g(x)是减函数． ∴g(x)min＝g(1)＝－1，应有m＜－1. 因此实数m的取值范围是(－∞，－1).
8． (2013· 汕头模拟 )已知函数 9 满足 f(c )＝ . 8 (1)求常数 c 的值； (2)解不等式： f(x)＜ 2.
(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3
x2＋ 2x＋ 3＝（ x＋ 1） 2＋ 2， x≤ 0， ＝ 2 2 x － 2 x ＋ 3 ＝（ x － 1 ） ＋2，x＞0，
作函数f(|x|)，x∈[－4，6]的图象如图，
• ∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数， 在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．
1．下面给出 4 个幂函数的图像，则图像与函数的大致 对应是 ( )
A．①y＝x ，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x
3 2
1 2
1 3
1 2
－1
B．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x ，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x ，④y＝x
1 3 1 2 1 2
－1
解析：图像①对应的幂函数的幂指数必然大于 1，排除 A，D.图 像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除 C.故选 B.
a>0， 解析：由题意知 Δ<0，
(
1 B.－∞，－ 20 1 D.－ ，0 20
a>0， 即 1－20a<0
)
1 得a> . 20
答案：C
2．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在 区间(－5，－3)上( ) A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减 D．单调递增 【解析】 ∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数， ∴2m＝0，∴m＝0. 则f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函数． 【答案】 D
f（4） 1．(2013· 梅州模拟)若 f(x)是幂函数，且满足 ＝3， f（2） 1 则 f( )＝( 2 A．3 )
• 【答案】 C
B．－3 1 C. 3 1 D．－ 3
【解析】
n f （ 4 ） 4 设 f(x)＝xn，则 ＝ n＝2n＝3， f（2） 2
1 1n 1 1 ∴f( )＝( ) ＝ n＝ . 2 2 2 3
2
cx＋ 1， 0＜ x＜ c f(x)＝ 4c 2c 3x ＋ x ， c≤ x＜ 1
(1)依题设0＜c＜1，∴c2＜c. 9 2 3 ∴f(c )＝c ＋1＝ ， 8 1 ∴c＝ . 2 【解】
1 1 2x＋ 1， 0＜ x＜2， (2)由 (1)知 f(x)＝ 3x2＋ x，1≤ x＜ 1. 2 1 1 ①当 0＜ x＜ 时， f(x)＜ 2⇔ x＋ 1＜ 2， 2 2 1 ∴ 0＜ x＜ . 2 1 ②当 ≤ x＜ 1时， f(x)＜ 2⇔ 3x2＋ x＜ 2， 2 1 2 得 ≤ x＜ . 2 3 2 综合① 、②知 f(x)＜ 2的解集为(0， )． 3
【解析】 当m＝0时，不等式为－1＜0，符合题意
m＜ 0， 当m≠0时，则有 ∴－4＜m＜0 2 Δ＝ m ＋ 4m＜ 0，
综上知，－4＜m≤0.
• 【答案】
(－4，0]
• 6. (2013· 广州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3， x∈[－4，6]． (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上 是单调函数； (3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间． • 【思路点拨】 解答(1)和(2)可根据对称轴与区间 的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)， 应先将函数化为分段函数，再求单调区间．
2．(2013· 张家口模拟)已知函数 h(x)＝4x2－kx－8 在[5,20]上是 单调函数，则 k 的取值范围是 A．(－∞，40] C．(－∞，40]∪[160，＋∞) B．[160，＋∞) D．∅ ( )
k 解析：函数h(x)的对称轴为x＝ ，要使h(x)在[5,20]上是单调函 8 k k 数，应有 ≤5或 ≥20，即k≤40或k≥160，故选 C . 8 8
3．函数f(x)＝x2＋4(a+2)x＋3为偶函数，则a= 【解析】 ∵函数f(x)＝2x2＋ax＋3为偶函数 ∴对称轴-2(a+2)＝0，∴a＝-2.
.
例题与练习
1．已知函数 f(x)＝ax2＋x＋5 的图像在 x 轴上方，则 a 的 取值范围是
1 A.0， 20 1 C. ，＋∞ 20
2 4 ac － b －∞， 4a
值域
a>0
a<0
在
单调性
b －∞，－ 2a
上递减， 在
b －∞，－ 上递增， 2a
b 在－2a，＋∞上递增
b 在－2a，＋∞上递减
奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特 点
2 4 ac － b b b ①对称轴：x＝－ ；②顶点： －2a， 2a 4a
1．五种常见幂函数的图像与性质
特征 性质 函数 y＝ x y＝x2 y＝x3
y＝x
1 2
y＝x－1
图像
定义域 值域
__ R __ R
__ R {y|y≥0} _______
__ R __ R
{x|x≥0} { x|x≠0} ________ _______
a＋2 － ＝1， 2 解析：由题意知 a＋b＝2，
a＝－4， 得 b＝6.
则f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
答案：5
• 4．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上 是减函数，则实数a的取值范围是________． • 【解析】 二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由 题意知1－a≥3，∴a≤－2. 【答案】 (－∞，－2] • 5．(2013· 东莞质检)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)＜0的解集为R，则实数m的取值范围是 ________．