三阶幻方
三阶幻方
三阶幻方
幻方：一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。
这个相等的和叫幻和。
在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在
方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
（一）思路指导
1、幻和=中间数×3
2、与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和=中间数×2
3、角上的数字=对角相邻的两数字和÷2
4、幻和= 九个数之和÷3
（二）例题
（三）习题
1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
4、请完成下面的三阶幻方：
5、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
6、使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。
7、用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。
三阶幻方
三阶幻方一般的，三阶幻方就是指把九个不同的数字填入3×3的九个方格中，使每行每列每条对角线上三个数的和都相等，这个相等的和就叫做幻和。
下面我们以1~9这九个数字为例，介绍三种填写三阶幻方的方法。
方法一：口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方。
注意：“一填首行正中央”，指的是，这九个数中按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中，“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方，在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中，“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占住了，那么，就填在前一个数字的正下方，对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方。
方法二：四角定位法九数从小排到大，中间数字中间填，四角填上偶数项，余下四数再补全。
注意：（1）四角上的偶数项，是指这九个数的第二、四、六、八个数，而不是指偶数；（2）四角上的偶数项，可以按“Z”字行排列，也可以按照“N”字行排列；（3）当四个角上的数都填好后，对角线上的三个数的和已经知道了，就可以根据这个和，求出其余的四个数。
方法三：“添耳朵”法九数斜排，上下对易，左右互换。
注意：“九数斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了。
小结：（1）事实上，大部分填写三阶幻方的九个不同的自然数，都是等差数列；（2）三阶幻方不止有一种填写方法，当我们将上面填写好的三阶幻方，经过顺时针或逆时针旋转的时候，就能得到新的填写形式；（3）以上介绍的三种填写三阶幻方的方法，其中后面两种，只适合三阶幻方，而第一种方法，适合三阶、五阶、七阶……等所有奇数阶幻方。
三阶幻方口诀与规律详解
1、三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如右图示），其对角线、横行、纵向的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。
中心数为5。
2、一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。
3、居上行正中央——数字1 放在首行最中间的格子中，依次向右上方填入2、3、4…；4、依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字；5、上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中；6、右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中；7、重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中；8、出角重复一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理，、也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。
扩展资料：1、相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
2、3阶幻方不止一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
3、将组成幻方的三组数（如：1-9组成的幻方为【1、2、3】【4、5、6】【7、8、9】这三组）乘以A（A≠0），再分别加X、Y、Z（X、Y、Z为等差的数），幻方亦成立。
也就是3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。
4、幻方的每个数乘以A（A≠0），再加X，幻方亦成立。
例如把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：27 6 2112 18 2415 30 9幻和值=54。
三阶幻方的10种解法
三阶幻方的10种解法《三阶幻方的10种解法》三阶幻方是一种古老的数学游戏，它由9个单元组成，每个单元上都有一个1-9的数字，要求每一行、每一列和每一个正方形中的数字都是不同的，而且每行、每列和每个正方形的数字之和都是相同的。
三阶幻方有10种解法，它们分别是：1. 旋转法：把整个幻方旋转180度，把每一行的数字按顺序排列，把每一列的数字调换位置，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。
2. 调换法：把每一行的数字按顺序排列，把每一列的数字调换位置，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。
3. 交换法：把每一行的数字按顺序排列，把每一列的数字进行交换，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。
4. 排列法：把每一行的数字按照某种规律排列，把每一列的数字按照某种规律排列，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。
5. 对称法：把每一行的数字按照某种规律排列，把每一列的数字按照某种对称规律排列，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。
6. 尝试法：尝试把每一行的数字排列成某种规律，尝试把每一列的数字排列成某种规律，尝试把每一个正方形的数字排列成某种规律，从而达到目的。
7. 反转法：把每一行的数字反转，把每一列的数字反转，把每一个正方形的数字反转，从而达到目的。
8. 合并法：把每一行的数字合并，把每一列的数字合并，把每一个正方形的数字合并，从而达到目的。
9. 翻转法：把每一行的数字翻转，把每一列的数字翻转，把每一个正方形的数字翻转，从而达到目的。
10. 拼接法：把每一行的数字拼接，把每一列的数字拼接，把每一个正方形的数字拼接，从而达到目的。
三阶幻方的10种解法虽然不同，但都是为了达到同样的目的，即把9个单元上的数字按照某种规律排列，从而使每一行、每一列和每一个正方形的数字都是不同的，而且每行、每列和每个正方形的数字之和都是相同的。
这就是三阶幻方的10种解法。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
(精选课件)三阶幻方
1
洛书
2
综合与实践
根据北周甄鸶注《数 术记遗》： 九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央。
3
神奇的幻方
4 92 3 57 8 16
4
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
5
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
17
探寻神奇的幻方
492 357 816
三阶幻方
四海三山八洞天， 九牛五虎一起眠， 二女七星和六国， 周围十五月团圆。
18
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提 出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出， 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]
19
杨辉法
20
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
这
个 8 17 5
幻 方
11
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
12
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
13
17 12 15
三阶幻方
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e 36045⨯=-e e =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三阶幻方
3 17 7
13 11 9 1
5 15
◆例4 在下图的每个方格里填上不大于11且互 不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对 角线上的三个数的和都等于21。 中间数=21÷3=7 21-7=14 11+3 10+4 9+5 3 10
9
4
7
11
5
6
3
中间数=21÷3=7 9 4 7 11
10
5 6
◆例3 用2~10九个数填入下图的九个方格里， 使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都 相等。 4 阶 添 3 7 梯 耳 法 朵 2 6 10 或 法 楼 5 9 梯 法 8
将1、3、5、7、9、11、13、15、17九个 数填入下图的九个方格里，使每行、每列、 每条对角线上的三个数的和都相等。
三阶幻方又叫九宫格，中国古代九宫格的 填法口诀有：
五居中央， 戴九履一， 二四为肩， 六八为足， 左七右三。 （一） 九子斜排， 上下对易， 左右相更， 四维挺出。 （二）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
◆例1 将1~9九个自然数填入下图的九个方 格里，使每行、每列、每条对角线上的三 个数的和都相等。
在下图的每个方格里填上适当的数，使每 行、每列、每条对角线上的三个数的和都 相等。 （3+7）÷2=5 11 6 幻和=8×3=24 24-8-3=13 24-8-7=9 24-9-5=10 24-10-8=6 10 9 13 5
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重 复又不遗漏地填上3×3个连续的自然数，使每一 行、每一列、每条对角线上的三个数的和均相等。 这个相等的数叫幻和。通常这样的图形叫做三阶 幻方。
九个连续的自然数 中，第五个数是中 心数，第二、四、 六、八个数是 四角上的数。
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三年级奥数教程能力测试
（三阶幻方）月日
班级：姓名：成绩：
1、用11、13、15、17、19、21、
2、将九个连续的自然数填入下面的方格内，使每
23、25、27编制成一个三阶幻方。
行、每列及对角线上的三个数的和等于66。
3、在图中的其他方格内填入合适的数，使每行、
4、在图中的每个空格中填入一个自然数，使得每列以及对角线上的三个数的和都是21. 行、每列及对角线上的三个数的和都相等。
3 3 10
4 8
5、在图中的空格里，填上适当的数，使每行、
6、在图中的空格里，填上适当的数，使每行、
每列以及对角线上的三个数的和都相等. 每列以及对角线上的三个数的和都相等.
26
9 13 14 20
12
7、找出以下数列的规律，并按规律填数。
（每题5分，共70分）
（1）1，5，25，125，（），（）。
（2）0，，2，2，4，6，10，（），（）。
（3）24，12，36，18，54，（），（）。
（4）2，3，5，9，17，（），（）。
8、自然数按下面的表排列：
1，2
3，4，5
6，7，8，9
10，11，12，13，14
15，16，17，18，19，20
……
第10行的第五个数是多少？。