2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第三章 第3节三角函数的图象与性质
高考数学总复习 第三章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理
考点2 三角函数的对称性
例2：(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是(
)
A．x＝－π6
B．x＝－1π2
C．x＝6π
D．x＝1π2
解析：(1)令2x＋
π 3
＝kπ(k∈Z)，得x＝
kπ 2
－
π 6
(k∈Z)，令k＝
0，得该函数的一条对称轴为x＝－6π.
答案：A
(2)函数y＝sin3x－4π的图象的一ห้องสมุดไป่ตู้对称中心是(
(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)． (2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
定义域
R
R
y＝tanx
x|
xk2,kZ
图象
值域
[－1,1]
2．使 cosx＝1－m 有意义的 m 值为( C )
A．m≥0
B．m≤0
C．0≤m≤2
D．－2≤m≤0
3．(2013 年上海)既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的
函数是( B )
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝sin2x
D．y＝cos2x
4．函数 y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为( B )
【规律方法】本题主要考查函数 y＝Asin(wx＋φ)的图象特 征，正弦函数的值域与最值.解题关键在于将已知的函数表达式 化为三角函数模型，再根据此三角函数模型的图象与性质进行 解题即可.
【互动探究】 3．已知函数 f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
【金版教程】届高考数学总复习 第3章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理 新人教A版
求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基
本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
π 2
＋
2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
3π 2
＋2kπ(k
∈Z)求得函数的减区间．若在y＝Asin(ωx＋φ)中，ω<0，则应
先利用诱导公式将解析式转化，使x的系数变为正数，再进行
(1)y＝cos(x＋π3)(x∈[0，π])的值域________． (2)y＝tan(4π－x)的单调递减区间__________.
1.f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正周期
想一想：提示：f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)
＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数．
____
________
________
____
y＝tanx
无最值
____ ________ 无对称轴
____
判断以下命题的正误． ①y＝sinx在第一象限是增函数．( ) ②y＝cosx在[0，π]上是减函数．( ) ③y＝tanx在定义域上为增函数．( ) ④y＝|sinx|的周期为2π.( ) ⑤y＝ksinx＋1，x∈R则y的最大值为k＋1.( )
Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇
偶
奇
(kπ，0)，k∈Z
(kπ＋
π 2
，
0)，k∈Z
(
kπ 2
，0)，k∈Z
x＝kπ＋
π 2
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
2π 2π π
判一判：①× ②√ ③× ④× ⑤×
2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第三章第3节 三角函数的图象与性质
第3节 三角函数的图象与性质最新考纲核心素养考情聚焦1.能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，正切函数在上的性(－π2，π2)质1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养．2.三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养．3.三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，(π2，1)，(2π，0)．(3π2，－1)余弦函数y ＝cosx ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，(π2，0)，(2π，1)．(3π2，0)2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R Error!Error! 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数奇函数递增区间 Error!Error! [2k π－π，2k π]Error!Error!递减区间 Error!Error! [2k π，2k π＋π] 无对称中心 (k π，0) (k π＋π2，0)(k π2，0)对称轴方程x ＝k π＋π2 x ＝k π 无 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝＋k π(k ∈Z )；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)π2为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )．[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y ＝sin x 的图象介于直线y ＝1与y ＝－1之间．( )(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．( )π2(3)函数y ＝sin是奇函数．( )(2x ＋3π2)(4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋(k ∈Z )．( )π2(5)正切函数在整个定义域内是增函数．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×[小题查验]1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin的最小正周期为( )(2x ＋π3)A ．4π B ．2π C ．π D.π2解析：C [函数f (x )＝sin的最小正周期为T ＝＝π.](2x ＋π3)2π22．(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )π2(π4，π2)A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：A [函数y ＝cos 2x 的周期为π，∴函数f (x )＝|cos 2x |的周期为，当＜x ＜时，π2π4π2＜2x ＜π，y ＝cos 2x 递减且为负值，π2∴函数f (x )＝|cos 2x |在区间上单调递增．](π4，π2)3．已知函数f (x )＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )(ωx ＋π3)A ．关于直线x ＝对称 B ．关于点对称π3(π3，0)C ．关于直线x ＝－对称 D ．关于点对称π6(π6，0)解析：B [∵f (x )＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin .(ωx ＋π3)(2x ＋π3)经验证可知f ＝sin＝sin π＝0，(π3)(2π3＋π3)即是函数f (x )的一个对称点．](π3，0)4．函数y ＝tan的图象与x 轴交点的坐标是________．(2x ＋π4)解析：由2x ＋＝k π(k ∈Z )得，x ＝－(k ∈Z )．∴函数y ＝tan的图象与x 轴交点π4k π2π8(2x ＋π4)的坐标是.(k π2－π8，0)答案：(k ∈Z )(k π2－π8，0)5．[人教A 版教材P46A 组T2改编]y ＝3sin在区间上的值域是________．(2x －π6)[0，π2]解析：当x ∈时，2x －∈，[0，π2]π6[－π6，5π6]sin ∈，故3sin ∈，即y ＝3sin 的值域为.(2x －π6)[－12，1](2x －π6)[－32，3](2x －π6)[－32，3]答案：[－32，3]考点一 三角函数的定义域、值域问题(自主练透)[命题角度1] 三角函数的定义域问题(1)函数y ＝的定义域为__________．sin x －cos x (2)函数y ＝lg(sin 2x )＋的定义域为______________________________________．9－x 2解析：(1)法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函π45π4数y ＝的定义域为{x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }．sin x －cos x π45π4法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin x ≥cos x 的角x 的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y ＝的定义域为{x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }．sin x －cos x π45π4法三(利用整体思想)：sin x －cos x ＝sin≥0，将x －视为一个整体，由正弦函数2(x －π4)π4y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z .所π4π45π4以函数y ＝的定义域为{x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }．sin x －cos x π45π4(2)由Error!得Error!∴－3≤x ＜－，或0＜x ＜.π2π2∴函数y ＝lg(sin 2x )＋的定义域为Error!.9－x 2答案：(1){x |2k π＋≤x ≤2k π＋，k ∈Z }π45π4(2)Error!求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．[命题角度2] 三角函数的值域(最值)问题(1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin－3cos x 的最小值为________．(2x ＋3π2)(2)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为____________．解析：(1)f (x )＝sin －3cos x ＝－cos 2x －3cos x ，(2x ＋3π2)∴f (x )min ＝－4.(2)设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝(－≤t ≤)，y ＝t ＋t 2－＝(t ＋1)2－1.t 2－1222121212当t ＝时，y 取最大值＋；当t ＝－1时，y 取最小值－1.2212∴函数的值域为.[－1，12＋2]答案：(1)－4(2)[－1，12＋2]1．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．考点二 三角函数的单调性(师生共研)[典例] (1)y ＝sin 的单调递减区间为________．(π3 －2x )[解析] y ＝－sin的减区间是(2x －π3)y ＝sin的增区间．(2x －π3)由2k π－≤2x －≤2k π＋，k ∈Z ，π2π3π2得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z .π125π12故所给函数的减区间为，k ∈Z .[k π－π12，k π＋5π12][答案] ，k ∈Z[k π－π12，k π＋5π12](2)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是[－π2，2π3]____________．逻辑推理——三角函数单调性中应用的核心素养具体见下表：信息提取信息解读逻辑推理已知f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)在区间 上是增函数[－π2，2π3]解读一：是函数f (x )[－π2，2π3]单调递增区间的子区间．解读二：ωx 的取值范围是的子区间．[－π2，π2]解读三：原点到区间两端点的距离不超[－π2，2π3]过T4求参数ω的取值范围建立关于ω的不等式组推理一： 由函数y ＝sin x 在区间[2k π－π2，2k π＋π2]上单调递增，求得f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)的单调递增区间．推理二：由不等式的基本性质求出ωx 的取值范围．推理三： 由正弦函数y ＝sin x 的图形与性质知原点到区间两端点的距离等于[－π2，π2]T 4[解析] 方法一：第一步，求出f (x )＝2sin ωx ＋1(ω＞0)的单调递增区间．由2k π－≤ωx ≤2k π＋，k ∈Z ，π2π2得f (x )的增区间是，k ∈Z .[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]第二步，转化为集合之间的关系，即是函数f (x )单调递增区间的子区间．[－π2，2π3]∵f (x )在上是增函数，[－π2，2π3]∴⊆.[－π2，2π3][－π2ω，π2ω]第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．∴－≥－且≤，∴ω∈.π2π2ω2π3π2ω(0，34]方法二：第一步，由x 的取值范围求出ωx (ω＞0)的取值区间．∵x ∈，ω＞0.∴ωx ∈，[－π2，2π3][－ωπ2，2πω3]第二步，由f (x )在区间上是增函数得ωx (ω＞0)的取值区间是的子区间．[－π2，2π3][－π2，π2]又f (x )在区间上是增函数，[－π2，2π3]∴⊆，[－ωπ2，2πω3][－π2，π2]第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．则Error!又ω＞0，得0＜ω≤.34方法三：第一步，由f (x )在区间上是增函数得原点到区间端点的距离不[－π2，2π3][－π2，2π3]超过.T 4∵f (x )在区间上是增函数，故原点到区间端点的距离不超过，[－π2，2π3]T 4第二步，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围．所以Error!得T ≥，即≥.又ω＞0，得0＜ω≤.8π32πω8π334[答案] ω∈(0，34][互动探究]在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间．解析：法一：x ∈R 时，y ＝sin 的减区间为，k ∈Z .令k ＝0得(π3－2x)[k π－π12，k π＋5π12]－≤x ≤；π125π12令k ＝－1得－≤x ≤－，13π127π12故x ∈[－π，0]时，y ＝sin 的减区间为(π3－2x )，.[－π，－7π12][－π12，0]法二：因为－π≤x ≤0，所以－π≤2x －≤－，结合正弦曲线，73π3π3由－π≤2x －≤－π，解得－π≤x ≤－π；73π332712由－≤2x －≤－，解得－≤x ≤0，π2π3π3π12所以单调减区间为，.[－π，－7π12][－π12，0]求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间． 提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[跟踪训练]1．函数f (x )＝tan的单调递增区间是( )(2x －π3)A.(k ∈Z )[k π2－π12，k π2＋5π12]B.(k ∈Z )(k π2－π12，k π2＋5π12)C.(k ∈Z )(k π＋π6，k π＋2π3)D.(k ∈Z )[k π－π12，k π＋5π12]解析：B [由k π－＜2x －＜k π＋(k ∈Z )得，－＜x ＜＋(k ∈Z )，所以函数f (x )π2π3π2k π2π12k π25π12＝tan的单调递增区间为(k ∈Z )，故选B.](2x －π3)(k π2－π12，k π2＋5π12)2．(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A. B. C. D ．ππ4π23π4解析：A [因为f (x )＝cos x －sin x ＝ cos ，所以由2k π≤x ＋≤π＋2k π(k ∈Z )得－2(x ＋π4)π4＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )，因此，[－a ，a ]π43π4⊆，∴－a <a ，－a ≥－，a ≤，∴0<a ≤从而a 的最大值为，选A.][－π4，3π4]π43π4π4π4考点三 三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究)[命题角度1] 三角函数的周期性1．(2017·山东卷)函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )3A. B. C ．π D ．2ππ22π3解析：C [由题意y ＝2sin，其周期T ＝＝π.](2x ＋π6)2π22．若函数f (x )＝2tan的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为(kx ＋π3)________．解析：由题意知，1＜＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，πk 所以k ＝2或k ＝3.答案：2或3求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为，y ＝tan(ωx ＋φ)的最2π|ω|小正周期为；π|ω|(3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断．[跟踪训练](2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2 x －sin 2 x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：B [f (x )＝2cos 2x －(1－cos 2x )＋2＝3cos 2x ＋1＝cos 2x ＋，∴最小正周期为π，最3252大值为4.故选B.][命题角度2] 三角函数的对称轴或对称中心3．当x ＝时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ( )π4(3π4－x )A ．是奇函数且图象关于点对称(π2，0)B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝对称π2D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称解析：C [∵当x ＝时，函数f (x )取得最小值，π4∴sin ＝－1，∴φ＝2k π－(k ∈Z )．(π4＋φ)3π4∴f (x )＝sin＝sin .(x ＋2k π－3π4)(x －3π4)∴y ＝f ＝sin(－x )＝－sin x .(3π4－x )∴y ＝f 是奇函数，且图象关于直线x ＝对称．](3π4－x )π2若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )π2＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可．[跟踪训练]设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )3π2A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为增函数(0，π2)B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在上为减函数(0，π2)C ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为增函数π2(0，π4)D ．y ＝f (x )的最小正周期为，且在上为减函数π2(0，π4)解析：B [∵函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin 的图象关于直线3(2x ＋φ＋π6)x ＝0对称，∴函数f (x )为偶函数，∴φ＋＝＋k π(k ∈Z )．π6π2∵|φ|<，∴φ＝，∴f (x )＝2cos 2x ，π2π3∴T ＝＝π.∵0<x <，∴0<2x <π，2π2π2∴函数f (x )在上为减函数．故选B.](0，π2)[命题角度3] 三角函数奇偶性、对称性的应用4．(2019·拉萨市一模)使函数f (x )＝sin (2x ＋θ)＋cos (2x ＋θ)是偶函数，且在上是3[0，π4]减函数的θ的一个值是( )A.B.C.D.π6π32π35π6解析：B [∵函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos (2x ＋θ)＝2sin是偶函数，3(2x ＋θ＋π6)∴θ＋＝k π＋，即θ＝k π＋，k ∈Z ，因此可取θ＝，π6π2π3π3此时，f (x )＝2sin＝cos 2x ，且在上，即2x ∈时，f (x )是减函数．故选B.](2x ＋π2)[0，π4][0，π2]5．(2019·雅安市模拟)函数f (x )＝sin的图象在区间上的对称轴方程为3(2x ＋π3)(0，π2)________．解析：对于函数f (x )＝sin的图象，令2x ＋＝k π＋，得x ＝＋，k ∈Z ，令3(2x ＋π3)π3π2k π2π12k ＝0，可得函数在区间上的对称轴方程为x ＝.(0，π2)π12答案：x ＝π12函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、对称性的应用(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．[跟踪训练](2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间单调递增(π2，π)③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③解析：C [∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |，∴f (x )是偶函数，①对；f (x )在区间上单调递减，②错；(π2，π)f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错；f (x )的最大值为2，④对．故选C.]1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝的最小正周期为( )tan x1＋tan2x A. B. C ．π D ．2ππ4π2解析：C [f (x )＝＝＝＝sin x cos x ＝sin 2x ，∴f (x )的周期tan x1＋tan2x sin x cos x1＋sin2xcos2x sin x cos xsin2x ＋cos2x 12T ＝＝π.故选C.]2π22．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝sin＋cos 的最大值为( )15(x ＋π3)(x －π6)A.B ．1C.D.653515解析：A [由诱导公式得cos＝(x －π6)cos ＝sin ，则f (x )＝[π2－(x ＋π3)](x ＋π3)sin ＋sin ＝sin ，所以函数f (x )的最大值为.故选A.]15(x ＋π3)(x ＋π3)65(x ＋π3)653．函数f (x )＝1－2sin2是( )(x －π4)A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为的偶函数π2D ．最小正周期为的奇函数π2解析：B [因为函数y ＝1－2sin 2＝(x －π4)cos＝sin 2x ，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.](2x －π2)4．(2019·昆明市一模)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }B.{x |k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z }C.{x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z }D.{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }解析：B [直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，∴a ＝，∴不等式化12为tanx ≥1，解得k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z ；∴所求不等式的解集为π4π2{x |k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z }．]π4π25．(2019·长春市一模)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π)，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.是f (x )图象的一个对称中心(π6，0)C ．∅＝π3D ．x ＝－是f (x )图象的一条对称轴π6解析：A [函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)，且f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.又0＜φ＜π，∴φ＝或；12π65π6当φ＝时，f ＝2sin ＝2，当φ＝时，f ＝2sin＝2，故π6(π6)(2×π6＋π6)5π6(5π6)(2×5π6＋5π6)A 正确．]6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos在[0，π]的零点个数为________．(3x ＋π6)解析：由f (x )＝cos＝0，有3x ＋＝k π＋(k ∈Z )，解得x ＝π＋，由(3x ＋π6)π6π2k 3π90≤π＋≤π得k 可取0,1,2，∴f (x )＝cos在[0，π]上有3个零点．k 3π9(3x ＋π6)答案：37．函数f (x )＝的定义域为________．3＋2cos x 解析：要使函数f (x )＝有意义，则＋2cos x ≥0即cos x ≥－，由余弦函数3＋2cos x 332的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－的解集为，32{x |－5π6≤x ≤56π}所以，在实数集上不等式的解集为，{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}即函数的定义域为.{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}答案：{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z }8．(2019·鄂伦春自治旗一模)若函数f (x )＝1＋a sin (ax ＋(a ＞0))的最大值为3，则f (x )的π6最小正周期为______．解析：函数f (x )＝1＋a sin 的最大值为3，(ax ＋π6)∴1＋a ＝3，解得a ＝2.∴f (x )＝1＋2sin，(2x ＋π6)∴f (x )的最小正周期为T ＝＝π.2πω答案：π9．(2019·玉溪市模拟)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1(1)求f (π2)(2)求f (x )的最大值和最小正周期．解：(1)函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＋1＝sin ＋1，2(2x －π4)∴f ＝sin＋1＝×＋1＝2.(π2)2(2×π2－π4)222(2)由f (x )＝sin＋1，2(2x －π4)当2x －＝＋2k π，k ∈Z ，即x ＝＋k π，k ∈Z 时，π4π23π8f (x )取得最大值为＋1，2最小正周期为T ＝＝π.2πω10．(2019·泸州市模拟)已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a 的最大值为.22(1)求a 的值；(2)求使f (x )≥0成立的x 的集合．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a ＝sin 2x －＋a ＝sin ＋a －，121＋cos 2x222(2x －π4)12∴f (x )max ＝＋a －＝，∴a ＝.22122212(2)由(1)知，f (x )＝sin.22(2x －π4)由f (x )≥0，得sin≥0，22(2x －π4)即2k π≤2x －≤π＋2k π，k ∈Z ，π4∴＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π85π8∴f (x )≥0成立的x 的集合为，k ∈Z .[π8＋k π，5π8＋k π]。
2020高考数学 课后作业 3-3 三角函数的图象与性质 新人教A版
2020高考数学人教A 版课后作业1.(文)(2020·四川文)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20[答案] C[解析] ∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sin x 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.(理)(2020·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9 [答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z)，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.2．(文)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－1 B ．2π，0 C ．π，0 D ．π，1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＝1－cos2x 2，∴周期T ＝2π2＝π，又f (x )＝sin 2x ≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2020·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R)的最小正周期和最大值分别为 ( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1 [答案] C[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.3．(2020·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c [答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°>sin25°>0，log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．(2020·衡水质检)函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4 B ．－3π4 C.π4 D.π2[答案] A[解析] ∵y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＋φ＝k π，即x ＝k π－φ，令π4＝k π－φ得φ＝k π－π4(k ∈Z)，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.5．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π [答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期T ＝4，∴t ≥54T ＝5，故选C.6．(2020·安徽巢湖质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z) [答案] C[解析] 由条件知，T ＝2πω＝π，∴ω＝2，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C. 7．(2020·福建质检)已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.[答案] 2sin π3x ＋2[解析] 将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图象，向上平移2个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.8．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.1.(文)(2020·湖南张家界月考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2.(理)(2020·湖北文，6)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R.若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}B ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z}C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z}D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z}[答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)≥1，即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6k ∈Z ， ∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z)．2．(文)(2020·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.(理)(2020·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47 [答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝ACPC＝121＝12，tanβ＝BCPC＝321＝32，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝12＋321－12×32＝8，∴选B.3．(文)(2020·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A．y＝sin(2x＋π6)B．y＝sin(2x－π6)C．y＝cos(2x＋π3)D．y＝cos(2x－π6)[答案] D[解析] 将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A项，y＝sin(－π3＋π6)≠0，A错；对B 项，y＝sin(－π2)＝－1≠0，B错；对C项y＝cos0＝1≠0，C错；对D项，y＝cos(－π3－π6)＝cosπ2＝0符合，故选D.(理)(2020·吉林一中月考)函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. 4．(2020·北京海淀期中)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f (x )＝cos 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] f (x )＝12＋12cos(2ωx ＋2φ)，由图可知T2<1<34T ，∴43<T <2，43<2π2ω<2，π2<ω<34π， 又ω∈N *，∴ω＝2.故选B.5．(2020·安徽百校论坛联考)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．[答案] [1,2)[解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点，∴1≤m <2. 6．(2020·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]．7．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)(2020·湖北黄冈)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？ [解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z)(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时f (x )max ＝1当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1.(3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)1．(2020·合肥质检)对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.3．(2020·安徽马鞍山二中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)的值为( )A ．2020 B.40172 C ．2020 D.40192[答案] D[解析] 由f (x )的图象可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1，再由点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在f (x )的图象上，可得φ＝2k π，k ∈Z ， 所以f (x )＝12sin πx2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝2020＋f (2020)＝2020＋f (1)＝40192.4．(2020·浙江金华十校)M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π[答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.5．已知函数f (x )＝x ·sin x ，x ∈R.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f (1)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系为( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1) [答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，由于π3>1>π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，故选C.6．(2020·山东肥城联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝⎛⎭⎪⎫π12，0是点B 在x 轴上的射影，则AB →·BD →的值是( )A ．8B ．－8C.π28－8 D ．－π28＋8 [答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π28－8.7．(2020·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：x 0 1 2 3 4 y11－1－2y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．[答案] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.8．(2020·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)，(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．(3)由f (α)＝f (β)得：2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)，又∵角α与β的终边不共线，∴(2α＋π6)＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z)，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.。
2020年高三数学三轮复习回归基础专题三角函数的图像与性质
三角函数的图象与性质
基本问题
定义
任意角 的终边与单位圆交于点 时， ．
同角三角
函数关系
。
诱导公式
， ， ，“奇变偶不变，符号看象限”．
三角函数的性质与图象
值域
周期
单调区间
奇偶性
对称中心
对称轴
（ ）
增ห้องสมุดไป่ตู้
减
奇函数
（ ）
增
减
偶函数
( )
增
奇函数
无
图象变换
平移变换
上下平移
图象平移 得 图象， 向上， 向下。
左右平移
图象平移 得 图象， 向左， 向右。
伸缩变换
轴方向
图象各点把横坐标变为原来 倍得 的图象。
轴方向
图象各点纵坐标变为原来的 倍得 的图象。
对称变换
中心对称
图象关于点 对称图象的解析式是
轴对称
图象关于直线 对称图象的解析式是 。
金典艺术生高考数学复习资料--3三角函数性质与图像
三角函数性质与图像备注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．. 函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握. 如①sin y x=−−−−→图例变化为②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，①的单调增区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦−−−→变为2222k x k πππωϕπ-+++≤≤的解集是②的增区间.注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω）的周期ωπ2=T ;⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2x k ππ=+（Z k ∈），对称中心(,0)k π；cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈），对称中心1(,0)2k ππ+；)tan(ϕω+=x y 的对称中心（0,2πk ）. 课前预习1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 . 2． 函数1π2sin()23y x =+的最小正周期T = ．4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是5．函数22cos()()363y x x πππ=-≤≤的最小值是6．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向 平移 个单位长度7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 .8． 函数sin y x x =在区间[0,2π]的最小值为______.9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2x +325（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期； ⑵求f (x )单调区间；⑶求f (x )图象的对称轴， 典型例题例1、三角函数图像变换将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？例2、已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相ϕ分别为 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)23y x ππ=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是 变式2、下列函数中，既是（0，2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( )(A)y =lg x 2(B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2变式3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数)125cos()12cos(x x y +--=ππ的值域变式4、已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性；⑷判断它的周期性.例4、三角函数的简单应用如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式． 例5、三角恒等变换函数y ＝xx cos sin 21++的最大值是 ．π2sin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭变式2：已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．求()f x 的最大值和最小值． 实战训练1．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期为2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是____ 3．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 4．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =，则 5．（2007年辽宁卷7）．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a = 6．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 7．（2007年湖北卷理2）．将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为8．（2007年广东卷理3）．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则f(x)是最小正周期为 的 函数9．（2007年福建卷理5）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称 10．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 11．（2007年江苏卷5）．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 12．（2007年天津卷文9）设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数 B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数13．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位14．（07年全国卷二理2）．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，15．（2007年北京卷文3）．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是16．（2007年重庆卷文）（18）已知函数)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 。
2020高考理数(北师大版)总复习 第3章 第3节 三角函数的图像与性质
区间
课
堂
题
型
全
奇偶性
突
k_∈__Z__ 奇__函__数__
k∈Z 偶__函__数__
无
课
后
限
时
_奇__函__数_
集 训
破
返 首 页
课
前 知
对称
识
全
中心
通
关
对称轴
方程
课
堂
周期性
题
型
全
突
破
_(k_π_，__0_)_，_k_∈__Z_ x_＝__k_π_＋__2π_(k_∈__Z_ )
2π
真
__k_π_＋__π2_，__0_，__k_∈__Z_ ___k2_π_，__0_，__k_∈__Z___
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
(1)(2019·珠海模拟)已知 ω＞0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在π2，π
上递减，则 ω 的取值范围是( )
课
真
前
知 识
A．(0,2]
全
B．0，12
题 自 主 验
通 关
C.12，34
D．12，54
课
堂 题 型
(π，－1) ，32π，0，(2π，1)．
全
突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
课
函数
y＝sin x
前知Leabharlann 识图像全通
关
y＝cos x
y＝tan x
真
题
自
主
验
效
果
定义域
课
堂
题
型
2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第三章 第3节三角函数的图象与性质
第三章 第3节1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝的最小正周期为( )tan x1＋tan2x A. B. C ．π D ．2ππ4π2解析：C [f (x )＝＝＝＝sin x cos x ＝sin 2x ，∴f (x )的周期tan x1＋tan2x sin x cos x1＋sin2xcos2x sin x cos xsin2x ＋cos2x 12T ＝＝π.故选C.]2π22．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝sin＋cos 的最大值为( )15(x ＋π3)(x －π6)A.B ．1C. D.653515解析：A [由诱导公式得cos＝(x －π6)cos ＝sin ，则f (x )＝[π2－(x ＋π3)](x ＋π3)sin ＋sin ＝sin ，所以函数f (x )的最大值为.故选A.]15(x ＋π3)(x ＋π3)65(x ＋π3)653．函数f (x )＝1－2sin2是( )(x －π4)A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为的偶函数π2D ．最小正周期为的奇函数π2解析：B [因为函数y ＝1－2sin 2＝(x －π4)cos＝sin 2x ，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.](2x －π2)4．(2019·昆明市一模)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }B.{x |k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z }C.{x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z }D.{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }解析：B [直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，∴a ＝，∴不等式12化为tanx ≥1，解得k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z ；∴所求不等式的解集为π4π2{x |k π＋≤x ＜k π＋，k ∈Z }．]π4π25．(2019·长春市一模)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π)，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.是f (x )图象的一个对称中心(π6，0)C ．∅＝π3D ．x ＝－是f (x )图象的一条对称轴π6解析：A [函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)，且f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.又0＜φ＜π，∴φ＝或；12π65π6当φ＝时，f ＝2sin ＝2，当φ＝时，f ＝2sin＝2，π6(π6)(2×π6＋π6)5π6(5π6)(2×5π6＋5π6)故A 正确．]6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos 在[0，π]的零点个数为________．(3x ＋π6)解析：由f (x )＝cos ＝0，有3x ＋＝k π＋(k ∈Z )，解得x ＝π＋，由(3x ＋π6)π6π2k3π90≤π＋≤π得k 可取0,1,2，∴f (x )＝cos在[0，π]上有3个零点．k3π9(3x ＋π6)答案：37．函数f (x )＝的定义域为________．3＋2cos x解析：要使函数f (x )＝有意义，则＋2cos x ≥0即cos x ≥－，由余弦函3＋2cos x 332数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－的解集为，32{x |－5π6≤x ≤56π}所以，在实数集上不等式的解集为，{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}即函数的定义域为.{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}答案：{x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z}8．(2019·鄂伦春自治旗一模)若函数f (x )＝1＋a sin (ax ＋(a ＞0))的最大值为3，则f (x )π6的最小正周期为______．解析：函数f (x )＝1＋a sin 的最大值为3，(ax ＋π6)∴1＋a ＝3，解得a ＝2.∴f (x )＝1＋2sin，(2x ＋π6)∴f (x )的最小正周期为T ＝＝π.2πω答案：π9．(2019·玉溪市模拟)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1(1)求f (π2)(2)求f (x )的最大值和最小正周期．解：(1)函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＋1＝sin＋1，2(2x －π4)∴f ＝sin＋1＝×＋1＝2.(π2)2(2×π2－π4)222(2)由f (x )＝sin＋1，2(2x －π4)当2x －＝＋2k π，k ∈Z ，即x ＝＋k π，k ∈Z 时，π4π23π8f (x )取得最大值为＋1，2最小正周期为T ＝＝π.2πω10．(2019·泸州市模拟)已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a 的最大值为.22(1)求a 的值；(2)求使f (x )≥0成立的x 的集合．解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a ＝sin 2x －＋a ＝sin＋a －，121＋cos 2x222(2x －π4)12∴f (x )max ＝＋a －＝，∴a ＝.22122212(2)由(1)知，f (x )＝sin.22(2x －π4)由f (x )≥0，得sin≥0，22(2x －π4)即2k π≤2x －≤π＋2k π，k ∈Z ，π4∴＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π85π8∴f (x )≥0成立的x 的集合为，k ∈Z .[π8＋k π，5π8＋k π]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 第3节
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x
的最小正周期为( ) A.π4 B.π2
C ．π
D ．2π 解析：C [f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x
cos x 1＋sin 2x cos 2x
＝sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的周期T ＝2π2＝π.故选C.]
2．(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15
sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35
D.15 解析：A [由诱导公式得cos ⎝⎛⎭
⎫x －π6＝ cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )＝ 15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最大值为65
.故选A.] 3．函数f (x )＝1－2sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π4是( ) A ．最小正周期为π的偶函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为π2
的偶函数 D ．最小正周期为π2
的奇函数 解析：B [因为函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭
⎫x －π4＝ cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.] 4．(2019·昆明市一模)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )
A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z B.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 解析：B [直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，∴a ＝12
，∴不等式化为tan x ≥1，解得k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ；∴所求不等式的解集为{x |k π＋π4≤x ＜k π＋π2
，k ∈Z }．] 5．(2019·长春市一模)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π)，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )
A ．f (φ)＝2
B.⎝⎛⎭⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心
C ．∅＝π3
D ．x ＝－π6
是f (x )图象的一条对称轴 解析：A [函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)，且f (0)＝
2sin φ＝1，∴sin φ＝12.又0＜φ＜π，∴φ＝π6或5π6
； 当φ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝2，当φ＝5π6
时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π6＋5π6＝2，故A 正确．] 6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 解析：由f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，有3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k 3π＋π9，由0≤k 3π＋π9
≤π得k 可取0,1,2，∴f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上有3个零点． 答案：3
7．函数f (x )＝3＋2cos x 的定义域为________．
解析：要使函数f (x )＝
3＋2cos x 有意义，则3＋2cos x ≥0即cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，
不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π， 所以，在实数集上不等式的解集为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z ，
即函数的定义域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z 8．(2019·鄂伦春自治旗一模)若函数f (x )＝1＋a sin (ax ＋π6
(a ＞0))的最大值为3，则f (x )的最小正周期为______．
解析：函数f (x )＝1＋a sin ⎝
⎛⎭⎫ax ＋π6的最大值为3， ∴1＋a ＝3，解得a ＝2.
∴f (x )＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2πω
＝π. 答案：π
9．(2019·玉溪市模拟)设函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1
(1)求f ⎝⎛⎭⎫π2
(2)求f (x )的最大值和最小正周期．
解：(1)函数f (x )＝2sin x cos x －cos 2x ＋1＝
sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2－π4＋1＝2×22
＋1＝2. (2)由f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4＋1， 当2x －π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π8
＋k π，k ∈Z 时， f (x )取得最大值为2＋1，
最小正周期为T ＝2πω
＝π. 10．(2019·泸州市模拟)已知函数f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a 的最大值为
22
. (1)求a 的值；
(2)求使f (x )≥0成立的x 的集合．
解：(1)∵f (x )＝sin x cos x －cos 2x ＋a ＝12sin 2x －1＋cos 2x 2＋a ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋a －12，
∴f (x )max ＝22＋a －12＝22，∴a ＝12
. (2)由(1)知，f (x )＝
22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由f (x )≥0，得22
sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥0， 即2k π≤2x －π4
≤π＋2k π，k ∈Z ， ∴π8＋k π≤x ≤5π8
＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )≥0成立的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .。