创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习练习：9-6双曲线(含答案解析)

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2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析第6节双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质

第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。

高2020届高2017级文科创新设计高考数学总复习配套课件第九章第6节双曲线

9
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4.(2018·浙江卷)双曲线x32－y2＝1 的焦点坐标是(
)
A.(－ 2，0)，( 2，0)
B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－ 2)，(0， 2)
D.(0，－2)，(0，2)
解析由题可知双曲线的焦点在x轴上,又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4,所以c＝2,故焦点坐标
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3.(选修 1－1P54A1 改编)已知双曲线 x2－1y62 ＝1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 4，那么点 P 到另一个焦点的距离等于________. 解析设双曲线的焦点为 F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6 或 2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为 c－a＝ 17－1，故|PF2|＝6. 答案 6
为(－2,0),(2,0).
答案 B
10
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5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线ax22－y92＝1(a>0)的一条渐近线方程为 y＝35x，则 a＝________. 解析由题意可得3a＝35，所以 a＝5. 答案 5
11
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6.(2018·北京卷)若双曲线ax22－y42＝1(a>0)的离心率为 25，则 a＝________. 解析由题意可得，a2a＋2 4＝ 252，即 a2＝16，又 a>0，所以 a＝4. 答案 4
a，b，c 的关系
c2＝__a_2＋__b_2__
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4

高2020届高2017级高考数学创新设计总复习课件第九章第6节双曲线

第6节双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1,F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a },|F 1F 2|＝2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0:(1)若a <c ,则集合P 为双曲线; (2)若a ＝c ,则集合P 为两条射线; (3)若a >c ,则集合P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.2.离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是xm±yn＝0.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)与x2b2－y2a2＝1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()【试题解析】(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|,表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.(3)当m＞0,n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m＜0,n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.【参考答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3,－1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.【试题解析】设双曲线方程为:x2－y2＝λ(λ≠0),把点A(3,－1)代入,得λ＝8,故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.【参考答案】x 28－y 28＝13.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4,那么点P 到另一个焦点的距离等于________.【试题解析】设双曲线的焦点为F 1,F 2,|PF 1|＝4,则||PF 1|－|PF 2||＝2,故|PF 2|＝6或2,又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1,故|PF 2|＝6. 【参考答案】64.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( ) A.(－2,0),(2,0) B.(－2,0),(2,0) C.(0,－2),(0,2) D.(0,－2),(0,2)【试题解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上,又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,所以c ＝2,故焦点坐标为(－2,0),(2,0). 【参考答案】B5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ,则a ＝________.【试题解析】由题意可得3a ＝35,所以a ＝5. 【参考答案】56.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52,则a ＝________. 【试题解析】由题意可得,a 2＋4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522,即a 2＝16,又a >0,所以a ＝4.【参考答案】4考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|＝2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45(2)(2019·西安调研)已知圆C 1:(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2:(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.【试题解析】(1)由x 2－y 2＝2,知a ＝b ＝2,c ＝2.由双曲线定义知,|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22,又|PF 1|＝2|PF 2|, ∴|PF 1|＝42,|PF 2|＝22,在△PF 1F 2中,|F 1F 2|＝2c ＝4,由余弦定理,得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件, 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |, |MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |,所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|, 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2,所以点M 到两定点C 1,C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大,与C 1的距离小),其中a ＝1,c ＝3,则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).【参考答案】(1)C (2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)【规律方法】1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ,运用平方的方法,建立与|PF 1|,|PF 2|的联系.【训练1】 (1)(2018·赣南五校联考)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为2,左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在双曲线C 上,若△AF 1F 2的周长为10a ,则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·长春质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ,一个焦点为F (0,－7),点A (2,0),点P 为双曲线第一象限内的点,则当点P 的位置变化时,△P AF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317【试题解析】(1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上,由e ＝ca ＝2,得c ＝2a ,∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ,又△AF 1F 2的周长为10a ,∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ,又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a , ∴|AF 1|＝4a ,|AF 2|＝2a ,在△AF 1F 2中,|F 1F 2|＝4a , ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a＝14.又0<∠F 1AF <π,∴sin ∠F 1AF 2＝154,∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1,设双曲线的另一个焦点为F ′,则|PF |＝|PF ′|＋4,△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3,当F ′,P ,A 三点共线时,|PF ′|＋|P A |有最小值,为|AF ′|＝3,故△P AF 的周长的最小值为10. 【参考答案】(1)B (2)B 考点二双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ,且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1＋d 2＝6,则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1【试题解析】(1)由题设知b a ＝52,①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点, 易知a 2＋b 2＝c 2＝9,②由①②解得a ＝2,b ＝5,则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b ＝3.因为双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为2,所以c a ＝2,所以a 2＋b 2a 2＝4,所以a 2＋9a2＝4,解得a 2＝3,所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 【参考答案】(1)B (2)C【规律方法】1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于参数a ,b ,c 的方程并求出a ,b ,c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2018·海南二模)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0,且双曲线经过点P (6,2),则双曲线的方程为________________.【试题解析】(1)由双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)过点(2,3),且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形,可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ,可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6,2),所以69－44＝λ,λ＝－13,故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.【参考答案】(1)C (2)y 243－x 23＝1考点三双曲线的性质多维探究角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x【试题解析】法一由题意知,e ＝c a ＝3,所以c ＝3a ,所以b ＝c 2－a 2＝2a ,即ba ＝2,所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 法二由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3,得b a ＝2,所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x . 【参考答案】A角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |,则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2019·泰安联考)已知双曲线C 1:x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),圆C 2:x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0,若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点,则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞C.(1,2)D.(2,＋∞)【试题解析】(1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ,则F 2到y ＝ba x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ,在Rt △F 2PO 中,|F 2O |＝c ,所以|PO |＝a ,所以|PF 1|＝6a ,又|F 1O |＝c ,所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中,根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ,则3a 2＋c 2－(6a )2＝0,得3a 2＝c 2,所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ,即bx ±ay ＝0,圆C 2:x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2,圆心C 2的坐标为(a ,0),半径r ＝12a ,由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点,得|ab |a 2＋b2<12a ,即c >2b ,即c 2>4b 2,又知b 2＝c 2－a 2,所以c 2>4(c 2－a 2),即c 2<43a 2,所以e ＝c a <233,又知e >1,所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 【参考答案】(1)C (2)A角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 【试题解析】因为F 1(－3,0),F 2(3,0),x 202－y 20＝1,所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0,－y 0)·(3－x 0,－y 0)＝x 20＋y 20－3<0,即3y 2－1<0,解得－33<y 0<33. 【参考答案】A【规律方法】1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ,b ,c 的值,由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助于b 2＝c 2－a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)(2019·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1,它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【试题解析】(1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0,结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0,又圆心坐标为(2,1), 则|b －2a |a 2＋b2＝1,得3a ＝4b ,所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2),则e 2＝2516, 又e >1,故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),它的一个焦点(c ,0)到渐近线bx－ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .本题中,双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1,其焦点在x 轴上,则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8,则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2).【参考答案】(1)B (2)(0,2)[思维升华]已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0,b >0)的两条渐近线方程. [易错防范]1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2,说明双曲线方程中c 最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,＋∞)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ,y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0,b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x . 4.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12x B.y ＝±22x C.y ＝±2xD.y ＝±2x【试题解析】因为2b ＝2,所以b ＝1,因为2c ＝23,所以c ＝3,所以a ＝c 2－b 2＝2,所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 【参考答案】B2.(2019·重庆九校联考)双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的一个焦点为F ,过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,且交y 轴于B ,若A 为BF 的中点,则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.62【试题解析】由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4,故双曲线C 的离心率e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－1＝ 2.【参考答案】A3.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2【试题解析】法一由离心率e ＝ca ＝2,得c ＝2a ,又b 2＝c 2－a 2,得b ＝a ,所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式,得点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线,其渐近线方程是y ＝±x ,∴点(4,0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 【参考答案】D4.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的离心率为32,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为M .若△FOM 的面积为5,其中O 为坐标原点,则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1【试题解析】由题意可知e ＝c a ＝32,可得b a ＝52,取一条渐近线为y ＝ba x ,可得F 到渐近线y ＝ba x 的距离d ＝bca 2＋b 2＝b , 在Rt △FOM 中,由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ,由题意可得12ab ＝5,联立⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1. 【参考答案】C5.(2019·呼和浩特质检)已知F 2,F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0,b >0)的上、下两个焦点,过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ,A ,若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6xD.y ＝±66x【试题解析】根据双曲线的定义,可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ,∵△ABF 2为等边三角形,∴|BF 2|＝|AB |,∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ,又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ,∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ,∵在△AF 1F 2中,|AF 1|＝2a ,|AF 2|＝4a ,∠F 1AF 2＝120°,∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°,即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28a 2,亦即c 2＝7a 2,则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ,由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x .【参考答案】D 二、填空题6.(2018·沈阳模拟)直线l :y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为________________. 【试题解析】由题意得一个焦点为F (－5,0),c ＝5,b a ＝2, 又a 2＋b 2＝c 2,所以a 2＝5,b 2＝20,所以双曲线方程为x 25－y 220＝1.【参考答案】x 25－y 220＝17.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ,右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为________. 【试题解析】a 2＝9,b 2＝16,故c ＝5.∴A (3,0),F (5,0),不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5),代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215.【参考答案】32158.已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点,直线PO ,PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ,N .若|PF 1|＝2|PF 2|,且∠MF 2N ＝60°,则双曲线C 的离心率为________.【试题解析】由题意,|PF 1|＝2|PF 2|,由双曲线的定义可得,|PF 1|－|PF 2|＝2a ,可得|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a ,又|F 1O |＝|F 2O |,|PO |＝|MO |,得四边形PF 1MF 2为平行四边形,又∠MF 2N ＝60°,可得∠F 1PF 2＝60°,在△PF 1F 2中,由余弦定理可得,4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°,即4c 2＝20a 2－8a 2,c 2＝3a 2,可得c ＝3a ,所以e ＝c a ＝ 3. 【参考答案】 3 三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点P (4,－10). (1)求双曲线的方程;(2)(一题多解)若点M (3,m )在双曲线上,求证:MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2,∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0). ∵双曲线过点(4,－10),∴16－10＝λ,即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6,即x 26－y 26＝1.(2)证明法一由(1)可知,a ＝b ＝6, ∴c ＝23,∴F 1(－23,0),F 2(23,0), ∴k MF 1＝m 3＋23,k MF 2＝m3－23,k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3,m )在双曲线上,∴9－m 2＝6,m 2＝3, 故k MF 1·k MF 2＝－1,∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二由(1)可知,a ＝b ＝6,∴c ＝23, ∴F 1(－23,0),F 2(23,0),MF 1→＝(－23－3,－m ),MF 2→＝(23－3,－m ), ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2, ∵点M (3,m )在双曲线上,∴9－m 2＝6,即m 2－3＝0, ∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ,B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程;(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ,N 两点,且在双曲线的右支上存在点D ,使OM →＋ON →＝tOD →,求t 的值及点D 的坐标. 解 (1)由题意知a ＝23,∵一条渐近线为y ＝ba x ,即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3,得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2,∴b 2＝3, ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),其中x 0≥2 3. 又OM →＋ON →＝tOD →,即(x 1,y 1)＋(x 2,y 2)＝t (x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝tx 0,y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0,其中Δ＝(163)2－4×84>0,则x 1＋x 2＝163,y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4,点D 的坐标为(43,3).能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,且△PF 1F 2的最小内角为π6,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±12x C.y ＝±22xD.y ＝±2x【试题解析】不妨设P 为双曲线右支上一点,则|PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,所以|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a .又因为⎩⎨⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角,故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理,可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32,即(3a －c )2＝0,所以c ＝3a ,则b ＝2a ,所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 【参考答案】D12.(2019·广东六校联考)已知点F 为双曲线E :x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0)的右焦点,直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ,N 两点,若MF ⊥NF ,设∠MNF ＝β,且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2,2＋6] B.[2,3＋1] C.[2,2＋6]D.[2,3＋1]【试题解析】如图,设左焦点为F ′,连接MF ′,NF ′,令|MF |＝r 1,|MF ′|＝r 2,则|NF |＝|MF ′|＝r 2,由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①,∵点M 与点N 关于原点对称,且MF ⊥NF ,∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ,∴r 21＋r 22＝4c 2②,由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2),又知S △MNF ＝2S △MOF , ∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β,∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β,∴e 2＝11－sin 2β,又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6,∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32,∴e 2＝11－sin 2β∈[2,(3＋1)2].又e >1,∴e ∈[2,3＋1]. 【参考答案】D13.(2018·北京卷)已知椭圆M :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为________;双曲线N 的离心率为________.【试题解析】设椭圆的右焦点为F (c ,0),双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ,由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2,由点A 在椭圆M 上得,c 24a 2＋3c 24b 2＝1,∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2,∵b 2＝a 2－c 2,∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2),∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0,∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0,∴e 2椭＝4±23,∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1,∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，3c 2,∴渐近线方程为y ＝3x ,∴n m ＝3,故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2.【参考答案】3－1 214.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;(2)若直线l :y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →·OB →＞2(其中O 为原点),求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0), 则a 2＝3,c 2＝4,再由a 2＋b 2＝c 2,得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1, 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点,得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2,x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2,得x 1x 2＋y 1y 2＞2, ∴3k 2＋73k 2－1＞2,即－3k 2＋93k 2－1＞0,解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1,故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m ，代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ，即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．题型四已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+，于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________．【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）．故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=，所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =，所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-，化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以33k =，故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩，则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=，又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+，即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=，则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-，则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =，又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

【新人教A版】2024版高考数学一轮总复习第9章解析几何第6节双曲线课件

(1)当 2a<|F1F2|
时,点P的轨迹是双曲线;
(2)当
2a=|F1F2|
时,点P的轨迹是两条射线;
(3)当
2a>|F1F2|
时,点P不存在.
微点拨若2a=0,则点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
,两焦
微思考若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,
则点的集合是双曲线的哪一支?
第九章
第六节双曲线
内
容
索
引
01
强基础•固本增分
02
研考点•精准突破
课标解读
1.了解双曲线的实际背景,感受双曲
线在刻画现实世界和解决实际问题
中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和
标准方程,以及它们的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习,进一步体会数
形结合的思想.
衍生考点
核心素养
1.直观想象
1.双曲线的定义及应用
0
=1.
2

F1,F2,点 P(x0,y0)为双曲线
上任意一点,且不与点 F1,F2 共线,∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为
2

tan
2
2
3.若点 P(x0,y0)在双曲线 2 −

0
0
02
02
方程为 2 − 2 = 2 − 2 .

2
=1(a>0,b>0)内,则被点
(1)定义:实轴和虚轴的长相等的双曲线叫做等轴双曲线;
(2)性质:①两渐近线垂直且方程为y=±x,②离心率为e=
2.
常用结论
2
1.过双曲线 2

双曲线(经典导学案及练习答案详解)

§8.7双曲线学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 2．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|等于1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17. 3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线方程________．答案y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以) 解析取c ＝3，则e ＝ca＝3，可得a ＝1，∴b ＝c 2－a 2＝2，因此，符合条件的双曲线方程为y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一双曲线的定义及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______．答案 2 3解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.延伸探究在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，则△F 1PF 2的面积为_____．答案 2解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1―→⊥PF 2―→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) 答案 C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．4＋37 D ．3＋317答案 B解析由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 答案 B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a＝－2a 26a 2＝－13， sin ∠F 1PF 2＝223，所以12PF F S △＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．答案 9解析设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二双曲线的标准方程例2 (1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝ca＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ，则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x 29＝1 解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1. 教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．答案 y 225－x 275＝1解析设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 答案 D解析由题意可知|PF 1|＝43c3， |PF 2|＝23c3， 2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1 渐近线例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A.y 212－x 24＝1 B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.y 216－x 24＝1 答案 B解析由题意知，b ＝2，又因为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.(2)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 B解析由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以c ≥4，所以2c ≥8，所以C 的焦距的最小值为8.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0⎝⎛⎭⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132C.7D.13 答案 A解析设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ，在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72. 高考改编已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.7 D ．7答案 C解析点A 在双曲线E 的左支上，左、右焦点分别为F 1，F 2，设|AF 1|＝m ，由|AF 2|＝2|AF 1|知|AF 2|＝2m ，由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝2m －m ＝m ＝2a ，在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，由余弦定理知，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 120° ＝4a 2＋16a 2＋8a 2＝28a 2， ∴|F 1F 2|＝27a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴27a ＝2c ，e ＝ca＝7.(2)(2022·滨州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(3，＋∞) D ．(2,3)答案 A解析在△PF 1F 2中， sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理得，|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于( )A.12B.3－1C.3＋12D ．2答案 A解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，所以b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 A解析令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，则c ＝a 2＋b 2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，∴c a＝2，即离心率e ＝ 2. 思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则( )A ．双曲线C 的焦点坐标为(0，±2)B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．点(2,3)在双曲线C 上D ．直线mx －y －m ＝0(m ∈R )与双曲线C 恒有两个交点答案 BC解析双曲线C 上的点到其焦点的最短距离为c －a ＝1，离心率e ＝c a ＝2，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1，所以C 的焦点坐标为(±2,0)，A 错误；双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，B 正确；因为22－323＝1，所以点(2,3)在双曲线C 上，C 正确；直线mx －y －m ＝0即y ＝m (x －1)，恒过点(1,0)，当m ＝±3时，直线与双曲线C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D 错误．(2)(2022·威海模拟)若双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线C 2的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，132B.⎝⎛⎭⎫1，133 C.⎝⎛⎭⎫132，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫133，＋∞ 答案 D解析因为双曲线C 1：y 24－x 29＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，为使双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，只需b a >23，则离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋49＝133. 课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±512，0 B.⎝⎛⎭⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1，所以c 2＝19＋116＝25144，所以c ＝512，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 答案 D解析由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1. 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析方法一依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C.43 D.233答案 A解析双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)，渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33， ∴b 9＋b 2b 2＋9＝33，解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2. 5．(多选)已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案 ABC解析因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确；因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误． 6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y ＝34x ，P 为C 上一点，则以下说法正确的是( ) A ．C 的实轴长为8B ．C 的离心率为53 C ．|PF 1|－|PF 2|＝8D ．C 的焦距为10 答案 AD解析由双曲线方程知，渐近线方程为y ＝±3a x ，而一条渐近线方程为y ＝34x ， ∴a ＝4，故C ：x 216－y 29＝1， ∴双曲线实轴长为2a ＝8，离心率e ＝c a ＝16＋94＝54，由于P 可能在C 不同分支上，则有||PF 1|－|PF 2||＝8，焦距为2c ＝2a 2＋b 2＝10.∴A ，D 正确，B ，C 错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215. 9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1－→·MF 2－→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1－→·MF 2－→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ， ∴h ＝255. 即M 点到x 轴的距离为255. (2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y ＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得b a ＝255，① 12AF F S △＝12×2c ·b ＝6，②a 2＋b 2＝c 2，③由①②③可得a 2＝5，b 2＝4，∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1. (2)由题意知直线l 不过点A .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)，连接AD (图略)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ，整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0且Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，80(m 2－5k 2＋4)>0，④ ∴x 1＋x 2＝10km 4－5k 2，x 1x 2＝－5m 2＋204－5k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝5km 4－5k 2， y 0＝kx 0＋m ＝4m 4－5k 2. 由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，又A (0,2)，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m 4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k，化简得10k 2＝8－9m ，⑤由④⑤，得m <－92或m >0. 由10k 2＝8－9m >0，得m <89. 综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.11．(多选)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为62B ．双曲线y 24－x 28＝1与双曲线C 的渐近线相同 C ．若PO ⊥PF ，则△PFO 的面积为 2D ．|PF |的最小值为2答案 ABC解析因为a ＝2，b ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62，故A 正确；双曲线y 24－x 28＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，故B 正确；因为PO ⊥PF ，点F (6，0)到渐近线2x －2y ＝0的距离d ＝|2×6|6＝2，所以|PF |＝2，所以|PO |＝(6)2－(2)2＝2，所以△PFO 的面积为12×2×2＝2，故C 正确；|PF |的最小值即为点F 到渐近线的距离，即|PF |＝2，故D 不正确．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫1，132 C.⎝⎛⎭⎫ 32，132 D ．(1，13) 答案 B解析由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0，又该圆的圆心为(c ，0)，故圆心到渐近线的距离为bc b 2＋4，则由题意可得bc b 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)，又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2，解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1，故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，132. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A 解析由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，可得a ＝2b ，由双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，可得c ＝5，则由a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝1，双曲线的方程为x 24－y 2＝1，由题意可得A (－2,0)，B (2,0)，设P (m ，n )(m >2，n >0)，则m 24－n 2＝1，即n 2m 2－4＝14， k 1k 2＝n m ＋2·n m －2＝n 2m 2－4＝14，易知k 1，k 2>0，则k 1＋k 2≥2k 1k 2＝1，由A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，可得k 1≠k 2，则k 1＋k 2>1.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3，则渐近线方程为y ＝±3x .15．(多选)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO →＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则( )A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0B ．双曲线C 的离心率为132C ．|OE →|＝1D ．△OMN 的面积为6答案 ABD解析如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题意可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO →＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |，即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94，所以a ＝2，b ＝3，e ＝132. 双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S △OMN ＝6.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解设双曲线的半焦距为c ，则F (c ，0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，因为|AF |＝|BF |，所以b 2a＝a ＋c ，所以c 2－a 2a＝a ＋c ，所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0. 因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∠BF A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时，由题意易得∠BAF ＝π4，此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时，因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a，所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a ) ＝－y 0x 0－2a＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。

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9-6 A组专项基础训练 (时间：45分钟) 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A.5 B．2 C.3 D.2 【解析】结合图形，用a表示出点M的坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，进而求出离心率．不妨取点M在第一象限，如图所示，

设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M点的坐标为()2a，3a. ∵M点在双曲线上， ∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b， ∴c＝2a，e＝ca＝2.故选D. 【答案】 D 2．(2015·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x221－y228＝1 B.x228－y221＝1 C.x23－y24＝1 D.x24－y23＝1 【解析】利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y＝bax过点(2，3)，可得3＝ba×2.① 由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y2＝47x的准线x＝－7上，可得a2＋b2＝7.② 由①②解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为x24－y23＝1. 【答案】 D 3．(2015·湖南)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53 【解析】由渐近线过点(3，－4)可得ba的值，利用a，b，c之间的关系a2＋b2＝c2可消去b得a，c之间的关系，求出离心率e. 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知ba＝43，∴b2a2＝169. 又b2＝c2－a2，∴c2－a2a2＝169，即e2－1＝169，∴e2＝259，∴e＝53. 【答案】 D 4．(2014·江西)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( ) A.x24－y212＝1 B.x27－y29＝1 C.x28－y28＝1 D.x212－y24＝1 【解析】由x＝a，y＝－bax，得x＝a，y＝－b， ∴A(a，－b)．由题意知右焦点到原点的距离为c＝4， ∴（a－4）2＋（－b）2＝4，即(a－4)2＋b2＝16. 而a2＋b2＝16，∴a＝2，b＝23. ∴双曲线C的方程为x24－y212＝1. 【答案】 A 5．(2015·山东)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．【解析】先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率．如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，

又直线l过右焦点F(c，0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋3. 【答案】 2＋3 6．(2014·北京)设双曲线C经过点(2，2)，且与y24－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为____________；渐近线方程为____________．【解析】设双曲线C的方程为y24－x2＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入上式，得λ＝－3， ∴C的方程为x23－y212＝1，其渐近线方程为y＝±2x. 【答案】 x23－y212＝1 y＝±2x 7．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．【解析】双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax.

由y＝bax，x－3y＋m＝0得Aam3b－a，bm3b－a，由y＝－bax，x－3y＋m＝0得B－ama＋3b，bma＋3b，所以AB的中点C的坐标为a2m9b2－a2，3b2m9b2－a2. 设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2. 在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，

所以e＝ca＝52. 【答案】 52 8．(2015·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】根据双曲线的定义等价转化|PF|，分析何时△APF的周长最小，然后用间接法计算S△APF. 由双曲线方程x2－y28＝1可知， a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3，0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 |PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.

因为|AF|＝32＋（66）2＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．

由题意可知直线AF1的方程为y＝26x＋66，由y＝26x＋66，x2－y28＝1，得y2＋66y－96＝0，解得y＝26或y＝－86(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F

＝12×6×66－12×6×26＝126. 【答案】 126 9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积．【解析】 (1)∵离心率e＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：∵点M(3，m)在双曲线上， ∴32－m2＝6，∴m2＝3，又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴MF1→·MF2→＝(－23－3，－m)·(23－3，－m) ＝(－3)2－(23)2＋m2＝9－12＋3＝0， ∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．

(3)S△F1MF2＝12×43×|m|＝6. 10．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→>2(其中O为原点)，求k的取值范围．【解析】 (1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1. 故C2的方程为x23－y2＝1. (2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

1－3k2≠0，Δ＝（－62k）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）>0，

∴k2≠13且k2<1.① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1.

又∵OA→·OB→>2，得x1x2＋y1y2>2， ∴3k2＋73k2－1>2，即－3k2＋93k2－1>0，解得13由①②得13故k的取值范围为－1，－33∪33，1. B组专项能力提升 (时间：25分钟) 11．(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( ) A．对任意的a，b，e1>e2 B．当a>b时，e1>e2；当aC．对任意的a，b，e1D．当a>b时，e1e2 【解析】分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．

由题意e1＝ a2＋b2a2＝ 1＋ba2；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，

离心率e2＝（a＋m）2＋（b＋m）2（a＋m）2＝ 1＋b＋ma＋m2. 因为b＋ma＋m－ba＝m（a－b）a（a＋m），且a>0，b>0，m>0，a≠b，所以当a>b时，m（a－b）a（a＋m）>0，即b＋ma＋m>ba. 又b＋ma＋m>0，ba>0，

所以由不等式的性质依次可得b＋ma＋m2>ba2， 1＋b＋ma＋m2>1＋ba2，所以 1＋b＋ma＋m2> 1＋ba2，即e2>e1；同理，当a可推得e2综上，当a>b时，e1