【科学备考】2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题：第十章 圆锥曲线 圆锥曲线的综合问题]
高考数学(理)二轮配套训练【专题6】(3)圆锥曲线中的热点问题(含答案)
第3讲圆锥曲线中的热点问题考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.热点一 圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆C 2的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线l 1的斜率为k ，将△ABD 的面积表示为关于k 的函数．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ， 则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 思维升华 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值． 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∵a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， S Q PF 1∆＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程， 整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，则y 1＝－3k ＋6k 2＋k 43＋4k 2，y 2＝－3k －6k 2＋k 43＋4k 2，S Q PF 1∆＝12×|F 1F 2|×|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴S Q PF 1∆＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴S Q PF 1∆∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时S △PF 1Q 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则S Q PF 1∆＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3.即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.热点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．思维启迪 (1)设动圆圆心坐标，利用圆的半径、半弦长和弦心距组成的直角三角形求解；(2)设直线方程y ＝kx ＋b ，将其和轨迹C 的方程联立，再设两个交点坐标，由题意知直线BP 和BQ 的斜率互为相反数，推出k 和b 的关系，最后证明直线过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 如图由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.得x 1,2＝(8－2bk )±－32kb ＋642k 2，则x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2，②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线， ∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (2,3)，Q (2，－3)在椭圆上，点A 、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则b ＝2 3.由c a ＝12，a 2＝c 2＋b 2，得a ＝4，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当∠APQ ＝∠BPQ 时，P A 、PB 的斜率之和为0， 设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，P A 的直线方程为y －3＝k (x －2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k (x －2)，x 216＋y212＝1，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0， x 1＋2＝8(2k －3)k 3＋4k 2，同理PB 的直线方程为y －3＝－k (x －2)， 可得x 2＋2＝－8k (－2k －3)3＋4k 2＝8k (2k ＋3)3＋4k 2.∴x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1－2)＋3＋k (x 2－2)－3x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝12， ∴直线AB 的斜率为定值12.热点三 圆锥曲线中的探索性问题例3 已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 －2 4 (1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求C 1方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解.解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)， 则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1,2＝8k 2±64k 4－16(1＋4k 2)(k 2－1)2(1＋4k 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，①x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2[4k 2－11＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.思维升华 解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型．解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念、性质、方程及不等式、判别式等知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形结合的思想分析问题和解决问题的能力．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．1．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 3．探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.真题感悟(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2， 圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )．即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离 d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋(x 0－t )2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0， 故d ＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 2＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 押题精练已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12. ∴x 1,2＝8k 2±64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)2(1＋2k 2)， ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， ∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)， y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2， ∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．已知点M 与双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 2＋26x ＋25＝0B ．x 2＋y 2＋16x ＋81＝0C ．x 2＋y 2＋26x ＋25＝0D ．x 2＋y 2＋16x －81＝0答案 C解析 设点M (x ，y )，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由题意得|MF 1||MF 2|＝23， 将坐标代入，得(x ＋5)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝49， 化简，得x 2＋y 2＋26x ＋25＝0.2．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( ) A.53 B.23 C.23 D.13答案 A解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53. 3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案 C解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455， ∴2a a 2＋b 2＝455， ∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5，∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1，故选C. 4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.5．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|，∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2＋1) B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞) 答案 A解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1， 所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a |PF 2|＝c |PF 1|， 即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ， 所以|PF 1|＝e |PF 2|.因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上．又|PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|(e －1)＝2a ，解得|PF 2|＝2a e －1， 因为|PF 2|>c －a ，所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1.又e >1，所以e ∈(1，2＋1)，故选A.二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．答案 (0,2)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点，∴|BN |＝2|DF 2|，|AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.10．(2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 三、解答题11．已知点A 、B 的坐标分别是(0，－1)、(0,1)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－12. (1)求点M 轨迹C 的方程；(2)若过点D (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点E 、F ，试求△OEF 面积的取值范围．(O 为坐标原点)解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，∵k AM ·k BM ＝－12. ∴y ＋1x ·y －1x ＝－12. 整理，得x 22＋y 2＝1(x ≠0)， 即M 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋2，①将①代入x 22＋y 2＝1得： (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，由Δ>0，解得k 2>32. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－4k －4k 2－62k 2＋1，x 1＝－4k ＋4k 2－62k 2＋1，则|x 1－x 2|＝24k 2－62k 2＋1. S △OEF ＝S △OED －S △OFD ＝12OD ·|x 1|－12OD ·|x 2|＝12OD ·|x 1－x 2|＝12×2·|x 1－x 2|＝|x 1－x 2| ＝ 16(k 2－32)(2k 2＋1)2. 令k 2－32＝t (t >0)，所以k 2＝t ＋32(t >0)，所以S △OEF ＝|x 1－x 2|＝ 16t (2t ＋4)2＝ 4t (t ＋2)2 ＝2t t 2＋4t ＋4＝21t ＋4t ＋4≤214＋4＝22， 故△EOF 面积的取值范围是(0，22]．12．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．(1)解 依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32， 所以c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)解 点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*) 由已知得T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，所以TM →·TN →＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－(1－x 214)＝54x 21＋4x 1＋3 ＝54(x 1＋85)2－15. 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15. 把x 1＝－85代入(*)式，得． y 1＝35，故M (－85，35)， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325. (3)证明 设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)， 令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21，(**) 又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式，得x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．。
【科学备考】2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题：第十章 圆锥曲线 双曲线及其性质]
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精品题库试题理数1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()A. B. C. D.1.A1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,∴cos∠AF2F1===.故选A.2. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.32.B2.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··⇒m=3n.∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.3. (2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等3.A3.∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.∴-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,故选A.4. (2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C.3 D.24.A4.解法一:设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),离心率为e1,双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)cos 60°=4c2,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,∴+=a·b≤|a|·|b|=×=×=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+===.∴===,易知-+1的最小值为.故=.故选A.5.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=05.A5.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.6.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=16.A6.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.7.(2014课表全国Ⅰ，4，5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3C.m D.3m7.由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中一条渐近线的方程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d==,故选A.8.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，8) 已知双曲线, 则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )A.B.C. 2D. 48. C8. 双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率. 双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所求值为2.9. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，12) 已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9. 令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，，解得或，又因为双曲线的离心率大于1，可得.10. (2014山西太原高三模拟考试（一），9) 设P在双曲线上，F1，F2是该双曲线的两个焦点，∠F1PF2=90°，且1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 4D. 510. D10. 不妨设点P在双曲线的右支，设、、，则根据双曲线的定义可得①，根据题意可得②、③，由①②得，代入到③中得，两边同除得，又因为e＞1，所以可得e=5.11. (2014福州高中毕业班质量检测, 8) 已知、是双曲线() 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心为( )A.B.C.11. B11. 依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线方程为，联立方程组，解得，所以对称中心的点的坐标为，由中点坐标公式得对称点的坐标为代入双曲线方程可得，又因为，化简得，故.12.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（）A. B.C. D.12. D12. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.13. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），12) 已知双曲线的左右焦点分别为，，点为坐标原点，点在双曲线右支上，内切圆的圆心为, 圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则与的长度依次为( )A. B. C. D.13. A13.设的内切圆与分别相切于点、,那么：, , 。
2015年高考真题(理数)圆锥曲线真题剖析
2015年高考试题（理数）圆锥曲线试题剖析鹤壁高中 蔡凤敏 2015.10.19 一、选择题2015年的全国高考卷15套试卷中，选择题考察圆锥曲线的共11套，其中有8道只考察双曲线，两道只考察抛物线，一道是双曲线与抛物线的综合题，没有与椭圆有关的选择题。
对双曲线的考察，集中在如下知识点： 【1】考察双曲线定义：2015高考福建，理3 【2】求双曲线的标准方程：(1)2015高考广东，理7, 已知离心率和焦点坐标;(2)2015高考天津，理6, 已知渐近线过某点且一个焦点在已知抛物线的准线上; 【3】考察双曲线的渐近线：（1）2015高考安徽，理4，已知焦点在y 轴上和渐近线方程，找适合条件的双曲线方程； （2）2015高考四川，理5，求过双曲线的右焦点且与x 轴垂直的直线交两条渐近线所得弦长；【4】考察双曲线的离心率（1）2015高考新课标2，理11，通过求双曲线上一点的坐标代入双曲线方程建立等式求离心率；（2）2015高考湖北，理8，考察222222221ab a b a ac e +=+== 【5】考察范围（1）2015高考新课标1，理5，通过向量数量积坐标表示求纵坐标的范围； （2）2015高考重庆，理10，求满足条件的渐近线的斜率范围；对抛物线的考察，集中在如下知识点： 【1】抛物线的准线方程：2015高考天津，理6 【2】抛物线的定义：2015高考浙江，理5【3】直线与抛物线的位置关系和点差法：2015高考四川，理10 二、填空题2015年的全国高考卷15套试卷中，选择题考察圆锥曲线的共7套，1道只考察椭圆，4道只考察双曲线，2道是双曲线与抛物线的综合题。
由此可知，填空题对双曲线的考察更多。
考察椭圆知识的是2015高考新课标1，理14，主要考察椭圆的几何性质的顶点坐标。
对双曲线的考察，集中在如下知识点： 【1】双曲线的渐近线：（1）2015高考北京，理10，（2）2015高考山东，理15，考察渐近线方程，渐近线斜率等； （3）2015高考浙江，理9（求渐近线，焦距）；（4）2015江苏高考，12，考察渐近线斜率（与已知直线平行） 【2】考察双曲线的离心率：（1）2015高考湖南，理13，通过求出双曲线上一点的坐标建立等式来求离心率； （2）2015高考山东，理15，与抛物线综合考察； 【3】考察双曲线的焦点坐标:2015高考陕西，理14对抛物线的考察，集中在如下知识点：【1】抛物线的焦点坐标：2015高考山东，理15，【2】抛物线的准线方程：2015高考陕西，理14三、选择填空分析与总结1.从曲线类型角度分析，选择填空题全国大部分城市都侧重于对双曲线的考察，只有极少数城市考察了椭圆和抛物线：椭圆双曲线抛物线双曲线与抛物线综合1道填空8道选择，4道填空2道选择1道选择，2道填空2.从考察知识点分析标准方程和定义双曲线定义1道选择抛物线的定义1道填空几何性质椭圆：顶点坐标1道填空双曲线：焦点坐标、渐近线、离心率11道选择填空抛物线：焦点坐标、准线方程、直线与抛物线的位置关系3道选择填空3教学建议要侧重对圆锥曲线几何性质的讲解，要多练习与双曲线渐近线和离心率的相关题型。
2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线(选择+填空+答案)
2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线1.2015新课标1文数（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）122.2015安徽文数6下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 3.2015北京文数（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-=（B ）22(1)(1)1x y +++=（C ）22(1)(1)2x y +++=（D ）22(1)(1)2x y -+-=4.2015重庆文数9.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为(A) 12±(B) ±(C) 1± (D) 5.2015福建文数7.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于A.23-B. 35-C.35D.23 6.2015天津文数6.如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为 (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 527.2015浙江文数7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60 ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB = ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8.2015广东文数8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 9.2015湖北文数9. 将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10.2015湖南文数6若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为54 C.43 D.5311.2015湖南文数9. 已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.9 12.2015陕西文数3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)13.2015四川文数7、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则|AB|＝14.2015四川文数10、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)15.2015天津文数5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则双曲线的方程为(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C)2213x y -= (D) 2213y x -= 16.2015福建文数11. 已知椭圆E:12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离不小于54，则椭圆E 的离心率的取值范围是 A.⎥⎥⎦⎤⎝⎛230， B.⎥⎦⎤⎝⎛430， C.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡123， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 17.2015重庆文数12.若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________.118.2015湖南文数13. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠= （O 为坐标原点），则r =___________.19.2015山东文数（15）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a 则C 的离心率为 .20.2015上海文数7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p ___________.21.2015上海文数12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.22.2015浙江文数15、椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．23.2015北京文数（12）已知（2，0）是双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点，则b =________________24.2015新课标1文数（16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为25.2015年新课标II 文数15．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为__________。
2015高考理科数学新课标全国2答案及解析
解析：������������+1=������������������������+1得到������������+1−������������=������������������������+1，同除������������������������+1，得到������������1+1-���1���������=-1
（11）D 解析：
（12）A
< ∠ABM=120，∆ABM 为等腰三角形 做 MC 垂直于 X 轴，交点为 C ∴∠MBA=30，∠MBA=60 AB=2a，所以 BM=2a，AM=2√3a OC=2a，MC=√3a M 点坐标（2a，√3a）代入双曲 线方程，为等轴双曲线，离心率 e=√2
解析：当 x>0 时，xf (́ x) − f(x) < 0可以构造可导函数 F（x）=������(������������)
V=13
×
1 2
������3=36
∴ R = 6，∴ S = 4π������2=144π
（10）B
解析：特殊点法，当点 P 与点 C 重合，x=���Байду номын сангаас���，此时 P 到 AB 两点距离之和=√5+1
当点 P 为 CD 中点，x=���2���，此时 P 到 AB 两点距离之和=2√2
当点 P 为 CD 中点，x=���2���时，P 到 AB 两点距离之和最小。
F
(́ x)=xf
(́ x)−f(x) ������2
<
0，所以
F（x）=������(������������)，当
x>0
时为减函数
2015年高考数学理真题圆锥曲线大题
2015年高考数学理圆锥曲线部分解答题1.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQOP的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值. 【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题。
意在考查学生综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，把ABQ ∆ 面积转化为三角形OAB 的面积，在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.2.【2015高考四川，理20】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系解答.本题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作B 的对称点将问题转化.3.【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率；（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形。
2015年全国高考数学试题分类汇编§10.5 圆锥曲线的综合问题-推荐下载
|������������|
(i)设 P(x0,y0),|������������|=λ,
由题意知 Q(-λx0,-λy0).
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2015-2017全国新课标卷圆锥曲线 极坐标参数方程高考真题汇编【解析版】
2015圆锥曲线【答案】（I；（II ）．试题分析：（I ）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为， 则原点O 到直线的距离， 由，得.(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且.易知，AB不与x 轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则 由，得解得. 从而.于是.由.故椭圆E 的方程为.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2) 221123x y +=(),0c ()0,b O E E AB ()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩y 12x x +12x x k AB =2b E 0bx cy bc +-=bcd a==12d c =2a b ==2c a =22244x y b +=|AB|(2)1y k x =++2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++124x x +=-28(21)4,14k k k +-=-+12k =21282x x b =-12|AB ||x x =-==|AB|=23b =221123x y +=22244x y b +=设则，， 两式相减并结合得. 易知，AB 不与x 轴垂直，则，所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为，代入(2)得所以，.于是.由.故椭圆E 的方程为.考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.【分析及点评】本题题型较之往年几乎没有改变，第一问，求解曲线离心率，属于基础题型，稍微有点圆锥曲线基础的学生应该都能完成；第二问求解曲线方程，较之往年变换较大，无论从难度和出题角度都会对学生造成较大干扰。
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精品题库试题理数1. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 16) 在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点．点在正方体的表面上运动，则总能使与垂直的点所构成的轨迹的周长等于________．1.1.作的中点分别为，易证, 过做一个平面∥平面交正方体为一个与四边形全等的矩形，此矩形就是P的轨迹，其周长为.2. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.2.查看解析2.(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.3. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.3.查看解析3.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.4. (2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.4.查看解析4.(Ⅰ)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(Ⅱ)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①(1)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(2)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③(i)若由②③解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)若或则由②③解得k∈或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(iii)若则由②③解得-1<k<-或0<k<.即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(1)(2)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪*0+时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.5. (2014湖北,19,12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;(Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.5.查看解析5.解法一:(几何方法)(Ⅰ)证明:如图1,连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1.所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(Ⅱ)如图2,连结BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,于是EQ=FP=,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连结OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连结EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形.连结GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二:(向量方法)以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz. 由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(Ⅰ)证明:当λ=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.6.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.6.查看解析6.(Ⅰ)由题意知F.设D(t,0)(t>0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(x D,0)(x D>0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由x D>0得x D=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率k AB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意Δ=+=0,得b=-.设E(x E,y E),则y E=-,x E=,当≠4时,k AE==-=, 可得直线AE的方程为y-y0=(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2. 设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y0≠0,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d===4.则△ABE的面积S=×4≥16,当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以△ABE的面积的最小值为16.7. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20) 抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为.(1) 求椭圆C2的标准方程；（2）过A点作直线交C1于C, D两点，连接OC, OD分别交C2于E, F两点，记，的面积分别为, . 问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.7.查看解析7. （1）∵∴焦点∴即……………1分又∵∴……………2分代入抛物线方程得. 又B点在椭圆上得，∴椭圆C2的标准方程为.……………4分（2）设直线的方程为，由得设，所以……………6分又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则，……………10分所以，所以，故不存在直线使得……………12分8. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，21) 已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．对于任意的，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．8.查看解析8.（Ⅰ）依题意，，，因为，所以，，所以所求椭圆的标准方程为. （5分）（Ⅱ）设直线的方程为，，，又，联立方程组，消去得，（8分）所以，，因为，，所以. （12分）9. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），20) 已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线方程；（Ⅱ）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、，面积的最小值及此时点的坐标.9.查看解析9.（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，根据题意得：，化简得. （4分）（Ⅱ）解法一：设直线的方程为，由消去得，设，则，且，（6分）以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理过点的切线的方程为，设两条切线的交点为在直线上，，解得，即，则，即，（8分）代入，，到直线的距离为，，，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理以点为切点的方程为，（6分）设两条切线的均过点，则，点、的坐标均满足方程，即直线的方程为：，（8分）代入抛物线方程消去可得：，直线的距离为，，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）10. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，21) 设是圆上的任意一点，过作垂直于轴的垂线段，为垂足，是线段上的点，且满足，当点在圆上运动时，记点的轨迹是曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过曲线的左焦点作斜率为的直线交曲线于、，点满足，是否存在实数，使得点在曲线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.10.查看解析10.（Ⅰ）如图，设，，则由可得，，即又，，即为曲线C的方程. （6分）（Ⅱ）设由，（8分）设，，，即P点坐标为将点代入，得（负舍去）存在当时，点在曲线C上. （13分）11. (2014北京东城高三第二学期教学检测，19) 椭圆：() 的离心率为，其左焦点到点的距离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.11.查看解析11.（Ⅰ）由题：；左焦点到点的距离为：. 所以.所以所求椭圆C的方程为：. （5分）（Ⅱ）设，由得，，.以为直径的圆过椭圆的右顶点，，，，，解得，且满足.当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为（14分）12. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，20) 若点是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点.（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）若点与点不重合，问的面积是否存在最大值? 若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.12.查看解析12.解析（Ⅰ）因为点在抛物线上，所以，有，那么抛物线.若直线的斜率不存在，直线: ，此时, （3分）若直线的斜率存在，设直线: ，点，，有那么，为定值. （7分）（Ⅱ）若直线的斜率不存在，直线，此时，，，.若直线的斜率存在时，，（9分）点到直线的距离，，令，，所以没有最大值. (12分）13.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，20）已知椭圆的离心率为, 椭圆C过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于A，B两点, 记为坐标原点) 的面积为, 将表示为m的函数，并求的最大值.13.查看解析13.（2）由题意知，.易知切线的斜率存在, 设切线的方程为由得设A、B两点的坐标分别为，则………………………6分,(当且仅当时取等号)所以当时，的最大值为1. ………………………13分14.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，20）如图，F1，F2是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l：x=﹣将线段F1F2分成两段，其长度之比为1：3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．14.查看解析14. （Ⅰ）设F2（c，0），则=，所以c=1．因为离心率e=，所以a=，所以b=1所以椭圆C的方程为．----------------------4分（Ⅱ）当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x=﹣，此时P（，0）、Q（，0），．------6分当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M（﹣，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则﹣1+4mk=0，∴k=．-----------------------------------8分此时，直线PQ斜率为k1=﹣4m，PQ的直线方程为，即y=﹣4mx﹣m．联立消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．所以，．-------------------------10分于是=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）===．令t=1+32m2，由得1＜t＜29，则．又1＜t＜29，所以．综上，的取值范围为15.查看解析15.（1）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的方程为…………………….. 4分（2）假设存在常数，使得.由题意可设③代入椭圆方程并整理得设，则有④ ……………6分在方程③中，令得，，从而. 又因为共线，则有，即有所以=⑤将④代入⑤得，又，所以故存在常数符合题意……………………………………………………………12分16.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 20) 如图，已知点F为抛物线的焦点，过点F任作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A，C，B，D四点，E，G分别为AC，BD的中点．( I) 直线EG是否过定点？若过，求出该定点；若不过，说明理由；(Ⅱ) 设直线EG交抛物线于M，N两点，试求的最小值.16.查看解析16.17.(2014湖北八市高三下学期3月联考，21) 己知⊙O：x2 +y2=6，P为⊙O上动点，过P作PM⊥x轴于M，N为PM上一点，且．（I）求点N的轨迹C的方程；（II）若A(2，1) ，B(3，0) ，过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则k AD+k AE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．17.查看解析17. (Ⅰ) 设, , 则, ,由, 得, ………………………………………3分由于点在圆上, 则有, 即.点的轨迹的方程为. …………………………………………………………6分(Ⅱ) 设, , 过点的直线的方程为,由消去得: , 其中; …………………………………………………………8分……………………………………………10分是定值. ………………………………………………………………………………13分18. (2014周宁、政和一中第四次联考，16) 已知动点到点的距离是它到点的距离的倍．（Ⅰ）试求点的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线经过点且与点的轨迹相切，试求直线的方程．18.查看解析18. （Ⅰ）设点，由题意得两边平方整理得.故点的轨迹是一个圆，其方程为. （6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆心为，半径.(i) 若直线的斜率不存在，则方程为，圆心到直线的距离，故该直线与圆不相切；(ii) 若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由直线和圆相切得：，整理得，解得或.故所求直线的方程为或. (13分)19. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），20) 已知椭圆的左右焦点分别为，，为坐标原点，过点且不垂直于轴的动直线与椭圆相交于、两点，过点的直线与椭圆交于另一点.（Ⅰ）若，求的直线的方程；(Ⅱ) 求面积的最大值.19.查看解析19. （Ⅰ）设C(x, y), 则，①（3分）又C点在椭圆上，有：②联立①②解得或，所以的直线的方程为. （6分）(Ⅱ) 设直线的方程为：，，联立直线与椭圆方程得：满足，（8分）弦长，又点到直线的距离为，所以，令，. （13分）20. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 23) 已知点，，动点满足. （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）在直线：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为. 问：是否存在点，使得直线//？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20.查看解析20. 解析（Ⅰ）设，则，，，由，得，化简得.故动点的轨迹的方程. （5分）（Ⅱ）直线方程为，设，，.过点的切线方程设为，代入，得，由，得，所以过点的切线方程为，（7分）同理过点的切线方程为. 所以直线MN的方程为，又//，所以，得，而，故点的坐标为. （10分）21.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 20) 已知数列满足，，，是数列的前项和.（Ⅰ）若数列为等差数列.（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.21.查看解析21. 解析（Ⅰ）（ⅰ）因为，所以，即，又，所以，又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以；（ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为，（5分）所以其前项和，所以，当或时，；当或时，；当时，. （9分）（Ⅱ）由知，两式作差，得，所以, 作差得，（11分）所以，当时，；当时，；当时，；当时，；因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为. （16分）22. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数（为常数），其图象是曲线.（Ⅰ）当时，求函数的单调减区间；（Ⅱ）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为. 问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22.查看解析22. 解析（Ⅰ）当时，.令，解得，所以f(x) 的单调减区间为. （4分）（Ⅱ），由题意知消去，得有唯一解.令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是. （10分）（Ⅲ）设，则点处切线方程为，与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标. （12分）由题意知，，，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，.故时，存在常数，使；时，不存在常数，使. （16分）23. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 18) 已知的三个顶点，，，其外接圆为.（Ⅰ）若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；（Ⅱ）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围.23.查看解析23. 解析（Ⅰ）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，圆的方程为. （4分）设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或. （8分）（Ⅱ）直线的方程为，设，因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以, （12分）又，所以对]成立.而在上的值域为，所以且.又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故圆的半径的取值范围为. （16分）24. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线: 的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且（Ⅰ）求和抛物线的方程;（Ⅱ）过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线的距离取得最大值时，四边形的面积.24.查看解析24. （Ⅰ）准线交轴于，在中，所以, 所以，抛物线方程是，(3分)在中有, 所以，所以⊙方程是：.(6分)（Ⅱ）解法一：设，所以切线；切线，(8分)因为和交于点，所以和成立，所以ST方程：，(10分)所以原点到距离，当，即在y轴上时有最大值，此时直线ST方程是，所以，所以此时四边形的面积. (12分)25. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 20) 已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；(Ⅱ) 线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.25.查看解析25.：（Ⅰ），又. (4分）(Ⅱ) 显然直线不与轴重合当直线与轴垂直时，||=3，，；当直线不与轴垂直时，设直线：代入椭圆C的标准方程，整理，得，(7分）令，所以，由上，得，所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3，设内切圆半径，则即，此时直线与轴垂直，内切圆面积最大，所以，. （12分）26. (2014广州高三调研测试, 21) 如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为. 过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下依次为，.（1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆的方程；（2）求的最大值.26.查看解析26. （1）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为.因为两渐近线的夹角为且，所以.所以.所以.因为，所以，所以，.所以椭圆的方程为.（4分）（2）因为，所以直线与的方程为，其中. 因为直线的方程为，联立直线与的方程解得点.设，则.因为点，设点，则有.解得，. （8分）因为点在椭圆上，所以.即.等式两边同除以得，，当，即时，取最大值.故的最大值为. （14分）27.(2014兰州高三第一次诊断考试, 20) 设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且．27.查看解析27. （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示）, 试求四边形面积的最大值和最小值．解析（Ⅰ）由题意，为的中点即：椭圆方程为（3分）（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积．同理当与轴垂直时，也有四边形的面积．当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得：设（6分）所以，，所以，，同理（9分）所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以．综上可知，．故四边形面积的最大值为4，最小值为．（12分）28. （本题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，设点，，为抛物线上的动点（异于顶点），连结并延长交抛物线于点，连结、并分别延长交抛物线于点、，连结，设、的斜率存在且分别为、. （1）若，，，求；（2）是否存在与无关的常数，是的恒成立，若存在，请将用、表示出来；若不存在请说明理由.28.查看解析28.(1) 直线，设. (5分)（2）设则直线的方程为：，代入抛物线方程，整理得，，即从而，故点同理，点.三点共线即整理得所以，即. (12分)29. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，A、B为过F1的直线与椭圆的交点，且△F2AB的周长为4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断是否为定值，若是求出这个值，若不是说明理由,.29.查看解析29.解：（Ⅰ）由椭圆定义可知，4，，所以，=.所以椭圆方程为. (5分)（Ⅱ）设，，（1）当直线斜率不存在时，有，，，. （7分）（2）当直线斜率存在时，设直线方程为代入椭圆方程，并整理得：，所以，（或求出x1，x2的值），所以（10分），所以. （14分）。