弦振动的研究
弦振动的研究
弦振动的研究
弦振动是物理学中的一个重要研究课题，应用广泛，具有重要的理论和实际意义。
简言之，弦振动是指弦的运动，包括弦的振动频率、振动模式、振幅等。
弦振动的基本方程是弦波方程或量子力学中极小作用量原理，可以通过一些理论和数学工具来描述。
弦的运动包括纵波和横波，其振幅和频率与弦的材料、长度、张力等因素有关。
弦振动理论的研究对于解决许多问题，如乐器的制造、声波的传播、光学、电子学等都非常重要。
传统的弦乐器包括小提琴、大提琴、中提琴、吉他、二胡等都是利用弦的振动来发出美妙的音乐。
在传统的音乐制作中，乐器演奏者通过调整弦的长度、材料、张力和空气的共振效应来调节音高和音色。
在摇滚音乐中，弦乐器的音乐效果可以被电吉他、电贝斯和合成器等电子乐器所模拟。
这些电子乐器配备了内置的高级数字信号处理器，允许乐手模拟各种音效，并使用不同的音效修饰器来调节音色。
弦振动的研究也可以应用于声波传播的分析和量子场论的理论研究。
声波的传播在医学成像中应用广泛，如超声波的成像。
在物理学中，弦振动问题是量子场论中的一种简单的形式，弦理论和标准模型都对此进行了研究。
总之，弦振动是物理学中一个非常重要的研究课题，其理论和应用方面也非常广泛。
通过研究弦振动，我们可以更深入地理解自然界的规律，并为科学技术的发展做出贡献。
弦振动的研究实验报告
弦振动的研究实验报告实验目的：通过实验研究弦的振动特性，并分析弦振动时的动力学特点。
实验装置和材料：1. 弦：选用一根细长的弹性绳或细细的金属丝作为实验弦。
2. 振动源：使用一个固定在实验台上的振动源，可以通过电机或手动方式产生振动。
3. 能量传输装置：使用一个振动传输装置，将振动传输到实验弦上，如夹子、固定块等。
4. 振动探测器：使用一个合适的装置或传感器，用于测量弦的振动状态，如光电传感器、激光干涉仪等。
5. 数据采集设备：使用一个数据采集器，将振动数据进行记录和分析。
实验步骤：1. 将实验弦固定在实验台上，并将振动源固定在一端，确保弦能够自由振动。
2. 施加适量的拉力到弦上，以保证弦的紧绷度。
3. 使用振动源产生一定频率和振幅的振动，并将振动传输到实验弦上。
4. 启动数据采集设备记录弦的振动数据，包括振动频率、振幅和相位等。
5. 根据需要，可以改变振动源的频率和振幅，记录不同条件下的振动数据。
6. 对实验数据进行分析，绘制振动频率与振幅的关系图，并分析振动的谐波特性。
实验结果与分析：1. 实验数据表明，弦的振动频率与振幅呈正相关关系，即振动频率随着振幅的增加而增加。
2. 弦振动呈现出谐波特性，即振动状态可分解为基频振动和多个谐波振动的叠加。
3. 弦的振动模式与弦长度、拉力和材料特性有关，可以通过改变这些参数来调节振动频率和振幅。
结论：通过实验研究弦的振动特性，我们发现弦振动具有谐波特性，振动频率与振幅呈正相关关系。
弦的振动模式受到弦长度、拉力和材料特性的影响。
这些实验结果对于理解弦乐器的音色产生原理和振动系统的动力学特性具有重要意义。
弦振动的研究
弦振动的研究１．测量驻波波长时，为了更准确测量取其形成驻波哪一段弦。
用米尺进行多次测量，其平均值，然后除以半波长的的数目得到半波长。
,/21mg２．用作图法处理数据是依据：作图，以为纵标座标，以为横座M,,,f,标，为了使图作得更好，横座标邓点要均匀一些，最好尽可能多地用不同砝码测出其相应的波长，然后取点作图较好。
３．弦线越细则柔韧性越好，越接近理想条件，所以弦细一点好。
弦线的弹性对实验的影响较大。
由于作实验时，需加不同的砝码，如果弦线有弹性则不同的砝码弦线拉长的程度就不一样。
弦线的长度改变，则弦线的线密度也相应改变。
由于计算频率时是按线密度为常数计算的，所以弦线的弹性对实验有较大影响。
４．弦线的线密度是弦振动，实验计算时重要参量，为了准确地测量弦线的线密度，其测量的方法，可用弦振动实验测量。
由公式：nTnT可导出 f,,,222L,2fL由于砝码质量，音叉振动频率，弦长Ｌ和n均可以较准确测量，所以此法测弦线线密度较为准确。
,1T５．因为,又 L,,,2f,1T 则： L,2f,11 对上式两边取对数，有 IgL,IgT,Ig4,,Igf22所以，从Ig,IgT图的截距可以求得f。
1．η代表在单位面积、单位速度梯度下的内摩擦力。
假如两种液体，它们的速度梯度及两流层接触面积相同，而摩擦力不同，则可以说它们是有不同的粘性；反过来；不同流体，它们的粘性不同，它们的比例系数η也就不同，因而称描述粘性大小比例的比例常数η为流体的粘滞系数。
2．由于泊肃叶公式应用的条件要求，液体沿均匀管稳定流动的过程中，管两端的压强差是恒定的，流速不随时间改变，流过流管截面的液体体积Ｖ随时间ｔ成线性变化。
但是，对于奥氏粘度计，在液体沿竖直毛细管流动的过程中，毛细管两端液体的压强差随液面的下降而减小，流速也逐渐减小，因此，体积Ｖ不再随时间成线性变化，并且公式的推导也未考虑其它能量的损失，经理论推导和实验证实，计算公式只能说是一个近似公式。
弦振动的研究
实验弦振动的研究【实验目的】1.观察弦振动形成的驻波。
2.用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测得结果的符合情况。
3.验证弦振动的基频与张力、弦长的关系。
【仪器用具】电振音叉（约100Hz），弦线，分析天平，滑轮，弹簧及尺，砝码，低压电源，米尺。
【实验原理】1.弦线上横波传播速度（一）如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉上，另一端绕过滑轮挂在砝码或弹簧上，当音叉振动时，强迫弦线振动，弦振动频率应当和音叉的频率ν相等。
若适当调节砝码重量或弹簧拉力，可在弦上出现明显稳定的驻波，即弦与音叉共振，设驻波波长为λ，则弦线上横波传播速度V等于V=νλ(1)2.弦线上横波传播速度（二）=的微分段加以讨论（图2）。
设若横波在张紧的弦线上沿x轴正方向传播，我们取 AB dsρ。
在A、B处受到左右弦线的线密度（即单位长质量）为ρ，则此微分段弦线ds的质量为ds邻段的张力分别为1T 、2T ，其方向为沿弦线的切线方向与x 轴交成1α、2α角。
由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作用在微分段ds 上的张力的x 分量应该为零，即2211cos cos 0T T αα-= （2）又根据牛顿第二定律，在y 方向微分段的运动方程为：222112sin sin d y T T ds dtααρ-= (3) 对于小的振动，可取ds dx ，而1α、2α都很小，所以1cos 1α ，2cos 1α ，11sin tg αα ，22sin tg αα 。
又从导数的几何意义可知1xdx tg dy α⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x dx dy tg dx α+⎛⎫= ⎪⎝⎭，式（2）将成为210T T -=，即21T T T ==表示张力不随时间和地点而变，为一定值。
式（3）将成为22x dx xdy dy d y T T dx dx dx dt ρ+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
（4） 将x dxdy dx +⎛⎫ ⎪⎝⎭按泰勒级数展开并略去二级微量，得 22x d x x xd y d y d y dx dx dx dx +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
弦振动研究
弦振动研究【实验目的】1．了解波在弦上的传播及驻波形成的条件。
2．测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率。
3．测量弦线的先行密度。
4．测量弦振动时波的传播速度。
【实验仪器】弦振动研究实验仪及弦振动实验信号源各一台、双踪示波器一台。
实验仪器结构描述见图3-23-1【实验原理】驻波是有振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。
当入射波沿着拉紧的弦传播时，波动方程为)(2cos λπxft A y -=当波到达端点时会反射回来，波动方程为)(2cos λπxft A y +=式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两波叠加后的波方程为ft xA y y y πλπ2cos 2cos221=+=这就是驻波的波函数，称之为驻波方程。
式中，λπxA 2cos2是各点的振幅，它只与x有关，即各点的振幅随着其与远点的距离x 的不同而异。
上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λπxA 2cos2、频率皆为f 的简谐振动。
由式（3-23-3）可知，另02cos2=λπxA ，可得波节的位置坐标为4)12(λ+±=k x ⋅⋅⋅=，，，210k另12cos2=λπxA ，可得波腹的位置坐标为2λkx ±= ⋅⋅⋅=，，，210k由式（3-23-4）、式（3-23-5）可得相邻两波腹（波节）的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中的测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。
在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的连个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。
即有 2λ=L 或 n L2=λ ⋅⋅⋅=，，，210n式中，L 为弦长；λ为驻波波长；n 为半波数（波腹数）。
另外，根据波动理论，假设弦柔韧性很好，波在弦上的传播速度v 取决于线密度μ和弦的张力T ，其关系为μTv =又根据波速、频率与波长的普遍关系式λf v =，可得μλTf v ==由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得横波传播速度 nL f v 2= 如果已知张力和频率，由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得线密度2)2(Lfn T =μ 如果已知线密度和频率，则由式（3-23-10）可得张力2)2(nLf T μ=如果已知线密度和张力，则由式（3-23-11）可得张力μTL n f 2=【实验内容】一、实验前准备1．选择一条弦，将弦的带有铜圆柱额一端固定在张力杆U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。
弦振动的研究
实验2.5 弦振动的研究一、实验目的1.观察弦振动时形成的横驻波的特性．2.通过不同途径，测量弦线上横波的传播速度，比较测得的结果．3.研究弦振动时波长与张力的关系．二、仪器设备WZB-4型驻波实验仪、弦线、天平．WZB-4型驻波实验仪如图2.5-1所示，该实验仪用金属导线作为弦线，由信号发生器提供低频信号（频率可以改变），在金属导线下面放一块磁铁，这样载流导体在磁场中因受安培力的作用，按信号频率作横向振动而产生横波，再由入射波和反射波相干而形成驻波．图中AA′、BB′为连接弦线和信号发生器的两对接线柱，A和A′，B和B′已经连接好．C为定位杆，上有小孔，弦线穿过小孔，可以定位弦线的位置．R1 、R 2为两块劈形滑块，用以调整弦线的振动区长度l（简称弦长）．D为一测量标尺，用以测量金属滑块之间的距离．M为磁铁，E为滑轮，以挂钩连接砝码，每组有3个砝码：10克，20克，40克各1个．三、实验原理1.驻波图2.5-2 驻波形成示意图驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的一种特殊形式的干涉现象．如图2.5-2所示，设有两列频率相同、振幅相同、初相位为零的简谐波，分别沿ox 轴正方向和ox 轴负方向传播，它们的波动方程分别为1cos 2()xy A t πνλ=- （2.5-1）2cos 2()xy A t πνλ=+ （2.5-2）式中A 为波的振幅，ν为频率，λ为波长．两波在任意时刻叠加产生的合位移为21y y y +=cos 2()cos 2()22coscos 2x xA t A t A x t πνπνλλππνλ=-++⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.5-3）这就是驻波的波函数，常称之为驻波方程，式中22cosA x πλ是各点的振幅，它只与x 有关．上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为22cos A x πλ，频率为ν的简谐振动．当()412λ+±=K x 时（其中K = 0，1，2……），这些点的振动幅度始终为零，称为波节．当2λK x ±=时（K = 0，1，2……），这些点的振幅达到最大2A ，称为波腹．相邻两波节（或波腹）之间的距离恰为2λ。
弦振动研究实验报告
弦振动研究实验报告弦振动研究实验报告引言弦振动是物理学中一个重要的研究领域，对于理解声音、乐器演奏、结构工程等方面都具有重要意义。
本实验旨在通过实验观察和数据分析，探究弦振动的基本原理和特性。
实验目的1. 研究弦振动的基本原理和特性。
2. 通过实验观察和数据分析，验证弦振动的频率与弦长、张力和质量的关系。
3. 探究不同条件下弦振动的共振现象。
实验装置与方法本实验使用的装置包括弦线、定滑轮、振动发生器、频率计和质量块等。
具体实验步骤如下：1. 将弦线固定在两个支架上，并通过定滑轮使弦线保持水平。
2. 在弦线上固定一个质量块，调整张力。
3. 将振动发生器连接到弦线上，并调节频率。
4. 使用频率计测量弦线的频率。
5. 重复步骤2-4，改变质量块的质量、张力和弦长等条件。
实验结果与分析通过实验观察和数据分析，我们得到了以下结果：1. 频率与弦长的关系：在保持张力和质量不变的情况下，我们改变了弦长。
实验结果显示，随着弦长的增加，频率呈现出递减的趋势。
这与理论预测相符，即频率与弦长成反比关系。
2. 频率与张力的关系：在保持弦长和质量不变的情况下，我们改变了张力。
实验结果表明，随着张力的增加，频率也随之增加。
这符合理论预测，即频率与张力成正比关系。
3. 频率与质量的关系：在保持弦长和张力不变的情况下，我们改变了质量。
实验结果显示，随着质量的增加，频率呈现出递减的趋势。
这与理论预测相符，即频率与质量成反比关系。
4. 共振现象：我们在实验中发现了共振现象。
当振动发生器的频率与弦的固有频率相等时，弦会出现共振现象，振幅显著增大。
这说明共振频率与弦的固有频率相匹配。
结论通过本实验的观察和数据分析，我们得出以下结论：1. 弦振动的频率与弦长成反比关系，与张力和质量成正比关系。
2. 弦振动会出现共振现象，当振动发生器的频率与弦的固有频率相等时，振幅显著增大。
这些结论对于理解弦振动的基本原理和特性具有重要意义。
在实际应用中，我们可以根据这些关系来设计和调整乐器的音调，以及优化结构工程中的弦悬挂系统。
实验十四 弦振动的研究
比较 可知：在线密度为 、张力为 FT 的弦线上， 横波传播速度 的平方等于 FT 2 即
FT
(6)
3．弦振动规律 将式(1)代T
即
(7) 又将式(1’)代入式(6)，整理后可得
1 FT
n 2l
FT
(8)
实验内容
1．测量弦的线密度 取2 m长和所用弦线为同一轴上的线，在 分析天平上称其质量m，求出线密度．
2．观察弦上的驻波
根据已知音叉频率 (一般为100 Hz)和已知 线密度 ，求弦长在20～30 cm附近，若要 弦的基频与音叉共振时，弦的张力 FT =? 参照上述计算的值，选适当的砝码挂在弦 上(弦长在130 cm左右)，给电振音叉的线圈 上通以50 Hz，1—2 V的交流电，使音叉做受 迫振动，进行以下的观测：
振动体有一个基频和多个谐频的规律不只是
弦线上存在，而是普遍的现象．但基频相同 的各振动体，其各谐频的能量分布可以不同， 所以音色不同．例如具有同一基频的弦线和 音叉，其音调是相同的，但听起来声音不同 就是这个道理． 当弦线在频率为 的音叉驱动下振动时， 适当改变 FT 、l 和 ，则可能和强迫力发生 共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、 第三、……谐频，这时弦上出现2，3，4，… 个半波区．
有变化，
式(2)将成为 FT 2 FT 1 0
，即 FT 2 FT 1 FT表 示张力不随时间和地点而变，为一定值．式 (3)将成为
dy dy d2y FT ( ) x dx FT ( ) x dx 2 dx dx dt
(4)
dy 将 ( ) x dx dx
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弦振动的实验研究
弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。
用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。
对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。
比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。
对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。
同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。
欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。
本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。
预备问题
1． 复习DF4320示波器的使用。
2． 什么是驻波？它是如何形成的？
3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？
4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。
一、 实验目的：
1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波；
2、学会测量弦线上横波传播速度的方法：
3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。
二、实验原理
一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。
令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。
若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程
()2222t
y
dx dx x y T ∂∂=∂∂ρ （1） 若令ρ/2
T v =， 上式可写为
2222
21t
y
v x y ∂∂=∂∂ （2） x x+dx
T
T
x
y
dl
图1
（2）式反映了弦的位移y 与位置x 、时间t 的关系，其中)/(ρT v =代表了在弦线上横波传播的波速。
对于两端固定的弦，满足上述方程的解为
)22cos()sin(
t L nv x L n A y n n ππ=， ,3,2,1=n （3） 若令 L
nv f n 2= ，n L
n 2=λ，（3）式又可写为
()t f x A y n n
n n πλπ
2cos )2sin(
= （4）
由（4）式可以看出，n f 代表了弦的振动频率，n λ代表了在弦上传播的机械波的波长。
两
端固定的弦的振动具有如下特点：对于某一固定的时间t 0，弦的位移随位置的变化为一正弦波形，最大波幅为A n cos (20t f n π)。
对于某一固定的位置x 0，弦表现为谐
振动，最大振幅为A n sin (n x λπ/20)。
在x o = 0，λ/2，λ，
3λ/2，2λ…等处的波幅为零，具有
该种特点的波形，我们称之为驻波。
弦上始终为零的点称为波节，两相邻波节间的部分称为波腹，两相邻
波节间的距离正好为半个波长。
图2
给出了n 分别为1、2、3的三种弦振动的情形。
从图2不难看出，对于不同的n ，其波的形状不同，频率也不同，它代表着弦振动的一个状态。
所以，我们把一个个振动状态称之为弦振动的一个本征振动模式。
对应于n=1的频率，称为基频，对应于n=2,3,…的频率称为第一谐频、第二谐频，等等。
但基频较其他谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定弦振动的音色。
弦的任何可能的振动状态都可以视为本征振动的线性叠加，这些本征振动中某一振动的强度会因初始条件或外界激励的不同而有所不同。
当用一频率与某一本征振动频率相同的周期性激励迫使弦振动时，弦上与激励频率相同的本征振动强度加强，这就是所谓的共振。
我们可以利用弦的共振特性对一些物理量进行测量。
如波长、波速等。
当弦上有n 个半波区时有（弦长等于半波长的整数倍时产生驻波）
n L 2=λ （5）
假设此时弦振动的频率为f ，弦上横波的传播的速度v ，则
n
L
f
f v 2==λ （6） 将ρ/T v =代入（6）式得弦振动的共振频率与弦长、弦张力和弦线密度的关系
图2 n=1,2,3时的三种振动状态
ρ
λT
f
1=
（7）
或 ρ
T
L n f 2=
（8）
上式中n f f =0为弦振动的基频
故有：ρT
L
f 210= （9）
三、实验仪器
FB301型弦振动实验仪一台、DF4320双踪示波器一台、FB303弦振动信号源一台
图中 1—调节螺杆 2—圆柱螺母 3—驱动传感器 4—弦 5—接收传感器
6—支撑板 7—拉力杆 8—悬挂物块 9—信号源 10—示波器
四、实验内容和步骤
1、研究弦振动时共振频率与弦长的关系
（1）将一根密度已知的弦固定在弦音计上，并在张力杆上悬挂一定质量的砝码，给弦一定的张
力，调张力杆水平，移动两桥的位置，先使弦长为60cm ，并把驱动传感器和接收传感器放在适当位置。
（2）按上图连接仪器，开启信号源、示波器预热约10分钟，由低到高调节其输出信号的频率，
当弦上产生n=1、2、3、4、5个半波区的情况下，即弦共振时（示波器上振幅达到最大），记下信号源输出信号的频率（你会发现示波器上读出的频率和信号源上的频率不相等，为什么？哪个是弦的共振频率？）。
（3）保持弦的张力不变，改变弦的长度，使弦长分别为60、 55、45、40cm 时重做步骤（2）。
（4）作ln 0f 与ln L 曲线，求出其斜率验证关系式（9）
（1）固定弦长，改变张力，使T=1、2、3、4、5Kmg 时，始终使弦线只出现一个驻波，测出共
振频率（基频）。
（2）作ln 0f 与ln T 曲线，求出其斜率验证关系式(9) 3、研究弦共振时弦线的动态线密度
利用表二的数据计算不同张力下弦线的线密度ρ
4、根据λf v =和ρ/T v =分别计算波速值，并分析产生误差的原因。
五、数据记录与处理
1、研究弦振动共振频率与弦长的关系
表一 基频与弦长的关系
弦线密度0ρ= 9.54×410-kg/m 物块悬挂位置 2 张力= 19.6牛顿 弦长(cm) 共振频率f （Hz ）
驻波数(ｎ)
波长(cm)
ln 0f
ln L
60
55
50
45
40
上表只作基频0f 与弦长的对数关系曲线。
基频0f 是驻波数为1的共振频率 作ln 0f 与ln L 曲线，求斜率验证关系式
表二 基频与张力的关系 弦长(cm)
悬挂位置 张力(牛顿) 基频0f (Hz) ln 0f ln T 60
1 9.8
2 19.6
3 29.
4 4 39.2 5
49.0
以上两表中频率均为信号源的显示值，此值可以用示波器读出后与之比较
作ln 0f 与ln T 曲线验证关系式
3、根据λ.f v =和ρ/T v =分别计算波速值，并分析产生误差的原因
表三 ρ=9.54×10-4 kg/m
ρT
v =
(m/s)
λ.f v =(m/s)
位 置
1 2 3 4 5
六、思考题
1、通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？。