初二数学培优班练习题(八)
初二数学培优训练8
二、填空题
8．若当x满足条件___________，分式 有意义。
9.在方程组 中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是.
10.如果关于 的分式方程 无解,则 的值为．
11．已知反比例函数 （x<0），当m时，y随x的增大而增大。
12．若关于x的方程 有增根，则m=。
（1）若m＞0，只有当m＝时， 有最小值；
若m＞0，只有当m＝时，2 有最小值。
（2）如图，已知直线L1： 与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线 相交于点B（2，m），求直线L2的解析式。
（3）在（2）的条件下，若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点D，试求当线段CD最短时，点A、B、C、D围成的四边形面积。
A.ｘ＞2 B.ｘ＞2或－1＜ｘ＜0 C.－1＜ｘ＜2 D.ｘ＞2或ｘ＜－1
4．在代数式① ；② ；③ ；④ 中，属于分式的有（）
A、①②B、①③C、①③④D、①②③④
5．如图所示,点P是反比例函数y= 图象上一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,如果构成的矩形面积是4,那么反比例函数的解析式是( )
（3）若反比例函数 （x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
26.我市花石镇组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同品质的湘莲共100吨到外地销售，按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种湘莲，根据下表提供的信息，解答以下问题：
湘莲品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
12
10
8
每吨湘莲获利（万元）
3
4
2
（1）设装运A种湘莲的车辆数为x，装运B种湘莲的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；
初二数学培优试题集
目录培优卷二 ............................................................................................................................................. 培优卷三 .............................................................................................................................................培优卷一1.已知，如图（），点（ 1， 3）在函数y = k （ x＞0）的图像上，矩形 ABCD 的边 BC 在 xx轴上， E 是对角线 BD 的中点，函数y =k（ x＞0）的图像又经过A、 E 两点，点 E 的横坐标x为 m，解答以下问题：砂啦在2010 GradeEightMathDesignedByHuZheyang砂啦在（1）求 k 的值（2）求点 C 的坐标（用 m 表示）（3）当∠ ABD=45°时，求 m 的值2.如图 (1.2) ，BD=CD，AE:DE=1:2,延伸 BE交 AC于 F，且 AF=5cm，求 AC 长。
13.如图（），已知一次函数y = 3 x + 1图像与x轴、y轴分别交于A、B 两点，点C、D 都在 x 轴正半轴， C 为 OD 的中点， D 点坐标为（ 2， 0），若两钝角∠ ABD=∠ BCD。
（1）说明 BD2 = DC ·DA（2）求直线BC的分析式1（3）若P为直线BD上一点，且S△CDP=2S△CDB，求P点的坐标。
培优卷二4.已知，△ ABC，AB=10。
（1）如图（），若 D、 E 分别是 AC、 BC 边的中点，求DE长（2）如图（），若 A1 2把 AC 边三平分，过1、A2作 AB 边的平行线，分别交BC边于、 A A点 B1 2 1122、B，求 AB+AB（3）如图（ 1.6 ），若 A1、A2、、 A10把 AC 边十一平分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点 B1、B2、、 B10，依据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2 B2 ++A10B105.如图（），四边形 ABCD中，AD=CD，∠ DAB=∠ ACB=90°，过点 D 作 DE⊥ AC，垂足为 F，DE 与 AB 订交于点 E。
八年级初二数学 数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．9B．13C．20D．72．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．（8﹣3cm2B．（4﹣3cm2C．（16﹣3cm2D．（﹣3）cm232的倒数是（）A2B．22C．2-D．22-4．下列各式是二次根式的是（）A3B1-C35D4π-5．已知：x3，y31，求x2﹣y2的值（）A．1 B．2 C3D．36．设a3535+-b633633+-21b a-的值为（）A621+B621+C621D621 7．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323)＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那么n＝1，其中假命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．以下运算错误的是（）A3535⨯=B．2222⨯=C169+169D2342a b ab b=a＞0）9．使式子212 4xx+-x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠210．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A ．3x +B ．13x - C ．13x + D ．3x -二、填空题11．已知2216422x x ---=，则22164x x -+-=________．12．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；⑵根据以上规律写出n a 的表达式．13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=-+-+--，则2b c +=________．14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 15．已知72x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 16．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.17．=_______．18．mn ＝________．19．n 为________．20．能合并成一项，则a =______．三、解答题21．计算(1)2213113a a a a a a +--+-+-;(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值【答案】（1）22223a a a ----；（2）a =－3，b ；（3）1. 【分析】（1）先将式子进行变形得到()()113113a a a a a a +--+-+-，此时可以将其化简为1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：11b ab abbc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.【详解】解：（1）原式=()()113113a a a a a a +--+-+- =1113a a a a ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=1113a a --+- =()()()()3113a a a a -++-+-=22223a a a ----；（20b =，∴2a +6=0，b =0，∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，2111c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，∴原式=1111a ab ab a ab a ab a ++++++++=11a ab ab a ++++=1.【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.22．（112=3=4=；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2=3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含nn， （3）证明：∵n 是正整数，故答案为5=256；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.23．已知m ，n 满足m 4n=3+.【答案】12015【解析】 【分析】由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13，∴原式＝3-23+2012＝12015．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．24．计算：（1﹣（2） （3）244x -﹣12x -．【答案】（1）2（3）-12x + 【解析】分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.详解：（1（2）（3）24142x x --- =41(2)(2)2x x x -+--= 42(2)(2)(2)(2)x x x x x +-+-+-=2(2)(2)xx x -+-=12x -+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x - 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．26．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.27．计算下列各题（1）⎛÷ ⎝（2）2-【答案】(1)1;(2)． 【分析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式展开，然后再进行合并即可. 【详解】(1)原式=1；(2)原式+2)． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==±>.这里7m =，12n =， 由于437+=，4312⨯=，所以22+==，2===.. 【答案】见解析 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】根据题意，可知13m =，42n =，由于7613+=，7642⨯=，所以2213+=，====【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据直角二次根式满足的两个条件进行判断即可． 【详解】被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项A 错误；3=被开方数中含分母，不是最简二次根式，故选项B 错误；=被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故选项C 错误；是最简二次根式，故选项D 正确. 故选D ． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式是最简二次根式．2．D解析：D 【分析】根据正方形的面积求出边长AB ＝4cm ，BC ＝（）cm ，利用四边形ABCD 的面积减去两个阴影的面积即可列式求出答案. 【详解】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm 2和12cm 2，4cm＝cm，∴AB＝4cm，BC＝（+4）cm，∴空白部分的面积＝（）×4﹣12﹣16，＝﹣12﹣16，＝（﹣）cm2，故选：D.【点睛】此题考查正方形的性质，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解图形中空白面积的计算方法是解题的关键.3．B解析：B【分析】根据倒数的定义，即可得到答案.【详解】，；2故选：B.【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式，解题的关键是熟记倒数的定义进行解题. 4．A解析：A【分析】根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．【详解】解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；B、-1＜0B选项不符合题意；C、是三次根式，所以C选项不符合题意；D、π-4＜0D选项不符合题意．故选：A．【点睛】a≥0．5．D解析：D【分析】先根据x 、y 的值计算x y +、x y -的值，再将所求式子利用平方差公式进行化简，然后代入求值即可．【详解】∵1,1x y ==，∴11112x y x y +==-=-=，则22()()2x y x y y x -=+-==故选：D ．【点睛】本题考查了代数式的化简求值、二次根式的加减法与乘法，利用平方差公式对代数式进行化简是解题关键．6．B解析：B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a 、b 对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a ，∴b ，∴21b a -， 故选：B ．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．7．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．8．C解析：C【分析】利用二次根式的乘法法则对A、B进行判断；利用二次根式的化简对C、D进行判断．【详解】A．原式=所以A选项的运算正确；B．原式＝所以，B选项的运算正确；C．原式==5，所以C选项的运算错误；D．原式＝2，所以D选项的运算正确．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．9．C解析：C【分析】根据分式和二次根式有意义的条件（分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数）即可得到结果.【详解】解：由题意得：2x-40≠,2x∴≠±,又∵20x +≥,∴x ≥-2.∴x 的取值范围是：x>-2且2x ≠.故选C.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解不等式，是基础题.10．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．二、填空题11．3【解析】设，则 可化为：，∴，两边同时平方得：，即：，∴，解得：，∴.故答案为：.点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形解析：【解析】设24x a -====两边同时平方得：128a a +=++4=，∴3216a =，解得：12a =，===故答案为： 点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值，使问题得到解决.12．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an ＝（n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝＝＝．同理：AE ＝2，EH ＝2，解析：（1）a 2，a 3＝2，a 4＝；（2）a n n 为正整数）．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，ACAE ＝2，EH ＝，…，即a 2a 3＝2，a 4＝（2）an n 为正整数）．13．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．【详解】∵∴∴∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的解析：21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．14．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和 解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．15．【分析】先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】∵∴∴∴【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．解析：6【分析】先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可．【详解】2x === ∵23<<∴425<< ∴4,242a b ==-=∴42)6a b -=-=【点睛】本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．16．【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是：，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第解析：【解析】试题解析：（5，4）表示第5排从左向右第4，（9，4）表示第9排从左向右第4个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第9排是奇数排，最中间的也就是这排的第5个数是1，那么第4，∴(5，4)与(9，4)故答案为17．【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，则．故答案为：．【点睛】此题考查的是二【分析】t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，则244t=+=+8=+8=+81)=+62=1)∴=．1t．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．18．21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式，∴ ，∴故答案为21.解析：21【分析】根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.【详解】∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴7321.mn=⨯=故答案为21.19．7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，∴若是整数，则n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式解析：7【分析】把28分解因数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．【详解】解:∵28=4×7，4是平方数，n的最小正整数值为7，故答案为7．【点睛】本题考查了二次根式的定义，把28分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．20．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
初二下数学培优试卷答案
一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -1/2D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，因此选项C正确。
2. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则下列等式中正确的是（）A. a+c=2bB. a+b=2cC. a-b=2cD. b-c=2a答案：A解析：等差数列的性质是相邻两项之差相等，所以a+c=2b。
3. 已知函数f(x)=2x-1，则函数g(x)=f(x+1)的解析式是（）A. g(x)=2x+1B. g(x)=2x-3C. g(x)=2x+3D. g(x)=2x-1答案：B解析：将f(x)中的x替换为x+1，得到g(x)=2(x+1)-1=2x+2-1=2x+1。
4. 在直角坐标系中，点A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)构成的三角形是（）A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不等边三角形答案：C解析：计算AB、BC、AC的长度，发现它们分别是√5、√5、√5，因此三角形ABC是直角三角形。
5. 已知等腰三角形ABC的底边AB=8，腰AC=BC=6，则底角B的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B解析：等腰三角形的底角相等，因此底角B的度数为45°。
二、填空题（每题5分，共25分）1. 若x^2-5x+6=0，则x的值为__________。
答案：2，3解析：因式分解x^2-5x+6=(x-2)(x-3)，所以x的值为2或3。
2. 若sinα=√2/2，则cosα的值为__________。
答案：√2/2解析：在单位圆上，sinα=√2/2对应的角度是45°，所以cosα的值也是√2/2。
3. 若一个正方形的边长为a，则它的面积是__________。
答案：a^2解析：正方形的面积是边长的平方，所以面积为a^2。
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题
2022-2023学年初二数学第二学期培优专题08 菱形中的最值问题【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（ ）A ．33B ．6C ．3D ．322．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（ ）A ．34B ．33C ．32D ．123．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．23+24．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（ ）A ．3B ．33C ．4D ．435．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠DAB ＝60°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点且△PCE 的周长最小，则△PCE 的周长的最小值为（ ）A ．31+B ．71+C ．231+D ．271+6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．7．如图，四边形ABCD 为菱形，以AD 为斜边的Rt AED △的面积为3，2DE =，点E ，C 在BD 的同侧，点P 是BD 上的一动点，则PE PC +的最小值是_____________．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．AP+PD 9．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则12的最小值为_____．10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =，则GH 的最小值为___________．13．如图，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值．15．如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____答案与解析【例题讲解】如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是_____ 解：连接BD ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵E 是AD 的中点，∴BE ⊥AD ，取AB 与CD 的中点M ，N ，连接MN ，∴点B 关于MN 的对称点是E ，连接EC ，此时CE 的长就是GB +GC 的最小值；∵MN ∥AD ，∴HM ＝12AE ，∵HB ⊥HM ，AB ＝6，∠A ＝60°，∴MB ＝3，∠HMB ＝60°，∴HM ＝1.5，∴AE ＝3，∵∠AEB ＝∠MHB ＝90°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △EBC 中，EB ＝33，BC ＝6，∴EC ＝37，故答案为37．【综合演练】1．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 是AC 上的一动点，则EF BF +的最小值为（ ）A ．33B ．6C ．3D ．32【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B 关于AC 的对称点是点D ，连接ED ，EF +BF 最小值等于ED 的长，然后解直角三角形即可求解．【解答】解：如图，连接BD ，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=22226333AD AE-=-=，∴EF+BF的最小值为33．故选：A．【点评】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A3B3C 3D．12【答案】C【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将PE+PC转化为PE+ AP，再根据两点之间线段最短得知AE为PE+PC的最小值,进而求AE的值即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE 的长即为PE +PC 的最小值．∵∠ABC ＝60°，AB=BC∴△ABC 为等边三角形，又∵BE ＝CE 12BC =， ∴AE ⊥BC ，11,2AB BE == ∴AE ＝22AB BE -＝32． 故选：C ． 【点评】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键．3．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．23+2【答案】B【解答】解：作点P 关于BD 的对称点P′，作P′Q ⊥CD 交BD 于K ，交CD 于Q ，∵AB=4，∠A=120°，∴点P′到CD 的距离为4×32=23， ∴PK+QK 的最小值为23，故选B ．【点评】本题考查轴对称-最短路线问题；菱形的性质． 4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，4AB =，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，P 是AC 上的一个动点，则PE PF +的最小值是（ ）A ．3B ．33C ．4D ．43 【答案】C【分析】作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，最小值为GF ，求出GF 即可．【解答】解：作E 点关于AC 的对称点点G ，连接GF 交AC 于点P ，连接PE ，连接PE ，由对称性可得PG =PE ，AG =AE ，∴PE +PF =PG +PF ⩾GF ，当P 、G 、F 三点共线时，PE +PF 有最小值，∵点E 是AB 的中点，∴点G 是AD 的中点，1=2AG AD ∴， ∵F 是BC 的中点，1=2BF BC ∴， 又∵四边形ABCD 是菱形，∴AG BF ∥，AD =BC ，=AG BF ∴，∴四边形ABFG 是平行四边形，∴GF =AB =4，∴PE +PF 的最小值为4，故选：C ．【点评】本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键．5．如图，菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，E是BC的中点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．31+B．71+C．231+D．271+【答案】B【分析】由菱形的性质可得点A与点C关于BD对称，则△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，则BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，求出AE＝2213(2)()722++=，则△PCE的周长＝AE＋CE＝7＋1，即为所求．【解答】解：∵菱形ABCD，∴点A与点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，连接PC，则PE＋PC＝P A＋PC＝AE，∴△PCE的周长＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此时△PCE的周长最小，∵E是BC的中点，菱形ABCD的边长为2，∴BE＝1，AB＝2，过点E作EG⊥AB交AB延长线于点G，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠EBG＝60°，∴BG＝12，EG＝32，在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，∴AE ＝2213(2)()722++=， ∴△PCE 的周长＝AE ＋CE ＝7＋1，∴△PCE 的周长的最小值为7＋1，故选：B ．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握菱形的性质，将所求问题转化为求AE 的长是解题的关键． 6．如图，菱形ABCD 的边长为23,60DAB ︒∠=，点E 为BC 边的中点，点P 为对角线上一动点，则PB PE +的最小值为__________．【答案】3【分析】找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DE 交AC 于P ，则DE 就是PB PE +的最小值，求出即可．【解答】解：连接BD ，交AC 于O ，连接DE 交AC 于P ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD PB =，PE PB PE PD DE ∴+=+=，即DE 就是PE PB +的最小值．四边形ABCD 是菱形，60DCB DAB ∴∠=∠=︒，23DC BC ==，DCB ∴∆是等边三角形，3BE CE ==，DE AB ⊥∴（等腰三角形三线合一的性质）． 在Rt DE B ∆中，2222(23)(3)3DE BD BE =-=-=．即PB PE +的最小值为3．故答案为3．【点评】本题主要考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．7．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，点E，C在BD的同侧，点P是BD上的一动点，则PE PC+的最小值是_____________．【答案】3【分析】根据菱形的轴对称性可得A、C关于BD对称，当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小为AE，再根据三角形的面积即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD菱形，∴A、C关于BD对称，∵点E，C在BD的同侧，∴当A、P、E三点共线时，PE PC+的值最小，且最小值为AE；∵以AD为斜边的Rt AED△的面积为3，2DE=，∴1123 22⨯=⨯=AE DE AE，∴AE=3，∴PE PC+的最小值是3故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的性质、最短问题、面积法等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，是中考常考题型．8．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是_______．【答案】9【分析】要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值,即可求出△PMN 周长的最小值．【解答】解：如图：连接MN ，作ME ⊥AC 交AD 于E ，连接EN ，则EN 就是PM ＋PN 的最小值，∵菱形ABCD ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴BN ＝BM ＝AM ，MN=118422AC =⨯= ∵ME ⊥AC 交AD 于E ，∴AE ＝AM ，∴AE ＝BN ，AE ∥BN ，∴四边形ABNE 是平行四边形，∴EN ＝AB ，EN ∥AB ，而由题意可知，可得AB ＝()()226282÷+÷＝5，∴EN ＝AB ＝5，∴PM ＋PN 的最小值为5．∵MN 不变，当PM ＋PN 的最小值时，△PMN 周长最小 ，∴△PMN 周长最小=9故答案为：9．【点评】本题考查菱形的性质、轴对称、平行四边形的判定及勾股定理等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．9．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠B ＝120°．点P 是对角线AC 上一点（不与端点A 重合），则12AP+PD 的最小值为_____．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，根据四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝12AP，当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF的长，根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝12AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝12AD＝12×6＝3;∴DF＝33;∵12AP+PD＝PE+PD,∴当点D，P，E三点共线且DE⊥AB时,PE+DP的值最小，最小值为DF的长,∴12AP+PD的最小值为33.故答案为：33.【点评】本题考查了菱形的性质，结合直角三角形、等边三角形的判定与性质知识点，准确判断最小值的判定.10．如图，菱形ABCD中，∠ABC=56°，点E，F分别在BD，AD上，当AE+EF的值最小时，则∠AEF=___度．【分析】连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE，根据菱形的性质和垂线段最短可得此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长，然后根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求出结论．【解答】解：连接AC，过点C作CF⊥AD，交BD于点E，交AD于点F，连接AE∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=56°∴菱形ABCD是以BD所在直线为对称轴的轴对称图形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=1（180°－∠ADC）=62°2∴此时AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA根据垂线段最短可知：此时AE＋EF的值最小，且最小值即为CF的长∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∴∠ECA=90°－∠DAC=28°∴∠EAC=28°∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°故答案为：56．【点评】此题考查的是菱形的性质、垂线段最短的应用、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握菱形的性质、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余和等边对等角是解决此题的关键．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD 上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为______________.【答案】33【分析】首先证明△BEF 是等边三角形，当BE ⊥AD 时面积最小．【解答】解：连接BD ，∵菱形ABCD 边长为4，∠ADC =120°，∴∠BAD =60°，∴△ABD 与△BCD 都为等边三角形，∴∠FDB =∠EAB =60°，∵AE +CF =4，而DF +CF =4，∴AE =DF ，∵AB =BD ，∴△BDF ≌△BAE （SAS ），∴BE =BF ，∠ABE =∠DBF ，∴∠EBF =∠ABD =60°，∴△BEF 是等边三角形，∴当BE ⊥AD 时，△BEF 的面积最小，在Rt △ABE 中，AE =12AB =2，由勾股定理得BE =23，同理可得等边△BEF 的边BE 上的高为32×23=3， △BEF 面积的最小值=33．故答案为：33．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若45B ∠=︒，23BC =GH 的最小值为___________．【答案】6 2【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF，求出AF的最小值即可解决问题．【解答】连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AB= BC= 23∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，GH =12AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°，∵∠B= 45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=22AB=22×23=6，∴GH =6 2即GH的最小值为6 2故答案为：6 2【点评】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13．如图，菱形ABCD中，60ABC∠=︒，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP PC+的最小值是______．【答案】332【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【解答】解：如图所示：过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 于点F ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴∠ABP =30°，12PE BP ∴=， 12BP PC PE PC ∴+=+， 由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，33sin 3sin 602CF BC ABC ∴=⨯∠=⨯︒=， 即12BP PC +的最小值是：332， 故答案是：332． 【点评】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离． 14．如图，菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，线段CE 的垂直平分线交BD ，CE 分别于点F ，C ，AE ，EF 的中点分别为M ，N ．(1)求证：AF EF =；(2)求MN NG +的最小值． 【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）连接CF ，根据FG 垂直平分CE 和菱形的对称性即可得到CF EF =，CF AF =，从而求证结论；（2）利用M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 的中点，即可得到1(2)AF F MN N C G +=+，当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，此时MN NG +最小，结合已知推断ABC 为等边三角形，即可求解．（1）证明：连接CF ，FG 垂直平分CE ，CF EF ∴=，四边形ABCD 为菱形，A ∴和C 关于对角线BD 对称，CF AF ∴=，AF EF ∴=；（2）解：连接AC ，M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，11,22MN AF NG CF ∴==，即 1(2)AF F MN N C G +=+ 当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF CF +最小，即此时MN NG +最小，菱形ABCD 边长为1，60ABC ∠=︒，ABC ∴为等边三角形，1AC AB ==，即MN NG +的最小值为12．【点评】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．。
初二数学培优练习题推荐
初二数学培优练习题推荐数学是一门重要而又关键的学科，对于初中生来说，打好数学基础非常重要。
为了帮助初二学生提高数学水平，本文将介绍一些培优练习题，旨在让学生更好地理解数学知识，提高解题能力。
一、整数运算整数运算是数学中的基础内容之一，熟练掌握整数的四则运算对于后续学习其他数学知识至关重要。
以下是一道整数运算的练习题：题目：计算以下表达式的值：-8 + 5 - (-3) - 2解析：在这道练习题中，我们需要按照运算的优先级进行计算。
首先，计算括号内的表达式-(-3)，由于减负得正，所以结果为3。
然后，按照从左到右的顺序进行计算，得到的结果为-8 + 5 + 3 - 2 = -2。
二、代数方程代数方程作为数学中的重要概念，在初二数学中也占据着重要地位。
通过解代数方程，学生能够培养逻辑思维和解决实际问题的能力。
以下是一道代数方程的练习题：题目：解方程2x - 5 = 7解析：将方程转化为x的形式，得到2x = 7 + 5，即2x = 12。
再将方程两边都除以2，得到x = 6。
因此，方程的解为x = 6。
三、几何图形初二数学中，学生开始接触几何图形的性质和计算方法。
几何图形的学习可以培养学生的观察力和空间想象力。
以下是一道几何图形的练习题：题目：已知ABCD为矩形，且AB = 6 cm，BC = 4 cm，求矩形的面积。
解析：矩形的面积等于矩形的长乘以宽。
已知长为AB = 6 cm，宽为BC = 4 cm，因此矩形的面积为6 cm × 4 cm = 24 cm²。
四、比例与相似比例与相似作为初中数学中的重要内容之一，是后续学习代数和几何的基础。
熟练运用比例与相似的概念和计算方法，有助于学生解决实际问题。
以下是一道比例与相似的练习题：题目：已知一支杆的长度为3 m，投影在地面上的长度为2 m，求杆与地面的夹角。
解析：根据比例关系，杆的长度与其投影在地面上的长度的比值等于杆与地面间的夹角的正弦值。
初二数学第一学期培优练习(8)
初二数学第一学期培优练习（8）
班级姓名
Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，求∠EGC的度数
2.如图，矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色．
（1）GC的长为
（2）求FG的长．
（3）求阴影部分面积．
3.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）△COD是什么三角形？说明理由；
（2）若AO=n2+1，AD=n2-1，OD=2n（n为大于1的整数），求α的度数；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
4.己知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当α=90°时，连接BE、DF，猜想当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．
多少？
求边AC的长．。
八年级(下)期中数学培优练习
A ．B ．C ．D ．初二数学第二学期期中培优试题一、选择题(把正确答案的选项填在下面答题栏内)1．在x1、21、212+x、yx +3、ma 1+中分式的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2反比例函数k y x=在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．如果分式2x x-的值为0，那么x 为A ．－2B ．0C ．1D ．24．如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB ∶FG=2∶3，则下列结论正确的是 A ．2DE=3MN B ．3DE=2MN C ．3∠A=2∠F D ．2∠A=3∠F5．不等式组x 5332x 1⎧⎨⎩＋≥－≥－ 的解集表示在数轴上正确的6．下列各式中，正确的是 A ．22b b a a=B．22a b a b a b+=++ C ．22y y x yx y=++ D ．11x yx y=--+-7．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm8．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是9．若点00()x y ，在函数k y x=（x <0）的图象上，且003x y =-,则它的图象大致是10．将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF的长度是 A ．724 B．4 C ．712或2 D ．4或724二、填空题．11．在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 ． 12．当m = 时，关于x 的方程255+-=-x m x x 会产生增根13．已知两个相似多边形的一组对应边分别是23cm 和15cm ，较小多边形的周长为60cm ，则较大多边形的周长是 cm ． 14．代数式41＋2x 的值不大于8－2x 的值，那么x 的正整数解是 ．15．直线6+-=x y 与函数)0(4>=x xy 的图象交于A 、B 两点，设A(x ，y )，那么长为x ，宽为y 的矩形的面积= ；周长= 16．已知一次函数1+-=x y 与反比例函数y 2-=， x 与y 的对应值如下表： 则：方程xx 21-=+-的解为 ；不等式xx 21-〉+-的解集为 .17．如图，A 、B 是双曲线 y = kx (k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= ____. 18．已知：M(4，1)，N(4，8)两点，反比例函数xk y =与线段MN 相交，过反比例函数xk y =上任意一点P 作y 轴的垂线PG,G 为垂足，O 为坐标原点，则△OGP 的面积S 的取值范围是_______________．EAB ′F三、解答题 19．(6分)先化简211()1122x x x x -÷-+-，然后从2，1，－1中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值.20．(6分) 解不等式组⎩⎨⎧-<--<-52310932x x x x 21．(6分)解分式方程2143222-=-++x x x x22．(6分)等腰△ABC,AB=AC=８,∠BAC=120°,P 为BC 的中点,小慧拿着含30°角的透明三角板,使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ；（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． 探究１：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）探究２：连结EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由；设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．图b图a23．(6分) 绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如右表所示：(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数量的65. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②哪种进货方案商场获得利润最大(利润=售价-进价)，最大利润是多少？24．(8分)●探究 (1) 在图1中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ． ①若A (-1，0)， B (3，0)，则E 点坐标为__________； ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F 点坐标为__________；(2)在图2中，已知线段AB 的端点坐标为A(a ，b) ，B(c ，d)，求出 图中AB 中点D 的坐标（用含a ，b ，c ，d 的代数式表示），并给出 求解过程．●归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a ，b)，B(c ，d)， AB 中点为D(x ，y) 时， x=____，y=____．（不必证明）●运用 在图2中，一次函数2-=x y 与反比例函数xy 3=的图象交点为A ，B ．①求出交点A ，B 的坐标；②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形， 请利用上面的结论求出顶点P 的坐标．25．如图，一条直线与反比例函数k y x=的图象交于A(1，5)，B(5，n)两点，与x 轴交于D 点， AC ⊥x 轴，垂足为C ．(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n 的值及D 点坐标；(2)如图乙，若点E 在线段AD 上运动，连结CE ，作∠CEF=45°，EF 交AC 于F 点． ①试说明△CDE ∽△EAF ；②当△ECF 为等腰三角形时，请求出F 点的坐标．xy y =x3y =x -2ABO图3。
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初二数学培优班练习题（八）
特殊的平行四边形——菱形
一、知识清单：
1.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
2.菱形的判定方法：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形。
3.菱形的面积 = 两条对角线乘积的一半（设菱形的两条对角线的长分别是1l 和2l ，则212
1l l s ⋅=菱形 二、练习：
1.（2007广东）菱形ABCD 的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长=l 。
2.（2008肇庆）边长为5cm 的菱形，一条对角线长是6 cm , 则另一条对角线的长是 。
3.（2010株洲）四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC = 4cm ，BD=8cm ，则这个菱形的面积是 。
4.(2009广东)在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=5，AC=6，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E 。
（1）求BDC ∆的周长；
（2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q 。
求证：BP=DQ
5.（2011广州）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。
求证：ACE ∆≌ACF ∆
O E P D C B Q A
F E D C
B A。
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特殊的平行四边形——正方形
一、知识清单：
1.正方形的性质：
（1）正方形的四个角是直角；
（2）正方形的四条边相等；
（3）正方形的两条对角线相等、互相垂直、互相平分。
2.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；
（6）对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形。
二、练习：
1.（2010江苏）如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE=AC ，则∠BCE 的度数是 。
2.（2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，1O ，2O 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 。
3.正方形的面积是8，则它的对角线长是 ，周长是 。
4.（2011肇庆）如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，连结EB 、ED 。
（1）求证：BEC ∆≌DEC ∆ （2）延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB=140º，求∠AFE 的度数。
5.（2010青岛）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE=AF 。
（1）求证：BE=DF
（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM=OA ，连接EM 、FM 。
判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论？
E
F D
A B C O
C
M
F E B D A E D A B C
第1题图
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