2019年秋九年级数学下册 第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数课
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26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 课件
注意： 两个
分支合起来 才是反比例 函数的图象.
y
6 5 4 3 2
1
－6－5－4－3－2－1O －1 －2 －3 －4 －5 －6
y 减y
12
小x
yx增6 大 x
1 2 3 4 5 6x
观察这两个函数图象， 回答问题：
(1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？
k 图象
反比例函数 y k (k≠0) x
k>0
k<0
图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限
性质 在每一个象限内，y 随 x 在每一个象限内，y 随x
的增大而减小
的增大而增大
1. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 y 1 的图象大致是 ( D ) x
y
y
y
y
O
x
O
x
O
Ox
x
A
函数图象画法：描点法
列 表
描 点
连 线
例1：画出反比例函数
y6与 x
y
12 x
的图象.
画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注 意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
温馨提示：学友主讲,师傅补充和纠正,其他师友进行答疑或点评
解：列表如下：
步骤一：列表
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
3
2 y6
1
x
y 12 x
步骤二：描点
描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点．
－6－5－4－3－2－1O 1 2 3 4 5 6 x
26.1.2 反比例函数的图象和性质(1)
①m＜0；
②在每个分支上，y 随 x 的增大而增大；
③若点 A(－1，a)、点 B(2，b)在图象上，则 a＜b；
④若点 P(x，y)在图象上，则点 P1(－x，－y)也在图象上．
其中正确的个数是( B )
A．4
B．3
C．2
D．1
上一页 主分支分别位于第二、四象限，可得 m＜0， 故正确；②在每个分支上 y 随 x 的增大而增大，正确；③若点 A(－1，a)、点 B(2， b)在图象上，则 a＞b，错误；④若点 P(x，y)在图象上，则点 P1(－x，－y)也在图象 上，正确．
解析：∵四边形 ABCD 是矩形，点 A 的坐标为(2，1)，∴点 D 的横坐标为 2， 点 B 的纵坐标为 1.当 x＝2 时，y＝62＝3；当 y＝1 时，x＝6，则 AD＝3－1＝2，AB ＝6－2＝4，则矩形 ABCD 的周长＝2×(2＋4)＝12.
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15．如图，三个反比例函数图象的分支，其中 k1、k2、k3 的大小关系是 __k_1_＜__k_3＜__k_2___.
学透初 中
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图象和性质(1)
目录页
01.抓基础 02.练考点
03.提能力 04.培素养
1．反比例函数图象的画法(描点法)： (1) _列__表___； (2) _描__点___； (3) _连__线___：用平滑的曲线顺次连接各点，可得到反比例函数的图象． 2．反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象由_两___条曲线组成，它是_双__曲__线___，它具有以 下性质：
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反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象 3．【高频】反比例函数 y＝－2x的图象是( C )
人教版九年级下册第二十六章：26.1反比例函数的图像和性质(教案)
五、教学反思
在这节关于反比例函数图像和性质的课堂上，我尝试了多种教学方法和策略，目的是让学生能够更好地理解反比例函数的概念，并将其应用于实际问题中。通过这节课的教学，我发现了一些值得注意的地方。
首先，我发现通过生活实例导入新课，确实能够激发学生的兴趣和好奇心。他们能够从实际问题中抽象出数学模型，这有助于他们理解反比例函数的意义。在今后的教学中，我将继续寻找更多贴近生活的例子，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
1.理解反比例函数的概念，掌握其图像与性质，提高学生的数学抽象与逻辑推理能力；
2.通过对反比例函数图像的观察与分析，培养学生的几何直观与空间想象能力；
3.运用反比例函数解决实际问题，提升学生的数学建模与问题解决能力；
4.引导学生通过小组合作、探讨交流，发展他们的数据分析与团队合作能力；
5.培养学生严谨的学术态度和勇于探索的精神，提高他们的数学素养和综合素质。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-反比例函数的定义及其表达式：y = k/x（k≠0），理解k的取值对函数图像的影响；
-反比例函数图像的绘制与性质分析，包括双曲线的形状、单调性、对称性等；
-反比例函数图像的变换，如平移、缩放，并理解其几何意义；
-将反比例函数应用于解决实际问题，建立数学模型。
举例：重点讲解反比例函数图像的绘制过程，通过实际案例让学生理解反比例函数在现实生活中的应用，如物体下落时速度与时间的关系。
对于实际问题的应用，难点在于如何引导学生从问题中抽象出反比例关系，教师可以通过设计不同情境的问题，如面积与边长、速度与时间等，帮助学生建立起反比例函数的数学模型。
在教学过程中，教师应特别注意对难点的反复讲解和练习，采用多样化的教学手段，如小组讨论、问题驱动、案例教学等，确保学生能够透彻理解和掌握本节课的核心知识。
在这节关于反比例函数图像和性质的课堂上，我尝试了多种教学方法和策略，目的是让学生能够更好地理解反比例函数的概念，并将其应用于实际问题中。通过这节课的教学，我发现了一些值得注意的地方。
首先，我发现通过生活实例导入新课，确实能够激发学生的兴趣和好奇心。他们能够从实际问题中抽象出数学模型，这有助于他们理解反比例函数的意义。在今后的教学中，我将继续寻找更多贴近生活的例子，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
1.理解反比例函数的概念，掌握其图像与性质，提高学生的数学抽象与逻辑推理能力；
2.通过对反比例函数图像的观察与分析，培养学生的几何直观与空间想象能力；
3.运用反比例函数解决实际问题，提升学生的数学建模与问题解决能力；
4.引导学生通过小组合作、探讨交流，发展他们的数据分析与团队合作能力；
5.培养学生严谨的学术态度和勇于探索的精神，提高他们的数学素养和综合素质。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-反比例函数的定义及其表达式：y = k/x（k≠0），理解k的取值对函数图像的影响；
-反比例函数图像的绘制与性质分析，包括双曲线的形状、单调性、对称性等；
-反比例函数图像的变换，如平移、缩放，并理解其几何意义；
-将反比例函数应用于解决实际问题，建立数学模型。
举例：重点讲解反比例函数图像的绘制过程，通过实际案例让学生理解反比例函数在现实生活中的应用，如物体下落时速度与时间的关系。
对于实际问题的应用，难点在于如何引导学生从问题中抽象出反比例关系，教师可以通过设计不同情境的问题，如面积与边长、速度与时间等，帮助学生建立起反比例函数的数学模型。
在教学过程中，教师应特别注意对难点的反复讲解和练习，采用多样化的教学手段，如小组讨论、问题驱动、案例教学等，确保学生能够透彻理解和掌握本节课的核心知识。
人教版九年级下册第二十六章：26.1.2反比例函数的图象和性质 教学设计
26.1.2《反比例函数的图像和性质》教材分析众所周知，函数知识是中学代数的核心内容，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数之一，反比例函数这部分的体系和安排，基本上与一次函数部分相同，教学中要注意和一次函数，尤其是正比例函数对比，引导学生从函数的意义，自变量的取值范围，图象的形状等方面辨明相应的区别。
《反比例函数的图像和性质》在反比例函数这部分的第二小节，是在学生学习了反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的。
反比例函数图像与一次函数图像不同，研究方法更具有一般性和代表性。
《反比例函数的图像和性质》分两课时完成：第一课时，主要内容反比例函数的图像和性质；第二课时;反比例函数与一次函数的图像和性质对比，确定反比例函数的表达式，本课为第一课时主要内容为探究反比例函数的图像和性质。
学情分析此时学生已经学习了函数及其图像的初步知识，及系统的研究了一次函数和二次函数的概念，图像，性质以及简单应用。
学生研究函数的基本方法有一些初步的了解。
但是反比例函数图像分两支，与一次函数、二次函数图像有很大的差别，学生很容易走进误区。
教学目标分析知识与技能（1）进一步熟悉作函数图像的主要步骤和注意事项；（2）会用描点法画反比例函数图像；（3）理解反比例函数的图像与性质。
过程与方法(1)学生通过自己动手，列表，描点，连线，提高学生的作图能力；(2)通过观察反比例函数图像,分析、探究反比例函数的性质，培养学生探究、归纳及概括的能力。
体会数形结合思想和分类讨论思想。
情感与态度通过对本节课的学习，让学生感受双曲线对称美，有限和无限思想，激发他们对数学学习的兴趣；教学重、难点分析基于本节课的教学内容和教学目标，结合学生学情。
确定本节课的重难点如下：重点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
难点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
教法学法分析学法：学生已经研究了一次函数、二次函数，对研究函数的图像和性质的思想方法有所了解，学生可以通过类比的方法学习，实现知识的迁移。
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
2.教师点评：对学生的总结进行点评，强调重点知识。
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
九年级数学下册 第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.3 二次函数y=a(x-h)2+
y 3x2
向、对称轴和顶点坐标分 别是什么?
与y=-3x²有关
y3x12 y3x122
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
对称轴仍是平行于
y轴的直线(x=1).
x=1
【例 2】要修建一个圆形喷水池，在池
y
中心竖直安装一根水管，在水管的顶端
安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱
在与池中心的水平距离为1m处达到最高，
高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水
管应多长？
解析：如图建立直角坐标系，点（1，3）
是顶点，设抛物线的解析式为
y=a(x-1)2 +3（0≤x≤3），
∵点（3，0）在抛物线上，
系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4（单位：米）
的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
【解析】选A. 抛物线的
y (米)
顶点坐标为（2,4），
所以水喷出的最大高度
是4米.
x (米)
4.（温州·中考）已知二次函数的图象如图所示，关于该 函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值-1，有最大值0 C.有最小值-1，有最大值3 D.有最小值-1，无最大值 【解析】选C．因为图象顶点的纵 坐标为－１，最高值为３．故选Ｃ．
26.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象
第2课时
1.会画y=a(x-h)2+k的图象； 2.了解y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的关系，能结合图 象理解y=a(x-h)2+k的性质.
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
人教版九年级数学下册第26章反比例函数 26.1.1 反比例函数 课件
(((((((((((453534434254))))))))))))-yyxyyx3yyxxyyyxyyy121x+1x1212=2xx11x0x21xx
(5)
y
2
x
不具备 y k 的形式，所以y不是x的反
比例函数。 x
可以改写成
y
2 3x
，所以y是x的反
比例函数，比例系数k= 2
否
是
是
是
⑨ y 1
x2
否
⑩ y ( 2 3)x1 ⑾
是
1000 y 0 x
是
“聚焦”自变量
对于反比例函数 y 1000
x
①当x=50时，y=__2_0__ ②当x=－100时，y=__-_1_0_
③X的值能不能取0？为什么？ 函数 y k(k≠0)中,自变量x的取值范围是不为0的一 切实数。x ④某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草 坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。
4
变式2、已知函数 y = y1 + y2，y1与x 成正比例，y2与x成
反比例，且当x=1时，y=3；当x=2时，y=3。
解((12:))(1求 当)设yx与=y41x时的，k函1xy数,的关y值2 系。式kx2；方将求法两出：组函先值数分代的别入值设所。设y1,的y2函与数x的关关系系式式中，，
x
4.反比例函数 y k 中，当x的值由4增加
x
到6时，y的值减小3，求这个反比例函数的
解析式． y 36 x
“极限”大挑战
5.（1）已知y与z成正比例，z与x成正比例。问y是x
的什么函数？
y与x成正比例