2018届闵行区高考数学一模
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合P ={x|0≤x <3, x ∈Z}，M ={x|x 2≤9}，则P ∩M =________． 【答案】 {0, 1, 2} 【考点】 交集及其运算 【解析】求出集合P ，M ，由此能求出P ∩M ． 【解答】∵ 集合P ={x|0≤x <3, x ∈Z}={0, 1, 2}， M ={x|x 2≤9}={x|−3≤x ≤3}， ∴ P ∩M ={0, 1, 2}．2. 计算lim n→∞C n2n 2+1=________．【答案】 12【考点】 极限及其运算 【解析】根据组合公式求得C n2=n(n−1)2，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】limn→∞C n2n 2+1=limn→∞n(n−1)2(n 2+1)=12limn→∞1−1n1+1n 2=12，3. 方程|1+lgx3−lgx11|=0的根是________．【答案】 10【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】化简方程求出x 的值． 【解答】 ∵ |1+lgx 3−lgx11|=0，即1+lgx −3+lgx =0，∴ lgx =1， ∴ x =10．4. 已知(sinα−35)+(cosα−45)i 是纯虚数（i 是虚数单位），则sin(α+π4)=________．−√2 【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的模复数的基本概念 【解析】 由题意可得sinα、cosα的值，展开两角和的正弦求得sin(α+π4)． 【解答】∵ (sinα−35)+(cosα−45)i 是纯虚数， ∴ {sinα−35=0cosα−45≠0，得sinα=35且cosα≠45， ∴ α为第二象限角，则cosα=−45．∴ sin(α+π4)=sinαcos π4+cosαsin π4=35×√22−45×√22=−√210．5. 已知直线l 的一个法向量是n →=(√3,−1)，则l 的倾斜角的大小是________． 【答案】 π3【考点】 平面的法向量 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →∗n →=0，可得tanθ=yx ．【解答】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0, π)．设直线的方向向量为u →=(x, y)，则u →∗n →=√3x −y =0， ∴ tanθ=yx =√3，解得θ=π3．6. 从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是________（用数字作答） 【答案】 96【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算在10名学生中任取3人的选法数目，再分析其中只有男生和只有女生的选法数目，分析即可得答案．根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120−4−20=96种；7. 在(1+2x)5的展开式中，x2项系数为________（用数字作答）【答案】40【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数【解答】设求的项为T r+1=C5r(2x)r，今r=2，∴T3=22C52x2=40x2．∴x2的系数是408. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是________（结果用反三角函数表示）【答案】arccos 3√2 10【考点】异面直线及其所成的角【解析】由BC // B1C1，得∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线A1B与B1C1所成角．【解答】∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，AB=BB1，BC // B1C1，∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，∵A1B=√AA12+AB2=√(9+16)+(9+16)=5√2，A1C=√AA12+AC2=√(9+16)+16=√41，∴cos∠A1BC=A1B2+BC2−A1C22×A1B×BC =2×5√2×3=3√210．∴∠A1BC=arccos3√210．9. 已知数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，且a3∗a1007= e4，则b1+b2+...+b1009=________．【答案】2018【考点】数列的求和【解析】数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，可得b n+1−b n=lna n+1−lna n=ln a n+1a n =常数t．a n+1a n=常数e t=q>0，因此数列{an}为等比数列．由a3∗a1007=e4，可得a1a1009=a2a1008=a3∗a1007=e4=…．再利用对数运算性质即可得出．【解答】数列{a n}、{b n}满足b n=lna n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，∴b n+1−b n=lna n+1−lna n=ln a n+1a n=常数t．∴a n+1a n=常数e t=q>0，因此数列{a n}为等比数列．且a3∗a1007=e4，∴a1a1009=a2a1008=a3∗a1007=e4=…．则b1+b2+...+b1009=ln(a1a2...a1009)=ln√(e4)1009=lne2018=2018．10. 如图，向量OA→与OB→的夹角为120∘，|OA→|=2，|OB→|=1，P是以O为圆心，|OB→|为半径的弧BC^上的动点，若OP→=λOA→+μOB→，则λμ的最大值是________．【答案】12【考点】平面向量的基本定理平面向量的坐标运算【解析】如图建立平面直角坐标系，设P(cosθ, sinθ)，OP→=(cosθ,sinθ)，OA→=(2,0)，OB→=(−12,√32).cosθ=2λ−12μ，sinθ=√32μ，λμ=2√3−16cos2θ+16=13sin(2θ+β)+1 6≤12，如图建立平面直角坐标系，设P(cosθ, sinθ)， OP →=(cosθ,sinθ)，OA →=(2,0)，OB →=(−12,√32)． ∵ OP →=λOA →+μOB →，∴ cosθ=2λ−12μ，sinθ=√32μ．∴ {λ=12cosθ2√3μ=√3 ， ∴ λμ=23−16cos2θ+16=13sin(2θ+β)+16≤12，11. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点，过F 1且倾斜角为30∘的直线交双曲线的右支于P ，若PF 2⊥F 1F 2，则该双曲线的渐近线方程是________． 【答案】 y =±√2x 【考点】 双曲线的特性 【解析】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ，由双曲线的定义和直角三角形中的性质，可得m ，n 的关系，由a ，b ，c 的关系可得b ，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求． 【解答】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ， 在直角△PF 1F 2中，∠PF 1F 2=30∘， 可得m =2n ，则m −n =2a =n ，即a =12n ， 2c =√3n ，即c =√32n ， b =√c 2−a 2=√22n ， 可得双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，即为y =±√2x ，12. 如图，在折线ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若折线上满足条件PE →∗PF →=k 的点P 至少有4个，则实数k 的取值范围是________．【答案】 9【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，分别表示各个点的坐标，设P(x, y)，根据向量的数量积可得当k+9>0时，点P的轨迹为以(0, √3)为圆心，以√k+9为半径的圆，结合图象，即可求出满足条件PE→∗PF→=k的点P至少有4个的k的取值范围．【解答】以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120∘，∴B(−2.0)，C(2, 0)，A(−4, 2√3)，D(4, 2√3)，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴E(−3, √3)，F(3, √3)，设P(x, y)，−4≤x≤4，0≤y≤2√3，∵PE→∗PF→=k，∴(−3−x, √3−y)(3−x, √3−y)=x2+(y−√3)+9=k，即x2+(y−√3)=k+9，当k+9>0时，点P的轨迹为以(0, √3)为圆心，以√k+9为半径的圆，当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=3√3，此时点有2个，2当圆经过点C时，此时圆的半径为r=√22+3=√7，此时点P有4个，∵满足条件PE→∗PF→=k的点P至少有4个，结合图象可得，∴27≤k+9≤7，4≤k≤−2，解得−94, −2]，故实数k的取值范围为[−94二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2 // l3，则下列结论一定正确的是（）A.l1⊥l3B.l1 // l3C.l1、l3既不平行也不垂直D.l1、l3相交且垂直【答案】A【考点】平面的基本性质及推论【解析】由l1⊥l2，l2 // l3，得到l1⊥l3．【解答】∴l1⊥l3，若a>b>0，c<d<0，则一定有（）A.ad>bcB.ad<bcC.ac>bdD.ac<bd【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】∵c<d<0，∴−c>−d>0．又a>b>0，则一定有−ac>−bd，可得ac<bd．无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n(n∈N∗)，则“a1+d>0”是“{S n}为递增数列”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项和为S n=na1+n(n−1)2d，则S n+1=(n+1)a1+n(n+1)d2，则S n+1−S n=(n+1)a1+n(n+1)d2−na1−n(n−1)2d=a1+nd，若{S n}为递增数列，a1+nd>0，∵S2−S1=a1+d>0，∴a1+nd>0不能推出a1+d>0但a1+d能推出a1+nd，故a1+d>0”是“{S n}为递增数列必要非充分，已知函数f(x)={log12(1−x)−1≤x≤n22−|x−1|−3n<x≤m(n<m)的值域是[−1, 1]，有下列结论：①当n＝0时，m∈(0, 2]；②当n=12时，m∈(12,2]；1④当n ∈[0,12)时，m ∈(n, 2]；其中结论正确的所有的序号是（ ） A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 【答案】 C【考点】分段函数的应用 【解析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案． 【解答】当x >1时，x −1>0，f(x)＝22−x+1−3＝23−x −3，单调递减， 当−1<x <1时，f(x)＝22+x−1−3＝21+x −3，单调递增，∴ f(x)＝22−|x−1|−3在(−1, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减， ∴ 当x ＝1时，取最大值为1，∴ 绘出22−|x−1|−3的图象，如图下方曲线：①当n ＝0时，f(x)={log 12(1−x)−1≤x ≤022−|x−1|−30<x ≤m，由函数图象可知：要使f(x)的值域是[−1, 1]， 则m ∈(1, 2]；故①错误；②当n =12时，f(x)=log 12(1−x)，f(x)在[−1, 12]单调递增，f(x)的最大值为1，最小值为−1， ∴ m ∈(12,2]；故②正确；③当n ∈[0,12)时，m ∈[1, 2]；故③正确，④错误， 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）已知函数f(x)=32sinωx +√32cosωx （其中ω>0）．（1）若函数f(x)的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f(x)的单调递增区间；（2）若ω=2，0<α<π，且f(α)=32，求α的值． 【答案】函数f(x)=32sinωx +√32cosωx =√3sin(ωx +π6)，∵ 函数f(x)的最小正周期为3π，即T =3π=2πω∴ ω=23那么：f(x)=√3sin(23x +π6)，得：3kπ−π≤x≤π2+3kπ∴函数f(x)的单调递增区间为[−π+3kπ,π2+3kπbrack，k∈Z；函数f(x)=32sinωx+√32cosωx=√3sin(ωx+π6)，∵ω=2∴f(x)=√3sin(2x+π6)，f(α)=32，可得sin(2α+π6)=√32∵0<α<π，∴π6≤(2α+π6)≤13π62α+π6=π3或2π3解得：α=π4或α=π12．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】（1）利用辅助角公式化简，根据函数f(x)的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间；（2）将ω=2，可得f(x)解析式，0<α<π，由f(α)=32，利用三角函数公式即可求α的值．【解答】函数f(x)=32sinωx+√32cosωx=√3sin(ωx+π6)，∵函数f(x)的最小正周期为3π，即T=3π=2πω∴ω=23那么：f(x)=√3sin(23x+π6)，由2kπ−π2≤23x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得：3kπ−π≤x≤π2+3kπ∴函数f(x)的单调递增区间为[−π+3kπ,π2+3kπbrack，k∈Z；函数f(x)=32sinωx+√32cosωx=√3sin(ωx+π6)，∵ω=2πf(α)=32，可得sin(2α+π6)=√32∵0<α<π，∴π6≤(2α+π6)≤13π62α+π6=π3或2π3解得：α=π4或α=π12．如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，SO=2√3，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60∘．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC与底面所成的角的大小．【答案】∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，SO=2√3，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60∘．∴r=AB2=2，l=√AO2+SO2=√4+12=4，∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点，∴PE=12PO=√3，CE=√22−12=√3，∵OE=1，OC=2，∴CE⊥AO，∴∠PCE是直线PC与底面所成角，∵PE=CE，PE⊥CE，∴∠PCE=π4，∴直线PC与底面所成的角为π4．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】AB（2）过点P 作PE ⊥圆O ，交AO 于E ，连结CE ，则E 是AO 中点，∠PCE 是直线PC 与底面所成角，由此能求出直线PC 与底面所成的角．【解答】∵ AB 是圆锥SO 的底面直径，O 是底面圆心，SO =2√3，AB =4，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，∠AOC =60∘．∴ r =AB 2=2，l =√AO 2+SO 2=√4+12=4，∴ 圆锥的侧面积S =πrl =π×2×4=8π．过点P 作PE ⊥圆O ，交AO 于E ，连结CE ，则E 是AO 中点，∴ PE =12PO =√3，CE =√22−12=√3，∵ OE =1，OC =2，∴ CE ⊥AO ，∴ ∠PCE 是直线PC 与底面所成角，∵ PE =CE ，PE ⊥CE ，∴ ∠PCE =π4，∴ 直线PC 与底面所成的角为π4．某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）． （1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【答案】设第x 天的捐步人数为x ，则f(x)={10000(1+15%)x−1,1≤x ≤30f(30),x >30． ∴ 第5天的捐步人数为f(5)=10000⋅(1+15%)4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴ 前5天的捐步总收益为10000(1−1.155)1−1.15×0.05=3371；设活动第x 天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x ≤30，则10000(1−1.15x )1−1.15×0.05>300000，解得x >log 1.1591≈32.3（舍）．②若x >30，则[10000(1−1.1530)1−1.15+10000⋅1.1529⋅(x −30)]•0.05>300000，解得x >32.87．∴ 活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．【考点】等比数列的性质根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据等比数列的性质求出；（2）对活动天数x 进行讨论，列出不等式求出x 的范围即可．【解答】设第x 天的捐步人数为x ，则f(x)={10000(1+15%)x−1,1≤x ≤30f(30),x >30． ∴ 第5天的捐步人数为f(5)=10000⋅(1+15%)4=17490．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，∴ 前5天的捐步总收益为10000(1−1.155)1−1.15×0.05=3371；设活动第x 天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，①若1≤x ≤30，则10000(1−1.15x )1−1.15×0.05>300000，解得x >log 1.1591≈32.3（舍）．②若x >30，则[10000(1−1.1530)1−1.15+10000⋅1.1529⋅(x −30)]•0.05>300000，解得x >32.87．∴ 活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．已知椭圆x 210+y 29=1的右焦点是抛物线Γ：y 2=2px 的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)．（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点P(2, 0)，求△OAB 的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点C(1, 2)，直线l 经过点Q(5, −2)，D 为线段AB 的中点，求证：|AB|=2|CD|．【答案】由椭圆x 210+y 29=1，得a 2=10，b 2=9，则c =1． ∴ 椭圆x 210+y 29=1的右焦点，即抛物线Γ：y 2=2px 的焦点为(1, 0)， 则p 2=1，p =2，∴ Γ的方程为y 2=4x ；设直线l:x =my +2，联立{x =my +2y 2=4x，得y 2−4my −8=0． 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8．∴ S △OAB =12×2×|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 2+32=4√m 2+2≥4√2，即△OAB 的面积的最小值为4√2；证明：当AB 所在直线斜率存在时，设直线方程为y +2=k(x −5)，即y =kx −5k −2．联立{y =kx −5k −2y 2=4x，可得ky 2−4y −20k −8=0． y 1+y 2=4k，y 1y 2=−20k+8k ． x 1+x 2=y 1+y 2+10k+4k =10k 2+4k+4k 2． x 1x 2=(y 1+5k +2)(y 2+5k +2)k 2=y 1y 2+(5k +2)(y 1+y 2)+(5k +2)2k 2 =−20k+8k +(5k+2)∗4k+(5k+2)2k 2=(5k+2)2k 2．∵ C(1, 2)，∴ CA →=(x 1−1,y 1−2)，CB →=(x 2−1,y 2−2)，则CA →∗CB →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=(5k+2)2k 2−10k 2+4k+4k 2−20k+8k −8k +4=0， 当AB 所在直线斜率不存在时，直线方程为x =5，联立{x =5y 2=4x，可得A(5, −2√5)，B(5, 2√5)， CA →=(4,−2√5−2)，CB →=(4,2√5−2)，有CA →∗CB →=0，∴ CA ⊥CB ，又D 为线段AB 的中点，∴ |AB|=2|CD|．【考点】椭圆的定义【解析】（1）由题意方程求出右焦点坐标，即抛物线焦点坐标，进一步可得抛物线方程； （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得|y 1−y 2|，代入三角形面积公式，利用二次函数求最值；（3）分直线AB 的斜率存在与不存在，证明有CA →∗CB →=0，可得CA ⊥CB ，又D 为线段AB 的中点，则|AB|=2|CD|．【解答】由椭圆x 210+y 29=1，得a 2=10，b 2=9，则c =1． ∴ 椭圆x 210+y 29=1的右焦点，即抛物线Γ：y 2=2px 的焦点为(1, 0)，则p 2=1，p =2，∴ Γ的方程为y 2=4x ；设直线l:x =my +2，联立{x =my +2y 2=4x，得y 2−4my −8=0． 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8．∴ S △OAB =12×2×|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 2+32=4√m 2+2≥4√2，即△OAB 的面积的最小值为4√2；证明：当AB 所在直线斜率存在时，设直线方程为y +2=k(x −5)，即y =kx −5k −2．联立{y =kx −5k −2y 2=4x，可得ky 2−4y −20k −8=0． y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−20k+8k ． x 1+x 2=y 1+y 2+10k+4k =10k 2+4k+4k 2． x 1x 2=(y 1+5k +2)(y 2+5k +2)k 2=y 1y 2+(5k +2)(y 1+y 2)+(5k +2)2k 2=−20k+8k +(5k+2)∗4k+(5k+2)2k 2=(5k+2)2k 2．∵ C(1, 2)，∴ CA →=(x 1−1,y 1−2)，CB →=(x 2−1,y 2−2)，则CA →∗CB →=(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2−2(y 1+y 2)+4=(5k+2)2k 2−10k 2+4k+4k 2−20k+8k −8k +4=0， 当AB 所在直线斜率不存在时，直线方程为x =5，联立{x =5y 2=4x，可得A(5, −2√5)，B(5, 2√5)， CA →=(4,−2√5−2)，CB →=(4,2√5−2)，有CA →∗CB →=0，∴ CA ⊥CB ，又D 为线段AB 的中点，∴ |AB|=2|CD|．对于函数y =f(x)(x ∈D)，如果存在实数a 、b （a ≠0，且a =1，b =0不同时成立），使得f(x)=f(ax +b)对x ∈D 恒成立，则称函数f(x)为“(a, b)映像函数”． （1）判断函数f(x)=x 2−2是否是“(a, b)映像函数”，如果是，请求出相应的a 、b 的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数y =f(x)是定义在[0, +∞)上的“(2, 1)映像函数”，且当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，求函数y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数；（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{a n }，使得当x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，2x +1∈[a n+1, a n+2)，并求x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式，及y =f(x)(x ∈[0, +∞)）的值域．【答案】由f(x)=x 2−2，可得f(ax +b)=(ax +b)2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2， 由f(x)=f(ax +b)，得x 2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2，则{a 2=12ab =0b 2−2=−2，∵ a ≠0，且a =1，b =0不同时成立， ∴ a =−1，b =0．∴ 函数f(x)=x 2−2是“(−1, 0)映像函数”；∵ 函数y =f(x)是定义在[0, +∞)上的“(2, 1)映像函数”，∴ f(x)=f(2x +1)，则f(0)=f(1)=f(3)，f(1)=f(3)=f(7)，∴ f(0)=f(3)，f(1)=f(7)，而当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，∴ x ∈[3, 7)时，设f(x)=2sx+t ，由{3s +t =07s +t =1，解得s =14，t =−34． ∴ x ∈[3, 7)时，f(x)=214(x−3)．令y =214(x−3)(3≤x <7)，得14(x −3)=log 2y ，∴ x =log 2y 4+3(1≤y <2)，∴ 函数y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数为y =log 2x 4+3(1≤x <2)；由（2）可知，构造数列{a n }，满足a 1=0，a n+1=2a n +1，则a n+1+1=2(a n +1)，∴ 数列{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则a n +1=2n−1，即a n =2n−1−1．当x ∈[a n , a n+1)=[2n−1−1, 2n −1)．令{(2n−1−1)s +t =0(2n −1)s +t =1，解得s =21−n ，t =21−n −1． ∴ x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式为f(x)=221−n x+21−n −1． 当x ∈[0, +∞)时，函数f(x)的值域为[1, 2)．【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）直接由题意列关于a ，b 的方程组，求解得答案；（2）由题意可得f(0)=f(3)，f(1)=f(7)，而当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，则x ∈[3, 7)时，设f(x)=2sx+t ，可得{3s +t =07s +t =1，求得s ，t 的值，则函数解析式可求，把x用含有y 的代数式表示，把x ，y 互换可得y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数； （3）由（2）可知，构造数列{a n }，满足a 1=0，a n+1=2a n +1，可得数列{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得a n =2n−1−1．当x ∈[a n , a n+1)=[2n−1−1, 2n−1)，令{(2n−1−1)s +t =0(2n −1)s +t =1 ，解得s =21−n ，t =21−n −1，可得x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式为f(x)=221−n x+21−n −1，并求得x ∈[0, +∞)时，函数f(x)的值域为[1, 2)．【解答】 由f(x)=x 2−2，可得f(ax +b)=(ax +b)2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2， 由f(x)=f(ax +b)，得x 2−2=a 2x 2+2abx +b 2−2，则{a 2=12ab =0b 2−2=−2，∵ a ≠0，且a =1，b =0不同时成立， ∴ a =−1，b =0．∴ 函数f(x)=x 2−2是“(−1, 0)映像函数”；∵ 函数y =f(x)是定义在[0, +∞)上的“(2, 1)映像函数”，∴ f(x)=f(2x +1)，则f(0)=f(1)=f(3)，f(1)=f(3)=f(7)， ∴ f(0)=f(3)，f(1)=f(7)，而当x ∈[0, 1)时，f(x)=2x ，∴ x ∈[3, 7)时，设f(x)=2sx+t ，由{3s +t =07s +t =1，解得s =14，t =−34． ∴ x ∈[3, 7)时，f(x)=214(x−3)．令y =214(x−3)(3≤x <7)，得14(x −3)=log 2y ，∴ x =log 2y 4+3(1≤y <2)，∴ 函数y =f(x)(x ∈[3, 7)）的反函数为y =log 2x 4+3(1≤x <2)； 由（2）可知，构造数列{a n }，满足a 1=0，a n+1=2a n +1，则a n+1+1=2(a n +1)，∴ 数列{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则a n +1=2n−1，即a n =2n−1−1．当x ∈[a n , a n+1)=[2n−1−1, 2n −1)．令{(2n−1−1)s +t =0(2n −1)s +t =1，解得s =21−n ，t =21−n −1． ∴ x ∈[a n , a n+1)(n ∈N ∗)时，函数y =f(x)的解析式为f(x)=221−n x+21−n −1．当x ∈[0, +∞)时，函数f(x)的值域为[1, 2)．。
最新-上海市闵行区2018学年第一学期高三质量监控考试物理试题 精品
上海市闵行区2018-2018学年度第一学期教学调研物理试题考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、学号等填写清楚. 2．本试卷共12页，满分150分. 考试时间120分钟.3．第19、20、21、22、23题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤. 只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分. 有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位.g 取10m/s 2。
一、（20分）填空题. 本大题共5小题，每小题4分. 答案写在题中横线上的空白处或指定位置，不要求写出演算过程.本大题中第l 、2、3小题为分叉题。
分A 、B 两类，考生可任选一类答题．若两类试题均做。
一律按A 类题计分．A 类题(适合于使用一期课改教材的考生)1A 、如图所示，长度都为L ＝0.8 m 的两根细绳，一端系着同一个小球A ，另一端分别系于两边墙上相同高度的两 点，两绳间的夹角为α＝120︒，现给小球A 一垂直于纸 面向外的初速度v 0，使小球垂直于纸面开始做小角度的摆动，若v 0很小，则小球A 第一次回到平衡位置所需时间为___________s ；该求解过程 中用的科学方法是___________。
2A 、一带正电的粒子和一中性粒子同时以相同的初速度进入水平的匀强电场中，已知粒子运动方向与电场线平行但方向相反，带电粒子运动了20cm 不再前进将开始返回， 则这时中性粒子已经运动了 cm 距离（粒子只受电场力） 3A 、如图所示，一根长为4m 的均匀直棒AO ，O 端用光滑的铰链固定于地面上，上端有一水平拉力F ，为了使棒 能垂直地立在地面上，用一根长4m 的绳子拉住棒，绳 的一端固定在地面上，要使绳子的拉力最小，则绳的另 一端系在杆上的位置距地面的高度是 m 。
B 类题(适合于使用二期课改教材的考生)1B 、每时每刻都有大量带电的宇宙射线向地球射来，幸好地球磁场可以有效地改变这些宇宙射线中大多数射线粒子的运动方向， 使它们不能到达地面，这对地球上的生命有十分重要的意义。
上海市各区2018届高三数学(理科)一模试题分类汇编：三角函数 精品
上海市各区2018届高三数学（理科）一模试题分类汇编三角函数2018.01.23（普陀区2018届高三1月一模，理）3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .3. 4；（长宁区2018届高三1月一模，理）7、设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________. 7、]23,0(（徐汇区2018届高三1月一模，理）4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）（嘉定区2018届高三1月一模，理）6．已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．6．71-（杨浦区2018届高三1月一模，理）9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________． 9. 理1±；（浦东新区2018届高三1月一模，理）4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______. 4. 1（长宁区2018届高三1月一模，理）9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________9、6π （浦东新区2018届高三1月一模，理）9.在锐角ABC 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________. 9. 13（徐汇区2018届高三1月一模，理）2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .（普陀区2018届高三1月一模，理）17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .17 C （徐汇区2018届高三1月一模，理）16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）（16. B浦东新区2018届高三1月一模，理）16. 方程5log sin x x 的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 16. B（长宁区2018届高三1月一模，理）17、已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222-± 17、A（嘉定区2018届高三1月一模，理）17．将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π17．C（杨浦区2018届高三1月一模，理）17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．17. A ；（普陀区2018届高三1月一模，理）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分（杨浦区2018届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分（长宁区2018届高三1月一模，理）20.（本题满分14分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分8分）在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =. (1)求证tan 3tan B A =; （2）若5cos C =求角A 的大小. 20、(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B , 即cos =3cos AC A BC B . …………2分 由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B . …………4分 又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =. …………6分(2)∵ 5cos 0C <C <π=,∴2525sin 1=5C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∴tan 2C =.…………8分 ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--. …………10分由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π. …………14分（浦东新区2018届高三1月一模，理）19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：AC SB ⊥；（2）求二面角C SA D --的大小. 19.解:（1）连接BD ，∵SD ⊥平面ABCDAC ⊆平面ABCD∴AC ⊥SD ………………4分 又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∴AC ⊥平面SBD∴AC⊥SB. ………………6分（2）设SA 的中点为E ，连接DE 、CE ， ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE ⊥SA, CE ⊥SA.∴CED ∠是二面角C SA D --的平面角. …………9分 计算得：DE 2，CE 6，CD ＝2，则CD ⊥DE.3cos 3CED ∠=, 3arccos 3CED ∠= 所以所求二面角的大小为3arccos3.………12分（嘉定区2018届高三1月一模，理）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， ………………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………（1分） 由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， ………………………………………（2分）得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， …………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………（1分） （2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………（1分）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …（2分）又2cos ||||=⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ， ………………（1分） 所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S ． …………（2分）。
精选上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学(一模)期末质量监控试题(精品解析)
上海市闵行区2018学年度第一学期高三数学（一模）期末质量监控试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若a，b为实数，则“”是“”的A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，则下面结论不可能成立的是A. ，且B.C. ，且D. b与，都相交【答案】D【解析】【分析】由点线面的位置关系，结合题中条件，即可分析出结果.【详解】因为a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，，，所以有以下三种情况：(1)若，则；(2)若，则；(3)若且，则且；因此不可能b与，都相交.故选D【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系，由线线平行，分类讨论线面关系即可，属于基础题型.3.已知函数，与其反函数有交点，则下列结论正确的是A. B.C. D.a与b的大小关系不确定【答案】B【解析】【分析】由函数与其反函数有交点，可得函数与直线有交点，进而可得出结果.【详解】因为函数，与其反函数有交点，所以函数与直线有交点，即方程有实根，整理得，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查反函数的概念，原函数与反函数有交点，必然与直线有交点，由此即可求解，属于基础题型.4.在平面直角坐标系中，已知向量，O是坐标原点，M是曲线上的动点，则的取值范围A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设，由M是曲线上的动点，得到，再由向量数量积运算的坐标表示，即可求出结果.【详解】设，则，因为M是曲线上的动点，所以，又，所以；因为，所以的取值范围是.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】解不等式得到集合，进而可求出结果.【详解】解不等式得或，所以集合或，因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.______．【答案】【解析】【分析】在原式的基础上，分子分母同除以，进而可求出结果.【详解】因为.故答案为【点睛】本题主要考查型极限，只需分子分母同除以即可得出结果，属于基础题型.7.若复数z满足是虚数单位，则______．【答案】【解析】【分析】由先得到，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.8.方程的解为______．【答案】【解析】【分析】方程可化为，求解即可.【详解】由得即，解得.故答案为【点睛】本题主要考查矩阵，由矩阵的运算转化为含指数的方程，即可求解，属于基础题型. 9.等比数列中，，，则______．【答案】256【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题中条件求出，进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，因此，所以.故答案为256【点睛】本题主要考查等比数列的性质，熟记等比数列性质即可，属于基础题型.10.的展开式中项的系数为___．（用数字表示）【答案】【解析】试题分析：由得：项的系数为．考点：二项展开式定理求特定项11.已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】【分析】将：化为，再由平行线间的距离公式即可求出结果.【详解】因为：可化为，所以与的距离为.故答案为【点睛】本题主要考查两条平行线间的距离公式，熟记公式即可，属于基础题型.12.已知函数，的值域为，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由作出其图像，由值域为，即可求出结果.【详解】因为，作出其图像如下：因为函数，的值域为，所以由图像可得，；所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的性质，根据函数的值域求参数范围，通常需要作出函数图像，由数形结合的思想来处理，属于常考题型.13.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．【答案】12【解析】【分析】由异面直线的概念，一一列举出与异面的直线即可.【详解】由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.故答案为12【点睛】本题主要考查异面直线，熟记概念即可，属于基础题型.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．【答案】0【解析】【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.【详解】因为，余弦定理，又，所以有，即，所以，因此或，所以或，因为C三角形内角，所以，故.故答案为0【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.15.已知向量，，且，若向量满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先由题中条件求出，再由即可求出结果.【详解】因为，，且所以，所以，因此.故的最大值为【点睛】本题主要考查向量的模的最值问题，根据向量模的几何意义，即可求解，属于常考题型.16.若无穷数列满足：，当，时．其中表示，，，中的最大项，有以下结论：若数列是常数列，则若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为q的等比数列，则则其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号【答案】【解析】【分析】根据题中条件,逐项判断即可.【详解】若数列是常数列，则有，所以，又，所以，故，又，所以，即.故正确；若数列是公差的等差数列，若，则数列是递增数列，则，则，，不能满足数列为公差的等差数列；若，则数列是递减数列，则，所以满足题意；故正确；若数列是公比为q的等比数列，若q>1，由可知数列是递增数列，所以，所以，即q=2满足题意；若0<q<1，由可知数列是递减数列，所以，所以，故，因为0<q<1，所以显然不成立，故0<q<1不满足题意；若q<0，则数列是摆动数列，不能满足题意；综上q>1，故正确.故答案为【点睛】本题主要考查数列的应用，灵活运用数列的性质是解题的关键，难度较大.三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱BC的中点．求该三棱柱的表面积；求异面直线AB与所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据棱柱的表面积公式直接求解即可；先取AC中点E，连结DE，，根据题意可得是异面直线AB与所成角，解三角形即可. 【详解】解：正三棱柱的各棱长均为2，该三棱柱的表面积：．取AC中点E，连结DE，，为棱BC的中点，，，是异面直线AB与所成角或所成角的补角，，，，异面直线AB与所成角的大小为．【点睛】本题主要考查几何体的表面积公式以及异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角即可，属于基础题型.18.已知抛物线C：．若C上一点到其焦点的距离为3，求C的方程；若，斜率为2的直线l交C于两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原点，求点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据抛物线的定义，由C上一点到其焦点的距离为3，可求出，进而可求出抛物线方程；由先求出抛物线方程，再设直线l：，代入抛物线方程，设，，结合韦达定理和判别式，根据求出的值即可.【详解】解：由抛物线的定义得：，解得：，所以抛物线C的方程为：；时，抛物线C：，设直线l：，并代入抛物线C：得：，，解得设，，则，，，解得或当时，不在x轴正半轴上，舍去；当时，故点M的坐标为【点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件求解，属于常考题型.19.在股票市场上，投资者常根据股价每股的价格走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价元与时间天的关系在ABC段可近似地用函数的图象从最高点A到最低点C的一段来描述如图，并且从C 点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，点B，D的坐标分别是．请你帮老张确定a，，的值，并写出ABC段的函数解析式；如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？【答案】（1）,,,，；（2）16.【解析】【分析】由B，D的坐标确定的值，和C的坐标，进而确定周期，求出，再由C的坐标，求出，即可得出函数解析式；(2)由(1)线求出DEF的解析式，令，求出即可.【详解】解：因为B，D的坐标分别是，且DEF段与ABC段关于直线l：对称，所以，所以，，，，由可得，，．由题意得DEF的解析式为：，由，得，故买入天后股价至少是买入价的两倍．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.20.对于函数，若函数是增函数，则称函数具有性质A．若，求的解析式，并判断是否具有性质A；判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；若函数具有性质A，求实数k的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数．【答案】（1），具有性质A；（2）假命题；（3）详见解析.【解析】【分析】由，结合即可得出解析式，和单调性，进而可得出结果；判断命题“减函数不具有性质A”，为假命题，举出反例即可，如；若函数具有性质A，可知在为增函数，进而可求出实数k的取值范围；再令，则在区间上零点的个数，即是的根的个数，结合k 的取值范围，即可求出结果.【详解】解：，，在R上递增，可知具有性质A；命题“减函数不具有性质A”，为假命题，比如：，在R上递增，具有性质A；若函数具有性质A，可得在递增，可得，解得；由，可得，即，可得，时显然成立；时，，由在递减，且值域为，时，或1，有三解，3个零点；当时，，即，可得，1个零点；当时，，t有一解，x两解，即两个零点；当，且时，无解，即x无解，无零点．【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数的单调性，以及函数零点问题，按照题中条件结合函数的性质分析即可，属于常考题型.21.对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．已知，且，若数列和满足：，且，．若，求的取值范围；求证：数列是“拟等比数列”；已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】由即可求出结果；根据题中“拟等比数列”的定义，由，结合条件推出存在正数，使得有成立即可；由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，即可得出结果.【详解】解：，，且，，，．由题意得，当且时，，对任意，都有，即存在，使得有，数列数列是“拟等比数列”；，，，，，，由得，从而解得，又是“拟等比数列”，故存在，使得成立，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，当时，，，由得，由图象可知在时递减，故，由得p的取值范围是．【点睛】本题主要考查数列的应用，根据题中的新定义，结合条件，分类讨论即可求出结果，过程较繁琐，难度较大.。
2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)
2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。
年上海市闵行区高考数学一模试卷
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分,7－12每题５分，共54分）1.（4分）集合P=｛x｜0≤x<3，ｘ∈Z}，M＝{x|x2≤9}，则Ｐ∩Ｍ=. 2．(4分）计算=.3．(4分)方程的根是．４.(4分）已知是纯虚数（i是虚数单位）,则= .（4分)已知直线ｌ的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是.５．6．（4分)从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动,选出的３人中男女同学都有的不同选法种数是（用数字作答）7．(５分）在（1+2x）5的展开式中,x2项系数为(用数字作答)8.（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A１B1C1中，∠ＡＣB＝90°,AC=4,BＣ=3，AB=BB1，则异面直线A1Ｂ与B1Ｃ1所成角的大小是（结果用反三角函数表示)9.（5分）已知数列｛aｎ}、{b n}满足b n=ｌna n，n∈N*,其中{b n}是等差数列,且，则b1+b２＋…+ｂ1009= ．1０.（5分)如图,向量与的夹角为１20°,,，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若,则λμ的最大值是．11.（5分)已知F１、F２分别是双曲线(a＞0，b>０)的左右焦点，过F１且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P,若PF２⊥F１Ｆ2，则该双曲线的渐近线方程是．12．(5分)如图，在折线ABCD中,AB=BＣ=CＤ=4，∠ABC=∠BCD＝12０°,E、F分别是ＡB、CD的中点，若折线上满足条件的点Ｐ至少有4个,则实数k 的取值范围是.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共2０分)1３．（５分)若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3,则下列结论一定正确的是( )A.ｌ1⊥l3ﻩB.l1∥l３C．l１、ｌ３既不平行也不垂直 D.l１、ｌ3相交且垂直14.（5分）若a>b＞0,c＜d＜0,则一定有()Ａ．ad＞ｂc B.ad<bｃﻩC.ac>bｄD．ａc＜bd１5.（５分）无穷等差数列{aｎ}的首项为ａ１，公差为d,前n项和为S n(ｎ∈N*），则“ａ1＋d>0”是“｛Ｓn}为递增数列”的( )条件.A.充分非必要Ｂ．必要非充分C.充要D．既非充分也非必要１6.（5分)已知函数（n＜m)的值域是[﹣１，１]，有下列结论:①当n=0时，m∈（0，2]；②当时，；③当时,m∈[1,2］;④当时，ｍ∈（ｎ,2］；其中结论正确的所有的序号是（)A.①②ﻩＢ．③④Ｃ．②③ D.②④三．解答题(本大题共５题，共１４+１4＋14＋1６+18=76分)17．(1４分）已知函数(其中ω＞０）.（１）若函数f(x)的最小正周期为３π，求ω的值,并求函数f(x）的单调递增区间;（2）若ω=2,０<α<π，且，求α的值．１8．（14分）如图,已知AＢ是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心，,AＢ＝４,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点，∠AOC＝６０°.（1）求圆锥的侧面积；(２)求直线PＣ与底面所成的角的大小.1９．(14分）某公司举办捐步公益活动,参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童,此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益,据测算,首日参与活动人数为１0０00人,以后每天人数比前一天都增加１５%,30天后捐步人数稳定在第３０天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元,每位捐步者每天可以使公司收益０.０5元(以下人数精确到１人,收益精确到1元)．（1）求活动开始后第５天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；(２)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？２０.（16分)已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2＝２pｘ的焦点,直线l与Γ相交于不同的两点A(ｘ１,ｙ１）、B(ｘ2,ｙ2）．（1）求Γ的方程;(２)若直线ｌ经过点P(2，０),求△OAB的面积的最小值(O为坐标原点)；（3）已知点C(１，２),直线l经过点Q（5,﹣２）,Ｄ为线段ＡB的中点,求证:|ＡB|=２|ＣＤ|．21．（１８分)对于函数y=ｆ(x）（x∈D)，如果存在实数a、b（ａ≠0，且ａ=1，b=0不同时成立)，使得f(x)=ｆ（ax+b)对x∈D恒成立，则称函数ｆ（x）为“(a,ｂ)映像函数”.（１)判断函数f(x)=x２﹣２是否是“(a,b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b 的值，若不是，请说明理由;(2）已知函数y＝f（x)是定义在[0，＋∞）上的“(2,1)映像函数”,且当ｘ∈［0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x)（ｘ∈[３,7))的反函数；｝,使得当ｘ∈[a n,aｎ＋１）（n∈N*）时,2（3）在（2）的条件下,试构造一个数列{aｎｘ+1∈[ａn,ａn+2），并求x∈［a n,a n+１)(n∈N*)时，函数y=f(ｘ）的解析式，及y+1＝f（ｘ）(x∈［0，＋∞））的值域.ﻬ２０18年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，１-6每题4分,７－12每题5分，共５4分）1．（4分）集合Ｐ={x｜0≤ｘ<３,x∈Z}，M=｛x｜x２≤9｝，则Ｐ∩M＝{0，1，2} .【解答】解:∵集合P={x|０≤x＜3,x∈Z}={0,1，2｝,M=｛x|x2≤９}={x|﹣3≤x≤3}，∴Ｐ∩Ｍ={0,1，2｝．故答案为:｛0,1，2}．2.(4分)计算=．【解答】解：＝=＝，故答案为:.3.(4分)方程的根是10 .【解答】解：∵,即１+lgx﹣3+lgｘ＝０，∴lgx＝１，∴ｘ=10．故答案为：10.4.（４分)已知是纯虚数(ｉ是虚数单位），则=．【解答】解:∵是纯虚数,∴,得ｓｉn且cｏs,∴α为第二象限角,则ｃos.∴=ｓｉnαｃos+cosαｓｉn=.故答案为:﹣．5．(4分）已知直线ｌ的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【解答】解:设直线ｌ的倾斜角为θ，θ∈[0，π）.设直线的方向向量为＝(ｘ,y）,则＝x﹣y=0,∴ｔanθ==，解得θ=.故答案为：.6．（４分)从4名男同学和６名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是96 （用数字作答)【解答】解：根据题意，在4名男同学和６名女同学共１0名学生中任取3人，有Ｃ10３=1２0种,其中只有男生的选法有C４3＝4种，只有女生的选法有C６3=20种则选出的３人中男女同学都有的不同选法有１２0﹣4﹣２０=96种;故答案为：96.7.(5分)在（1+2ｘ）5的展开式中，ｘ2项系数为４0(用数字作答）【解答】解:设求的项为T r+１=C5r（2x）r,今ｒ＝2，∴T3=22Ｃ52x2=40x2.∴x２的系数是4０8．（5分）如图,在直三棱柱AＢC﹣A1B1C1中,∠ACＢ=9０°，AC=4，ＢC＝３,AＢ＝ＢＢ１，则异面直线A１B与B1Ｃ１所成角的大小是ａrccoｓ(结果用反三角函数表示）【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1Ｂ1C1中,∠AＣB＝９０°,ＡC=4，BC=3,AB=BB1, BC∥B1Ｃ1，∴∠ＡBC是异面直线A1Ｂ与B1Ｃ1所成角，１∵A1B＝==5,A1C＝＝=,∴cｏs∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos.∴异面直线A1B与Ｂ1C１所成角的大小是arｃcoｓ.故答案为:arｃcｏs．9.(5分)已知数列｛aｎ}、｛ｂn｝满足b n=ｌｎa n,ｎ∈N＊，其中{b n｝是等差数列,且，则b1＋b2＋…+b1009=2018．【解答】解:数列｛a n}、{ｂn}满足ｂn=lnａn，n∈N*,其中{b n}是等差数列,∴b n＋１﹣ｂｎ=lnaｎ＋１﹣lna n=ln=常数t．∴＝常数e t=q＞0,}为等比数列.因此数列{aｎ且，∴a1a10０9=a2ａ100８==…．则b1+b2＋…+ｂ1０09=ln（a1a2…a10０9)=＝lnｅ201８=２018．故答案为:2018．10．（5分)如图,向量与的夹角为120°,，,P是以O为圆心,为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是.【解答】解:如图建立平面直角坐标系，设Ｐ(cosθ，ｓinθ),，，.∵，∴,ｓiｎθ=．∴,∴λμ=﹣+=+，故答案为:1１.（5分)已知F1、F2分别是双曲线（a>0，b>0)的左右焦点,过Ｆ1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PＦ2⊥F1F2,则该双曲线的渐近线方程是ｙ＝±x .｜＝ｍ，｜PF2|=n，|F1Ｆ２｜＝2ｃ，【解答】解：设|PＦ１在直角△ＰF1F2中，∠PF1Ｆ２＝30°，可得m=2n，则ｍ﹣n=2ａ＝n，即a=n，2c＝n,即c＝ｎ，b==ｎ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y＝±x，故答案为:y=±x.１2.(5分)如图，在折线AＢCD中,ＡB=ＢC=CD＝４，∠ABＣ=∠BCD=120°，E、F 分别是ＡＢ、CD的中点,若折线上满足条件的点P至少有４个,则实数k 的取值范围是(﹣，﹣2) ．【解答】解:以BC的垂直平分线为y轴,以ＢC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,∵AB=BC=CD=４，∠ABＣ=∠ＢＣD=1２0°,∴B(﹣2.0）,C(2,0),A(﹣4,２）,Ｄ（4，２),∵Ｅ、Ｆ分别是AB、CＤ的中点,∴E（﹣3，）,F(３,）,设P(x,y）,﹣4≤x≤4,0≤y≤2，∵，∴（﹣３﹣x,﹣ｙ）(3﹣x，﹣ｙ)=x２+(ｙ﹣）+9＝k，即x2+（y﹣）﹣9=ｋ+９,当ｋ＋９＞０时，点P的轨迹为以(0，)为圆心，以为半径的圆,当圆与直线DＣ相切时，此时圆的半径r＝，此时点有2个，当圆经过点C时，此时圆的半径为r=＝，此时点P有4个，∵满足条件的点Ｐ至少有4个，结合图象可得，∴<ｋ＋9＜７,解得﹣＜k<﹣2，故实数k的取值范围为（﹣,﹣２),故答案为：(﹣,﹣2）二．选择题(本大题共4题，每题5分,共2０分）1３．（5分)若空间中三条不同的直线l1、ｌ２、l3,满足l１⊥l2,l２∥ｌ3,则下列结论一定正确的是(）A．ｌ1⊥ｌ3ﻩB．ｌ1∥l3C.l１、l3既不平行也不垂直ﻩＤ．l1、ｌ3相交且垂直【解答】解:∵空间中三条不同的直线l、l2、l3，满足l1⊥ｌ2，l2∥l3，１∴l1⊥l3,故选:A.14.（5分)若a＞b＞0，c＜d<0，则一定有()A.ad＞bcﻩＢ.ad<bcﻩC．ac>bｄD．ａc<bd【解答】解:∵c<d＜0，∴﹣ｃ＞﹣ｄ＞０．又a＞b>0，则一定有﹣aｃ＞﹣bd,可得ac＜ｂd．故选:D.1５．（5分）无穷等差数列{ａｎ}的首项为a1，公差为ｄ，前n项和为Ｓn(n∈N*）,则“a1+d＞0”是“{Ｓn}为递增数列”的()条件.A.充分非必要ﻩB.必要非充分C．充要 D.既非充分也非必要【解答】解：等差数列{ａn}的首项为ａ１，公差为ｄ,前ｎ项和为Sｎ=na１+d，则Ｓn+1=(n+1)a１+,则S n+１﹣S n=(n＋1)a１+﹣na1﹣d=a1+nd，若{Sｎ｝为递增数列，ａ１+nd>0,∵Ｓ2﹣S１=a1+ｄ＞0，∴a1+ｎd>0不能推出a1+d＞0但a１+ｄ能推出a1+nd，故a1＋ｄ>０”是“{Sｎ｝为递增数列必要非充分，故选：B16.(5分）已知函数（ｎ＜m)的值域是［﹣１，1],有下列结论：①当ｎ=0时,m∈（0，２］；②当时,；③当时,m∈［1，2];④当时，m∈（n，2]；其中结论正确的所有的序号是( ）A.①②Ｂ．③④C．②③D．②④【解答】解：当x>1时，x﹣1＞０,f（x）=2２﹣x+1﹣３=2３﹣x﹣3,单调递减，当﹣1<x<1时，f(x)=２2+x﹣1﹣3=２1+x﹣3，单调递增,∴f(ｘ)=22﹣｜x﹣1｜﹣3在（﹣１,１）单调递增,在(1，+∞)单调递减,∴当ｘ=1时,取最大值为1,∴绘出ｆ（x）的图象，如图：①当n=０时,f（ｘ)=,由函数图象可知：要使ｆ(ｘ）的值域是[﹣１,１]，则ｍ∈(1,2]；故①错误;②当时，f(ｘ)＝,f（x)在[﹣１,］单调递增,f（x)的最大值为1,最小值为﹣1，∴;故②正确;③当时，ｍ∈[1,2]；故③正确，④错误，故选Ｃ.三.解答题(本大题共5题，共14+１4＋14+1６＋１8=76分)17.(1４分）已知函数(其中ω>0）.(1）若函数f（ｘ)的最小正周期为３π，求ω的值，并求函数f(ｘ）的单调递增区间；（2）若ω＝2，0＜α<π,且，求α的值.【解答】解：（1)函数=sｉn（ωx）,∵函数f（x)的最小正周期为3π，即T=3π=∴ω＝那么:，由，ｋ∈Ｚ，得：∴函数f(x）的单调递增区间为，k∈Z；（2）函数=sｉn（ωｘ),∵ω=2∴f（x）＝sin（2ｘ）,,可得sin（２α）＝∵0<α＜π,∴≤（2α）≤2α＝或解得：α＝或α＝.１8.（14分）如图,已知ＡB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,,AＢ＝4,Ｐ是母线SA的中点，Ｃ是底面圆周上一点，∠AOＣ=60°．(１）求圆锥的侧面积;（2）求直线PＣ与底面所成的角的大小.【解答】解:（１)∵AＢ是圆锥ＳO的底面直径，Ｏ是底面圆心，,ＡB=4, P是母线SＡ的中点，C是底面圆周上一点，∠AＯC=６0°．∴r=＝2，l==＝4,∴圆锥的侧面积S=πrl＝π×２×4=8π.（2）过点Ｐ作PE⊥圆O,交AＯ于Ｅ，连结ＣE,则E是AO中点,∴PE=ＰＯ=,CE==,∴∠PCE是直线PC与底面所成角,∵PE=CＥ,ＰＥ⊥CE,∴,∴直线PＣ与底面所成的角为．１9．(14分)某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平,假设此项活动的启动资金为3０万元,每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元).（1)求活动开始后第５天的捐步人数，及前５天公司的捐步总收益；(2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？【解答】解:（1）设第x天的捐步人数为x，则ｆ（x）=．∴第5天的捐步人数为f（5）=1０000•（1+１５%）4=１７4９0.由题意可知前5天的捐步人数成等比数列,其中首项为10000，公比为1.15,∴前5天的捐步总收益为×０.05=3371；(2)设活动第ｘ天后公司捐步总收益可以回收并有盈余,①若1≤x≤30，则×０.05＞30００00,91≈３２.３(舍）.解得ｘ＞log1.１5②若ｘ>30，则[+10000•1.1529•(x﹣３0）］•0．05>30000０，解得x＞３２.87．∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余. 20．(16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ:y2＝２px的焦点，直线ｌ与Γ相交于不同的两点A（x1,ｙ１）、B（x2,y2)．(1）求Γ的方程;（2)若直线l经过点P(2，0),求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）;(3）已知点C(1,2）,直线l经过点Ｑ(5，﹣2），D为线段ＡＢ的中点，求证：|AB|=2|C Ｄ|．【解答】(１）解:由椭圆,得a2=10，b2=9,则c＝1．∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ:ｙ2=2px的焦点为（1,0）,则，p＝2，∴Γ的方程为y2=4ｘ;（2)解:设直线l：ｘ=my+2,联立，得ｙ2﹣4my﹣8=0．则y１+y２=4m,y1ｙ2＝﹣8.∴==，即△ＯAＢ的面积的最小值为;(3）证明:当AB所在直线斜率存在时,设直线方程为y+2=k(x﹣5）,即ｙ=kx﹣５k ﹣2．联立,可得ky2﹣４y﹣20k﹣8=0．,．＝．＝==．∵C(1,2）,∴，,则=(x1﹣1)(x2﹣１)+(y1﹣2）（y2﹣２）=x1ｘ２﹣（ｘ1+x２）+1＋y１y２﹣2(ｙ1+y２）＋4=，当AＢ所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5,联立，可得A（5，﹣）,B（5，2)，，，有,∴ＣA⊥CB，又D为线段AB的中点,∴|ＡB|=2|CD｜.２1.（18分）对于函数y=ｆ(ｘ）(ｘ∈D），如果存在实数ａ、b(ａ≠0,且a=1，ｂ=0不同时成立),使得ｆ（x）=f(ax+ｂ）对x∈D恒成立,则称函数ｆ（x)为“（a,b)映像函数”．（１)判断函数f（x)=x2﹣2是否是“(a，b)映像函数”,如果是,请求出相应的a、b的值,若不是,请说明理由；（２）已知函数y=f(x）是定义在[0，+∞)上的“（2,1)映像函数”,且当x∈[0,1）时，f(x）=2x,求函数y＝f（x）（x∈[3,7））的反函数;(3）在（2)的条件下,试构造一个数列{ａn},使得当ｘ∈[a n，a n+1）(n∈N*）时，２x+1∈[a n+1，a n+２)，并求ｘ∈［ａn,a n+１）(n∈Ｎ*)时，函数ｙ=f(x）的解析式,及ｙ=f（x)(x∈［０，+∞))的值域．【解答】解：（1)由f（x）=x2﹣２，可得f(ax＋b)=（ax+ｂ)2﹣2=a2x2＋２abｘ+b2﹣2,由f(x）=ｆ（ａx＋b)，得x2﹣2＝a2x2+２abｘ＋ｂ2﹣2，则，∵a≠0,且a=1,b=０不同时成立,∴a=﹣1,b=0．∴函数f(ｘ)=x２﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；（２）∵函数y=f（x)是定义在[0,＋∞）上的“(2,1)映像函数”，∴f（x)=f(2x+1）,则f(0)=f(1)=f（３)，ｆ(1)=f(3）=f(7）,∴f（0）＝ｆ(3),f（1)=f（７），而当x∈[０,1)时，f(x）=2x，∴x∈［3，7)时,设ｆ（x)=2sx+ｔ,由,解得s=,t=﹣．∴ｘ∈[３,7）时，f(x）=．令y=(３≤x<7),得，∴x=(1≤y<2),∴函数y=ｆ（x)（x∈[3，７）)的反函数为ｙ=（１≤x＜2）;(3)由（2)可知，构造数列{ａn},满足ａ1=0,a n+1=2ａｎ＋1,＋1＝2(ａn+1）,则ａn+1∴数列{ａn＋1｝是以1为首项,以2为公比的等比数列，则,即.当x∈［a n,ａｎ＋1)=［2ｎ﹣1﹣1，2n﹣１).令,解得s=21﹣n,t=２1﹣n﹣1.∴x∈[a n，a n＋１)(n∈N*）时,函数ｙ=f(x)的解析式为f(x)=．当x∈［0，+∞)时，函数f(x）的值域为［1，２)．。
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2（2018崇明一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标是3（2018静安一模）. 与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是5（2018闵行一模）. 已知直线l 的一个法向量是1)n =-r ，则l 的倾斜角的大小是5（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆2214y x +=右顶点的双曲线的标准方程是5（2018金山一模）. 已知1F 、2F 是椭圆221259x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则12||||PF PF ⨯的最大值是6（2018黄浦一模）. 过点(2,1)P -作圆225x y +=的切线，则该切线的点法向式方程是 6（2018徐汇一模）. 已知圆22:1O x y +=与圆O '关于直线5x y +=对称，则圆O '的方程是 7（2018静安一模）. 已知点(2,3)A 到直线(1)30ax a y +-+=的距离不小于3，则实数a 的取值范围是8（2018金山一模）. 已知点(2,3)A ，点(B -，直线l 过点(1,0)P -，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是8（2018松江一模）. 若直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且AB =a =8（2018虹口一模）. 在平面直角坐标系中，双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为9（2018宝山一模）. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22125144x y -=的右焦点是C 的焦点F ，若斜率为1-，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB =9（2018普陀一模）. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为9（2018奉贤一模）. 已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA PB =，则P 到原点的距离为10（2018奉贤一模）. 设焦点为1F 、2F 的椭圆22213x y a +=(0)a >上的一点P 也在抛物线294y x =上，抛物线焦点为3F ，若32516PF =，则△12PF F 的面积为10（2018虹口一模）. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=10（2018杨浦一模）. 抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为11（2018闵行一模）. 已知1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是12（2018杨浦一模）. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=u u u u r u u u u r，则实数λ的取值范围为12（2018普陀一模）. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题： ① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3)2或3)2-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞U ；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为12（2018浦东一模）. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-u u u r u u u u r u u u r，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12||||||PF PF -为定值，则该定值为16（2018松江一模）. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A. (,1][0,1)-∞-UB. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞U 16（2018青浦一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个16（2018崇明一模）. 直线2x =与双曲线22:14x C y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 221a b +≥ B. ||1ab ≥ C. ||1a b +≥ D. ||2a b -≥16（2018静安一模）. 若曲线||2y x =+与22:144x y C λ+=恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ）A. (,1](1,)-∞-+∞UB. (,1]-∞-C. (1,)+∞D. [1,0)(1,)-+∞U18（2018青浦一模）. 已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ，过点1(0,)2D 作直线l 与抛物线C 交于不同两点M 、N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.19（2018黄浦一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，点(0,)B b 满足||2FB =.（1）求实数a 、b 的值；（2）过点F 作直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，若BFM ∆与BFN ∆的面积之比为2，求直线l 的方程.20（2018松江一模）. 已知椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）经过点3(1,)2，其左焦点为(3,0)F -，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M .（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与l 垂直的直线交椭圆于C 、D 两点，若四边形ACBD 的面积为43，求直线l 的方程； （3）设1MA AF λ=u u u r u u u r ，2MB BF λ=u u u r u u u r，求证：12λλ+为定值.20（2018虹口一模）. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p （0p >），动圆M 过点F 且与直线l 相切，记圆心M 的轨迹为曲线C ，在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E .（1）求曲线C 的轨迹方程； （2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443p pd ≤≤，求EAF ∠的取值范围； （3）判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.20（2018杨浦一模）. 设直线l 与抛物线2:4y x Ω=相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点. （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l 又与圆22:(5)16C x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（3）若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ⊥，求点Q 的轨迹方程.20（2018金山一模）. 给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），则ADB ∆的面积316ADB a S p∆=，试运用上述定理求解以下各题：（1）若2p =，AB 所在直线的方程为24y x =-，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的 直线与抛物线Γ的交点为D ，求ADB S ∆；（2）已知AB 是抛物线2:2y px Γ=（0p >）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线2:2y px Γ=（0p >）分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||A B y y a -=（0a >），求AMD S ∆和BND S ∆； （3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：22y px =（0p >）与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积.20（2018普陀一模）. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量1F M u u u u r与向量2F N u u u u r 平行. （1）求椭圆C 的方程；（2）当120F N F N ⋅=u u u u r u u u u r时，求1F MN ∆的面积；（3）当21||||F N F M -=u u u u r u u u u r时，求直线2F N 的方程.20（2018徐汇一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，且1F 、2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点22P 在椭圆Γ上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB 、CD 分别交椭圆Γ于A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：直线MB 过定点2(,0)3R ；（3）求2MNF ∆面积的最大值.20（2018浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y a b Γ+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，设点(0,)A b ，在12AF F ∆中，1223F AF π∠=，周长为4+（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP ∆面积S 的 不同取值范围，讨论AEP ∆存在的个数，并说明理由.20（2018闵行一模）. 已知椭圆221109x y +=的右焦点是抛物线2:2y px Γ=的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y .（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点(2,0)P ，求OAB ∆的面积的最小值（O 为坐标原点）；（3）已知点(1,2)C ，直线l 经过点(5,2)Q -，D 为线段AB 的中点，求证：||2||AB CD =.20（2018崇明一模）. 在平面直角坐标系中，已知椭圆222:1x C y a+=（0a >，1a ≠）的两个焦点分别是1F 、2F ，直线:l y kx m =+（,k m R ∈）与椭圆交于A 、B 两点. （1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系； （3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值.20（2018奉贤一模）. 设22{(,)|||1}M x y x y =-=，22{(,)|1}N x y x y =-=，设任意一点00(,)P x y M ∈，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l .（1）判断M 和N 的关系并说明理由；（2）设01x ≠±，1(1,0)A -，2(1,0)A ，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ，求12k k 的取值范围；（3）过P 点作1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于Q 、R ，求证：PQR ∆的面积为定值.20（2018静安一模）. 如图，已知满足条件|3||3|z i i -=-（其中i 为虚数单位）的复数z 在复平面xOy 对应点的轨迹为圆C （圆心为C ），设复平面xOy 上的复数z x yi =+（x R ∈，y R ∈）对应的点为(,)x y ，定直线m 的方程为360x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线m 相交于N 点，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是弦PQ 中点. （1）若直线l 经过圆心C ，求证：l 与m 垂直； （2）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（3）设t AM AN =⋅u u u u r u u u r，试问t 是否为定值？若为定值，请求出t 的值，若t 不为定值，请说明理由.。
2018——2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题汇总
第一学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________.()12,2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10, 3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y fx 的图像一定经过定点____.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.56π 8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．π3 9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ， 且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912. 已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. [)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，.当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ A ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ D ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ B ）种.（A ）72 （B ）36 （ （D ）81 16. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P ⋅AP AB 的取值范围为（ A ）（A ）[]1,7 （B ）[]1,7- （C）1,3⎡+⎣ （D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB .（1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ， 由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分 因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． 所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分 或者用空间向量：（1） 设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,A ，()01111,,C B -=，…………4分A1C CB1B 1A因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分 （2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u n =，则B A n ,BC n 1⊥⊥． 又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分2243432()cos 2sin 2()55525αααα=-=⨯-⨯=f …4分（2）2()cos 2sin f x x x x =-2cos21x x =+- …………………6分2sin(2)16x π=+- …………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ………………10分∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分）（2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分） 综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是 1F 、2F ，左、右两顶点分别是 1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）．（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB = ，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：即0bx ay ±=，所以3b a =，…………2分 从而3tan2θ=22tan 2tan 431tan2θθθ==-， 所以arctan 3θ=………………………………………………..4分（2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………………………………..…………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ………………………………………………………………….. 10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，3b =Γ的方程为: 22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,2y N x --， …………12分故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k kA B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）； （2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)mm内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：11,2n b b +==数列{}n c 满足：111,n nc c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.解：（1）(1)1f =，(2)2f = （2分） 猜想()f n n = （2分） （2）98n a n =- （5分）由21218899899999m mm m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n （6分）21199m m m t --∴=- （7分） 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- 352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈ （12分） 1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈ （14分） 11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知： 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<= （18分）杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.12.18一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分） 1、设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则____u=2、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为_____ 3、已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为_____ 4、若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则____n = 5、若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是_____6、若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于_______7、在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是____8、若函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围__9、在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是____10、已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期______ 11、当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为______ 12、设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112nn n n T b n N *+=-∈， 且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为_____二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13、下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x=-（D ）()cos f x x =14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315、已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos sin ,,2sin cos a f b f c f θθθθθ+⎛⎫⎛⎫===⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16、已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） （ A ）[]0,4 （B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。
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C1CABA 1B 1闵行区2017学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．集合{}03P x x x =≤<∈，Z ，{}29M x x =≤，则P M = ．2．计算22C lim 1n n n →∞=+ ．3．方程1lg 3lg 011x x+-=的根是 ．4．已知34sin (cos )i 55αα-+-（）是纯虚数（i 是虚数单位），则sin()4απ+= . 5．已知直线l 的一个法向量是1)n =-r，则l 的倾斜角的大小是 ．6．从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是 （用数字作答）.7．在()512x +错误！未找到引用源。
的展开式中，2x 项系数为 .（用数字作答） 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，=90ACB ∠，4AC =，3BC =，1AB BB =，则异面直线1A B 与11B C所成角的大小是 （结果用反三角函数表示）． 9．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b是等差数列，且431007e a a ⋅=，则121009b b b +++= ．10．如图，向量OA 与OB 的夹角为120，2OA = , 1OB = ，P 是以O 为圆心、||OB为半径的弧 BC上的动点，若OP OA OB λμ=+，则λμ11．已知12 F F 、分别是双曲线22221(0 0)x y a b a b-=>>，的左右焦点，过1F 且倾斜角为30 的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是 .12．如图，在折线ABCD 中，4AB BC CD ===,120ABC BCD ∠=∠=,E F 、PE PF k⋅= 分别是AB CD 、的中点，若折线上满足条件的点P 至少有4个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若空间中三条不同的直线1l 、2l 、3l ，满足12l l ⊥错误！未找到引用源。
，23//l l 错误！未找到引用源。
，则下列结论一定正确的是 ( )． （A ）13l l ⊥ （B ）13//l l（C ）1l 错误！未找到引用源。
、3l 错误！未找到引用源。
既不平行也不垂直 （D ）1l 错误！未找到引用源。
、3l 相交且垂直14．若0a b >>，0c d <<，则一定有 ( )．（A ）ad bc > （B ）ad bc < （C ）ac bd < （D ）ac bd >15．无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 和为n S (*n ∈N )，则“10a d +>”是“{}n S 为递增数列”的 ( )．（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件16．已知函数122|1|log (1) 1()()23 x x x n f x n m n x m ----≤≤⎧⎪⎪=<⎨-<≤⎪⎪⎩，，的值域是[1 1]-，，有下列结论：①当0n =时，(0 2]m ∈，； ②当12n =时，1( 2]2m ∈，； ③当1[0 )2n ∈，时，[1 2]m ∈，； ④当1[0 )2n ∈，时，( 2]m n ∈，． 其中结论正确的所有的序号是 ( )．（A ）①② （B ）③④ （C ）②③ （D ）②④三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数3()sin 22f x x x ωω=+（其中0ω>）． （1）若函数()f x 的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若2ω=，0α<<π，且3()2f α=，求α的值．A18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O是底面圆心，SO =4AB =，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，60AOC ∠=．（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线PC 与底面所成的角的大小．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益．据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； （2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20. (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知椭圆221109x y +=的右焦点是抛物线:Γ22y px =的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点1122( ) ( )A x y B x y ，，，．（1）求Γ的方程；（2）若直线l 经过点(2 0)P ，，求OAB △的面积的最小值(O 为坐标原点)；（3）已知点(1 2)C ，，直线l 经过点(5 2)Q -，，D 为线段AB 的中点， 求证：2AB CD =．S OBAP21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数 a b 、（0a ≠，且1 0a b ==、不同时成立），使得()()f x f ax b =+对x D ∈恒成立，则称函数()f x 为“()a b ，映像函数”.（1）判断函数2()2f x x =-是否是“()a b ，映像函数”，如果是，请求出相应的 a b 、的值，若不是，请说明理由；（2）已知函数()y f x =是定义在[0 )+∞，上的“(21)，映像函数”，且当[0 1)x ∈，时，()2x f x =.求函数()y f x =（[3 7)x ∈，）的反函数； （3）在（2）的条件下，试构造一个数列{}n a ，使得当*1[ )(N )n n x a a n +∈∈，时，1221[ )n n x a a +++∈，，并求*1[ )(N )n n x a a n +∈∈，时，函数()y f x =的解析式，及()([0 ))y f x x =∈+∞，的值域．SP闵行区2017学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷评分标准与参考答案一、填空题(第1～6题每题4分，第7～12题每题5分)1．{}0,1,2； 2．12； 3．10；4． 5．3π； 6．96；7．40； 8．arccos 10； 9．2018； 10．12； 11．y =； 12．9[ 2]4--，.二、选择题（每题5分）13．A ； 14．C ； 15．B ；16．C .三、解答题17.（第1小题满分7分，第2小题满分7分） 解：（1）3()sin )26f x x x x ωωωπ==+. 由函数的周期23T ωπ==π，解得23ω=. ………………3分 ∴2()sin()36f x x π=+，由2222362k x k ππππ-≤+≤π+得332k x k ππ-π≤≤π+ ………………6分()f x 的单调递增区间332k k π⎡⎤π-ππ+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．………………7分（2）∵3())62f παα+=得sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ………………9分又∵0α<<π，132666πππα<+<， ………………11分 ∴22633πππα+=或即124ππα=或． ………………14分18.（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）依题意，圆锥的母线长为4SA ==，底面周长为4π …2分∴ 圆锥侧面积14482S =⨯π⨯=π； …………………………6分 （2）取AO 的中点Q ，联结 PQ QC 、，∵P 是母线SA 的中点，∴//PQ SO ， ∴PQ ⊥底面ABC ，即PCQ ∠为直线PC 与底面所成的角． …………………8分在AOC △中,2 60OA OC AOC ==∠=，o，∴CQ ，又12PQ SO == ………………12分 ∴45PCQ ∠=o ，即PC 与底面所成的角为45o ． …14分19.（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设每天捐步人数构成数列{}n a ，则{1*10000 1.15 130N 575755 30n n n a n n -⨯≤≤=∈>，，，于是4510000 1.1517490a =⨯=人， ………………3分总收益为5510000(1 1.15)0.0533711 1.15S ⨯-=⨯=-元 即活动开始后第5天的捐步人数为17490人，前5天公司的捐步总收益3371元．6分（2）设活动开始第n 天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余，3010000(1 1.15)0.052173733000001 1.15⨯-⨯=<-Q ，∴30n >，……………8分由3010000(1 1.15)[(30)575755]0.053000001 1.15n S n ⨯-=+-⨯⨯>-，………12分 解得32.87n >，即活动开始第33天后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．………………14分20. (第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)解：（1）∵椭圆221109x y +=的右焦点为(1,0)，∴2p =， ………………2分 ∴Γ的方程为24y x =． ………………4分（2）（解法1）显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为2x my =+，由{242y x x m y ==+，得2480y my --=，则124y y m +=，128y y ⋅=- ……6分121||||2AOB S OP y y =⋅-==≥V ………8分∴当0m =，即直线l 垂直x 轴时，OAB △的面积取到最小值，最小值为10分（解法2）若直线l 的斜率不存在，由{242y x x ==，得(2 (2 A B -，，，OAB △的面积121||||2S OP y y =⋅-=………………6分若直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为(2)y k x =-，由{24(2)y x y k x ==-，得2480ky y k --=，0k ≠，且124y y k+=，128y y ⋅=-121||||2AOB S OP y y =⋅-==V ……8分即OAB △的面积的最小值为 ………………10分 （3）（解法1）∵直线l 的斜率不可能为零，设直线l 方程为(2)5x m y =++，由2(2)54x m y y x=++⎧⎨=⎩得248200y my m ---=， ∴124y y m +=，12820y y m =--2124410x x m m +=++，212(25)x x m =+ …………………12分 ∴112212121212=(1,2)(1,2)=()2()5AC BC x y x y x x x x y y y y ⋅--⋅---++-++22420254410820850m m m m m m =++------+=，即AC BC ⊥， …14分在Rt ABC △中，D 为斜边AB 的中点，所以2AB CD =． ………16分（解法2）（前同解法1）12AB y -==………14分线段AB 的中点D 的坐标为()2225,2m m m ++CD 所以2AB CD =． ……………………………………………16分21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 解：（1）对于2()2f x x =-，2222()()222f ax b ax b a x abx b +=+-=++-，若()()f x f ax b =+，则2222222x a x abx b -=++-，即222(1)20a x abx b -++=恒成立， ………………2分 ∴10a b =±=，，∵10a b ==，不同时成立，∴10a b =-=，，即2()2f x x =-是“10-（，）映像函数” ………………4分 （2）当[3 7)x ∈，时，1[1 3)2x -∈，，从而3[0 1)4x -∈，， ………………6分 ∵函数()y f x =是定义在[0 )+∞，上的“21（，）映像函数”，∴()(21)f x f x =+，令21t x =+，则12t x -=，∴1()()2t f t f -= ∴3413()()()224x x x f x f f ---===（[3 7)x ∈，）， ………………8分 由342x y -=得，24log 3x y =+，此时()[1 2)f x ∈，∴当[3 7)x ∈，时，函数()y f x =的反函数是12()4log 3(12)f x x x -=+≤<；…10分（3）∵*1[ )(N )n n x a a n +∈∈，时，1221[ )n n x a a +++∈，，∴构造数列{}n a ，121()n n a a n *+=+∈N ，且10a =，于是112(1)n n a a -+=+， ∴{1}()n a n *+∈N 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴121n n a -=-， ……12分而132412313211702222n n n a a a a a ----+--======L ∴当1[ )n n x a a +∈，，即1*[21 21)(N )n nx n -∈--∈，时，1121[0 1)2n n x ---+∈， …14分 对于函数()y f x =，∵()(21)f x f x =+，令21x t +=，则12t x -=∴1()()2t f t f -=，11112121321()()()()2242n n n n x x x x f x f f f -----+---+=====L∴当1*[21 21)(N )n n x n -∈--∈，时，11212()2n n x f x ---+=………………16分函数11212()2n n x f x ---+=在1*[21 21)(N )n nn ---∈，上单调递增，∴1()[(21)(21))[1 2)n n f x f f -∈--=，，而1[0 )[0 1)[1 3)[3 7)[21 21)n n -+∞=--，，，，，U U UL U UL()[1 2)[1 2)[1 2)[1 2)f x ∈=，，，，U UL U UL ，即函数()([0 ))y f x x =∈+∞，的值域为[1 2)，. ………………18分。