均匀弦振动实验报告

实验八 固定均匀弦振动的研究

XY 弦音计是研究固定金属弦振动的实验仪器，带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形及传感器接收的波形，观察拨动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。它是传统的电子音叉的升级换代产品。它的优点是无燥声污染，通过函数信号发生器可以方便的调节频率，而这两点正好是电子音叉所不及的。

[实验目的]

1. 了解均匀弦振动的传播规律。

2. 观察行波与反射波互相干涉形成的驻波。

3. 测量弦上横波的传播速度。

4. 通过驻波测量，求出弦的线密度。

[实验仪器]

XY 型弦音计、函数信号发生器、示波器、驱动线圈和接收线圈等。

[实验原理]

设有一均匀金属弦线，一端由弦码A 支撑，另一端由

弦码B 支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动，

假设波动是由A 端朝B 端方向传播，称为行波，再由B 端

反射沿弦线朝A 端传播，称为反射波。行波与反射波在同

一条弦线上沿相反方向传播时将互相干涉，移动弦码B 到

适当位置。弦线上的波就形成驻波。这时，弦线就被分成

几段，且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅

最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波

腹。驻波的形成如图4-8-1所示。 设图4-8-1中的两列波是沿x 轴相反方向传播的振幅相等、频率相同的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图4-8-1可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可以从波动方程推导出来。

下面用简谐表达式对驻波进行定量描述。设沿x 轴正方向传播的波为行波，沿x 轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在x =0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程为：

)(2cos 1λπx ft A y -= )(2cos 2λ

πx ft A y += 式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，λ为波长，x 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：

图 4-8-1

ft x A y y y πλ

π2cos )(2cos 221=+= 4-8-1 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振动幅为)/(2cos 2λπx A ，即驻波的振幅只与质点的位置x 有关，与时间t 无关。

由于波节处振幅为零，即 0)/(2cos =λπx

2)12(2πλ

π+=k x

（k =0, 1, 2, 3, …… ）

可得波节位置： 4)12(λ

+=k x （4-8-2）

而相邻两波节之间的距离为：

24)12(4]1)1(2[1λ

λ

λ

=+-++=-+k k x x k k （4-8-3）

又因为波腹处的质点振幅为最大，即 1)/(2cos =λπx

πλπk x

=2 （k =0, 1, 2, 3, …… ）

可得波腹的位置为： 422λ

λ

k k x == （4-8-4）

这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。

在本实验中，由于固定弦的两端是由弦码支撑的，故两端点成为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离L （弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为：

L =2

λk （k =0, 1, 2, 3, …… ）。 由此可得沿弦线传播的横波波长为：

k

L 2=λ （4-8-5） 式中k 为弦线上驻波的波腹数，即半波数。

根据波动理论，弦线横波的传播速度为：

ρT

v = （4-8-6）

则： 2

v T ρ= （4-8-7）

式中T 为弦线中张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。

根据波速、频率及波长的普遍关系式λf v =，将4-8-5式代入可得： k

Lf v 2= （4-8-8） 再由(4-8-6)、(4-8-7)式可得：

2

2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=fL k T ρ （k =0, 1, 2, 3, …… ） （4-8-9） 则： 22⎪⎭

⎫ ⎝⎛=k fL T ρ （k =0, 1, 2, 3, …… ） （4-8-10） 由上式可知，当给定T 、ρ、L 时，频率f 只有满足该式时，才能产生驻波。为此，调节信号发生器的频率，使之与这些频率一致时，弦线产生共振，弦上便形成驻波。

[实验内容]

一、 用示波器观察弦振动现象和张紧弦线振动的简振模式。

1. 设置两个弦码之间的距离为60cm ，在张力杠杆挂1kg 的砝码

(将砝码置于张力杠杆上不同的槽内可改变弦线的张力，如图4-8-3所

示)，调整张力杠杆水平调节旋钮，使杠杆水平(张力杠杆水平是根据悬挂物质量精确确定弦的张力的必要条件，每改变一次砝码位置，都要调节张力杠杆水平调节旋钮，使张力杠杆保持水平)。

2. 在距弦码5cm 处放置驱动线圈，置探测线圈于弦线中央(初始位置)。

3. 驱动线圈和接收线圈分别与函数信号发生器、示波器连接，如图4-8-2所示。

4. 设置示波器通道增益为5mV/cm ，并由函数信号发生器的信号触发示波器。

信号发生器 示波器

图

4-8-2 图 4-8-3 确定张力