东大高数2011—2012 学年第2学期答案

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2011-数二真题、标准答案及解析

2011-数二真题、标准答案及解析

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小关系是( )
(A) I J K . (B) I K J . (C) J I K . (D) K J I . (7) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ,再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵,记
P1
=
1
1
0

P2
2 = (1, 2,3)T , 3 = (3, 4, a)T 线性表示. (I) 求 a 的值; (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示.
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵,
A
的秩为
2,即 r ( A)
=
2 ,且
A
0
0
=
0
0 .
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 . (B) k = 1, c = −4 . (C) k = 3, c = 4 . (D) k = 3, c = −4 .
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导,且 f (0) = 0 ,则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) . (B) − f (0) .
(C) f (0) .
(D) 0.
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )

2011数值分析试题及答案

2011数值分析试题及答案
么? 解:由于 | sin(x 2 y) sin(x 2 y ) | | 2cos( x 2 )( y y ) | 2 | y y | 即,函数 f ( x, y) sin(x 2 y) 连续,且关于变量 y 满足 Lipschitz 条件,所以,改 进 Euler 方法收敛。
解:由 x( k 1) Mx( k ) g 和 x* Mx* g 可得:
x( k 1) x* M ( x( k ) x* ) , k 0,1,2,...
递推的: x( k ) x* M k ( x(0) x* ) 设 y 是矩阵 M 属于特征值 的特征向量,取 x(0) y x* ,则有:
1 1
1 0 0 0 0.3 0.2 0 0.3 0.2 0 0. 4 G ( D L) U 0 1 0 0 0 0.4 0 1 0 1 0 0 0 0 0. 3 0. 2
3 5x f ( xk ) xk a a , xk 1 k 2 , k 0,1,2,... xk xk 2 6 f ( xk ) 6 xk 6 xk
一、解答下列各题: (每题 5 分,共 30 分) 1.设近似值 x 具有 5 位有效数字,则 x 的相对误差限为多少? 解:记 x 0.a1a2 ...10 ,则 x 的相对误差为:
五、 (4 分)设矩阵 M 是 n 阶方阵, M 有一个绝对值小于 1 的特征值 ,且方程 组 x Mx g 有 唯 一 解 x * , 证 明 : 存 在 初 始 向 量 x ( 0 ) 使 迭 代 格 式 :
x ( k 1) Mx ( k ) g , k 0,1,2,...产生的序列 {x ( k ) } 收敛到 x * .

2012级高数(下)试题及答案解析

2012级高数(下)试题及答案解析

南昌大学 2012~2013学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤,,,则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是( )(A ){}0,|),(≠≤x y x y x ;(B ){}0,|),(≠≥x y x y x ;(C ){}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ; (D ){}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面,则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= ( )(A )π22; (B )π221+; (C )2π; (D )0.3.级数∑∞=+111n p n 发散,则( )(A )0≤p ;(B )0>p ;(C )1≤p ;(D )1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点(0,0)处 ( )(A )连续且偏导数存在; (B )连续但偏导数不存在; (C )不连续但偏导数存在; (D )不连续且偏导数不存在。

5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解,则0y py qy '''++=的通解为 ( )(A )1122C y C y +; (B )1223C y C y +;(C )1122C y C y +33C y +;(D )1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分,每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-,求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解 四、解答题(一)(共24分,每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数,且(,)f u v 具有连续偏导数,求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰,其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题(二)(共16分,每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点(1,1,1 ) 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少,0n a >(1,2,n =)且1(1)nn n a ∞=-∑发散,证明11()1nn n a ∞=+∑收敛.南昌大学 2012~2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤,,,则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是( C )(A ){}0,|),(≠≤x y x y x ;(B ){}0,|),(≠≥x y x y x ;(C ){}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ; (D ){}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面,则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= ( B ) (A )π22; (B )π221+; (C )2π; (D )0.3.级数∑∞=+111n p n 发散,则(A )(A )0≤p ;(B )0>p ;(C )1≤p ;(D )1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点(0,0)处 ( C )(A )连续且偏导数存在; (B )连续但偏导数不存在; (C )不连续但偏导数存在; (D )不连续且偏导数不存在。

2011华南理工大学高等数学下期末考试答案

2011华南理工大学高等数学下期末考试答案

2011-2012学年第二学期《高等数学》答案一.填空题(每小题4分,共20分)1.函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18};2.函数44222z x y x xy y =+---的极值点是()()1,1,,1,1--;3.假设L 为圆222x y a +=的右半部分,则22Lx y ds +=⎰____2a π;4.设22e sin (2)x A y xy z xzy =+++i j k ,则(1,0,1)div |A = 0 ,5.设13y =,223y x =+,233e x y x =++都是方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解,则方程的通解为 2123e x y c x c =++.二.(本题8分)计算三重积分222()x y z dv Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由2221x y z ++=所围成的闭球体.解:⎰⎰⎰⋅=122020sin dr r r d d ϕϕθππ4’π54= 4’三. (本题8分)证明:(),f x y xy =在点()0,0处连续,()0,0x f 与()0,0y f 存在,但在()0,0处不可微.证 ()0l i m 00,0x y x y f →→== ,故(),f x y 在点()0,0处连续; 2’又由定义()()(),00,00,0lim00x x f x f f x →-==-, ()0000,0lim00y y y f y →⋅-==-; 2’但22000limxy x yx yρ→--⋅-⋅+不存在,故在()0,0 处不可微。

4’四.(本题8分)设函数),(y x u 有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式θθsin ,cos r y r x == ,将xuyy u x∂∂-∂∂变换为θ,r 下的表达式. 解,u u r u u u r ux r x x y r y yθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2’ 再由cos ,sin x r y y θθ==,分别对,x y 求导数,得1cos sin 0sin cos r r x x r r x x θθθθθθ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩和0cos sin 0sin cos r r y y r r y y θθθθθθ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解得sin cos ,r x x r θθθ∂∂==-∂∂,cos sin ,r y x rθθθ∂∂==∂∂从而sin cos u u u x r r θθθ∂∂∂=-∂∂∂,cos sin u u u y r r θθθ∂∂∂=+∂∂∂, 4’ 所以x u yy u x ∂∂-∂∂=θ∂∂u2’五.(8分)计算22d d L x y y xx y -+⎰ ,其中L 为(1)圆周()()22111x y -+-=(按反时针方向);解:()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++,而且原点不在该圆域内部,从而由格林公式,原式0= 4’ (2)闭曲线1x y +=(按反时针方向).解:()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++, 原式()1122d d d d 1001120.01L L Dx y y x x y y x dxdy x y π--===+=+⎰⎰⎰⎰ 4’六.(8分)计算d y S ∑⎰⎰,∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分. 解: 4,1,1x y z x y z z =--=-=-,1113dS dxdy dxdy =++=,:01,02D r θπ≤≤≤≤ 原式3D ydxdy =⎰⎰4’1232203sin 3cos 03ar d r dr ππθθθ==-⋅=⎰⎰ 4’七.(8分)计算曲面积分2I yzdzdx dxdy ∑=+⎰⎰,其中∑为上半球面224z x y =--的上侧解 取1∑为xOy 平面上圆224x y +≤的下侧,记Ω为1∑与∑所围的空间闭区域。

南京财经大学2011~2012第二学期《高等数学》期末试题解答

南京财经大学2011~2012第二学期《高等数学》期末试题解答

南京财经大学2011-2012学年第(二)学期《高等数学》期末试题详细解答一、填空题(每题3分,共18分)1、母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是22316y z -= 解:因为“母线平行于x 轴的柱面方程”中不含x ,故所求柱面方程就是“消去曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 方程中的x ”后得到的方程,即22316y z -=。

2、空间曲线段⎩⎨⎧==02L 2x y z :绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为222()z x y =+ 解:因为“曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z :在yoz 面上”,故它绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程就是将曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z :的方程中的式子22z y =中的z 不变、y换成得到的,即为(22222()z x y ==+,也即222()z x y =+。

3、过点()1,1,2-且在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1的平面方程为12xy z ++= 解:由条件“所求平面在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1”,可设所求平面的截距式方程为121x y z c ++=,又所求平面过点()1,1,2-,则2111121c c-++=⇒=, 故所求平面方程为1211x y z++=,或2220x y z ++-=。

4、00x y →→=0解:2222000000221()112lim =lim 0112x x x y y y x y x y y x →→→→→→=++ 5、已知22yx ydxa dy x du ++=,则a =1- 解:此题是考平面曲线积分与路径无关的那几个等价条件。

因为222222x dy a ydx ay xdu dx dy x y x y x y +==++++,所以2222x yx ay x y x y ''⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 即22222222222222222222221()()()()x y x x x y y y y x x y a a a x y x y x y x y +-+---=⇒=⇒=-++++ 6、设L 为周长为a 的椭圆15422=+y x ,则22(254)L xy x y ds ++=⎰20a 解:因为椭圆周22:145x y L +=关于x 轴和y 轴对称,而 2222(254)2(54)LLLxy x y ds xy ds x y ds ++=++⎰⎰⎰,则由对称性,得20Lxy ds =⎰;故222222(254)(54)20202045L L L L x y xy x y ds x y ds ds ds a ⎛⎫++=+=+== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰。

2011高数真题解析(2012所有考点)

2011高数真题解析(2012所有考点)

绝密★启用前2011年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学(一)答案必须答在答题卡上指定的位置,答在试卷上无效。

一、选择题:1~10小题,每题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。

1.解析:此题是极限的运算法则题型一:将极限值代入方程如果分母不得零,就将极限值直接带入方程求解。

(直接代入法) 题型二:将极限值代入方程如果分母得零,就不能用题型一的方法!先将方程因式分解或分子有理化等方法将式子中的零因子去除再将极限值代入求解。

例:a.00型因式分解去零因子 b. 00型分子有理化去零因子c.∞∞型式子中如果有高次幂就用最高次幂除分子分母d.∞-∞型一般处理方法是通分e.切记一定是00或∞∞可以用洛必达法则上下求导和无穷小量等价代换进行求解 【特殊角的三角函数值】(1)sin 00= (2)1sin62π=(3)sin 32π= (4)sin 12π=) (5)sin 0π= (1)cos 01= (2)cos 6π= (3)1cos 32π= (4)cos 02π=) (5)cos 1π=-(1)tan 00= (2)tan 63π= (3)tan 3π=(4)tan 2π不存在 (5)tan 0π=(1)cot 0不存在 (2)cot 6π= (3)cot 33π=(4)cot 02π=(5)cot π不存在重要公式(1)0sin lim 1x xx →= (2)()10lim 1xx x e →+= (2.1)e xxx =+∞→)11(lim (3))1n a o >= (4)1n = (5)lim arctan 2x x π→∞=(6)lim tan 2x arc x π→-∞=-(7)lim arc cot 0x x →∞= (8)lim arc cot x x π→-∞= (9)lim 0xx e →-∞=(10)lim x x e →+∞=∞ (11)0lim 1xx x +→=A.B. C.D.2.设,则解析:本题考导数此题和填空14题解析相同A.B.C.D.3.设,则解析:本题考微分求导后一定要加dx 微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.4.设,则解析:本题考高阶求导, 高阶导数的运算法则 (1)()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ (2)()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦(3)()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦ (4)()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑A.B.C.D.5.解析:本题考不定积分,解析和填空16题解析相同A.B.C.D.6.解析:本题考定积分用不定积分的方法积分后将上下值代入求解A.B.C.D.7.设,则解析:本题考偏导数,题型一:分母是y就对y求导把x看做常数求导。

2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案

2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案

2011----2012学年第二学期期末考题解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线L:x-1y+2z-2==且垂直于平面3x+2y-z=5的平面方程是2-32_________.【解】应填:x-8y-13z+9=0.直线L的方向向量s={2,-3,2}.已知平面的法向量n1={3,2,-1},设所求平面的法向量为n,由题意知n⊥s且n⊥n1,故可取ijk n=s⨯n1=2-32={-1,8,13},32-由条件知,所求平面过点P0(1,-2,2)于是所求平面方程为,-(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0,即x-8y-13z+9=0.2. 设x2+2xy+y+zez=1,则dz【解】应填:-2dx-dy.由x+2xy+y+ze=1,两边求全微分,得 2z(0,1)=2xdx+2ydx+2xdy+dy+(1+z)ezdz=0,当x=0,y=1时,代入原方程得z=0,所以dz(0,1)=-2dx-dy.3. 椭圆抛物面∑:z=2x+y在点P0(1,-1,3)处的法线方程是___________.【解】应填:22x-1y+1z-3==. 4-2-1曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法向量可取为n={4x,2y,-1}(1,-1,3)={4,-2,-1},于是曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法线方程为x-1y+1z-4=-2=3-1.4.曲面z=与z=x2+y2所围立体的体积为.【解】应填:6. V=⎰⎰⎰dv=2π0dθ1rπΩ⎰⎰0rdr⎰r2dz=6.5. 设L为上半圆周y=⎰(xL-xy+y2)ds=____________.【解】应填:π.由对称性,代入技巧及几何意义可得⎰2L(x-xy+y2)ds=⎰Lds+0=π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1.方程y''-3y'+2y=1+2x-3ex的特解形式为(). (A)(ax+b)ex (B) (ax+b)xex(C) ax+b+cex(D) ax+b+cxex【解】选(D)2.设unn=(-1),则级数().(A)∑∞∞∞u2n与∑un都收敛(B)n=1n=1∑u2n与n=1∑un都发散n=1 (C)∑∞∞∞∞u2n收敛,而n发散(D)u2n发散,而n收敛n=1∑un=1∑n=1∑u【解】选(C)3.二元函数f(x,y)的两个偏导数fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的()(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若fx¢(x,y),fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)都连续,则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分,选(A)4.⎰10dx⎰2x1=()(A)121 (B))131 (C)(D【解】原积分=⎰dy0101121==⎰231.选(B) )⎧x2-π≤x<05. 设f(x)=⎨,则周期为2π的函数f(x)的傅立叶级数在x=2π处⎩x-π0≤x<π收敛于.(A)-π2 (B)-π (C)0 (D)π 2【解】选(A)三. (10分) 设z=f(xy,xy)+g(),其中f有二阶连续偏导数,g有二阶导yx∂2z数,求.∂x∂y【解】根据复合函数求偏导公式得∂z1y=f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2), ∂xyx∂2z∂⎛∂z⎫∂⎛1y⎫= ⎪= f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2)⎪∂x∂y∂y⎝∂x⎭∂y⎝yx⎭x11xy1=f1'+y[f11''x+f12''⋅(-2)]-2f2'+[f21''x+f22''⋅(-2)]-g''⋅3-g'⋅2yyyyxx1xy1=f1'+xyf11''-2f2'-3f22''-3g''-2g'yyxxx2四. (10分) 求z=f(x,y)=x-y在闭区域D:+y2≤1上的最大值和最小值.22【解】在D的内部,⎧fx'=2x=0⇒(0,0)为驻点,且f(0,0)=0 ⎨'f=-2y=0⎩y在D的边界上,x2x25x22222+y=1⇒y=1-⇒z=x-y=-1由444(-2≤x≤2)dz5x==0⇒x=0,此时,y=±1,,则有f(0,±1)=-1,dx2比较上述函数值知,f(±2,0)=4函数z=f(x,y)=x-y在D上的最大值为4,最小值为-1.五. (10分) 求微分方程y''=22y'+xex的通解. x1p=xex, x【解】不显含y,故令y'=p,则y''=p',代入原方程得p'-利用通解公式求得通解为p=x(ex+C1),积分得原方程通解为1y=(x-1)ex+C1x2+C2.2六. (12分)(Ⅰ)试确定可导函数f(x),使在右半平面内,y[2-f(x)]dx+xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)=2;(Ⅱ)求u(x,y);【解】(Ⅰ)P=y[2-f(x)],Q=xf(x).因为y[2-f(x)]dx+xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分,所以有即∂Q∂P, =∂x∂yf(x)+xf'(x)=2-f(x),故xf'(x)+2f(x)=2.上述微分方程的通解为f(x)=1+所以C.由f(1)=2得C=1, x21. x2f(x)=1+(Ⅱ)在右半平面内取(x0,y0)=(1,0),则11u(x,y)=⎰P(x,0)dx+⎰Q(x,y)dy=⎰0(x+)dy=y(x+).10xxxyy七. (12分) 求幂级数∞∑n(n+1)xn=1∞n的收敛域及和函数.【解】易求得其收敛域为(-1,1),令S(x)=∑n(n+1)x=x∑n(n+1)xnn=1n=1∞n-1=x⋅S1(x),其中S1(x)=∑n(n+1)xn-1,n=1∞∞两边积分⎰再积分xS1(x)dx=∑⎰n(n+1)xn=1∞xn-1dx=∑(n+1)xn,n=1⎰(⎰xxS1(x)dx)dx=∑⎰(n+1)xdx=∑xnn=1∞x∞n+1n=1x2. =1-x因此x22S1(x)=()''=,1-x(1-x)3故原级数的和S(x)=2x,x∈(-1,1).(1-x)3八. (12分) 计算积分I=⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy∑,其中∑是抛物面z=x2+y2(0≤z≤1),取下侧.【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,设∑与∑0围成空间区域Ω, Ω及∑0在xOy平面上的投影区域Dxy:x+y≤1.由Gauss公式,I=22∑+∑0 ⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∑0=⎰⎰⎰[Ω∂∂(y-z)+(x+2z)]dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∂y∂z∑0∑0=3⎰⎰⎰dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy. Ω因为∑0垂直于zOx平面,∑0在zOx平面上的投影区域面积为零,所以⎰⎰(y-z)dzdx=0.∑0I=3⎰⎰[⎰2Dxy1x+y2dz]dxdy-⎰⎰[x+2(x2+y2)]dxdy Dxy2π1=⎰⎰(3-5x2-5y2)dxdy=⎰dθ⎰(3-5r2)rdr=Dxy00π.2九. (4分) 设函数ϕ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分ϕ(y)dx+2xydy2x+y24L的值恒为同一常数.证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=0;【证明】将C分解为:C=l1+l2,另作一条曲线l3围绕原点且与C相接,则ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l1+l3-ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l2+l3=0.。

(2021年整理)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案

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(完整)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准(A 卷)考试(考查):考试 时间:200 年 月 日 本试卷共7页,满分100 分; 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一.选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。

1.在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A .零多项式 B .零次多项式 C .本原多项式 D .不可约多项式2.设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k 【 C 】A .4B .3C .2D .13.A ,B 是n 阶方阵,则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。

0A A O =⇔=C .0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4.设n 阶矩阵A 满足220A A I --=,则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。

2A I +B 。

A I +C .A I -D .A5.设A 为3阶方阵,且1)(=A r ,则 【 A 】 A 。

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高等数学①(二)参考答案2012.7.12
一、单项选择题 (每题4分,共 16 分)
1.D ; 2.B ; 3.D ; 4.A..
二、填空题 (每题4 分,共 16 分)
1. 314
384x y z -++==-; 2. ⎰⎰---y y dx y x f dy 2111
02),(;3. 2πa 7;4.32.
三、计算下列各题(5⨯6=30分)
1.已知()y x e y x f u +-=,22,其中f 具有二阶连续偏导数,求y x u
x u
∂∂∂∂∂2
,.
解 122e x y u
xf f x +∂''=+∂,122e x y
u
yf f y +∂''=-+∂ . ………………………………….3分
21112221222[(2)e ]e e [(2)e ]x y x y x y x y u
x f y f f f y f x y ++++∂'=-+++-+∂∂
22111222242()e e e x y
x y x y xyf x y f f f +++=-+-++ . …………………….6分
2.计算(23)x y z dv Ω
-+⎰⎰⎰,Ω
是半球面z =22z x y =+围成的立体.
解 (23)x y z dv Ω-+⎰⎰⎰ = zdv Ω
⎰⎰⎰ ……………………………….2分
= 22100r d rdr zdz πθ⎰⎰ ………………………………4分
= 124
012[(2)]2r r r dr π--⎰
= 7
12π. ……………………………….6分
3.求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0,而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程. 解 设所求平面方程为6x + y + 6z = D , 则
1||1666D
D
D ⋅⋅=
|D | = 6
故所求平面方程为6x + y + 6z = 6或6x + y + 6z = -6.
4.求幂级数∑∞
=----1121
1
2)1(n n n x n 的收敛域与和函数.
解 21
2121
(1)21()lim 1(1)21
n n n n n x
n x x x n ρ+-→∞--+==<--,即 | x | < 1 x = ±1时,∑∞
=--112)1(n n
n 收敛,故收敛域为[
-1,1].
1
211(1)()21n n n s x x n -∞
-=-=-∑12101(1)21n x n n x dx n -∞-='⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦∑⎰201arctan 1x dx x x ==+⎰. (| x | ≤ 1). 5.求
()x y z dS ∑++⎰⎰,式中∑是平面y + z = 5被柱面2225x y +=所截得的有限部分. 解 ()x y z dS ∑++⎰⎰ = (5)x dS ∑
+⎰⎰
= 2225(x y x +≤+⎰⎰
= .
四、(8分)计算积分32
I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++⎰⎰,∑是柱面x 2 + y 2 = a 2
在0 ≤ z ≤ h 部分的外侧. 解 设∑1:z = 0 (x 2 + y 2 ≤ a 2)下侧;
∑2:z = h (x 2 + y 2 ≤ a 2)上侧
12123232I x dydz y dzdx zdxdy x dydz y dzdx zdxdy ∑+∑+∑∑+∑=
++-++⎰⎰⎰⎰ 2222222(321)0x y a x y a x y dxdydz dxdy hdxdy Ω+≤+≤=+++
-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2222203h
x y a x dxdy dz dxdydz a h πΩ+≤=
+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222
22223()2x y a h x y dxdy a h a h ππ+≤=++-⎰⎰ 234003324
a h d r dr a h πθπ==⎰⎰. 五、(8分)在抛物线1:22++=∑y x z 上求一点),,(0000z y x M )1,0,0(202000≤+≥≥y x y x 使∑在0M 处的切平面与柱面21x y -=及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大.
解 过0M 点的切平面方程为
2x 0(x – x 0) + 2y 0(y – y 0) – (z – z 0) = 0
即 122202000-+=-+y x z y y x x
立体的体积为
220000(221)D V x x y y x y dxdy =
+--+⎰⎰ 1,0,0:22≤+≥≥y x y x D 2200002()(1)34
V x y x y π=+-+-。

002032x V x π'=-=,002032
y V y π'=-=, 故所求的点为2
4432(,,1)339πππ+. 六、(8分)已知L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x 2 + y 2 = 2x 到点(2, 0), 再沿圆周x 2 + y 2 = 4到点(0, 2)的曲线段。

计算曲线积分233(2)L I x ydx x x y dy =++-⎰.
解 补充L 1:x = 0, y 从2到0,由L 和L 1围成的平面区域记为D ,由格林公式 1123233(2)3(2)L L L I x ydx x x y dy x ydx x x y dy +=++--++-⎰
⎰ 02(2)D dxdy y dy =--⎰⎰⎰42π=-.
七、(8分) 设a n > 0(n = 0, 1, 2, ⋅⋅⋅), 数列{ a n }单调减少,级数
1(1)n n n a ∞=-∑发散,判断级数11()1n n n a ∞=+∑的敛散性。

解 由题设a n > a n + 1,若lim 0n n a →∞=,则交错级数1(1)n n n a ∞
=-∑收敛,与题设矛盾,故 lim n n a l →∞
= (l > 0).
由根值法,有111n l
=<+,故级数收敛. 八、(6分)设有一半径为R 的球体,P 0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P 0距离成正比(比例常数k > 0),求球体对于P 0的转动惯量。

解 以P 0点为坐标原点,球心在z 轴上建立坐标系,则球面方程为x 2 + y 2 + z 2 = 2Rz . 转动惯量为
32222
()I k x
y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰
22cos 322000sin R k
d d r r dr ππϕθϕϕ=⋅⎰⎰⎰62012sin (2cos )6k R d ππϕϕϕ=⎰ 66421
k R π=
.。

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