高考数学 3-8解三角形的应用举例配套作业 北师大版

【高考核动力】2014届高考数学 3-8解三角形的应用举例配套作业北师大版1．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m【解析】由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．【答案】 A2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不．能确定A、B 间距离的是( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b【解析】 选项B 中由正弦定理可求b ，再由余弦定理可确定AB ；选项C 中可由余弦定理确定AB ；选项D 同B 类似．【答案】 A3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3D ．3【解析】 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由正弦定理BCsin ∠CAB＝ACsin 30°，得∠CAB ＝60°或120°，当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝90°，AB ＝23； 当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，AB ＝ 3. 【答案】 C4．(2012·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为________．【解析】如图，设电视塔AB 高为x m ， 则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45° 得BC ＝x .在Rt △ADB 中， ∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x . 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°， 解得x ＝40，∴电视塔高为40 m. 【答案】 40 m5．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．【解】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.课时作业【考点排查表】测量距离问题一、1．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19【解析】 ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19. 【答案】 D2．(2013·浙江宁波)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D 到其正上方A 点的距离，他站在地面C 处，利用皮尺量得BC ＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB ＝45°，测得仰角∠BCD 后通过计算得到sin ∠ACD ＝2626，则AD 的距离为( )A ．2米B ．2.5米C ．3米D ．4米【解析】 设AD ＝x ，则BD ＝9－x ，CD ＝92＋－x2，在△ACD 中应用正弦定理得CD sin ∠DAC ＝ADsin ∠ACD，即92＋－x222＝x2626，所以2[92＋(9－x )2]＝26x 2， 即81＋81－18x ＋x 2＝13x 2， 所以2x 2＋3x －27＝0，即(2x ＋9)(x －3)＝0，所以x ＝3(米)． 【答案】 D3．有一山坡，坡度为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为( )A ．300 mB ．400 mC ．200 mD ．200 3 m【解析】 如图，AD 为山坡底线，AB 为行走路线，BC 垂直水平面．则BC ＝100，∠BDC ＝30°，∠BAD ＝30°， ∴BD ＝200，AB ＝2BD ＝400 m. 【答案】 B4．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6【解析】 AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003(m)，由正弦定理得BC ＝ABsin 45°·sin 30°＝50 00032(m)．∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)． 【答案】 B5．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里【解析】 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 【答案】 C6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时【解析】 如图所示：在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．故选A.【答案】 A 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，则△ABC 的形状是________．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)【解析】 cos A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＞sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A ＞B ，A ＋B ＜π2，C ＞π2，故为钝角三角形．【答案】 钝角三角形8．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________．【解析】 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BCsin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 【答案】 106(米)9．△ABC 为锐角三角形，若B ＝2A ，则b a的取值范围是________． 【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜B ＝2A ＜π2，0＜π－A －B ＜π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜A ＜π4，π6＜A ＜π3.∴A ∈(π6，π4)，∴b a ＝sin Bsin A ＝2cos A ，∴b a∈(2，3)． 【答案】 (2，3) 三、解答题10．如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．【解】 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .① 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .②在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A 、B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 11．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．【解】因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∴∠OCP ＝120°. 在△POC 中，由正弦定理得OPsin ∠PCO ＝CPsin θ，∴2sin 120°＝CPsin θ，所以CP ＝43sin θ.因此△POC 的面积为S (θ)＝12CP ·OP sin (60°－θ)＝12·2sin θ·2sin(60°－θ) ＝43sin θsin(60°－θ) ＝43sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤θ－－12，θ∈(0°，60°)． 所以当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为33. 12．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【解】 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t－＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103(海里)，此时v ＝10313＝303(海里/时)．即小艇以303海里/时的速度航行相遇时，小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2，∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23. 又t ＝23时，v ＝30(海里/时)．故v ＝30(海里/时)，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20(海里)， 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 四、选做题13．(2013·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA →成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x＋34cos2θcos x(x∈R)的值域．【解】(1)连接BC，由余弦定理得BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700. ∴BC＝107，即所求距离为107海里．(2)∵sin θ20＝sin 120°107，∴sin θ＝37.∵θ是锐角，∴cos θ＝47.f(x)＝sin2θsin x＋34cos2θcos x＝37sin x＋37cos x＝237sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π6，∴f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－237，237.。