无界弦振动的研究
弦振动的研究实验报告心得50字
弦振动的研究实验报告心得50字
今天，我来到了实验室做弦振动的研究。
通过这次活动，我不仅观察了一些以前从未见过、听说过的现象，更重要的是培养了我实事求是的科学态度，并锻炼了自己设计实验方案和动手操作的能力。
下面就谈谈我在这个课题中获得的体会与心得：实验步骤
我们首先用超声波对振子进行测量，再把振子固定在平台上。
之后就开始测量钢尺和振子的相互作用力。
因为小球与振子有摩擦力存在，所以加减砝码的速度必须控制好，还要考虑小球运动时受到的阻力等等问题。
最后在进行电子秤称量时需要保持振子是水平放置。
由于小球可以使钢尺绕点 O 转动，当钢尺经过某一位置时记录下拉力
大小即可。
当做完实验后，已是晚上八点多钟，回家时感觉浑身酸痛，腰也疼，但是这却让我明白了“世上无难事，只怕有心人”这句话的真正含义，也增强了自己战胜困难的决心。
看来这项研究对以后的学习生活很有帮助！心得体会
然后开始测量钢尺和弹簧的相互作用力。
因为小球与振子有摩擦力存在，所以加减砝码的速度必须控制好，还要考虑小球运动时受到的阻力等等问题。
最后在进行电子秤称量时需要保持振子是水平放置。
由于小球可以使钢尺绕点 O 转动，当钢尺经过某一位置时记录下拉
力大小即可。
当做完实验后，已是晚上八点多钟，回家时感觉浑身酸痛，腰也疼，但是这却让我明白了“世上无难事，只怕有心人”这句话的真正含义，也增强了自己战胜困难的决心。
看来这项研究对以后的学习生活很有帮助！。
大学物理《弦振动》实验报告
大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）一.实验目的1.观察弦上形成的驻波2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系二.实验仪器XY弦音计、双踪示波器、水平尺三实验原理当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。
理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：=ρ1------------------------------------------------------- ①另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：v=λγ-------------------------------------------------------- ②将②代入①中得γ=λ1-------------------------------------------------------③ρ1又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γn=2L------------------------------------------------------ ④ρ1四实验内容和步骤1.研究γ和n的关系①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。
②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。
将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。
③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g 是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做γn图线，导出γ和n的关系。
弦振动特性的研究
弦振动特性的研究【实验目的】(1) 了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 (2) 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。
(3) 测量弦振动时波的传播速度。
【实验原理】 正弦波沿着拉紧的弦传播表示为：x t 丫厂 Y m Sin2*——) 九 n如果弦的一端被固定，反射波可表示为：x t 丫2 二丫m Sin2冗(――) 两束波叠加后的波方程Y 二 Y 1 丫2八x t x t佔nm —J+Y m Sinm —卫 Y = 2Y m Sin( ^n^)cos(2nl)扎 n在位置固定为X o 时，弦作简谐振动，振幅为2Y mSin(2^X °),当丸 3丸5 & 人3X 。
蔦，丁，才…，振幅达到最大，当X 。
匕，，T …， 振幅为零，这种波形叫驻波。
当到达某一振动频率时，所有的反射波就会同相，产生振幅很大的驻波，这一频率叫共振频率。
波的传播速度T【实验内容】图8-1弦振动实验仪1-调节螺杆2-圆柱螺母3-驱动传感器4-弦5-接收传感器6-支撑板7-拉力杆8-悬挂物块9-信号源10-示波器(1)拉紧弦的共振波频率①测量不同弦长的共振频率，测出共振波的波长②测量不同拉紧度下的共振频率③测量不同线密度下的共振频率。
(2)测量波的传播速度【数据处理】(1)不同弦长拉紧弦的共振波频率(表8-1) 表8-1不同弦长拉紧弦共振波频率弦的线密度 ___________ 拉紧度_________________________________作弦长与波长的关系图（2）不同拉紧度的共振频率（表8-2）表8-2 不同拉紧度的共振频率作拉紧度与共振频率的关系图（3）波的传播速度。
根据⑴普算出波速，将这一波速与y=f XK（f是共振频率，’是波长）作比较。
作拉紧度与波速的关系图。
【注意事项】1、因振动信号较弱，实验时，不能振动桌子；2、如弦振动幅度很大时，可适当调小信号输出幅度，使示波器显示规则的正弦波；3、移动接收传感器时，手不要碰到弦线；4、驱动与接收传感器不能靠得太近，否则会产生干扰，两传感器的距离至少大于10cm。
大学物理《弦振动》实验报告
大学物理《弦振动》实验报告大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）一.实验目的1.观察弦上形成的驻波2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系二.实验仪器XY弦音计、双踪示波器、水平尺三实验原理当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。
理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：=ρ1------------------------------------------------------- ①另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：v=λγ-------------------------------------------------------- ②将②代入①中得γ=λ1-------------------------------------------------------③ ρ1又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γn=2L------------------------------------------------------ ④ ρ1四实验内容和步骤1.研究γ和n的关系①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。
②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。
将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。
③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的'信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做γn图线，导出γ和n的关系。
弦振动实验原理
弦振动实验原理弦振动是物理学中的一个重要概念，它在声学、乐器制造、工程振动等领域都有着广泛的应用。
弦振动实验是物理学实验中常见的一个实验项目，通过实验可以直观地观察和理解弦的振动规律，对于深入理解振动现象和相关理论具有重要意义。
首先，我们来看一下弦振动的基本原理。
当一根拉紧的弦被扰动后，会产生振动。
这种振动是由弦的弹性和张力共同作用的结果。
在弦的振动过程中，弦的各个部分都在做横向振动，而振动的频率和波形则取决于弦的长度、线密度、张力以及扰动的方式等因素。
在进行弦振动实验时，我们通常会利用一根细长的弦，将其固定在两个固定点之间，并施加一定的张力。
然后，我们可以通过不同的方法对弦进行扰动，例如手指摩擦、拨动或者其他外力作用，观察弦的振动情况。
在实验中，我们可以利用各种测量仪器来测量振动的频率、波长、振幅等参数，从而进一步研究弦振动的规律。
在实际的弦振动实验中，我们可以通过改变弦的长度、线密度和张力等参数，来观察不同条件下的振动情况。
例如，当我们改变弦的长度时，会发现振动的频率随之改变；当我们改变张力时，也会对振动的频率和波形产生影响。
这些实验结果都可以与理论计算进行比较，从而验证弦振动理论的正确性。
除了基本的弦振动实验，我们还可以通过共振现象、谐波等方法来深入研究弦振动的特性。
通过这些实验，我们可以更加全面地了解弦振动的规律和特点，为进一步的理论研究和工程应用提供重要的参考。
总的来说，弦振动实验是物理学实验中的一个重要项目，它不仅可以帮助我们直观地观察和理解弦振动的规律，还可以通过实验数据验证理论模型的正确性。
通过深入研究弦振动的实验原理，我们可以更好地应用这些知识，解决实际工程和科学问题，推动相关领域的发展。
弦振动实验原理，正是通过实验观察和测量弦的振动情况，来揭示弦振动规律的一种重要方法。
通过这些实验，我们可以更加深入地理解弦振动的特性，为相关领域的理论研究和工程应用提供重要的支持。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解弦振动实验原理，为相关研究和实践工作提供一定的参考。
物理实验-弦振动-实验报告.doc
物理实验-弦振动-实验报告.doc
弦振动实验报告
本次实验的主要目的是要研究一条自由端受外力而产生弦振动的情况，另外一端固定，利用旋转角来测量它的射线波速度。
实验步骤主要分为以下几部分：
1. 准备实验用具：重锤、振动台、时钟表和定弦轮等。
2. 将自由端固定，测量绳子的实际长度，并调节绳子的谐振频率。
3. 用重锤由最高点加载自由端，由低点释放，使其开始振动。
4. 均匀地施加入外力，使得振动出现射线状，并测量出射线波速度。
5. 根据不同质量、不同谐振频率，比较他们的射线波速度，并得出结论。
实验结果表明，当绳子的质量和谐振频率固定的情况下，射线波速度稳定，不受外力
变化的影响，大致可以接近于理论值。
质量增加时，射线波速度也随之增加，而谐振频率
增加时，射线波速度随之减少。
实验最终结果可以解释为，在受气动阻力的情况下，绳子
的振动将衰减，而随着质量的增加，振动的动能会增强，射线波速度也相应提升；当谐振
频率变得更高时，射线波将受到较大的气动阻力，波速也就随之减慢。
综上所述，本次实验基本符合预期，证实了关于弦振动的理论，为之后更深入的研究
增添了重要结论。
弦振动实验报告思考
一、实验背景与目的弦振动实验是大学物理力学实验中的一个基础实验，旨在通过实验观察和研究弦的振动现象，验证波动理论，并加深对弦振动原理的理解。
本次实验主要研究了弦的驻波形成、波长与张力的关系、频率与弦长、张力和线密度的关系等。
二、实验原理1. 驻波的形成：当两列振幅相同、频率相同、传播方向相反的波相遇时，它们会发生干涉现象。
在弦上，入射波和反射波相遇，形成驻波。
驻波的特点是波节和波腹的分布，波节处振动始终为零，波腹处振动最大。
2. 波长与张力的关系：根据波动理论，弦上横波的波长λ与弦的张力T成正比，即λ ∝ √T。
3. 频率与弦长、张力和线密度的关系：弦上横波的频率f与弦长L、张力T和线密度μ的关系为f = 1/(2L)√(T/μ)。
三、实验内容与步骤1. 实验器材：电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺、双踪示波器等。
2. 实验步骤：（1）将弦线固定在滑轮上，一端通过音叉与电动音叉相连，另一端悬挂砝码，调节弦的张力。
（2）开启电动音叉，观察弦线振动，调整砝码，使弦线形成驻波。
（3）用钢卷尺测量驻波的波长，记录数据。
（4）改变弦长，重复上述步骤，观察波长与弦长的关系。
（5）改变张力，重复上述步骤，观察波长与张力的关系。
（6）用双踪示波器观察弦振动的波形，记录数据。
四、实验结果与分析1. 实验结果显示，当弦长、张力改变时，驻波的波长也随之改变。
这与实验原理中的波长与张力的关系相符。
2. 实验结果显示，弦振动的频率与弦长、张力和线密度的关系符合理论公式。
当弦长增加时，频率降低；当张力增加时，频率增加；当线密度增加时，频率降低。
3. 通过双踪示波器观察弦振动的波形，可以清晰地看到波节和波腹的分布，进一步验证了驻波的形成。
五、实验思考与讨论1. 实验中，弦的张力对驻波的形成和波长、频率的影响至关重要。
在实际应用中，如何准确测量和调节弦的张力，是保证实验结果准确的关键。
2. 实验中，驻波的形成与弦线的振动方向有关。
大学物理《弦振动》实验报告
大学物理《弦振动》实验报告（报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等）一.实验目的1.观察弦上形成的驻波2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系二.实验仪器XY弦音计、双踪示波器、水平尺三实验原理当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。
理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：=ρ1------------------------------------------------------- ①另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是：v=λγ-------------------------------------------------------- ②将②代入①中得γ=λ1-------------------------------------------------------③ρ1又有L=n*λ/2 或λ=2*L/n代入③得γn=2L------------------------------------------------------ ④ρ1四实验内容和步骤1.研究γ和n的关系①选择5根弦中的一根并将其有黄铜定位柱的一端置于张力杠杆的槽内，另一端固定在张力杠杆水平调节旋钮的螺钉上。
②设置两个弦码间的距离为60.00cm，置驱动线圈距离一个弦码大约5.00cm的位置上，将接受线圈放在两弦码中间。
将弦音计信号发生器和驱动线圈及示波器相连接，将接受线圈和示波器相连接。
③将1kg砝码悬挂于张力杠杆第一个槽内，调节张力杠杆水平调节旋钮是张力杠杆水平（张力杠杆水平是根据悬挂物的质量精确确定，弦的张力的必要条件，如果在张力杠杆的第一个槽内挂质量为m的砝码，则弦的张力T=mg，这里g 是重力加速度；若砝码挂在第二个槽，则T=2mg；若砝码挂在第三个槽，则T=3mg…….）④置示波器各个开关及旋钮于适当位置，由信号发生器的信号出发示波器，在示波器上同时显示接收器接受的信号及驱动信号两个波形，缓慢的增加驱动频率，边听弦音计的声音边观察示波器上探测信号幅度的增大，当接近共振时信号波形振幅突然增大，达到共振时示波器现实的波形是清晰稳定的振幅最大的正弦波，这时应看到弦的震动并听到弦振动引发的声音最大，若看不到弦的振动或者听不到声音，可以稍增大驱动的振幅（调节“输出调节”按钮）或改变接受线圈的位置再试，若波形失真，可稍减少驱动信号的振幅，测定记录n=1时的共振频率，继续增大驱动信号频率，测定并记录n=2,3,4,5时的共振频率，做γn图线，导出γ和n的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 无界弦振动的研究 马玉荣
摘 要 用行波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点，即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。 关键词 无界弦 行波法 傅里叶变换法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法
一、引言
物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等。弦的振动又有无界弦[1]的振动、有界弦的振动。其中，研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。 通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多[2-6]。比如在运用特征线方法的基础上利用线积分予以求解[3]；有学者用分离变量法求解[4]，将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最后将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解。分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题，开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法[5]、行波法[6]等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab软件模拟出无界弦自由振动的几个图形，方便大家理解弦的自由振动。
二、无界弦的振动问题 无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为(I)和(II)它们都由泛定方程[1]和初始条件[1]构成。无界弦自由振动的泛定方程为(I)中的(1)式，受迫振动的泛定方程为(II)中的(1)式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中ttu是弦的横向加速度；xxu是u关于x的二阶导，质点间的牵连体现在xxu上；a是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引用源。是t时刻 2
作用于x处单位质量上的横向外力，错误！未找到引用源。是初始位移，)0,(xut是初始速度，错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是任意函数，由具体题目给定。
(I) )3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuautxxtt (II) )3()()0,()2()()0,()1(),(2xxuxxutxfuautxxtt
1、无界弦的自由振动问题 这是一种最简单的情况：一根无限长的均质柔软轻弦在初始条件作用下所引起的自由横向振动
在弦中传播的情况。其定解问题为(I)。 （1）行波法[6] 错误！未找到引用源。式，从而求其通解。②用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解。
)3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuautxxtt 泛定方程(1)的通解是 )4()()(),(21atxfatxftxu 其中1f和2f是是两个任意函数，其形式可由初始条件确定。将(4)式代入(2)式和(3)，有：
)()()()0,()()()()0,('2'121xxafxafxuxxfxfxut
即 cdaxfxfx021)(1)()( 则xcdaxxf012)(21)(21)( xcdaxxf022)(21)(21)( 则atxcdaatxatxf012)(21)(21)( atxcdaatxatxf022)(21)(21)( 所以，由(4)式得： atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),( （5）
由于大多数偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法有很大的局限性，但对于研究波动问题，有其特殊优点。 3 -10-8-6-4-20246810-0.5
-0.4-0.3-0.2-0.100.1 -10-8-6-4-20246810-0.100.10.20.30.40.5u
例：现取初始位移)(0)7473(7sin)(其余lxlxlx，初始速度0)(x，由达朗贝尔公式得)](7sin)(7[sin21),(atxlatxltxu，用matlab作出图像如图1：
图1 初位移不为0初速度为0的达朗贝尔公式的图形 现取初始位移0)(x，初速度为)(0)10(1)(其余xx，用matlab作图如下：
图2初位移为0，初速度不为0的达朗贝尔公式的图形 我们把图2分解为图3和图4，图3为开始时)(atx的波形，图4为开始时)(atx的波形。
图3 图4
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.05-10-8-6-4-20246810-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 4 （2）、傅里叶变换法[1][6] Fourier变换法是积分变换法的一种。用积分变换法求解数理方程大体分为如下三步： ①对方程和定解条件中的各项取变换，得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。
②求解常微分方程的定解问题或代数方程，得到像函数。 ③求像函数的逆，即得到原定解问题的解。
)3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuautxxtt 上面定解问题，视t为参数，对式(1)(2)(3)进行傅里叶变换，并记 )(~)]([)(~)]([),(~)],([xFxFtxutxuF 原方程组变为：
)6()(~)0,(~)5()(~)0,(~)4(0~~2txxttuuuau
(4)式的通解为tiatiaeBeAtu)()(),(~ (7) 将(6)、(7)代入(8)式，有)(~)()()(~)()(aBiaAiBA 解之，得 )(~121)(~21)(iaA )(~121)(~21)(iaB
所以，tiatiaeiaeiatu)](~121)(~21[)](~121)(~21[),(~ 而)],(~[),(1tuFtxu， 用延迟定理和积分定理求原函数，得 atxatxdaatxatxtxu)(21)]()([21),( (8)
同行波法相比较，用傅里叶变换法的思路很清晰，对于求解无界弦的自由振动问题比较简便。
（3）、拉普拉斯变换法[1] 如同Fourier变换法一样，Laplace变换法也可以用来求常微分方程、积分方程和偏微分方程的各类定解问题，特别适用于求解常微分方程的初值问题。而且，无论方程是何种类型（齐次还是非齐次，常微分方程还是偏微分方程），其求解步骤是一样的。 5
)3()()0,()2()()0,()1(02xxuxxuuau
txxtt
对上面定解问题，对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件运用二阶导数定理也一并进行变换的结果是022xxuapup (4) 这个非齐次常微分方程的通解是： )(//)(////)]()([21)]()([21),(xapapxxapapxapxapxdppeeadppeeaBeAepxu
考虑到uxlim不应为无限大，积分常数A定为0； 考虑到uxlim 也不应为无限大，积分常数B也定为0。 为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为∞，第二个积分的下限取为-∞。这样，
xaxpxaxpdppeadppeatxu)]()([21)]()([21),(/)(/)(
])()()()([21/)(/)(/)(/)(dppedppedpedpeaxxxxaxpaxpaxpaxp
第二个[]跟第一个[]相比较，)(代替了)(并且多了一个因子p。因此，先对第一个[]进行反演，得到原函数之后，将换成，并对t求导就得到第二个[]的原函数。
运用延迟定理于p1≒)(tH
peaxp/)(≒)(0)(1)(atxatxaxtH
于是，dpeaxaxp)(21/)(≒atxxda)(21 同理，dpeaxaxp)(21/)(≒xatxda)(21 这样，完成反演 atxatxatxatxdatdatxu])(21[)(21),(
atxatxatxatxda)]()([21)(21 (5) 通过比较发现，Laplace变换法求解无界弦振动问题时，解方程和反演变换积分很多，计算量很大，所以求解这类问题，拉普拉斯变换法不常用。